Gabarito Comentado - Polinômios

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Gabarito 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Sabendo que os restos são iguais, pelo Teorema do Resto, vem 
4 3 4 3P(3) P( 2) 2 3 5 3 k 3 1 2 ( 2) 5 ( 2) k ( 2) 1
27 3k 72 2k
k 9.
= −   −  +  − =  − −  − +  − −
 + = −
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Supondo n 1= pode-se calcular: 
( ) ( )
1x x 2 2x 2
2x 2 x 1 2 resto 4
+ + → +
+  − = → =
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Tem-se que 
3 2P( 1) 4 ( 1) 8 ( 1) 1 1 4− =  − +  − − + = 
e 
3 2
1 1 1 1
P 4 8 1
3 3 3 3
4 8 2
27 9 3
4 24 18
27
11
1 .
27
     
− =  − +  − − +     
     
= − + +
− + +
=
= +
 
 
Em consequência, vem 
1 11
P( 1) P 4 1
3 27
11
5 .
27
 
− + − = + + 
 
= +
 
 
Portanto, como 
11 13,5
5 5 5 5,5,
27 27
 +  + = 
 
segue o resultado. 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Calculando: 
2 3 4 1.000 1.000P(1) (1 1 1 1 1 ) (1) 1= − + − + = = 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Queremos calcular 2 2 2d b h ,= + em que d é a diagonal do retângulo, b x 7= + é a 
base do retângulo e h é a altura do retângulo. Logo, tem-se que 
23x 19x 14 (x 7) h h 3x 2+ − = +   = − 
 
e, portanto, vem 
2 2 2 2d (x 7) (3x 2) 10x 2x 53.= + + − = + + 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Calculando: 
3 2
1 2 3
1
2 3 2 3
2x 3x 72x 35 0
( 3)
Relações de Girard x x x
2
1
x
2
1 3 4
x x x x 2
2 2 2
− − − =
−
 + + = −
=
+ + =  + = =
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
3 22 1 b 1 cP(1 1 22 b c) 4 +  +  = −  +=  = −− 
 
e 
 
3 2P(2) 6 2 2 b 2 c 2 6 2b c 5.=   +  +  =  + = − 
 
Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos b 1= − e 
c 3.= − 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Se P(2) 0,= então 
4 22 8 2 a 2 b 0 2a b 16.−  +  + =  + = 
 
Ademais, sendo P(1) 9,= vem 
4 21 8 1 a 1 b 9 a b 16.−  +  + =  + = 
 
Resolvendo o sistema em x e y, obtemos a 0= e b 16.= 
 
Portanto, a resposta é 
5 5a 4b 0 4 16 64.− = −  = − 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Desde que 2x x 1 (x 3)(x 2) 5,+ − = + − + segue o resultado. 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Sendo 2 2 4 3 2(x x 1) x 2x 3x 2x 1,+ + = + + + + pelo método da chave, encontramos 
 
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
x x x x 3x 5
3x 2x 2x 1
3x 3x 3x
5x x 1
5x 5x 5
4x 4
+ + + + − +
− + − + +
+ + +
− + −
− +
− + −
−
 
 
Portanto, a resposta é 4x 4 4(x 1).− = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Sendo D o dividendo, d o divisor, Q o quociente e r o resto, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( )2 2
4 3 3 2 2
4 2
D Q d r
D 8x 8x 12 x x 1 7x
D 8x 8x 8x 8x 12x 12x 1 7x
D 8x 4x 5x 1
=  +
= − +  + + −
= + − − + + + −
= + + +
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Tem-se que as raízes de A são x 1= e x 2.= Logo, se A e B têm uma única raiz em 
comum, então, para x 1,= o valor de k é 
4 3 20 1 2 1 k 1 3 1 2 k 6,= −  +  −  −  = 
 
enquanto que, para x 2,= o valor de k é 
4 3 20 2 2 2 k 2 3 2 2 k 2.= −  +  −  −  = 
 
Em consequência, podemos afirmar que os valores possíveis para k são números 
pares. 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
Dividindo P(x) por D(x) obtemos quociente 2Q(x) x 3= − e resto R(x) mx p 3.= + + 
Porém, como P(x) é divisível por D(x), só pode ser m 0= e p 3.= − Portanto, a 
resposta é m p 0 ( 3) 3.− = − − = 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Seja q(x) o quociente da divisão de p(x) por n(x). Assim, temos 
 
2(x 1)(x 1) c(x 1)(x 1)q(x) ax b.+ + = + − + + 
 
Fazendo x 1,= vem 
 
2 2 a 1 b a b 4. =  +  + = 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Como 1− é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), segue que A( 1) 0− = e B(3) 0.= Logo, 
 
3 2A( 1) B( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 B( 1) 1− = − +  − +  − + − +  − = 
e 
3 2A(3) B(3) 3 3 2 3 3 1 A(3) 103.= +  +  + +  = 
 
Portanto, 
 
A(3) B( 1) 103 1 102.− − = − = 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Calculando: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2x 2x x 2 0 x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0
x 2
ou
x 2 x 1 x 1 0 x 1 2 1 3
ou
x 1
− − + =   − − − =  −  − =
=
−  −  + =  =  − − =
= −
 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Como o resto da divisão de P por x 2+ é 7, ( )P 2 7.− = 
Daí, 
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
7 4 2 2 5 m 2 3
7 32 4 10 2m 3
2m 30
m 15
=  − − − − +  − +
= − − + + +
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
O resto da divisão de p(x) por x 1+ é igual a 3, portanto m e n são números pares, 
pois: 
n
n m
m
( 1) 1
p( 1) 3 p( 1) ( 1) ( 1) 1 3 logo
( 1) 1
 − =
− = → − = − + − + = → 
− =
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
x 0x x x 0x 1 x 0x 3x 2
x 0x 3x 2x x 2
+ − + + + + − +
− + + − +
3 2
3 2
2x x 0x 1
2x 0x 6x 4
+ − + +
− + + −
2x 6x 3− + −
 
 
Portanto, 2r(x) x 6x 3=− + − e 2r( 1) ( 1) 6( 1) 3 10.− =− − + − − = − 
 
 
Resposta da questão 20: 
 [E] 
 
De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que: 
 
P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos: 
 
8a 4 b 0
27a 6 b 45
+ + =
− + + = −
 
 
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos: 
–35a = –35, ou seja, a = 1. 
 
Substituindo a = 1 na primeira equação, temos: 
8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12.