07 08 - (Lista - Matriz II)2

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Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Matrizes II
 
 
1. (Fgv 2018) Seja uma matriz tal que 
 
A inversa da matriz denotada por é a matriz 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
2. (Fuvest 2019) A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das 
letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço). 
 
 
 
Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e 
decodificadora sejam e respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é 
 que, numericamente, corresponde a Para fazer a codificação da mensagem, é feito o 
produto de matrizes 
 
 
 
O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada 
recebida: 
 
 
 
a) Se a matriz codificadora é e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada 
que o destinatário recebe? 
b) Se a matriz codificadora é e o destinatário recebe a matriz codificada qual foi a 
mensagem enviada? 
c) Nem toda matriz é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se encontre 
sequências de letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a 
 
 
 
 
 
ij 22A (a )=
i
ij j
j , se i j
a .
( i) , se i j
ì- =ï= í
- ¹ïî
A, 1A ,-
12
2
11
2
é ù-ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
12
2
11
2
é ù-ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
1 2
6 3
1 2
6 3
é ù- -ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
1 2
6 3
1 2
6 3
é ù- -ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
2 1
3 6
1 1
3 6
é ù- -ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
3 2
A
1 1
æ ö
= ç ÷
è ø
1 2
B ,
1 3
-æ ö
= ç ÷-è ø
F U V
M ,
E S T
æ ö
= ç ÷
è ø
6 21 22
M .
5 19 20
æ ö
= ç ÷
è ø
3 2 6 21 22 28 101 106
N A M .
1 1 5 19 20 11 40 42
æ ö æ ö æ ö
= × = × =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
6 21 22
M B N .
5 19 20
æ ö
= × = ç ÷
è ø
1 1
A ,
1 2
æ ö
= ç ÷
è ø
1 1
A ,
1 2
æ ö
= ç ÷
è ø
33 9 8 48
N ,
47 13 9 75
æ ö
= ç ÷
è ø
A
2 7
A ,
4 14
-æ ö
= ç ÷-è ø
4
4
0 0
.
0 0
æ ö
ç ÷
è ø
 
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Matemática 
 
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3. (Unicamp 2008) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua transposta é igual a sua 
inversa. 
 
Considere a matriz 
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
%
&
− '
&
− '
&
− '
&
a − %
&
− '
&
b '
& ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
, determine os valores de a e b para que P seja uma matriz ortogonal. 
 
4. (Fuvest - 2012) Considere a matriz A = / a 2a + 1a − 1 a + 1 3	em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa 
A-1 cuja primeira coluna é /2a − 1−1 3. Determine o valor numérico da soma dos elementos da diagonal principal de A
-1 é 
igual a: 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
 
5. (Unicamp 2017) Sendo um número real, considere a matriz Então, é igual a 
a) b) c) d) 
 
 
6. (Ufc - CE 2008) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que: 
 
𝐴' = 6
2 1 1
1 2 1
1 1 2
7.	
 
a) Calcule A² - 3 ∙ I, em que I é a matriz identidade de ordem 3. 
 
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A³ - 3 ∙ A = 2 ∙ I, determine a matriz inversa de A. 
 
 
Gabarito: 
 
 
1. Alternativa E 
 
2. Respostas: 
a) 8𝟐𝟎 𝟑𝟏 𝟒𝟑𝟓 𝟒𝟑 𝟓? 
 
b) 𝑴 = 8𝐒𝐍
𝐄
𝐃
𝐆
𝐀
𝐔
∗? 
 
c) Existem 9 possibilidades para a matriz tomemos 
apenas e que 
correspondem, respectivamente, às sequências 
 e 
 
3. Resposta: a = 𝟐
𝟑
 , b = −𝟏
𝟑
 
4. Alternativa A 
 
 
5. Alternativa B 
 
6. Respostas: a) 6
−𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 −𝟏
7 / b) 
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
− 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
− 𝟏
𝟐⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
a 1 a .
0 1
æ ö
ç ÷-è ø
2017A
1 0
.
0 1
æ ö
ç ÷
è ø
1 a
.
0 1
æ ö
ç ÷-è ø
1 1
.
1 1
æ ö
ç ÷
è ø
20171 a .
0 1
æ ö
ç ÷ç ÷-è ø
M,
æ ö æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
7 7 7 14 7 21
, ,
2 2 2 4 2 6
æ ö
ç ÷
è ø
21 14
,
6 4
GGBB,
GNBD, GUBF UNFD.