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1 Modelagem de Sistemas Dinâmicos Modelagem de sistemas fluídicos e térmicos Prof. Giancarlo Michelino Gaeta Lopes • Unidade de Ensino: 4 • Competência da Unidade: Compreender e aplicar outros tipos de sistemas, como o hidráulico, pneumático e térmico. • Resumo: Modelagem com exemplos de aplicação de sistemas hidráulicos, pneumáticos e térmicos. • Palavras-chave: sistema hidráulico; sistema pneumático; sistema térmico. • Título da Teleaula: Modelagem de sistemas fluídicos e térmicos • Teleaula nº: 4 Contextualização • Além dos sistemas elétricos e mecânicos, há como obter um modelo para outros sistemas, utilizados em automação? • Há alguma semelhança entre outros sistemas com os sistemas elétricos, ou seja, consigo modelar outro tipo de sistema como um circuito elétrico? Modelagem matemática de sistemas hidráulicos Lei da Conservação da massa • Conhecida como Balanço de Massa ou Equação da Continuidade; • A vazão volumétrica que entra em um sistema menos a vazão que sai é igual a variação do volume no tempo desse sistema. � ������ − � ���� = �� �� Sistema hidráulico • Resistência hidráulica (R): Resiste ao fluxo de fluido e dissipa energia. • Fluxo lamilar: �� = ∆ℎ � = ℎ� − ℎ� � • Fluxo turbulento: �� = 2 � � � KLUEVER (2018) 2 • Capacitância hidráulica (C): Capacidade de armazenar energia em um sistema devido à pressão do fluido. � = �� �ℎ �� = � � �ℎ Sistema hidráulico com um tanque • Obter a altura do nível em função da vazão de entrada: • Utilizar e equação da continuidade: �� �� = ���� − ���� KLUEVER (2018) • Modelando: �� = (���� − ����) � �� � � �ℎ = (���� − ����) � �� � � �ℎ = (���� − ℎ �� ) � �� � � �ℎ = �� � ���� − ℎ �� � �� KLUEVER (2018) • Modelando: � � �ℎ = �� � ���� − ℎ �� � �� � � �� � �ℎ �� = �� � ���� − ℎ � � �� � �ℎ �� + ℎ = �� � ���� • Usando a Laplace: � � (� � �� � � + 1) = �� � ���� • Obtendo a FT = �(�) ����(�)� ��(�) = �(�) ����(�) = �� � � �� � � + 1 Sistema hidráulico com dois tanques • Obter a vazão de saída Q2 em função da vazão de entrada QENT: KLUEVER (2018) • Modelando: ℎ� − ℎ� = �� � �� �� �ℎ� �� = � − �� ℎ� = �� � �� �� �ℎ� �� = �� − �� • Aplicando Laplace: 1 �� − �� = �� � �� 2 �� � �� � � = � − �� → �� = � − �� �� � � 3 �� = �� � �� 4 �� � �� � � = �� − �� KLUEVER (2018) 3 • Substituindo 2 e 3 em 1: 1 � − �� �� � � − �� � �� = �� � �� 4 �� � �� � � = �� − �� → �� = �� � �� � � + �� • Substituindo 4 em 1: � − (����� + ��) ��� − ���� = (����� + ��)�� KLUEVER (2018) • Rearranjando: � − ����� − �� − ������� ��� = ������� + ���� � = ������� + �� + ������� + ������������ + ������� � = �� � (����� + 1 + ����� + ��������� � + �����) ��(�) �(�) = 1 ��������� � + (���� + ���� + ����) � � + 1 KLUEVER (2018) Sistema hidráulico – diagrama de blocos • Diagrama de blocos do sistema de dois tanques; TAVARES (2017) Modelagem matemática de sistemas pneumáticos Comportamento do sistema pneumático • Os sistemas pneumáticos tem como fluido o ar. • Utilizados na indústria pela força de trabalho. • Resistência de sistema de pressão: �� = �∆� �� • Capacitância de sistema de pressão: � = �� �� = � � �� �� https://pxhere.com/pt/photo/1089325 Modelando um sistema de pressão • Obter a pressão do tanque P pela pressão de entrada Pini: ���� KLUEVER (2018) 4 • A válvula é uma resistência de pressão e o vaso rígido é a capacitância do sistema; • A mudança de pressão no vaso multiplicada pela capacitância é igual o gás adicionado na câmara em um tempo dt: � � ��� = � � �� � = �� �� �� = ���� − �� � KLUEVER (2018) • Modelando: � � ��� �� = ���� − �� �� �� � � � ��� �� + �� = ���� �� � (���� + 1) = ���� �� ���� = 1 ���� + 1 KLUEVER (2018) Sistemas pneumáticos utilizando software • Resposta do sistema pneumático de 1ª ordem: • Verificar a resposta para diversos valores de R e C usando um loop; • Obter uma única figura com diversos gráficos. �� ���� = 1 ���� + 1 Situação-problema • Avaliar se o projeto de controle de vazão e de aquecimento de uma linha de produção de uma indústria de alimentos está funcionando devidamente; OGATA (2010) Resolvendo a situação problema • Quanto maior o deslocamento da válvula, menor será o fluxo e maior a pressão que a válvula terá que suportar; OGATA (2010) • O deslocamento da válvula é inversamente proporcional ao fluxo na válvula: � = ����� �1 • A pressão na válvula é diretamente proporcional ao deslocamento da válvula: � � �2 = �����ã� • k1 e k2 são constantes da válvula de fábrica. • Do modelo da válvula: �� ���� = 1 ���� + 1 5 • Do modelo do tanque, temos a saída como fluxo. ����� �1 = � • A entrada da válvula : �����ã� = � � �2 • Do modelo da válvula: �� ���� = 1 ���� + 1 • Montando no software e ajustando o ganho Kp para o melhor comportamento da válvula. Autoria própria • Aplicando Kp = k1 = k2 = 10, RL = RP = 1, CL = CP = 2; Modelagem matemática de sistemas térmicos Sistemas térmicos • Baseada na Lei da Conservação de Energia. • A quantidade de energia é constante, havendo apenas transferência de calor. � � �� �� = � ���� − � ���� • Em que: � é a taxa de fluxo de calor, d� é a derivada da temperatura no tempo e � é a capacitância térmica. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com mons/3/37/PT_calorimetria_equilibrio.png Lei da conservação de energia • Resistência térmica é a variação de temperatura pela variação na taxa de fluxo de calor: �� = ∆� � • Capacitância térmica é a capacidade do corpo em armazenar energia do calor devido à sua massa � = ����� � ����� �����í���� Sistemas térmicos de uma massa • Considere um copo de café abaixo: • Obtenha a temperatura T em função da temperatura ambiente Ta; https://encrypted- tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTDhqHa6WH 78_TQvaaL2GC4tJ_rVCZpiNecf0hgySH26ADBfTXiAQ KLUEVER (2018) 6 • Modelando: � � �� �� = ���� − ���� • Sabemos que (nesse caso): �� = � − �� ���� � ���� = 0 � � �� �� = − � − �� �� KLUEVER (2018) • Rearranjando: �� � � � �� �� + � = �� �� � � � � � � + � = � � (�� � � � � + 1) = �� �� = � �� = 1 ���� + 1 KLUEVER (2018) Exemplo – Modelagem de sistema térmico Considerações: • O tanque é termicamente isolado; • Não há armazenamento de calor no isolamento; • O liquido no tanque está perfeitamente misturado T uniforme e igual a Ts; � � �� �� = � ���� − � ���� TAVARES (2017) • Obter a temperatura em função do fluxo de calor q de entrada: � � �� �� = ���� − ���� � � ��� �� = ���� − �� − �� �� �� � � � ��� �� + �� = �� � ���� TAVARES (2017) �� � �� � � � � + 1 = �� � ���� �� = �� ���� = �� �� � � � � + 1 • Verificar resposta ao degrau no simulador; TAVARES (2017) Exercícios – Modelagem de sistemas 7 Situação problema 1 • Você foi contratado com a finalidade de revisar o projeto de um sistema de controle de vazão e de aquecimento; • Qual é a vazão do fluido ao sair do silo? Qual é a equação que rege essa parte do sistema? TAVARES (2017) Resolvendo a situação problema • Para obtermos a vazão do fluido e a equação que rege esse sistema, será necessário obtermos a função de transferência que descreve sua dinâmica aplicar passos da modelagem; 1) Definição do problema obtenção da função de transferência que relaciona o fluxo de entrada com o de saída. 2) Teoria e aplicação das leis fundamentais lei de conservação da massa; 3) Simplificações e aproximações: • O fluido é incompressível e tem massa específica constante. • As resistências fluídicas são constantes • As variações das grandezas do sistema são consideradas pequenas sistema linear. 4) Equacionamento: ������ − ���� = �� �� � � �ℎ = ������ − ���� � �� Em que: �ℎ = �� � ����� TAVARES (2017) • Substituindo e rearranjando: � � �� � ����� = ������ − ���� � �� � � �� � ����� �� + ���� = ������ ����� � � �� � � + 1 = ������ ���� ������ = 1 �� � � � � + 1 TAVARES (2017) Situação problema 2 • Se atentar ao sistema térmico do sistema. • Qual é a temperatura de aquecimento dessa matéria-prima que escoa em regime permanente? O produto irá condensar? TAVARES (2017) Resolvendo a situação-problema 2 • A modelagem é a mesma que para um sistema térmico com aquecimento, porém deve se considerar que a temperatura de entrada pode variar devido ao controlador proporcional • Obtendo a temperatura de saída em relação ao fluxo de calor de entrada: �� ���� = 1 �� � � � � + 1 TAVARES (2017) 8 • Obtida a função de transferência, realizar a simulação em diagrama de blocos para RT = CT = 0,5; �� ���� = 1 �� � � � � + 1 = 1 0,25� + 1 Autoria própria Dúvidas? Recapitulando • Sistemas hidráulico; • Sistema Pneumático; • Sistema Térmico. • Simulação de sistemas integrados.
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