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Lista 5 – Equações e inequações
Exercícios: texto de A. Caputi e D. Miranda,
apêndice A, exercícios 1.1 a 1.15.
Os exercícios de 1.1 a 1.7 são revisão de concei-
tos básicos apresentados no ensino médio, que
serão úteis no decorrer do curso.
Respostas de exercícios selecionados:
1.14 – `. Resolver 4x
2 − 6x + 2
4x2 + 6x + 2 ≥ 1.
Primeiramente, vamos obter a inequação equi-
valente:
4x2 − 6x + 2
4x2 + 6x + 2 − 1 ≥ 0
Colocando em um denominador comum e sim-
plificando, obtemos:
4x2 − 6x + 2
4x2 + 6x + 2 −
4x2 + 6x + 2
4x2 + 6x + 2 ≥ 0
−12x
4x2 + 6x + 2 ≥ 0
Note que a razão não está definida quando o
denominador é zero, ou seja, quando 4x2+6x+
2 = 0, o que ocorre se x = −1 ou x = −1/2.
Logo, 4x2+6x+2 = (x+1)(x+1/2) e podemos
reescrever a inequação como
−12x
(x + 1)(x + 1/2) ≥ 0
Analisemos o sinal da expressão à esquerda da
inequação nos intervalos entre os pontos e nos
pontos onde a expressão muda de sinal:
x + 1 x + 1/2 −12x −12x(x+1)(x+1/2)
(−∞;−1) − − + +
−1 0 indefinido
(−1;−1/2) + − + −
−1/2 0 indefinido
(−1/2; 0) + + + +
0 + + 0 0
(0; +∞) + + − −
O lado esquerdo é maior ou igual a zero apenas
em (−∞;−1) ∪ (−1/2; 0) ∪ {0}. Portanto, o
conjunto solução da inequação é
(−∞;−1) ∪ (−1/2; 0]
1.15 – a. Resolver |x− 2| − |x + 2| > 2.
Há, basicamente, dois modos de se resolver a
inequação.
Primeiro modo: Dividimos em 4 casos.
Caso 1: x− 2 < 0 e x + 2 < 0.
Portanto, x < −2 e a inequação se torna:
−(x− 2) + (x + 2) > 2
4 > 2
que é sempre verdadeiro, logo o intervalo
(−∞;−2) faz parte do conjunto solução.
Caso 2: x− 2 < 0 e x + 2 ≥ 0.
Portanto, −2 ≤ x < 2 e a inequação se torna:
−(x− 2)− (x + 2) > 2
−2x > 2
x < −1
logo o intervalo [−2;−1) faz parte do conjunto
solução.
Caso 3: x− 2 ≥ 0 e x + 2 ≥ 0.
Portanto, x ≥ 2 e a inequação se torna:
x− 2− (x + 2) > 2
0 > 2
que é nunca é verdadeiro, logo não há solução
neste caso.
1
Caso 4: x− 2 ≥ 0 e x + 2 < 0.
Note que, neste caso, teríamos x ≥ 2 e x < −2
ao mesmo tempo, o que é impossível. Logo,
este caso nunca ocorre.
Conclusão: O conjunto solução é (−∞;−1).
Segundo modo: Transformar a inequação em
outra equivalente tal que ambos os lados sejam
sempre maiores ou iguais a zero, depois elevar
ambos os lados ao quadrado.
|x− 2| − |x + 2| > 2
|x− 2| > 2 + |x + 2|
|x− 2|2 > (2 + |x + 2|)2
x2 − 4x + 4 > 4 + 4|x + 2|+ (x + 2)2
x2 − 4x + 4 > 4 + 4|x + 2|+ x2 + 4x + 4
−8x + 4 > 4|x + 2|
−2x + 1 > |x + 2|
Agora, basta separar em apenas 2 casos, x +
2 < 0 e x + 2 ≥ 0 e terminar a resolução. A
conclusão tem que ser a mesma que a do modo
anterior.
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