Avaliação Parcial 01

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA DISCRETA 
 AVALIAÇÃO PARCIAL - 01 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) Prove que: “Se x e y são inteiros e x + y é ímpar, então (x + y) 2 também é ímpar”. 
R = Para provar o teorema dessa questão, irei dar valores a x e y, tal que, x = 6 e y = 1; 
O teorema nos diz que a soma de x e y resulta em um número ímpar e que (x + y)2 também 
resulta em um número ímpar. Então no primeiro caso irei fazer assim: 
 (6 + 1)2 = (7)2 = 49 
Nesse caso resultou em um número ímpar tal como o teorema diz, porém ele não se limita 
somente a números positivos, pois são inteiros, e os negativos também fazem parte, então 
irei fazer outros dois exemplos usando números negativos para provar o teorema. 
 (-45 + 48)2 = (3)2 = 9 (-45 – 48)2 = (-93)2 = 8649 
Provando então ser verdade o teorema acima nesses três casos. 
2) Prove que: “Sejam a, b, c inteiros, a ≠ 0, se a | b e a | c, então a2 | bc.” 
R = Para provar esse teorema irei escolher valores para a, b e c, tal que, a = 2, b = 2 e c = 
3; Ficando assim: 
 a | b  2 | 2  2 divide 2, pois 2 = 2 * 1, tal que 2 / 2 = 1; 
a | c  2 | 3  2 não divide 3, e não existe um inteiro “d” pertencente aos 
inteiros tal que 3 = 2 * d, resultando então em um número fracionário 1,5  
2 ∤ 3; 
a2 | bc  2 | 2x3  2 | 6  2 divide 6, pois 6 = 2 * 3, tal que 6 / 2 = 3; 
Nesse exemplo a não divide c como observado porém se mudarmos as os valores das 
variáveis teremos a = 2, b = 4 e c = 6, onde: 
 a | b  2 | 4  2 divide 2, pois 2 = 2 * 1, tal que 2 / 2 = 1; 
a | c  2 | 6  2 divide 6, pois 6 = 2 * 3, tal que 6 / 2 = 3; 
a2 | bc  2 | 4x6  2 | 24  2 divide 24, pois 24 = 2 * 12, tal que 24 / 2 = 12; 
Nesse exemplo temos a prova do nosso teorema como verdadeiro, e como se trata de 
números inteiros também é válido para números negativos. 
 
3) Calcule os valores de −32 div 5 e de −32 mod 5, exibindo os cálculos da sua divisão. 
Justifique os resultados encontrados de acordo com o Algoritmo da Divisão. 
R = -32 |5 “ Feito a divisão temos como resultado que -32 = (-6) * 5 – 2, 
 +30 -6 -32 div 5 = -6 e -32 mod 5 = -2, satisfazendo assim o algoritmo de 
 -2 divisão, d > 0  5 > 0; 0 ≤ r < d  0 ≤ -2 < 5.” 
4) Prove que: “Sejam a, b inteiros, se a ≡ b (mod 2), então a2 + b2 é par”. 
R = Para provar o teorema irei dar valores para a e b, tal que, a = 50 e b = 30; 
50 ≡ 30 (mod 2) se e somente se 2 | (50 – 30)  20 / 2 = 10 onde 502 + 302 = 2500 + 
900 = 3400 que é um número par; 
5) Resolva os itens abaixo indicando todos os cálculos necessários e explicando seus 
passos. 
a) Encontre a fatoração do número 273: 
273 3 R = 1 * 3 * 7 * 13 = 273 
 91 7 
 13 13 
 1 1 
 
b) Utilizando a fatoração obtida no Item a, descubra quantos divisores positivos o número 
273 tem. Em seguida, liste todos os divisores positivos de 273. 
 
 R = 273 = 31 * 71 *131 = (1 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 8 divisores de 273 
 
 30 * 70 * 13*0 = 1 31 * 70 * 13*0 = 3 30 * 71 * 13*0 = 7 30 * 70 * 13*1 = 13 
 31 * 71 * 13*0 = 21 31 * 70 * 13*1 = 39 30 * 71 * 13*1 = 91 31 * 71 * 13*1 = 273 
 
c) Verifique se o número 703 é primo. 
 
R = 703 é composto pois seus divisores positivos são 1, 19, 37 e 703 onde 1 < 19 < 37 < 
703. 
 703 37 37 * 19 * 1 = 703 
 19 19 
 1 1 
 
d) Fatores os números 495 e 726. Utilize estas fatorações para calcular os valores de 
mdc(495, 726) e mmc(495, 726). e) Encontre todos os divisores positivos comuns de 495 
e 726. 
 
R = 495 3 495 = 3 * 3 * 5 *11 = 32 * 5 * 11 726 2 726 = 2 * 3 * 11 * 11 = 2 * 3 * 112 
 165 3 363 3 
 55 5 121 11 
 11 11 11 11 
 1 1 1 1 
 495 = 32 * 51 * 111 = (2 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 12 divisores de 495 
 
 30 * 50 * 110 = 1 31 * 50 * 110 = 3 30 * 51 * 110 = 5 30 * 50 * 111 = 11 
 31 * 51 * 110 = 15 31 * 50 * 111 = 33 30 * 51 * 111 = 55 31 * 51 * 111 = 165 
 32 * 50 * 110 = 9 32 * 51 * 110 = 45 32 * 50 * 111 = 99 32 * 51 * 111 = 495 
 
 726 = 21 * 31 * 112 = (1 + 1) * (1 + 1) * (2 + 1) = 12 divisores de 726 
 20 * 30 * 110 = 1 21 * 30 * 110 = 2 20 * 31 * 110 = 3 20 * 30 * 111 = 11 
 21 * 31 * 110 = 6 21 * 30 * 111 = 22 20 * 31 * 111 = 33 21 * 31 * 111 = 66 
 20 * 30 * 112 = 121 20 * 31 * 112 = 363 21 * 30 * 112 = 242 21 * 31 * 112 = 726 
 
 
Divisores de 495 = 1, 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 99, 165, 495; 
Divisores de 726 = 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726; 
 
MDC(495, 726) = 33; MMC(495,726) = 359.270 = 21 * 33 * 51 * 113 
 
6) Seja R ⊆ Z × Z tal que R = {(x, y) | x − y é divisível por 3}, avalie as afirmações 
abaixo. Em cada caso, você deve oferecer uma prova para a sua conclusão. 
 
Z×Z = {..........(-3, -3), (-2,-2), (-2,-1,), (-1,-2), (-1,-1), (-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0), 
(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3, 3).........} 
 
R = {.........(-9, -3), (-6, -6), (-6, -3), (-3, -3), (-3, 0), (0, -3), (0, 0), (3, 3), (3, 0), (0, 3), 
(6, 3), (3, 6), (9, 6), (9, 9), (12, 9).......] 
 
a) “R é reflexiva”: 
R = {...........(-9, 9), (-6, 6), (-3, 3), (0, 0), (3, -3), (6, -6), (9, -9).......} 
 
b) “R é simétrica”: 
R = {.....(-9, -9), (-6, -6), (-3, -3), (0, 0), (3, 3), (6, 6), (9, 9)......} 
 
c) “R é antissimétrica”: 
R = {.....(-9, -9), (-6, -6), (-3, -3), (0, 0), (3, 3), (6, 6), (9, 9)......} 
 
Obs.: Essa relação R pode ser tanto simétrica quanto antissimétrica nos itens b e c. 
 
d) “R é transitiva”: 
R = {.....(-9, -6), (-9, -3), (-9, 0), (-6, -3), (-6, 0), (-3, 0), (3, 6), (3, 9), (6, 9), (9, 3).....} 
 
Questão Bônus 1) Suponha que a e b sejam inteiros ímpares, com a ≠ b. Mostre que 
existe um único inteiro c tal que |a − c| = |b − c|. 
 
R = Para provar esse teorema irei escolher valores para a, b e c, tal que a = 99, b = 103 e 
c = 101; onde |a − c| = |b − c|. 
|99 – 101| = |103 – 101| 
|-2| = |2| 
2 = 2 
Com isso temos que a subtração dos dois módulos resulta em 2 = 2. 
 
Questão Bônus 2) Seja S um conjunto qualquer e R ⊆ S × S uma relação binária em S, 
definimos a relação R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}. Prove que: “R é uma relação simétrica se 
e somente se R−1 é uma relação simétrica.” 
 
R = Para essa questão irei usar como prova um conjunto com números inteiros, ficando: 
 
R-1 = {.......(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3).......} 
R = {.........(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)........}