C1 Lista Semanal 3 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Questão 1. Considere a função f(x) =
x2 − 4
x− 2
e g(x) =
√
x. Qual o domínio da
função composta g ◦ f? Qual o valor do limite lim
x→2
g(f(x))?
Solução: Observamos inicialmente que D(f) = {x ∈ R : x ̸= 2}. Como (g◦f)(x) =√
x2 − 4
x− 2
=
√
x+ 2 para x ̸= 2, então teremos D(g ◦ f) = {x ∈ R : x ≥ −2 e x ̸=
2}. Podemos resolver o limite como
lim
x→2
g(f(x)) = lim
x→2
√
x2 − 4
x− 2
= lim
x→2
√
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= lim
x→2
√
x+ 2 = 2.
Questão 2. Calcular os seguintes limites.
a) lim
x→2
x2 − 4
x3 − 8
Solução: Temos
lim
x→2
x2 − 4
x3 − 8
= lim
x→2
(x− 2)(x+ 2)
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
= lim
x→2
(x+ 2)
x2 + 2x+ 4
=
2 + 2
22 + 2.2 + 4
=
1
3
.
b) lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
Dica: Faça aparecer uma diferença de dois quadrados no
numerador.
Solução: Temos
lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
= lim
x→0
(√
1 + x−
√
1− x
x
·
√
1 + x+
√
1− x√
1 + x+
√
1− x
)
= lim
x→0
2x
x(
√
1 + x+
√
1− x)
= lim
x→0
2√
1 + x+
√
1− x
=
2√
1 +
√
1
= 1.
Questão 3. Considere a função ⌊·⌋ : R → Z definida por ⌊x⌋ = max{n ∈ Z |n ≤ x}.
Calcule os limites laterais
lim
x→1+
⌊x2 − x+ 1⌋ e lim
x→1−
⌊x2 − x+ 1⌋.
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CÁLCULO I
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 3
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 3
Solução: Inicialmente verificamos que se x → 1+ (isto é, x tende a 1 pela direita),
então x2 − x + 1 → 1+, e se x → 1− (isto é, x tende a 1 pela esquerda), então
x2−x+1 → 1−. Podemos confirma isso vendo o gráfico da função f(x) = x2−x+1
ao redor do ponto x = 1, como mostra a Figura 1. Logo, uma vez que para valores
0 < u < 1 temos ⌊u⌋ = 0, e para valores 1 < u < 2 temos ⌊u⌋ = 1, então
lim
x→1+
⌊x2 − x+ 1⌋ = 1 e lim
x→1−
⌊x2 − x+ 1⌋ = 0.
Figure 1: Gráfico da função f(x) = x2 − x+ 1
Questão 4. Determine se as funções a seguir são contínuas no ponto x = 0. Justi-
fique.
a) f(x) =
{
cos(x), x ≥ 0
1− x, x < 0
Solução: A função cos(x) é contínua para x > 0, e a função x 7→ 1 − x é
contínua em x < 0. Resta determinar a continuidade de f(x) no ponto x = 0.
Temos
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
cos(x) = 1
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(1− x) = 1,
logo, uma vez que os limites laterais existem e são iguais, temos limx→0 f(x) = 1.
Como também vale f(0) = 1, logo a função é contínua em x = 0.
b) f(x) =
{
ln(1 + x), x ≥ 0
1, x < 0
Solução: A função ln(1+x) é contínua para x > 0, e a função x 7→ 1 é contínua
em x < 0. Resta verificar se f(x) é contínua no ponto x = 0. Temos
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
ln(1 + x) = 0
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
1 = 1.
Logo, como os limites laterais existem, porém são diferentes, então não existe o
limite de f(x) no ponto x = 0, assim f(x) não é contínua em x = 0.
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Cálculo I Lista de Exercícios 3
Questão 5. Usando o limite lim
u→0
sin(u)
u
= 1, calcule o valor do limite lim
x→4
sin(4− log2(4x))
4− log2(4x)
.
Solução: Podemos realizar a mudança de variável dentro do limite u = 4− log2(4x).
Temos x → 4 implica u → 4− log2(4.4) = 4− log2(16) = 4− 4 = 0. Podemos então
escrever
lim
x→4
sin(4− log2(4x))
4− log2(4x)
= lim
u→0
sin(u)
u
= 1.
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