C1 Lista de Monitoria 8 - 2022_4

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Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 8 
Lista de Monitoria
1. Determine a família de funções primitiva das funções abaixo.
a) f(x) = x2
b) f(x) = x−3
c) f(x) = xn
d) f(x) =
1
x
e) f(x) = ex
f) f(x) = sen(x)
g) f(x) = cos(x)
h) f(x) = tg(x)
i) f(x) = cosec(x)
j) f(x) = sec(x)
k) f(x) = cotg(x)
l) f(x) =
3x2
2
+ 1
m) f(x) = 5x2 − 2x+ 6
n) f(x) = 5
√
2x
o) f(x) = 2
√
3x2
p) f(x) =
2x3 − 4x2 + x− 8
x2
q) f(x) =
3
x2
+
8
x
+ 5x7 +
5
xln(10)
r) f(x) = 2e2x +
1√
1− x2
s) f(x) = 3e−4x +
1
1 + x2
t) f(x) = 220sen(377x) + sec(x)tg(x)
u) f(x) = 169sen(4x+ 10)
v) f(x) = 5cos(x5) + cosh(x2)
w) f(x) = senh(2x) + cosec(x)cotg(x)
x) f(x) = ln(5)5x − sech(x)tgh(x)
y) f(x) = 2sen(x)cos(x)
z) f(x) = sec2(17x+ 13)− x 34 + e−x
2. Encontre f.
a) f ′(x) = 1− 6x, f(0) = 8
b) f ′(x) = 8x3 + 12x+ 3, f(1) = 6
c) f ′(x) = 2x− 3
x4
, f(1) = 10
d) f ′′(x) = 24x2 + 2x+ 10, f(1) = 5, f ′(1) = −3
e) f ′′(x) = 4− 6x− 40x3, f(0) = 2, f ′(0) = 1
f) f ′′(x) = sen(x) + cos(x), f(0) = 3, f ′(0) = 4
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Universidade Federal do Pará
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g) f ′′(x) =
3√
x
, f(4) = 20, f ′(4) = 7
h) f ′′(x) = 2− 12x, f(0) = 9, f(2) = 15
i) f ′′(x) = 2ex + 3sen(x), f(0) = 0, f(π) = 0
j) f ′′′(x) = cos(x), f(0) = 1, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 3
3. Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
a) v(t) = sen(t)− cos(t), s(0) = 0
b) a(t) = t− 2, s(0) = 1, v(0) = 3
c) a(t) = t2 − 4t+ 6, s(0) = 0, s(1) = 20
d) a(t) = 10sen(t) + 3cos(t), s(0) = 0, s(2π) = 12
4. Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de 40 m/s. Qual
a altura do penhasco?
5. A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por ρ(x) =
1√
x
, em gramas
por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo. Encontre a
massa do cabo.
6. Um balde cilíndrico é preenchido com líquido, logo após começa a girar com velocidade
angular ao redor do seu eixo de simetria. Considere seu eixo de simetria como OY, e a direção
positiva do eixo OY na mesma direção, mas sentido contrário da aceleração gravitacional.
Determine a expressão para a curva formada pelo líquido no interior do balde em movimento,
sendo a origem do sistema de coordenadas a superfície livre.
7. O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto (x,y) sobre a curva a inclinação da reta
tangente é igual a 2x− 3. Ache uma equação da curva.
8. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x,y) de uma curva é 3
√
x. Se o ponto
(9,4) está na curva, ache uma equação para ela.
9. Em qualquer ponto (x,y) de uma curva,
d3y
dx3
= 2 e (1,3) é um ponto de inflexão no qual a
inclinação da tangente de inflexão é -2. Ache uma equação da curva.
10. O volume de água num tanque é V (m3) quando a profundidade da água é h(m). Se a
taxa de variação de V em relação a h for π(4h2 + 12h+ 9), ache o volume de água no tanque
quando a profundidade for de 3m.
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11. Um colecionador de arte comprou uma pintura por 1000 reais de um artista cujos trabalhos
aumentam de valor em relação ao tempo, de acordo com a fórmula
dV
dt
= 5t
3
2 +10t+50, onde
V é o valor estimado de uma pintura t anos após sua compra. Se essa fórmula for válida pelos
próximos 6 anos, qual o valor previsto para a pintura daqui a quatro anos?
12. Para um determinado artigo, a função rendimento marginal é dada por R′(x) = 15− 4x.
Se x unidades forem demandadas quando p unidades monetárias for o preço por unidade, ache
a função rendimento total e uma equação p e x (a equação de demanda).
13. Seja f(x) = |x| e F definida por
F (x) =

−1
2
x2 se x < 0
1
2
x2 se 0 ≤ x
Mostre que F é uma antiderivada de f em (-∞,+∞).
14. Seja
U(x) =
{
0 se x < 0
1 se 0 ≤ x
Mostre que U não tem uma antiderivada em (-∞,+∞).
15. Seja cos(x) =
∑∞
n=0(−1)n
x2n
(2n)!
, determine a série equivalente do sen(x).
16. Seja F ′(x) = ex =
∑∞
n=0
xn
n!
, determine a série equivalente do F (x).
17. Se f(x) = ln(x)− 1, 1 ≤ x ≤ 4, calcule a soma de Riemann com n = 6, tomando como
pontos amostrais as extremidades esquerdas.
18. Utilizando a soma de Riemann, determine:
∫ 2
1
x3dx.
19. Utilizando o teorema fundamental do cálculo, determine:
a)
∫ 4
0
xdx
b)
∫ 2
−2(−x
2 + 4)dx
c)
∫ 1
0
(
√
x− x2)dx
d)
∫ 1
0
x3dx+
∫ 2
1
(−x+ 2)dx
e)
∫ 4
0
(−x
2
+ 2)dx
f)
∫ 1
−2 2− x− x
2dx
g)
∫ π
2
0
cos(x)dx
h)
∫ 10
1
2x3−4x2+x−8
x2
dx
3