6 binomio de newton

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Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
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1. (Espcex (Aman) 2021) Qual o valor de n, 
no binômio n(x 3)+ para que o coeficiente 
do 5º termo nas potências decrescentes de 
x seja igual a 5670? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
2. (Ita 2020) A expansão decimal do número 
100! 100 99 2 1=   possui muitos 
algarismos iguais a zero. Contando da 
direita para a esquerda, a partir do dígito das 
unidades, o número de zeros, que esse 
número possui antes de um dígito não nulo 
aparecer, é igual a 
a) 20. 
b) 21. 
c) 22. 
d) 23. 
e) 24. 
 
3. (Efomm 2020) Assinale a alternativa que 
apresenta o termo independente de x na 
expansão binomial 
8
2
6
1
x .
x
 
+ 
 
 
a) 1 
b) 8 
c) 28 
d) 56 
e) 70 
 
4. (Uece 2020) O termo independente de x 
no desenvolvimento binomial de 
13
3
3
1
x x
x
 
 + 
 
 é 
a) 725. 
b) 745. 
c) 715. 
d) 735. 
 
5. (Mackenzie 2019) Se S {1, 2, 3, ,10},= 
o número de pares ordenados distintos, 
(A, B), em que A e B são subconjuntos, 
disjuntos, de S é 
a) 103 
b) 103 1− 
c) 93 
d) 102 1− 
e) 102 
 
6. (Uece 2019) O número inteiro n, maior 
do que 3, para o qual os números 
n n
,
1 2
   
   
   
 
e 
n
3
 
 
 
 estão, nessa ordem, em progressão 
aritmética é 
 
Observação: 
n n!
p p!(n p)!
 
= 
− 
 
a) n 6.= 
b) n 8.= 
c) n 5.= 
d) n 7.= 
 
7. (Epcar (Afa) 2018) O menor dos 
possíveis coeficientes do termo em 8x , no 
desenvolvimento de 2 3 10(2 x 3x )+ + é igual 
a 
a) 11.240 
b) 12.420 
c) 13.440 
d) 14.720 
 
8. (Espcex (Aman) 2018) Determine o valor 
numérico do polinômio 
4 3 2p(x) x 4x 6x 4x 2017= + + + + para 
x 89.= 
a) 53 213 009. 
b) 57 138 236. 
c) 61342 008. 
d) 65 612 016. 
e) 67 302100. 
 
9. (Espm 2018) No desenvolvimento do 
binômio n(x p y) ,+  com p e n naturais, o 
termo 6 2112x y é o terceiro quando feito 
com potências crescentes de y e o sétimo 
quando feito com potências crescentes de 
x. O valor de p n+ é igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
 
10. (Ita 2018) Sejam a e b números 
inteiros positivos. Se a e b são, nessa 
ordem, termos consecutivos 
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de uma progressão geométrica de razão 
1
2
 
e o termo independente de 
12
b
ax
x
 
− 
 
 é 
igual a 7.920, então a b+ é 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
11. (Fgv 2018) Uma aplicação financeira de 
C reais à taxa mensal de juros compostos 
de x% é resgatada depois de 8 meses no 
montante igual a 8C reais. Sendo assim, 
8C
C
 é um polinômio P(x) de grau 8 cujo 
coeficiente do termo em 5x será 
a) 870 10− 
b) 835 10− 
c) 1056 10− 
d) 1035 10− 
e) 1021 10− 
 
12. (Ime 2017) No desenvolvimento de 
10
1
x sen 2 cos 2
x
β β
 
 + 
 
 o valor do termo 
independente de x é igual a 63 256. 
Considerando que β é um número real, com 
0 8β π  e x 0, o valor de β é: 
a) 9π 
b) 12π 
c) 16π 
d) 18π 
e) 24π 
 
13. (Espcex (Aman) 2017) Determine o 
algarismo das unidades da seguinte soma 
2016
n 1
S n!,
=
=  em que n! é o fatorial do 
número natural n. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
14. (Espcex (Aman) 2017) O valor da 
expressão 
5 4 3 2E (999) 5 (999) 10 (999) 10 (999) 5 (999) 1= +  +  +  +  + 
é igual a 
a) 39 10 
b) 159 10 
c) 1510 
d) 999.999 
e) 15999 10 
 
15. (Uece 2017) O coeficiente de 6x no 
desenvolvimento de 
3 3
2
2
1 1
2x x
2xx
   
+  +   
  
 é 
a) 18. 
b) 24. 
c) 34. 
d) 30. 
 
16. (G1 - ifal 2017) O termo independente 
no desenvolvimento do binômio 
5
2
3
3
2x
x
 
− 
 
 é 
a) 720.− 
b) 360.− 
c) 0. 
d) 360. 
e) 720. 
 
17. (Fgv 2017) O coeficiente de 12x na 
expansão de 4 5 10(1 x x )+ + é igual a 
a) 120. 
b) 90. 
c) 81. 
d) 60. 
e) 54. 
 
18. (Mackenzie 2017) Sabendo que 
n
p 0
n
256,
p
=
 
= 
 
 então o valor de n vale 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
 
19. (Esc. Naval 2017) Se a 3 2= + e 
b 3 2,= − seja k o determinante da 
matriz 
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
,
1 1 1 b 1
1 1 1 1 b
+ 
 
−
 
 +
 
− 
 sendo 
assim, é correto afirmar que o coeficiente de 
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k 1x − no desenvolvimento 
3 3
2
2
1 1
2x x
2xx
   
+  +   
  
 é 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
 
20. (Esc. Naval 2016) O par ordenado 
(x, y) de números reais, x 0 e y 0, 
satisfaz ao sistema 
 
2 2
1 1 3
x y 4
1 1 5
16x y

+ =


 + =

 
 
em que x é o menor elemento do par. Se 
p 3x y,= + encontre o termo de ordem 
(p 1)+ do binômio 
15
2
2
5
x z
y
143
 
− 
 
 
 e 
assinale a opção correta. 
a) 10 5 2021x z y− 
b) 5 10 2021x z y 
c) 10 5 1021x z y− 
d) 32 10 2021x z y 
e) 10 5 2021x z y 
 
21. (Espcex (Aman) 2016) A solução da 
equação 
3!(x 1)! 182(x 2)! x!
4(x 3)! 2(x 2)!
− − −
=
− −
 é um 
número natural 
a) maior que nove. 
b) ímpar. 
c) cubo perfeito. 
d) divisível por cinco. 
e) múltiplo de três. 
 
22. (Fgvrj 2016) Um grupo de oito alunos 
está sendo liderado em um passeio por dois 
professores e, em determinado momento, 
deve se dividir em dois subgrupos. Cada 
professor irá liderar um dos subgrupos e 
cada aluno deverá escolher um professor. 
A única restrição é que cada subgrupo deve 
ter no mínimo um aluno. 
O número de maneiras distintas de essa 
subdivisão ser feita é 
a) 128. 
b) 64. 
c) 248. 
d) 254. 
e) 256. 
 
23. (Upf 2016) Desenvolvendo o binômio 
3n(2x 3y) ,− obtém-se um polinômio de 16 
termos. O valor de n é: 
a) 15 
b) 10 
c) 5 
d) 4 
e) 2 
 
24. (Uece 2016) Se n é um número natural 
maior do que dois, ao ordenarmos o 
desenvolvimento de 
n
2 1
x
2x
 
+ 
 
 segundo as 
potências decrescentes de x, verificamos 
que os coeficientes dos três primeiros 
termos estão em progressão aritmética. 
Nessas condições, o valor de n é 
a) 8. 
b) 6. 
c) 4. 
d) 10. 
 
25. (Ime 2016) O valor da soma abaixo é: 
 
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
           
+ + + + +           
           
 
a) 
2020
6
 
 
 
 
b) 
2020
7
 
 
 
 
c) 
2021
5
 
 
 
 
d) 
2021
6
 
 
 
 
e) 
2022
5
 
 
 
 
 
26. (Espcex (Aman) 2015) O termo 
independente de x no desenvolvimento de 
10
3
2
1
x
x
 
− 
 
 é igual a 
a) 110. 
b) 210. 
c) 310. 
d) 410. 
e) 510. 
 
27. (Uece 2015) As soluções, em , da 
equação 
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4 3 2cos x 4cos x 6cos x 4cosx 1 0− + − + = 
são 
 
Sugestão: use o desenvolvimento do 
binômio 4(p q) .− 
a) x 2k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
b) x (2k 1) ,π= + onde k é um inteiro 
qualquer. 
c) x k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
d) x (4k 1) ,π= + onde k é um inteiro 
qualquer. 
 
28. (Ufrgs 2014) Considere a configuração 
dos números dispostos nas colunas e linhas 
abaixo. 
 
 
C
o
lu
n
a
 0
 
C
o
lu
n
a
 1
 
C
o
lu
n
a
 2
 
C
o
lu
n
a
 3
 
C
o
lu
n
a
 4
 
C
o
lu
n
a
 5
 
C
o
lu
n
a
 6
 
C
o
lu
n
a
 7
 
.
.
. 
Lin
ha 
0 
1 
Lin
ha 
1 
1 1 
Lin
ha 
2 
1 2 1 
Lin
ha 
3 
1 3 3 1 
Lin
ha 
4 
1 4 6 4 1 
Lin
ha 
51 5 
1
0 
1
0 
5 1 
Lin
ha 
6 
1 6 
1
5 
2
0 
1
5 
6 1 
Lin
ha 
7 
1 7 
2
1 
3
5 
3
5 
2
1 
7 1 
... 
..
. 
..
. 
..
. 
..
. 
..
. 
..
. 
..
. 
..
. 
 
 
O número localizado na linha 15 e na coluna 
13 é 
a) 15. 
b) 91. 
c) 105. 
d) 120. 
e) 455. 
 
29. (Ita 2014) Para os inteiros positivos k e 
n, com k n, sabe-se que 
n n 1n 1
.
k k 1k 1
+   +
=   
++    
 Então, o valor de 
n n n n1 1 1
...
0 1 2 n2 3 n 1
       
+ + + +       
+       
 é 
igual a 
a) n2 1.+ 
b) n 12 1.+ + 
c) 
n 12 1
.
n
+ +
 
d) 
n 12 1
.
n 1
+ −
+
 
e) 
n2 1
.
n
−
 
 
30. (Esc. Naval 2013) O coeficiente de 5x 
no desenvolvimento de 
7
32
x
x
 
+ 
 
 é 
a) 30 
b) 90 
c) 120 
d) 270 
e) 560 
 
31. (Ita 2013) O coeficiente de 4 4x y no 
desenvolvimento de ( )
10
1 x y+ + é 
a) 3150 
b) 6300 
c) 75600 
d) 81900 
e) 151200 
 
32. (Unioeste 2013) O valor da expressão 
 
4 3 2 2 3 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3−   +   −   + 
 
é igual a 
a) 3153(153 3) 3.− + 
b) 4147 . 
c) 4 415 3 . 
d) 4153 . 
e) 4 415 10 . 
 
33. (Espm 2012) Para x e x 2, a 
expressão 
( )
( ) ( )
2
2
x 1 ! x!
x 2 ! x 1 !
− 
−  +
 é equivalente 
a: 
a) x 2− 
b) (x 2)!− 
c) (x 1)!− 
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d) x 
e) x 1− 
 
34. (Fgv 2012) O termo independente de x 
do desenvolvimento de 
12
3
1
x
x
 
+ 
 
 é 
a) 26. 
b) 169. 
c) 220. 
d) 280. 
e) 310. 
 
35. (G1 - ifal 2012) A expressão n(x y) ,+ 
com n natural, é conhecida como binômio 
de Newton. Seu desenvolvimento é dado 
assim: 
 
n n 0 n 1 1 n p p n n
n,0 n,1 n,p n,n(x y) C x y C x y C x y C x y− − −+ = + + + 
 
Por exemplo: 
3 3 0 3 1 1 3 2 2 3 3 3
3,0 3,1 3,2 3,3
3 2 2 3
(x y) C x y C x y C x y C x y
x 3x y 3xy y .
− − −+ = + + + =
= + + +
 
 
Assim, a expressão 2 24x 4xy y+ + 
corresponde a 
a) 2 0 1 1 0 2
2,0 2,1 2,2C (2x) y C (4x) y C (2x) y .+ + 
b) 2 0 1 1 0 2
2,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (4x) y .+ + 
c) 2 0 1 1 0 2
2,0 2,1 2,2C (x) y C (2x) y C (2x) y .+ + 
d) 2 0 1 1 0 2
2,0 2,1 2,2C (4x) y C (4x) y C (4x) y .+ + 
e) 2 0 1 1 0 2
2,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y .+ + 
 
36. (Uespi 2012) Qual o coeficiente de 7x 
na expansão de 2 4(2 3x x ) ?+ + 
a) 18 
b) 16 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
 
37. (Uern 2012) Qual é o valor do termo 
independente de x do binômio 
n
2
2
x ,
x
 
+ 
 
 
considerando que o mesmo corresponde ao 
sétimo termo de seu desenvolvimento? 
a) 435 
b) 672 
c) 543 
d) 245 
 
38. (Esc. Naval 2012) Seja m a menor raiz 
inteira da equação 
(x 1)(5x 7)
! 1.
3
− − 
= 
 
 
Pode-se afirmar que o termo médio do 
desenvolvimento de 3 12m( y z )− é 
a) 
3
18 2
12!
y z
6!6!
 
b) 3 1812!
y z
6!6!
−
 
c) 
15
452
30!
y z
15!15!
 
d) 
15
452
30!
y z
15!15!
−
 
e) 3 1812!
y z
6!6!
 
 
39. (G1 - ifal 2011) No desenvolvimento 
n
2 3
x ,
x
 
+ 
 
 n , os coeficientes 
binominais do quarto e do décimo terceiro 
termos são iguais. Então, o termo 
independente de x é o: 
a) décimo. 
b) décimo-primeiro. 
c) nono. 
d) décimo-segundo. 
e) oitavo. 
 
40. (Ita 2010) A expressão (2 3 5+ )5 – (2
3 5− )5 é igual a 
a) 2630 5 . 
b) 2690 5 . 
c) 2712 5 . 
d) 1584 15 . 
e) 1604 15 . 
 
41. (Uff 2010) Povos diferentes com escrita 
e símbolos diferentes podem descobrir um 
mesmo resultado matemático. Por exemplo, 
a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang 
Yui, publicado na China em 1303, que é 
equivalente ao Triângulo de Pascal, 
proposto por Blaise Pascal 352 anos depois. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
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Na expressão algébrica: 
 
100
100 2 99 100 n
0 1 2 99 100 n
n 0
(x 1) a a x a x a x a x a x
=
+ = +  +  + +  +  =  
 
o coeficiente 2a de 2x é igual a: 
a) 2 
b) 100 
c) 4.950 
d) 9.900 
e) 1002 
 
42. (Ufpr 2010) Identifique as afirmativas a 
seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
( ) Dada a função 
( ) ( ) ( ) ( )
1 x
f x log , então f 2 f 3 log 6 .
1 x
− 
= + = − 
+ 
 
( ) As raízes do número complexo 2 i são 
2 3 3
i são i .
2 2
 
 −  
 
 
( ) Para que 
( )
( )
2
n! 1
,
2n ! 10
= n deve ser igual a 
4. 
( ) É correta a igualdade 
4 2 3 1 3.+ = + 
 
Assinale a alternativa que apresenta a 
sequência correta, de cima para baixo. 
a) F – V – F – V. 
b) V – F – F – V. 
c) V – F – V – V. 
d) V – V – V – F. 
e) F – V – F – F. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
O termo geral do binômio é dado por: 
n p p
p 1
n
T x 3
p
−
+
 
=  
 
 
 
O 5º termo será dado quando p 4.= Logo: 
( )
( )( )( )
( )( )( )
n 4 4 n 4 4
5
n 4
5
n 4
5
n n!
T x 3 x 3
4 4! n 4 !
n n 1 n 2 n 3
T 81x
24
27n n 1 n 2 n 3
T x
8
− −
−
−
 
= = 
− 
− − −
= 
− − −
=
 
 
Igualando o seu coeficiente a 5670, 
chegamos a: 
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
4
27n n 1 n 2 n 3
5670
8
n n 1 n 2 n 3 1680
n n 1 n 2 n 3 2 3 5 7
n n 1 n 2 n 3 8 7 6 5
n 8
− − −
=
− − − =
− − − =   
− − − =   
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Note que, toda vez que aparecer 5 2, 
aparecerá um 0 (zero). 
 
O fator 5 aparece nos seguintes números: 
20 números
5,10,15, 20, 25, ...,100 
 
Note que: 
25 5 5
50 2 5 5
75 3 5 5
100 4 5 5
= 
=  
=  
=  
 
 
Então, o fator 5 aparece 20 4 24+ = vezes. 
 
Há mais fatores 2 do que fatores 5, logo, 
nas 24 vezes em que o 5 aparece, é 
possível fazer aparecer o fator 10, gerando 
um 0 (zero). 
 
Portanto, 100! possui, contados da direita 
para a esquerda, 24 zeros, antes de um 
dígito não nulo aparecer. 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
O termo geral de 
8
2
6
1
x
x
 
+ 
 
 é dado por: 
( ) ( )
p 8 p
2 6
2p 48 6p
8p 48
8
x x
p
8
x x
p
8
x
p
−
−
− +
−
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
Fazendo 8p 48 0,− = 
p 6= 
 
Daí, o termo independente de x na 
expansão binomial 
8
2
6
1
x
x
 
+ 
 
 é: 
8 8!
6 6! 2!
8 8 7 6!
6 6! 2 1
8 8 7 6!
6
 
= 
 
   
= 
  
   
= 
  6! 2 1
8
28
6
 
 
= 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
O termo geral do binômio é 
p
13 p3
p 1 3
52 13p
3
13 1
T (x x)
p x
13
x .
p
−
+
−
   
=      
  
 
=  
 
 
 
Desse modo, impondo 
52 13p
0,
3
−
= 
encontramos p 4= e, portanto, segue que 
a resposta é 
5
13
T
4
13!
4! 9!
715.
 
=  
 
=

=
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 8 de 15 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Seja A um subconjunto de S, com n 
elementos e n {0,1, ,10}. Logo, B pode 
ser qualquer subconjunto de S A− com 
10 n− elementos. 
Assim, para cada valor de n, existem 
10
n
 
 
 
 
maneiras de escolher os elementos de A e 
10 n
10 n
i 0
10 n
2
i
−
−
=
− 
= 
 
 modos de escolher um 
subconjunto de S A.− 
Em consequência, pelo Princípio 
Multiplicativo, existem 10 n10
2
n
− 
 
 
 
maneiras de escolher os subconjuntos A e 
B, com 0 n 10.  
 
A resposta é 
10
10 n 10 9 0
n 0
10
10
10 10 10 10
2 2 2 2
n 0 1 10
(2 1)
3 .
−
=
       
 =  +  + +        
       
= +
=

 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Do enunciado, 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
n n
n1 3
22
n! n!
n 2
3! n 3 ! 2! n 2 !
n n 1 n 2
n n n 1
6
6n n n 3n 2 6n n 1
n 6 n 3n 2 6n n 1
6 n 3n 2 6n 6
n 9n14 0
   
+   
    
=  
 
+ = 
 −  −
 −  −
+ =  −
+  − + =  −
 + − + =  −
+ − + = −
− + =
 
n 2= ou n 7= 
 
Como n 3, 
n 7= 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Pelo Teorema Multinomial, temos 
31 2
3 31 2
2 3 10 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
10!
(2 x 3x ) 2 (x ) (3x )
! ! !
10!
2 3 x .
! ! !
αα α
α αα α
α α α
α α α
+
+ + =   
 
=   
 


 
 
Logo, queremos encontrar os valores de 
1 2,α α e 3α que satisfazem o sistema 
1 2 3
2 3
10
.
2 3 8
α α α
α α
+ + =

+ =
 
 
Vejamos a tabela abaixo com as possíveis 
soluções e o respectivo termo T. 
 
1α 2α 3α T 
6 4 0 813440x 
7 1 2 8414720x 
 
A resposta é 13440. 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
4 3 2
4 3 2
4 0 3 1 2 2 1 3 0 4
4
4
4
p x x 4x 6x 4x 2017
p x x 4x 6x 4x 1 2016
4 4 4 4 4
p x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2016
0 1 2 3 4
p x x 1 2016
p 89 89 1 2016
p 89 90 2016
p 89 65610000 2016
p 89 65612016
= + + + +
= + + + + +
         
=  +  +  +  +  +         
         
= + +
= + +
= +
= +
=
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
O termo geral de ( )
n
x py+ é: 
( )
kn k k n k kn n
x py p x y
k k
− −   
  =     
   
 
 
Daí, 
kn
p 112, n k 6
k
 
 = − = 
 
 e k 2.= 
 
De k 2= e n k 6, n 8.− = = 
De kn
p 112, n 8
k
 
 = = 
 
 e k 2,= 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 9 de 15 
 
2
2
2
8
p 112
2
28p 112
p 4
 
 = 
 
=
=
 
 
Como p , 
p 2.= 
 
Assim, 
p n 2 8
p n 10
+ = +
+ =
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Do enunciado, 
a 2b= 
 
O termo geral de 
12
b
ax
x
 
− 
 
 é: 
( )
( )
( )
p
12 p
p
12 p 12 p
p
2
24 3p
p12 p 2
12 b
ax
p x
b12
a x
p
x
12
a b x
p
−
− −
−
−
   
  −   
  
− 
   
 
 
  −  
 
 
 
O termo independente de 
12
b
ax
x
 
− 
 
 é 
obtido tomando-se 
24 3p
0,
2
−
= ou seja, 
p 8.= 
Daí, 
( )
84
4 8
12
7920 a b
8
7920 495 a b
 
=   − 
 
=  
 
 
Mas, a 2b,= logo, 
( )
4 8
4 4 8
12
16 2b b
16 2 b b
b 1
= 
=  
=
 
 
Como b é positivo, 
b 1= 
 
De a 2b= e b 1,= 
a 2= 
 
Assim, 
a b 3+ = 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Calculando: 
8 8
8
8
8 3 5
5 8 10 5
8,3 10
Cx x
C C 1 1
100 C 100
x 8! x 8 7 6
termo x C 1 56 10 x
100 3! 5! 3 210
−
−
   
=  +  = +   
   
  
   =  = =   
  
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Utilizando o Binômio de Newton: 
( )
10 p
10 p101 1
x sen 2 cos 2 x sen 2 cos 2
px x
β β β β
−    
 + =       
    
 
 
Como x está multiplicando no primeiro 
termo e dividindo no segundo, para obter o 
termo independente é necessário que os 
expoentes de x sejam iguais. Ou seja: 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
5
independente
5 5 5
3 5
5 5 55
5
10 p p p 5
10 1
T x sen 2 cos 2
5 x
10 63 10 9 8 7 6 5! 7 9
sen 2 cos 2 sen 2 cos 2
5 256 5 4 3 2 5! 2 2
1 1 1
sen 2 cos 2 2 2sen 2 cos 2 sen 4
32 32 2
1
sen 4 0 4
82
β β
β β β β
β β β β β
ππβ β β
− = → =
   
=      
  
       
  = →   = 
     
  = →  = → =
= →   → =
6 24
π
β→ =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
2016
n 1
S n! 1 2 6 24 120 720 ...
=
= = + + + + + + 
 
O último algarismo da soma acima é igual 
ao último algarismo da soma: 
1 2 6 24 33,+ + + = já que a partir do fatorial 
de cinco todos os últimos algarismos valem 
zero. 
 
Portanto, o último algarismo da soma pedida 
é 3. 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
( )
5 4 3 2 5 5
5
3 15
E (999) 5 (999) 10 (999) 10 (999) 5 (999) 1 (1 999) 1000
10 10
= +  +  +  +  + = + = =
=
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 10 de 15 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Sendo 
p
3 p 3 p 3 3p
p 1 2
3 31
T (2x) 2 x ,
p px
− − −
+
    
=   =      
    
 
 
o termo geral de 
3
2
1
2x ,
x
 
+ 
 
 e 
 
q
2 3 q q 6 3q
q 1
3 31
T (x ) 2 x ,
q q2x
− − −
+
    
=   =      
    
 
 
o termo geral de 
3
2 1
x ,
2x
 
+ 
 
 e 
 
3 (p q) 9 3(p q)
p 1 q 1
3 3
T T 2 x .
p q
− + − +
+ +
   
 =      
   
 
 
Logo, deve-se ter p q 1,+ = o que implica em 
(p, q) (0,1)= ou (p, q) (1, 0).= Em 
consequência, a resposta é 
2 23 3 3 3
2 2 24.
0 1 1 0
       
  +   =       
       
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Utilizando a formula do termo geral temos: 
k
n k k 2 5 k
k 1 3
5 k 10 2k k 3k k 5 k 10 5k
n 5 3
T a b (2x )
k k x
5 5
2 x 3 x 3 2 (x)
k k
− −
+
− − − − −
     
=   =   =     
    
   
=     =      
   
 
 
Igualando o expoente a zero, pois 
procuramos o termo independente de x 
temos: 
10 5k 0 k 2− =  = 
 
Logo, o termo independente é o terceiro 
termo, pois k 1 2 1 3T T T+ += = e dessa 
maneira: 
2 5 2 0
3
5
T 3 2 (x) 10 9 8 720
2
− 
=    =   = 
 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Sendo 1 2,α α e 3α números naturais, 
temos 
31 2
32
4 5 10 4 5
1 2 3
54
1 2 3
10!
(1 x x ) 1 (x ) (x )
! ! !
10!
x .
! ! !
αα α
αα
α α α
α α α
+
+ + =   
 
= 
 


 
 
A fim de calcularmos o coeficiente de 12x , 
devemos resolver o sistema 
1 2 3
2 3
10
.
4 5 12
α α α
α α
+ + =

+ =
 
 
Portanto, como tal sistema possui solução 
única 1 2 3( , , ) (7, 3, 0),α α α = segue que a 
resposta é 
10!
120.
7! 3! 0!
=
 
 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
n
n
p 0
n n n n n
... 2
p 0 1 2 n
=
         
= + + + + =         
         
 
 
Assim, 
n
n 8
2 256
2 2
n 8
=
=
=
 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
Do enunciado, 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
k
1 1 1 b 1
1 1 1 1 b
1 1 a 1 1
1 a 1 1 1
k
1 1 1 b 1
1 1 1 1 b
1 1 a 1 a 1 1 a 1 1 1 a 1
k 1 1 1 a 1 b 1 1 1 1 1
1 1 1 a 1 1 1 1 b 1 1
1 1 a 1 1 a 1 1 a
k 1 1 a 1 b 1 1 1
1 1 a 1 1 1 b 1
+
−
=
+
−
−
+
= −
+
−
− −  + − +  − + 
= − −  − + −  − 
−  − −  − − 
− − − − − −
= − − + + − −
− + − − −
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 11 de 15 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
a a a
k a b 0
a 0 b
a a a
k a 1 b 0
1 0 b
1 1 1
k a a 1 b 0
1 0 b
b 1 1 0 1 1
k a
0 1 1 b 1 1
1 b 1
k a
1 1 b
k a 1 b 1 b 1 1
k a 1 b 1
k a a b a
k ab
− −
= −
−
− −
= − 
− −
= −  
−  − −  −
= − 
−  − − −  −
+
= − 
−
= −  +  − − 
= −  − −
= − + +
=
 
 
Então, 
( )
( ) ( )
2
2
22
k 3 2 3 2
k 3 2 3 2
k 3 2
k 9 2
k 7
= +  −
= +  −
= −
= −
=
 
De 
3 3
2
2
1 1
2x x ,
2xx
   
+  +   
  
 
( )
( )
3
2
2
3
2 2
2 2
3
3
3
3
3
3
3
6 3
3
3
2
3
3 9
6
3
3 9
1 1
2x x
2xx
1 1 1 1
2x x 2x x
2x 2xx x
1
2x 1 1
2x
1
2x 2
2x
4x 4x 1
2x
2x 1
2 x
1
2x 1
2 x
    
+  +    
   
 
 +  +  +  
 
 
+ + + 
 
 
+ + 
 
 + +
 
 
 
 
+ 
 

 +
 
 
O termo geral de ( )
6
32x 1+ é 
6 p 18 3p6
2 x .
p
− − 
  
 
 
 
Assim, o termo geral do desenvolvimento de 
( )
6
3
3 9
1
2x 1
2 x
 +

 é: 
 
6 p 18 3p
3 9
3 p 9 3p
6 1
2 x
p 2 x
6
2 x
p
− −
− −
 
   
 
 
  
 
 
 
Como k 7,= queremos o coeficiente de 6x , 
logo, 
9 3p 6
3p 3
p 1
− =
=
=
 
 
Dessa forma, o coeficiente procurado é: 
( )
3 1 2
3 1
3 1
6 6!
2 2
1 1! 6 1 !
6
2 6 4
1
6
2 24
1
−
−
−
 
 =  
 − 
 
 =  
 
 
 = 
 
 
 
Resposta da questão 20: 
 [E] 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 12 de 15 
 
( )
2 2
2 2 2 2
15 10
2 10
2 10
p 1 11 5
11 2 91 1 3
xy 16x y 4 x y 2 9 5 2 4
xy 8
1 1 5 1 1 5 xy 16 16 xy 16
16 16x y x y
1 1 3
x y 6 x 2x y 3
x y 4
xy 8 y 48 4
xy 8
p 3x y p 3 2 4 p 10
15 x z
T T y 21x
10 143
−
+

+ + =+ = 
 
→ → = − → = → = 
 + = + =
  

+ = + = =+
→ = → → 
= = =
= + → =  + → =
  
= =  − =     
5 20z y
 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
2
2 2
3! (x 1)! 182 (x 2)! x! 3! (x 1) (x 2) 182 x(x 1)
6(x 1)(x 2) 364 2x 2x
4 (x 3)! 2 (x 2)! 4 2
8x 20x 352 0 8x 5x 88 0
5 27
x x 8 ou x 11/2 (não convém)
2
 −  − −  −  − − −
=  =  − − = − +
 −  −
 − − =  − − =

=  = = −
 
 
Portanto, 8 é um cubo perfeito. 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
Considerando dois grupos A e B. 
Portanto, o número de maneiras de se 
formar os grupos A ou B será dado por: 
88 8 8 6 8 8 8 8 8
2 256 1 1 254
1 2 3 4 5 6 7 0 8
                 
+ + + + + + = − − = − − =                 
                 
 
 
Portanto, o número de maneiras de se 
realizar a divisão pedida será dada por 254. 
 
Resposta da questão 23: 
 [C] 
 
3n(2x 3y)− possui 16 termos, então: 
3n 1 16 n 5+ =  = 
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
O termo geral do desenvolvimento de 
n
2 1
x ,
2x
 
+ 
 
 segundo as potências 
decrescentes de x, é 
 
k
2 n k 2n 3k
k 1 k
n n1 1
T (x ) x .
k k2x 2
− −
+
    
=   =      
    
 
 
Assim, os coeficientes dos três primeiros 
termos são: 1, 
n
2
 e 
n (n 1)
.
8
 −
 
 
Portanto, segue que 
 
2n n (n 1)
2 1 n 9n 8 0 n 8.
2 8
 −
 = +  − + =  = 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
Utilizando a Relação de Stifel, pode-se 
escrever: 
n n n 1
Relação de Stifel
p p 1 p 1
+     
→ + =     
+ +     
 
 
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
2016 2016 2017 2018 2019 2020
5 6 5 5 5 5
2017 2017 2018 2019 2020
6 5 5 5 5
           
+ + + + + =           
           
           
+ + + + + =           
           
        
+ + + +        
        
2018 2018 2019 2020 2019 2019 2020 2020 2020 2021
6 5 5 5 6 5 5 6 5 6

=

                   
+ + + = + + = + =                   
                   
 
 
Resposta da questão 26: 
 [B] 
 
Qualquer termo do desenvolvimento do 
binômio será dado por: 
( ) ( ) ( )
10 p p p3 2 30 5p10 10
x x 1 x
p p
−
− −   
  − = −    
   
 
 
Para que o termo acima seja independente 
de x devemos ter: 
30 5p 0 p 6− =  = 
 
Fazendo agora p = 6, temos: 
( )
6 30 5 610 10!
1 x 210
6 4! 6!
−  
−  = = 
 
 
 
Resposta da questão 27: 
 [A] 
 
Substituindo cosx por a, tem-se: 
4 3 2a 4a 6a 4a 1 0,− + − + = o qual é o 
polinômio resultante de 
4(a 1) (a 1) (a 1) (a 1) (a 1) 0− = −  −  −  − = 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de 
tal polinômio é 1. Ou seja, 
cosx 1
x 360 2π
=
=  =
 
 
Como a função cosseno é periódica, 
podemos dizer que a cada 360 tem-se 
uma nova raiz da função, ou seja, a cada 
2k ,π onde k é um inteiro qualquer. 
 
Resposta da questão 28: 
 [C] 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
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A tabela acima é o famoso triângulo de 
Pascal. 
15 15! 15 14
105
13 2! 13! 2
  
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 29: 
 [D] 
 
n 1
n 1
n n n n1 1 1
...
0 1 2 n2 3 n 1
n n n nn 1 n 1 n 1 n 1
...
1 2 3 n0 1 2 n
n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
...
1 2 3 n 1
n 1
n 1
2
0 2 1
.
n 1 n 1
+
+
       
+ + + + =       
+       
       + + + +
+ + + +       
       
=
+
+ + + +       
+ + + +       
+       
= =
+
+ 
−  
− 
= =
+ +
 
 
Resposta da questão 30: 
 [E] 
 
( )
7 p p
3 7 p 4p 77 72
x 2 x
p px
−
− −    
  =      
    
 
 
Como o expoente de x é 5, temos 
4p 7 5,− = isto é p 3.= Fazendo, agora, 
p 3,= temos: 
7 3 4 3 7 5 57
2 x 35 16 x 560x .
3
−  − 
  =   = 
 
 
 
Portanto, o coeficiente pedido é 560. 
 
Resposta da questão 31: 
 [A] 
 
O termo de 4y no desenvolvimento de 
( )( )
10
1 x y+ + é ( )
6 410
1 x y
4
 
+  
 
 
O termo de 4x no desenvolvimento de 
( )
6
1 x+ é 6 410
1 x
4
 
 
 
 
Portanto, o coeficiente de 6x no 
desenvolvimento de ( )
10
1 x y+ + é 
10 6
210 15 3150.
4 4
   
 =  =   
   
 
 
Resposta da questão 32: 
 [E] 
 
4 3 2 2 3 4 4 4 4 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3 (153 3) 150 15 10 .−   +   −   + = − = =  
 
Resposta da questão 33: 
 [E] 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
x 1 ! x! x 1 x 2 ! x! x 1 (x 1) (x 1)
x 1
x 1 (x 1)x 2 ! x 1 ! x 2 ! x 1 x!
−  −  −  − +  −
= = = = −
+ +−  + −  + 
 
 
Resposta da questão 34: 
 [C] 
 
O termo Geral do Binômio de Newton será 
dado por: ( )
p
12 p 3 12 4p12 12
x x x
p p
− − −   
 =    
   
 
 
Para que T seja o termo independente do 
desenvolvimento de 
12
3
1
x ,
x
 
+ 
 
 devemos 
admitir 12 4p 0 p 3− =  = 
Logo, 
12 12!
T 220
3 3! 9!
 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 35: 
 [E] 
 
2 0 1 1 0 2 2 2 2
2,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y (2x y) 4x 4xy y+ + = + = + + 
 
Resposta da questão 36: 
 [D] 
 
Reescrevendo o polinômio, obtemos 
 
31 2
2 31 2
2 4 2
1 2 3
2
1 2 3
4!
(2 3x x ) 2 (3x) (x )
! ! !
4!
2 3 x .
! ! !
αα α
α αα α
α α α
α α α
+
+ + =   
 
=   
 


 
 
Para que o expoente de x seja 7, devemos 
ter 1 2 3 4 + + = e 2 32 7. +  = Desse 
modo, como 1 2 3( , , ) (0,1,3)   = é a única 
terna coordenada que satisfaz essas 
condições, temos que o coeficiente de 7x é 
dado por 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 14 de 15 
 
0 14!
2 3 12.
0! 1! 3!
  =
 
 
 
Resposta da questão 37: 
 [B] 
 
O termo geral do binômio é dado por 
 
n p
p
p 1 2
n p
p
2n 2p
n p 3p 2n
n 2
T x
p x
n 2
x
p x
n
2 x .
p
−
+
−
−
− −
   
=     
  
 
=   
 
 
=   
 
 
 
Sabendo que o termo independente de x é 
o sétimo, segue que p 6= e, assim, 
 
n 6 18 2n
6 1
n
T 2 x .
6
− −
+
 
=   
 
 
 
Daí, impondo 18 2n 0,− = concluímos que 
n 9= e, portanto, 
 
9 6 3
7
9 9! 9 8 7
T 2 2 8 672.
6 6! 3! 3 2
−   
=  =  =  = 
  
 
 
Resposta da questão 38: 
 [E] 
 
Sabendo que 0! 1= e 1! 1,= vem 
 
(x 1)(5x 7) 7
0 x 1 ou x
3 5
− −
=  = = 
 
ou 
 
2(x 1)(5x 7)
1 5x 12x 4 0
3
2
x 2 ou x .
5
− −
=  − + =
 = =
 
 
Donde concluímos que m 1.= 
 
Assim, como o termo geral de 3 12( y z )− é 
 
p
p 3 12 p 12 p 36 3p2
12 12
( y ) ( z ) ( 1) y z ,
p p
− − −   
− = −   
   
 
 
e o termo médio é tal que 
 
12
p 1 1 p 6,
2
+ = +  = 
 
concluímos que o termo médio é igual a 
 
6
12 6 36 3 6 3 182
12 12!
( 1) y z y z .
6 6!6!
− −  
− = 
 
 
 
Resposta da questão 39: 
 [B] 
 
O termo geral do binômio 
n
2 3
x
x
 
+ 
 
 é 
p
2 n p
p 1
n 3
T (x ) .
p x
−
+
   
=     
  
 
 
Se os coeficientes binominais do quarto e do 
décimo terceiro termos são iguais, então 
n n
n 3 12 15.
3 12
   
=  = + =   
   
 
 
Logo, 
p
2 15 p
p 1
p
30 2p
p
30 3p p
15 3
T (x )
p x
15 3
x
p x
15
x 3
p
−
+
−
−
   
=     
  
 
=   
 
 
=   
 
 
 
Como o desenvolvimento do binômio 
apresenta um termo independente de x, 
deve-se ter 
30 3p 0 p 10.− =  = 
 
Portanto, o termo pedido é o décimo 
primeiro. 
 
Resposta da questão 40: 
 [B] 
 
Utilizando o Binômio de Newton, temos 
 
(a + b) 5 = a5 + 5.a4.b+10.a 3.b2 + 10.a 2.b2 + 
5.a.b4 + b5
 
(a - b) 5 = a5 - 5.a4.b + 10.a 3.b2 - 10.a 2.b2 + 
5.a.b4 - b5 
(a + b) 5 - (a - b)5 = 10a 4.b + 20.a 2.b3 + 2b5 
 
Logo: 
 
( ) ( ) 532455
5.25.)32.(205.)32.(10532532 ++=−−+ 
 Lista de Exercícios: Matemática | Binômio de Newton 
Página 15 de 15 
 
( ) ( ) 5505120051440532532
55
++=−−+ 
( ) ( ) 52690532532
55
=−−+ 
 
Resposta da questão 41: 
 [C] 
 
100 p 100 p100
T x 1
p
100 p 2 p 98
− − 
=  
 
− =  =
 
 
Fazendo p 98,= temos: 
2 98 2100
T x 1 T 4.950x
98
 
=    = 
 
 
 
Logo, o coeficiente de 2x é 4.950. 
 
Resposta da questão 42: 
 [B] 
 
(Verdadeira) 
11 2 1 3 1
log log log log6 log6
1 2 1 3 6
−− −    
+ = = = −   
+ +    
-1 -2
log .log =
3 4
(o gabarito oficial considerou esta questão 
como certa, mas não existe logaritmo de 
número negativo. A passagem assinalada 
contraria a definição. 
(Falsa) 
2
3 i 3 3i
2 2 2
 
+ =  
 
 
(Falsa) Fazendo n = 4 temos 
4! 1
8! 1680
= 
(Verdadeira) 
( )
2
1 3 1 2 3 3 1 3 4 2 3+ = + +  + = +