EXERCICIOS_Matrizes e Determinantes

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1 Marcar para revisão
Um departamento de engenharia está desenvolvendo um software para realizar cálculos e
operações com matrizes. Durante o processo de desenvolvimento, a equipe precisa
garantir que as operações de adição e subtração de matrizes sejam realizadas
corretamente, levando em consideração o tamanho das matrizes envolvidas. Considerando
a definição de adição e subtração de matrizes, qual das seguintes alternativas
corretamente descreve as condições necessárias para realizar essas operações?
Questão 1 de 10
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Lista de exercícios Matrizes e Determinantes Sair
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A
B
C
D
E
A adição e subtração de matrizes são definidas independentemente do tamanho
das matrizes envolvidas
A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de
linhas, mas o número de colunas pode ser diferente
A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de
colunas, mas o número de linhas pode ser diferente
A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo
número de linhas e colunas
A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo
número de elementos
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para que as operações de adição e subtração sejam realizadas entre duas matrizes, é
necessário que elas tenham o mesmo número de linhas e colunas. A adição de
matrizes é feita somando os elementos correspondentes de cada matriz para obter a
matriz resultante, enquanto a subtração é feita subtraindo os elementos
A
B
C
correspondentes. Essas operações requerem que os elementos a serem somados ou
subtraídos estejam em posições correspondentes nas matrizes envolvidas.
2 Marcar para revisão
Um grupo de estudantes está estudando matrizes em um curso de matemática aplicada.
Durante uma aula, o professor explica a definição de matriz como um agrupamento
ordenado de elementos em uma forma retangular com linhas e colunas. Ele também
destaca a notação para representar os elementos individuais da matriz. Considerando a
definição de matriz e sua notação, qual das seguintes alternativas corretamente descreve a
representação de um elemento específico (a ) da matriz M?ij
O elemento (a ) é o resultado da multiplicação entre a linha i e a coluna j da matriz
M.
ij
O elemento (a ) é a soma dos elementos das linhas i e j da matriz M.ij
O elemento (a ) é o resultado da divisão entre a linha i e a coluna j da matriz M.ij
D
E
O elemento (a ) é igual à matriz M na posição (i+j).ij
O elemento (aij) é o elemento da matriz M na posição i, j representado por (M)ij =
aij.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
De acordo com a definição apresentada, o elemento (aij) da matriz M é representado
por (M)ij = aij. Isso significa que o elemento na posição i, j da matriz M é exatamente
igual a aij.
3 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.
A
B
C
D
E
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∣
3 −3 3
3 −3 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 −3 3
−3 3 −3
∣
∣
∣
∣
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∣
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3 1 0
1 3 2
0 2 3
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∣
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∣
∣
∣
∣
0 −1 −4
1 0 2
4 −2 0
∣
∣
∣
∣
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∣
∣
3 −1 4
0 3 2
0 0 3
∣
∣
∣
∣
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A
B
C
Uma matriz é considerada antissimétrica se, e somente se, sua transposta é igual à
sua negativa. Ou seja, se a matriz A é antissimétrica, então A^T = -A. Ao realizar a
transposta da matriz e compará-la com a negativa da matriz original,
podemos observar que ambas são iguais, confirmando que a matriz é antissimétrica.
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∣
∣
∣
0 −1 −4
1 0 2
4 −2 0
∣
∣
∣
∣
4 Marcar para revisão
Determine o produto da matriz  A = [ 1 0 2 4 -1 -1 ] com a matriz B = [ 0 1 1 0 2 -1 ] .
[ 4 - 1 - 3 5 ]
[ -4 1 3 - 5 ]
[ 8 1 - 7 0 ]
D
E
A
B
[ 1 3 8 4 - 1 0 ]
[ 1 0 3 1 2 - 1 ]
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: [ 4 - 1 - 3 5 ]
5 Marcar para revisão
Sabe-se que P = 2M . Calcule o determinante de P, sabendo que a matriz M = :-1
∣
∣
∣
2 1
1 −2
∣
∣
∣
4
5
2
5
C
D
E
− 4
5
− 2
5
− 1
5
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, primeiro precisamos calcular a matriz inversa de M. A
matriz inversa de M é:
Em seguida, multiplicamos essa matriz por 2, conforme a equação P = 2M , obtendo:
Por fim, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante é o resultado da
subtração do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos
da diagonal secundária. Nesse caso, o determinante é -20/25, que simplificado resulta
em -4/5, que corresponde à alternativa C.
∣
∣
∣
2/5 1/5
1/5 −2/5
∣
∣
∣
-1
∣
∣
∣
4/5 2/5
2/5 −4/5
∣
∣
∣
A
B
C
D
E
6 Marcar para revisão
Calcule a matriz inversa da matriz M= [ 3 1 2 2 ].
[2 − 1 − 23]1
8
[1 − 12 − 3]1
4
[1 3 2 − 3]1
2
[2 − 1 − 23]1
4
[1 1 1 − 3]1
2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A matriz inversa de uma matriz é aquela que, quando multiplicada pela matriz original,
resulta na matriz identidade. No caso da matriz M= [ 3 1 2 2 ], a matriz inversa é a
A
B
C
D
E
opção D, que é . Isso pode ser verificado ao realizar a multiplicação
entre a matriz M e sua inversa, resultando na matriz identidade.
[2 − 1 − 23]1
4
7 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.
[ 3 - 333 - 33 ]
[ 3 - 33 - 33 - 3 ]
[ 3 1 0 1 3 2 0 2 3 ]
[ 0 - 1 - 4 1 0 2 4 - 2 0 ]
[ 3 - 1 4 0 3 2 0 0 3 ]
A
B
C
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: [ 0 - 1 - 4 1 0 2 4 - 2 0 ]
8 Marcar para revisão
Um engenheiro elétrico está estudando propriedades de matrizes inversas para solucionar
problemas em circuitos elétricos. Ele sabe que a matriz inversa de uma matriz quadrada A,
denotada por A , possui algumas propriedades importantes. Para testar seus
conhecimentos, ele formula a seguinte questão: Uma matriz inversa é uma matriz que,
quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade. Considerando essa
propriedade, assinale a alternativa correta:
-1
A matriz inversa de A é sempre igual à sua transposta
Toda matriz quadrada possui uma matriz inversa
A matriz inversa de A é a mesma que a matriz adjunta de A
D
E
Se A e B são matrizes inversas, então B é inversa de A
A matriz inversa é comutativa, ou seja, A = A-1
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Se A e B são matrizes inversas, isso significa que quando multiplicadas entre si,
resultam na matriz identidade. Portanto, A x B = I e B x A = I, onde I é a matriz
identidade. Dessa forma, podemos concluir que B é inversa de A.
As demais alternativas estão incorretas: nem sempre a matriz inversa é igual à sua
transposta, nem toda matriz quadrada possui uma matriz inversa, a matriz inversa e a
matriz adjunta são conceitos distintos, e a matriz inversa não é comutativa.
9 Marcar para revisão
Determine o produto da matriz  A = com a matriz B = .
∣
∣
∣
1 0 2
4 −1 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1
1 0
2 −1
∣
∣
∣
∣
A
B
C
D
E
∣
∣
∣
4 −1
−3 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−4 1
3 −5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
8 1
−7 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 8
4 −5 0
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1 0 3
1 2 −1
∣
∣
∣
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar o produto de duas matrizes, devemos multiplicarcada linha da primeira
matriz por cada coluna da segunda matriz e somar os resultados. Neste caso, a
primeira linha da matriz A é (1, 0, 2) e a primeira coluna da matriz B é (0, 1, 2).
A
B
C
D
E
Multiplicando e somando os resultados, obtemos 4. Repetindo o processo para todos
os elementos, obtemos a matriz resultante:
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
∣
∣
∣
4 −1
−3 5
∣
∣
∣
10 Marcar para revisão
Sabe que P = 2M . Calcule o determinante de P, sabendo que a matriz M = [ 2 1 1 -2 ]:-1
4
5
2
5
− 4
5
− 2
5
− 1
5
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: − 4
5