Aula_7_-_Rigidez_Estrutural

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Formulação do MEF
Através de um Elemento
de Treliça: 
Matriz de Rigidez Estrutural
Profª Lucia Helena G. Cardoso
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Relações de Rigidez Estrutural: Condições de contorno, solução das 
equações e análise dos resultados
Exemplo: Determine a matriz de rigidez estrutural e o deslocamento nodal da
estrutura reticulada, considerada como treliça a seguir.
Dados: E = 200 GPa e A = 5800 mm2
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
250 kN
) 60º
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo I: Modelo analítico
250 kN
) 60º
Y
X
𝑷𝟏
𝑷𝟐
Nó
Elemento
Estrutura original
Modelo analítico
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo I: Apenas o nó 4 está livre para se deslocar, gerando 2 graus de liberdade
𝑷𝟏, 𝒅𝟏
𝑷𝟐, 𝒅𝟐
Modelo analítico Deslocamento Nodal
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
𝑷𝟏, 𝒅𝟏
𝑷𝟐, 𝒅𝟐
Modelo analítico
Y
X
Elemento 1
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
onde: , e
tal que 𝑋𝑖, 𝑌𝑖 e 𝑋𝑓, 𝑌𝑓 são as coordenadas globais (X,Y) para os nós
inicial e final respectivamente.
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑖
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑖
𝐿
𝐿 = (𝑋𝑓−𝑋𝑖)
2 + (𝑌𝑓−𝑌𝑖)
2
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
Y
X
- Cálculo para o elemento 1
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑖
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑖
𝐿
𝐿 = (𝑋𝑓−𝑋𝑖)
2 + (𝑌𝑓−𝑌𝑖)
2
- Identificando as coordenadas:
- Nó inicial: 1
𝑋1 = 0 𝑌1 = 0
- Nó final: 4
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋4 − 𝑋1
𝐿
=
6 − 0
10
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌4−𝑌1
𝐿
=
8−0
10
𝐿 = (𝑋4−𝑋1)
2 + (𝑌4−𝑌1)
2 = (6 − 0)2+(8 − 0)2= 36 + 64 = 100
- Coordenadas: 𝑋1 = 0 𝑌1 = 0
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
- Substituindo:
𝐿 =10 m
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,6 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,8
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
- Substituindo:
𝐿 =10 m𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,6 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,8
E = 200 GPa e A = 5800 mm2
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
KG =
200.106 .(5800.10−6)
10
.
0,6² 0,6.0,8 −0,6²
0,8.0,6 0,8² −0,8.0,6
−0,6²
−0,8.0,6
−0,6.0,8
−0,8²
0,6²
0,8.0,6
−0,6.0,8
−0,8²
0,6.0,8
0,8²
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
X Y
Nó inicial
X
Y
X Y
Nó final
X
Y
Graus de liberdade:
Nó inicial
Nó final
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
0 0
Nó 1
0
0
1 2
Nó 4
1
2
Graus de liberdade:
Nó 1
Nó 4
KG = 1,16.105.
0,6² 0,6.0,8 −0,6²
0,8.0,6 0,8² −0,8.0,6
−0,6²
−0,8.0,6
−0,6.0,8
−0,8²
0,6²
0,8.0,6
−0,6.0,8
−0,8²
0,6.0,8
0,8²
Pedaço da matriz de rigidez da 
estrutura devido ao elemento 1 [S1]
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 1
𝑆1 = 1,16.10
5.
0,6² 0,6.0,8
0,8.0,6 0,8²
𝑆1 =
41760 55680
55680 74240
Matriz de rigidez estrutural devido ao elemento 1
KG = 1,16.105.
0,6²
0,8.0,6
0,6.0,8
0,8²
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
Y
X
- Cálculo para o elemento 2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑖
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑖
𝐿
𝐿 = (𝑋𝑓−𝑋𝑖)
2 + (𝑌𝑓−𝑌𝑖)
2
- Identificando as coordenadas:
- Nó inicial: 2
𝑋2 = 6 𝑌2 = 0
- Nó final: 4
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋4 − 𝑋2
𝐿
=
6 − 6
8
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌4−𝑌2
𝐿
=
8−0
8
𝐿 = (𝑋4−𝑋2)
2 + (𝑌4−𝑌2)
2 = (6 − 6)2+(8 − 0)2= 64
- Coordenadas: 𝑋2 = 6 𝑌2 = 0
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
- Substituindo:
𝐿 =8 m
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
- Substituindo:
𝐿 =8 m𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 =1
E = 200 GPa e A = 5800 mm2
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
KG =
200.106 .(5800.10−6)
8
.
0 0 0
0 1 0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
1
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
X Y
Nó inicial
X
Y
X Y
Nó final
X
Y
Graus de liberdade:
Nó inicial
Nó final
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
KG = 1,45.105.
0 0 0
0 1 0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
1
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
0 0
Nó 2
0
0
1 2
Nó 4
1
2
Graus de liberdade:
Nó 2
Nó 4
Pedaço da matriz de rigidez da 
estrutura devido ao elemento 2 [S2]
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 2
𝑆2 = 1,45.10
5.
0 0
0 1
𝑆2 =
0 0
0 145000
Matriz de rigidez estrutural devido ao elemento 2
KG = 1,45.105.
0
0
0
1
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
Y
X
- Cálculo para o elemento 3
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑖
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑖
𝐿
𝐿 = (𝑋𝑓−𝑋𝑖)
2 + (𝑌𝑓−𝑌𝑖)
2
- Identificando as coordenadas:
- Nó inicial: 3
𝑋3 = 0 𝑌3 = 8
- Nó final: 4
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
𝑐𝑜𝑠𝜃=
𝑋4 − 𝑋3
𝐿
=
6 − 0
6
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌4−𝑌3
𝐿
=
8−8
6
𝐿 = (𝑋4−𝑋3)
2 + (𝑌4−𝑌3)
2 = (6 − 0)2+(8 − 8)2= 36
- Coordenadas: 𝑋3 = 0 𝑌3 = 8
𝑋4 = 6 𝑌4 = 8
- Substituindo:
𝐿 =6 m
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
- Substituindo:
𝐿 = 6 m𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 =0
E = 200 GPa e A = 5800 mm2
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
KG =
200.106 .(5800.10−6)
6
.
1 0 −1
0 0 0
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
KG =
𝐸𝐴
𝐿
.
𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛²𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠²𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛²𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
X Y
Nó inicial
X
Y
X Y
Nó final
X
Y
Graus de liberdade:
Nó inicial
Nó final
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
KG = 193.333 ×
1 0 −1
0 0 0
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
0 0
Nó 3
0
0
1 2
Nó 4
1
2
Graus de liberdade:
Nó 3
Nó 4
Pedaço da matriz de rigidez da 
estrutura devido ao elemento 3 [S3]
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo para o elemento 3
𝑆3 = 193.333 ×
1 0
0 0
𝑆3 =
193.333 0
0 0
Matriz de rigidez estrutural devido ao elemento 3
KG = 193.333 ×
1
0
0
0
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo II: Matriz de Rigidez da Estrutura
- Cálculo da Matriz de Rigidez da Estrutura [S]
𝑆3 =
193.333 0
0 0
Matriz de rigidez estrutural
𝑆1 =
41760 55680
55680 74240
𝑆2 =
0 0
0 145000
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 𝑆 =
41760 55680
55680 74240
+
0 0
0 145000
+
193.333 0
0 0
𝑆 =
41760 + 0 + 193.3333 55680 + 0 + 0
55680 + 0 + 0 74240 + 1450000 + 0
𝑆 =
235.093 55680
55680 219.240
kPa.m
P
ro
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Passo III: Deslocamento Nodal da Estrutura
- Carga no nó 4
250 kN
) 60º
𝑷𝟏
𝑷𝟐
𝑃1 = 250 𝑐𝑜𝑠60° = 125𝑘𝑁
𝑃2 = 250 𝑠𝑒𝑛60° = 216,51𝑘𝑁
- Vetor carga no nó 4
𝑃 =
125
−216,51
𝑘𝑁
- Deslocamento nodal estrutural
𝑷 = 𝑺 . {𝒅}
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
𝑃 =
125
−216,51
𝑘𝑁𝑷 = 𝑺 . {𝒅}
𝑆 =
235.093 55.680
55.680 219.240
kPa.m
Substituindo:
125
−216,51
=
235.093 55.680
55.680 219.240
. 
𝑑1
𝑑2
125
−216,51
=
235.093𝑑1 + 55.680𝑑2
55.680𝑑1 + 219.240𝑑2
Passo III: Deslocamento Nodal da Estrutura
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
De: temos125
−216,51
=
235.093𝑑1 + 55.680𝑑2
55.680𝑑1 + 219.240𝑑2
235.093𝑑1 + 55.680𝑑2 = 125
55.680𝑑1 + 219.240𝑑2 = −216,51
Eq. (1)
Eq. (2)
De (1): 𝑑1 =
125 − 55.680𝑑2
235.093
𝑑1 = 5,32.10
−4 − 0,237. 𝑑2
Em (2): 55.680(𝟓, 𝟑𝟐. 𝟏𝟎−𝟒 − 𝟎, 𝟐𝟑𝟕. 𝒅𝟐) + 219.240𝑑2 = −216,51
Passo III: Deslocamento Nodal da Estrutura
P
ro
fª
L
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
55.680(5,32.10−4 − 0,237. 𝑑2) + 219.240𝑑2 = −216,51
29,6 − 1,32.104. 𝑑2 + 219.240𝑑2 = −216,51
𝑑2 =
−216,51 − 29,6
2,06.105
= −1,19.10−3 𝑑2 = −1,19 mm
Em 𝑑1 : 𝑑1 = 5,32.10
−4 − 0,237. 𝑑2
𝑑1 = 5,32.10
−4 − 0,237.(−𝟏, 𝟏𝟗. 𝟏𝟎−𝟑)
𝑑1 = 8,14.10
−4m
𝑑1 = 0,81 𝑚𝑚
Passo III: Deslocamento Nodal da Estrutura
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Formulação do MEF Através de um Elemento 
de Treliça 
Estrutura original
Estrutura deformada
𝒅𝟏 = 𝟎, 𝟖𝟏𝒎𝒎
𝒅𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟗𝒎𝒎
250 kN
) 60º
Passo III: Deslocamento Nodal da Estrutura
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Exercícios 
de Revisão
Profª Lucia Helena G. Cardoso
P
ro
fª
L
u
ci
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