AOl 4 Cálculo integral LP

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AOl 4 Cálculo integral LP 
1. Pergunta 1 
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A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. 
A mais simples é a da integral de uma função definida em um intervalo, que 
nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de integração da 
integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais 
de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida 
e com seus conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para 
a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² 
vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área 
dividindo o intervalo em subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 
e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. 
Sabendo que o trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o 
deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse 
deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, F, F, F. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
F, V, F, V. 
2. Pergunta 2Crédito total dado 
/1 
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de 
uma integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para 
encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, 
dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por 
diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o da 
integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida pelo método de integração por partes e com seus 
conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra 
da integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é 
aproximadamente igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
F, V, F, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
F, V, V, V. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
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Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a 
resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para 
conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e 
isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos 
valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e 
também seus conhecimentos sobre o método da integração por 
substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar 
que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ 
ou [pi, 3pi/2]. 
2. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x 
= atg(w). 
Resposta correta 
3. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, 
pi/2]. 
4. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos 
números reais 
5. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x 
= asen(w). 
4. Pergunta 4 
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Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar 
pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão 
dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a 
integrandos específicos, como é o caso do método de integração por 
substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por 
substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
V, F, F, V. 
5. Pergunta 5 
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que 
diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das 
expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta 
entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a 
(e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u 
= e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a 
função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral 
parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após 
isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva 
F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta correta 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
6. Pergunta 6 
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O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais 
trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma 
substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a 
eliminação de uma estrutura determinada do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do 
integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável 
para resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de 
integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
7. Pergunta 7 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no 
que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se 
encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua 
integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por substituições trigonométricas, analise as asserçõesa seguir e 
a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada 
pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 
2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e 
com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e 
como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula 
inicial e integrando, encontramos a expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I 
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta 
8. Pergunta 8 
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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de 
fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da 
regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial 
para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de 
integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível 
aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição 
para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais 
simples, chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser 
expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja 
menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 
1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
III e IV. 
3. 
I e III. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
/1 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. 
Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e 
comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem 
inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método 
de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a 
integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de 
integração por partes, analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de 
funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto 
das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos 
lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em 
termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de 
integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, III e IV. 
5. 
I, II e IV. 
10. Pergunta 10Crédito total dado 
/1 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de 
inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes 
específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas 
funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do 
método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em 
Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de 
substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) √(x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
2. 
2, 3, 1, 4. 
3. 
1, 3, 2, 4. 
4. 
2, 1, 3, 4. 
5. 
1, 4, 3, 2.