MEDICINA - CADERNO 2-155-156

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 2
155AULAS 29 e 30 Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação entre duas matrizes está definida apenas quando o número de colunas de uma for igual ao número de 
linhas da outra. Assim, sendo A uma matriz de formato m × n e B uma matriz de formato p × q, tem-se duas possibilidades para 
efetuar a multiplicação das matrizes A e B: 
 y Se n = p, então existe um produto A ∙ B, resultante em uma matriz C de formato m × q.
 y Se m = q, então existe um produto B ∙ A, resultante em uma matriz D de formato p × n.
É importante observar que a matriz D não é necessariamente igual à matriz C. Veja o esquema a seguir:
=
Am × n · Bp × q = Cm × q n = p ⇒
=
Bp × q · Am × n = Dp × nq = m ⇒
Cada elemento cij da matriz C = A ∙ B é igual ao produto interno entre as sequências determinadas pela linha i da 
matriz A e a coluna j da matriz b.
c a b aij i j i= × = ⋅ +linha i coluna j da matriz A da matriz B 1 1 2 ⋅⋅ + ⋅ + + ⋅b a b a bj i j in nj2 3 3 ...
Exercícios de sala
1 UEG 2019 A matriz triangular de ordem 3, na qual aij = 0 para i > j e aij = 4i – 5j + 2 para i ≤ j é representada pela matriz 
a 
1 4 9
0 0 5
0 0 1
− −
−
−








b 
1 4 9
0 1 5
0 0 0
− −
−








c 
3 8 13
0 4 9
0 0 5








d 
3 0 0
8 4 0
13 9 5








e 
1 0 0
4 0 0
9 5 1
−
− − −








MED_2021_L2_MAT_F2_LA.INDD / 19-12-2020 (12:56) / LEONEL.MANESKUL / PROVA FINAL MED_2021_L2_MAT_F2_LA.INDD / 19-12-2020 (12:56) / LEONEL.MANESKUL / PROVA FINAL
156 matemática AULAS 29 e 30 Matrizes
2 EsPCEx 2020 Duas cidades A e B têm suas áreas ur-
banas divididas em regiões Comercial, Residencial e 
Industrial. A tabela 1 fornece as áreas dessas regiões 
em hectares para as duas cidades.
A tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais 
médios de arrecadação, em milhões de reais por hec-
tare, referentes ao Imposto Predial e Territorial Urbano 
(IPTU), ao fornecimento de energia elétrica e ao forne-
cimento de água.
tabela 1
Área 
Comercial
Área 
Residencial
Distrito 
Industrial
Cidade A 10 25 42
Cidade B 8 12 18
tabela 2
Área 
Comercial
Área 
Residencial
Distrito 
Industrial
IPTU 12 6 5
Energia Elétrica 25 12 60
Água 15 10 50
Considere as matrizes T1 e T2, associadas respectiva-
mente às tabelas 1 e 2.
T T1 2
10 25 42
8 12 18
12 6 5
25 12 60
15 10 50
=





 =










Sejam aij os elementos da matriz resultante do 
produto T1 · T2
t. Nessas condições, a informação 
contida no termo de ordem a22 desse produto é o 
valor arrecadado com
a fornecimento de energia elétrica nas redes 
residenciais.
b fornecimento de água da cidade A.
c fornecimento de água nas áreas residenciais.
d IPTU nos distritos industriais.
e fornecimento de energia elétrica na cidade B.
3 UEM 2017 (Adapt.) Considere as matrizes A x y= [ ]1 
e B = − −










4 1 8
1 9 2
8 2 12
, a transposta de A denotada por At 
e um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
xOy. Considerando esses dados, é correto afirmar que
01 o produto AB é uma matriz linha.
02 o produto BAt é uma matriz linha.
04 At é uma matriz coluna.
08 a equação ABAt = 0 é equivalente à equação 
4x2 + 9y2 – 16x – 12 = 0.
Soma: 
4 Unicamp 2019 (Adapt.) Sabendo que a e b são números 
reais, considere a matriz quadrada de ordem 2: 
A
a b
=






1 1
. Determine todos os valores de a e b
 
para os quais ATA = AAT, em que AT é a transposta 
da matriz A.
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / WALTER.TIERNO / 19-12-2020 (17:22)