TESTE 7 - IAL

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Introdução à Álgebra Linear (Turma A)
Teste 7 – 0/2020
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Atenção: Este teste contém 3 questões discursivas. É expressamente proibido o uso de calculadoras,
celulares ou quaisquer aparelhos eletrônicos. Respostas sem as devidas justificativas serão descon-
sideradas .
Observação: No problema a seguir, usaremos a notação F(S,K) para designar o espaço vetorial formado pelas
funções f : S −→ K, onde S é um conjunto não-vazio e K = R ou C, com as operações usuais (f+g)(s) := f(s)+g(s)
e (αf)(s) := α · f(s).
1) Verifique em cada caso abaixo se os conjuntos dados são LI:
(a) [1,0 ponto] {(a, b, a + b), (a, b, a− b)}, em R3, onde a, b ∈ R\{0}.
(b) [1,0 ponto] {sen(x), cos(x)} em F(R,R).
2) Considere a função T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (x− y, y − 2z, x + y − 4z).
(a) [1,0 ponto] Mostre que T é linear.
(b) [1,5 ponto] Determine kerT e dim(kerT).
(c) [1,5 ponto] Determine ImT e dim(ImT).
3) Seja T : V −→W uma transformação linear e B = {v1, . . . , vn} uma base de V .
(a) [2,0 pontos] Mostre que, se T é bijetiva, então B′ = {T (v1), . . . , T (vn)} é uma base de W .
(b) [2,0 pontos] Reciprocamente, mostre que se B′ = {T (v1), . . . , T (vn)} é uma base de W , então T é
bijetiva.
Introdução à Álgebra Linear Teste 7 0.o/2020 – 1/1