C2 Lista de Monitoria 3 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Prática de Exercícios 3
Equipe de Monitoria
1. Determine a equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas para:
a) A reta que passa pelo ponto (6,−5, 2) e é paralela ao vetor ⟨1, 3,−2/3⟩
b) A reta que passa pelo ponto (2, 2.4, 3.5) e é paralela ao vetor 3i+ 2j − k
c) A reta que passa pelo ponto (0, 14,−10) e é paralela à reta x = −1 + 2t, y = 6 − 3t,
z = 3 + 9t
d) A reta que passa pelo ponto (1, 0, 6) e é perpendicular ao plano x+ 3y + z = 5
e) A reta que passa pelos pontos (0, 1/2, 1) e (2, 1,−3)
f) A reta que passa pelos pontos (−8, 1, 4) e (3,−2, 4)
g) A reta de intersecção dos planos x+ 2y + 3z = 1 e x− y + z = 1
2. Mostre que as seguintes equações paramétricas representam a mesma reta: x = 1 + 2t,
y = 2 + 6t, z = 3− 4t; e x = 2 + s, y = 5 + 3s, z = 5 + 2s.
3. Uma reta L passa pelos pontos P0 = (3,−2, 1) e P1 = (5, 1, 0). Determine as equações
paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine também os pontos em que a reta
intercepta os planos coordenados.
4. Verificar se os pontos A(5,−5, 6) e B(4,−1, 12) pertencem à reta: x− 3
−1
=
y + 1
2
=
z − 2
−2
5. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando
os pontos a seguir:
a) P (1, 3,−2) e Q(2,−1, 3)
b) P (−1, 1,−1) e Q(−2,−1, 2)
c) P (4, 0,−3) e Q(5,−4, 2)
d) P (
√
2, 3,−2) e Q(7, 1,−4)
e) P (0,−1, 1) e Q(1
2
, 1
3
, 1
4
)
6. Em que pontos a reta x = t, y = 2t, z = 1− t intercepta a esfera x2 + y2 + (z − 1)2 = 6?
7. Determine uma equação linear e equações paramétricas do plano que contém:
1. A = (2,−1, 3), B = (0, 2, 1), C = (1, 3, 2)
2. A = (0, 0, 0), B = (2, 1, 0), C = (1, 0, 0)
3. A = (5, 7,−2), B = (8, 2,−3), C = (1, 2, 4)
4. A = (0, 0, 2), B = (1, 2, 2), C = (1, 0, 2)
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II - 2022-4 Prática de Exercícios 3
8. Determine uma parametrização para o plano 2x+ y − z = −6
9. Determine equações paramétricas para o plano 3x− 2y − z − 6 = 0.
10. Os pontos A = (1, 1,−2) e B = (2, 0, 1) pertencem ao plano 2x+ 3y + z − 3 = 0 ? .
11. Determine o produto vetorial a⃗ × b⃗ e verifique que ele é ortogonal a a⃗ e b⃗.
a) a⃗ = ⟨1, 2, 0⟩ , b⃗ = ⟨0, 3, 1⟩;
b) a⃗ = ⟨5, 1, 4⟩, b⃗ = ⟨−1, 0, 2⟩;
c) a⃗ = i + 3j − 2k, b⃗ = −i + 5k;
d) a⃗ = j + 7k, b⃗ = 2i − j + 4k.
12. Dados os vetores u⃗ = (2,−1, 1), v⃗ = (1,−1, 0) e w⃗ = (−1, 2, 2), calcular:
a) w⃗ × v⃗
b) v⃗ × (w⃗ − u⃗)
c) (u⃗+ v⃗)× ( ⃗u− v⃗)
d) (2u⃗)× (3v⃗)
e) (u⃗× v⃗)× (v⃗ × u⃗)
f) (u⃗× v⃗) · w⃗
g) (u⃗+ v⃗) · (u⃗× w⃗)
13. Demonstre que (⃗a− b⃗)× (⃗a+ b⃗) = 2(⃗a× b⃗).
14. Se a⃗ = ⟨3, 1, 2⟩, b⃗ = ⟨−1, 1, 0⟩ e c⃗ = ⟨0, 0,−4⟩, mostre que a⃗× (⃗b× c⃗) ̸= (⃗a× b⃗)× c⃗
15. Determine o vetor w⃗ ∈ R3 de modo que w⃗ seja ortogonal ao eixo y e ao vetor u⃗ = w⃗× v⃗,
onde u⃗ = ⟨1, 1,−1⟩ e v⃗ = ⟨2,−1, 1⟩.
16. Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u⃗ = ⟨1,−1, 4⟩ e v⃗ = ⟨3, 2,−2⟩
17. Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como
lados adjacentes.
18. Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e
v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2
√
6.
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