Apostila Complexos e Geometria (parte I)

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Complexos e Geometria 
IME/ITA 
 
 
3/27/2011 
http://dadosdedeus.blogspot.com 
Marcos Valle (IME) 
 
 
2 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................03 
2 REVISÃO...........................................................................................................03 
3 FORMA TRIGONOMÉTRICA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA................04 
4 EXEMPLOS.......................................................................................................05 
5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)....................................................................................07 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Os números complexos surgiram por volta do século XVI, com o estudo de 
equações do 3º grau por Cardano e de Tartaglia. Este havia descoberto1 uma 
fórmula para calcular as raízes de uma equação do tipo , a 
saber: 
 
 
 
Cardano, após muito insistir, conseguiu que Tartaglia lhe passasse a fórmula, 
com a condição de não divulgá-la, o que não ocorreu. O resultado foi a 
publicação do método no Ars Magna de Cardano, em 1545 (e uma grande 
inimizade entre os dois matemáticos). 
Mas um problema inquietante era que, aplicando-se a fórmula acima, chegava-
se a raízes quadradas de números negativos (algo desconhecido e incoerente 
para a época) ainda que a equação possuisse todos seus zeros reais. Como 
exemplo, tome . Era sabido que 4, e eram 
raízes, no entanto ao utilizar a fórmula conclui-se que: 
 
 
 
O problema perdurou até a publicação do L'Algebra parte maggiore 
dell'Arithmetica em 1572 por Rafael Bombelli. O engenheiro teve a idéia de 
supor que os números e deveriam ser da 
forma a e , respectivamente. De fato, consegui provar que a = 
2 e b = 1. 
No século XVIII, de Moivre e Euler começaram a formalizar a estutura algébrica 
dessa nova classe de números e surgiu então a notação . Ainda no 
mesmo século os complexos (que somente receberam essa denominação no 
século XIX) passaram a ter uma interpretação geométrica, com o plano de 
Argand-Gauss e, para coroar a importância dessa nova ferramenta, Gauss 
provou que os números complexos são necessários e suficientes para a 
álgebra, com o Teorema Fundamental da Álgebra. 
 
1 Scipione del Ferro também havia encontrado um método de resolução de equações desse tipo. 
4 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
Os números complexos são hoje utilizados nos mais diversos campos da 
ciência, como eletromagnetismo, circuitos elétricos, física quântica, teoria do 
caos e, é claro, na geometria. 
Nesta primeira apostila você encontra uma breve revisão de conceitos básicos, 
a interpretação geométrica dos complexos, bem como alguns teoremas 
fundamentais que podem ser a diferença entre entrar ou não no IME ou no ITA. 
 
2 REVISÃO 
 
Os números complexos são da forma , em que . 
Denotamos por a parte real de z e a parte imaginária. 
Confira agora algumas propriedades para e 
IGUALDADE: 
ADIÇÃO: 
MULTIPLICAÇÃO: 
 
CONJUGAÇÃO: , , 
 
DIVISÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
POTÊNCIAS DE i: Seja . . 
 
PRODUTO COM CONJUGADO: 
 
 
 
3 FORMA TRIGONOMÉTRICA2 E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
2 Utilizando a expansão de Taylor, prova-se que . 
5 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
 
Fig. 01 
 
O plano complexo (também conhecido como plano de Argand-Gauss) é gerado 
por dois eixos ortogonais, sendo as abscissas números reais e as ordenadas 
os imaginários. Desta forma, todo número complexo pode ser representado de 
uma forma trigonométrica (ou polar), conforme ilustra a Fig. 01. 
Note ainda que o ponto z pode ser interpretado como uma das extremidades 
do vetor que o liga à origem. Dizemos que o ponto z é o afixo do complexo e 
Oz (que a partir de agora chamaremos apenas de z) o vetor associado ao 
afixo. 
Podemos escrever: 
 
O ângulo é chamado de argumento e é chamado de módulo de z. 
Sejam e . Confira 2 propriedades interessantes dessa 
notação: 
MULTIPLICAÇÃO: 
DIVISÃO: 
 
 
 
 
 
 
Repare agora que multiplicar um complexo por é o mesmo que somar ao 
seu argumento, i.e. rotacioná-lo de um ângulo no sentido anti-horário 
 
4 EXEMPLOS 
 
6 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
A seguir apresentaremos 3 exemplos de exercícios envolvendo números 
complexos e geometria. 
 
Exemplo 1 Mostre que os pontos médios de um quadrilátero qualquer formam 
um paralelogramo. 
 
Fig. 02 
 
Devemos provar que e . 
Verifique que: 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares. 
7 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
 
Fig. 03 
 
As diagonais de um losango podem ser escritas como: 
 
 
Para que sejam perpendiculares (i.e. rotacionadas de 90º) devemos ter 
 
Note que 
 
Mas . Logo: 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 (Teorema de Napoleão) Dado um triângulo qualquer, constroem-se 
triângulos equiláteros externamente a cada um de seus lados. Os centros dos 
novos triângulos também formam um triângulo equilátero. 
8 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
 
Tome a origem sobre um dos vértices, conforme ilustra a Fig. 03. Temos que: 
 
 
 
 +b 
 
 
Como são baricentros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso concluímos que 
 
 
 
 
 
5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1) 
 
Prove os teoremas abaixo: 
1-) 
 
 
 
 
 
 
2-) 
 
 
 
 
 
 
9 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
3-) 
 
 
 
 
 
 
4-) 
 
 
 
 
 
 
5-) Considere um círculo de raio unitário: 
1. Para uma corda , temos 
 
 
 
2. Se c pertence à corda , então 
 
 
 
3. A intersecção entre as tangentes em a e b é o ponto 
 
 
 
4. O pé da perpendicular de um ponto arbitrário c à corda é 
 
 
 
 
5. A intersecção entre as cordas é o ponto 
 
 
 
 
6-) Os pontos a,b,c,d pertencem a uma circunferência se e somente se 
 
 
 
 
 
 
7-) Os triângulos são similares e de mesma orientação se e somente 
se 
 
 
 
 
 
 
8-) A área de um triângulo é 
 
 
 
 
 
 
 
9-) O ponto c divide um segmento na razão se e somente se 
 
 
 
 
10-) O ponto t é baricentro de um triângulo abc se e somente se 
 
 
 
11-) Para o ortocentro h e o circuncentro o do triângulo abc, temos 
 
12-) Para um triângulo positivamente orientado abc, as seguintes condições 
são equivalentes: 
1. Abc é equilátero 
2. |a - b| = |b - c| = |c - a| 
3. a² + b² + c² = ab + bc + ca 
4. (b - a)/(c - b) = (c - b)/(a - b) 
5. (z - a)-1 + (z - b)-1 + (z - c)-1 = 0, em que z = (a + b + c)/36. (a + eb + e²c)(a + ec + e²b) = 0, em que e = cos(2p/3) + i.sin(2p/3) 
 
 
 
10 Dados de Deus – Complexos e Geometria 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, The Mathematical 
Association of America, 1994 
Andreescu, Titu Complex Numbers From A to … Z, Birkhäuser, 1956 
http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf 
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf 
http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf 
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo 
http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf 
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-
algebricas-parte.html 
 
 
 
 
Em breve a segunda parte da apostila com questões nível IME resolvidas! 
 
http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf
http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-algebricas-parte.html
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-algebricas-parte.html