Lista Complementar -Álgebra-Mod18-Aulas 31 e 32 -Fatorial e Binômio de Newton

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Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 18 
(Aulas 31 e 32: Fatorial e Binômio de Newton) 
 
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1. (UECE) 
O coeficiente de 6x no desenvolvimento de 
3 3
2
2
1 1
2x x
2xx
   
+  +   
  
 é 
a) 18. b) 24. c) 34. d) 30. 
 
2. (UECE) 
Se n é um número natural maior do que dois, ao 
ordenarmos o desenvolvimento de 
n
2 1x
2x
 
+ 
 
 
segundo as potências decrescentes de x, 
verificamos que os coeficientes dos três primeiros 
termos estão em progressão aritmética. Nessas 
condições, o valor de n é 
a) 8. b) 6. c) 4. d) 10. 
 
3. (UEPG) 
No desenvolvimento do binômio 
n
2
3
k
x ,
x
 
+ 
 
 onde 
n e k são números reais, o 4º termo vale 7280x . 
 
Nesse contexto, assinale o que for correto. 
01) n é um número primo. 
02) n k 10.+  
04) O desenvolvimento não tem um termo 
independente de x. 
08) A soma de seus coeficientes é 81. 
16) O coeficiente do 3º termo vale 84. 
 
4. (UECE) 
No desenvolvimento de 10x(2x 1)+ o coeficiente de 
3x é 
a) 480. b) 320. c) 260. d) 180. 
 
5. (UEMA) 
Seja o desenvolvimento do Teorema Binomial 
n
n n k k n n 1 n 2 2 n
k 0
n n n n n
(a b) a b a a b a b b
k 0 1 2 n
− − −
=
         
+ = = + + + +         
         
 
onde 𝑛 ∈ ℕ, a e 𝑏 ∈ ℝ e os coeficientes binomiais 
n n n n
, , , ,
0 1 2 n
       
       
       
 determinados por 
n n!
p (n p)!p!
 
= 
− 
 com n e p e n p. 
 
Considerando as condições acima em relação ao 
Teorema Binomial, 
 
a) desenvolva 
5
2
1 1
;
xx
 
+ 
 
 
b) para determinar um termo específico do binômio 
de Newton, é utilizado o termo geral 
n k k
k 1
n
T a b .
k
−
+
 
=  
 
 Determine o 8º termo do binômio 
12
2
1 1
.
xx
 
+ 
 
 
 
6. (UECE) 
As soluções, em ℝ, da equação 
4 3 2cos x 4cos x 6cos x 4cosx 1 0− + − + = são 
 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio 
4(p q) .− 
a) x 2k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
b) x (2k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
c) x k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
d) x (4k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
 
7. (ITA) 
O coeficiente de 4 4x y no desenvolvimento de 
( )
10
1 x y+ + é 
a) 3150 b) 6300 
c) 75600 d) 81900 
e) 151200 
 
8. (Esc. Naval) 
O coeficiente de 5x no desenvolvimento de 
7
32 x
x
 
+ 
 
 é 
a) 30 b) 90 c) 120 d) 270 e) 560 
 
9. (UERN) 
A soma dos algarismos do termo independente de 
x no desenvolvimento do binômio de Newton 
8
2
x
x
 
+ 
 
 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
10. (FGV) 
Desenvolvendo-se o binômio 5P(x) (x 1) ,= + 
podemos dizer que a soma de seus coeficientes é 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 40 
e) 48 
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11. (UERN) 
Qual é o valor do termo independente de x do 
binômio 
n
2
2
x ,
x
 
+ 
 
 considerando que o mesmo 
corresponde ao sétimo termo de seu 
desenvolvimento? 
a) 435 b) 672 c) 543 d) 245 
 
 
12. (UFPE) 
Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto 
termo da expansão binomial de 
n
3 1x
x
 
+ 
 
 seja 
independente de x na expansão em potências 
decrescentes de x. 
 
 
13. (FGV) 
O termo independente de x do desenvolvimento de 
12
3
1
x
x
 
+ 
 
 é 
a) 26. b) 169. c) 220. d) 280. e) 310. 
 
 
14. (FGV) 
A soma dos coeficientes de todos os termos do 
desenvolvimento de 18(x 2y)− é igual a 
a) 0. b) 1. c) 19. d) -1. e) -19. 
 
 
15. (ESPM) 
Para 𝑥 ∈ ℕ e x 2, a expressão 
( )
( ) ( )
2
2
x 1 ! x!
x 2 ! x 1 !
− 
−  +
 é 
equivalente a: 
a) x 2− 
b) (x 2)!− 
c) (x 1)!− 
d) x 
e) x 1− 
 
 
16. (PUC-MG) 
O número natural que torna verdadeira a igualdade 
2 2[( )!] / [n(n 1)!(n 2)!(n n 1)!] 35+ − =+ é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 8 
 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1: 
[B] 
 
Sendo 
p
3 p 3 p 3 3p
p 1 2
3 31
T (2x) 2 x ,
p px
− − −
+
    
=   =      
    
 
o termo geral de 
3
2
1
2x ,
x
 
+ 
 
 e 
q
2 3 q q 6 3q
q 1
3 31
T (x ) 2 x ,
q q2x
− − −
+
    
=   =      
    
 
o termo geral de 
3
2 1x ,
2x
 
+ 
 
 e 
3 (p q) 9 3(p q)
p 1 q 1
3 3
T T 2 x .
p q
− + − +
+ +
   
 =      
   
 
Logo, deve-se ter p q 1,+ = o que implica em 
(p, q) (0,1)= ou (p, q) (1, 0).= Em consequência, a 
resposta é 
2 23 3 3 32 2 24.
0 1 1 0
       
  +   =       
       
 
 
 
Resposta da questão 2: 
[A] 
O termo geral do desenvolvimento de 
n
2 1x ,
2x
 
+ 
 
 
segundo as potências decrescentes de x, é 
k
2 n k 2n 3k
k 1 k
n n1 1
T (x ) x .
k k2x 2
− −
+
    
=   =      
    
 
Assim, os coeficientes dos três primeiros termos são: 1, 
n
2
 e 
n (n 1)
.
8
 −
 
Portanto, segue que 
2n n (n 1)2 1 n 9n 8 0 n 8.
2 8
 −
 = +  − + =  = 
 
 
Resposta da questão 3: 
01 + 16 = 17. 
 
Vamos supor que n seja um número natural. Desse 
modo, o termo geral do binômio 
n
2
3
k
x
x
 
+ 
 
 é igual a 
p
2 n p
p 1 3
p
2n 2p
p 3
7p
2n
p 3
n k
T (x )
p x
n
k x
p
n
k x .
p
−
+
− −
−
   
=    
   
 
=  
 
 
=  
 
 
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Logo, se 
3 2n 7 7nk x 280x ,
3
−  = 
 
 então n 7= e, 
portanto, temos 
3 37k 280 k 8 k 2.
3
 
=  =  = 
 
 
 
[01] Verdadeira. Com efeito, pois n 7= é um número 
primo. 
 
[02] Falsa. Temos n k 7 2 9 10.+ = + =  
 
[04] Falsa. Para que o desenvolvimento apresente pelo 
menos um termo independente de x, devemos ter 
7p
2n 0,
3
− = ou seja, 
7p
n .
6
= Em consequência, o 
desenvolvimento possui dois termos independentes 
de x. 
 
[08] Falsa. Tomando x 1,= segue que a soma dos 
coeficientes do binômio é igual a 
7
2 7
3
2
1 3 2187.
1
 
+ = = 
 
 
[16] Verdadeira. De fato, pois 
2 72 4 21 84.
2
 
 =  = 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
 
O termo geral de 
10x(2x 1)+ é dado por 
 
p 10 p p p 1
p 1
10 10
T x (2x) 1 2 x .
p p
− +
+
   
=    =     
   
 
 
 Assim, temos p 2= e, portanto, a resposta é 
210 10!2 4 180.
2 2! 8!
 
 =  = 
 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
a) Temos 
 
5 5 4 3 2
2 2 2 2
2 3 4 5
2 2
10 8 7 5 4 2
5 5 51 1 1 1 1 1 1
0 1 2x x xx x x x
5 5 51 1 1 1 1
3 4 5x x xx x
1 5 10 10 5 1
.
x x x x x x x x x
              
+ = + + +              
             
            
+ + +            
            
= + + + + +
 
 
b) O oitavo termo do binômio 
12
2
1 1
xx
 
+ 
 
 é 
 
5 7
8 2
10 3
13
12 1 1
T
7 xx
12! 1 1
7! 5! x x x
792
.
x x
    
=     
    
=  

=
 
 
Resposta da questão 6: 
[A] 
 
Substituindo cosx por a, tem-se: 
4 3 2a 4a 6a 4a 1 0,− + − + = o qual é o polinômio 
resultante de 
4(a 1) (a 1) (a 1) (a 1) (a 1) 0− = −  −  −  − = 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal polinômio é 
1. Ou seja, 
cosx 1
x 360 2π
=
=  =
 
 
Como a função cosseno é periódica, podemos dizer que a 
cada 360 tem-se uma nova raiz da função, ou seja, a 
cada 2k ,π onde k é um inteiro qualquer. 
 
 
Resposta da questão 7: 
[A] 
 
O termo de 
4y no desenvolvimento de ( )( )
10
1 x y+ + é 
( )
6 410 1 x y
4 
+  
 
 
O termo de 
4x no desenvolvimento de ( )
6
1 x+ é 
6 410 1 x
4
 
 
 
 
Portanto, o coeficiente de 
6x no desenvolvimento de 
( )
10
1 x y+ + é 
10 6
210 15 3150.
4 4
   
 =  =   
   
 
 
 
Resposta da questão 8: 
[E] 
 
( )
7 p p
3 7 p 4p 77 72 x 2 x
p px
−
− −      =      
    
 
 
Como o expoente de x é 5, temos 4p 7 5,− = isto é 
p 3.= Fazendo, agora, p 3,= temos: 
7 3 4 3 7 5 57 2 x 35 16 x 560x .
3
−  −    =   = 
 
 
 
Portanto, o coeficiente pedido é 560. 
 
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Resposta da questão 9: 
[B] 
 
O termo geral do binômio é 
 
8 p
p
p 1
8 p 2p 8
8 2
T x
p x
8!
2 x .
p! (8 p)!
−
+
− −
   
=     
  
=  
 −
 
 
O termo independente de x, se existir, é o natural p que 
torna o expoente de x igual a zero, ou seja, 
2p 8 0 p 4.− =  = 
Em consequência, o termo independente de x existe e é 
igual a 
 
8 4
5
4
8!
T 2
4! (8 4)!
8 7 6 5
2
4 3 2
1120.
−= 
 −
  
= 
 
=
 
Portanto, segue-se que o resultado é 1 1 2 0 4.+ + + = 
 
 
Resposta da questão 10: 
[C] 
A soma dos coeficientes de P é dada por 
5 5P(1) (1 1) 2 32.= + = = 
 
 
Resposta da questão 11: 
[B] 
O termo geral do binômio é dado por 
n p
p
p 1 2
n p
p
2n 2p
n p 3p 2n
n 2
T x
p x
n 2
x
p x
n
2 x .
p
−
+
−
−
− −
   
=     
  
 
=   
 
 
=   
 
 
Sabendo que o termo independente de x é o sétimo, 
segue que p 6= e, assim, 
n 6 18 2n
6 1
n
T 2 x .
6
− −
+
 
=   
 
 
Daí, impondo 18 2n 0,− = concluímos que n 9= e, 
portanto, 
 
9 6 3
7
9 9! 9 8 7
T 2 2 8 672.
6 6! 3! 3 2
−   =  =  =  = 
  
 
 
 
Resposta da questão 12: 
16. 
O termo geral do binômio 
n
3 1x
x
 
+ 
 
 é dado por 
k
3 n k
k 1
n k
3
k
n 4k
3
n 1
T ( x )
k x
n 1
x
k x
n
x .
k
−
+
−
−
   
=     
  
 
=   
 
 
=  
 
 
 
Sabendo que o quinto termo é independente de x, temos 
que k 4= e, portanto, 
 
n 4 4
0 n 16.
3
− 
=  = 
 
Resposta da questão 13: 
[C] 
 
O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: 
( )
p
12 p 3 12 4p12 12x x x
p p
− − −    =    
   
 
 
Para que T seja o termo independente do 
desenvolvimento de 
12
3
1
x ,
x
 
+ 
 
 devemos admitir 
12 4p 0 p 3− =  = 
Logo, 
12 12!
T 220
3 3! 9!
 
= = = 
 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
[B] 
 
 
Resposta da questão 15: 
[E] 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
x 1 ! x! x 1 x 2 ! x! x 1 (x 1) (x 1)
x 1
x 1 (x 1)x 2 ! x 1 ! x 2 ! x 1 x!
−  −  −  − +  −
= = = = −
+ +−  + −  + 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
[C] 
 
Desenvolvendo os fatoriais indicados, temos: 
035n2n35)2n(n35
)!1n()!1n(n
)!1n(n )!1n()2n( 2
2
22
=−+=+=
−+
−++ 
 
Resolvendo a equação, temos n 7= − (não convém) ou 
n 5.= 
 
Resposta: n 5.=