Aula_09_-_Polinômios_CN_2024-52-54

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
5.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 2 
 (EEAR-2000) Dada a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎, e sendo a, b e c as suas reízes, o valor da 
soma 𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄² é: 
a) 𝟐𝟎𝟎 
b) −𝟐𝟎𝟎 
c) 𝟒𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
Comentário: 
Fatorando a expressão, temos: 
𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). 
Por Girard, 
𝑎𝑏𝑐 = −(20) e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −(−10) = 10. 
Logo, 
𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = −20.10 = −200 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Para que o polinômio 𝟐𝒙𝟑 +𝒎𝒙+ 𝒏𝒙 + 𝟔 seja divisível por (𝒙 + 𝟏) 𝒆 (𝒙 − 𝟑), então os 
valores de m e n devem ser, respectivamente, iguais a: 
a) −𝟕 𝒆 − 𝟑 
b) −𝟔 𝒆 − 𝟏𝟎 
c) −𝟔 𝒆 − 𝟐 
d) −𝟐 𝒆 − 𝟔 
 
Comentário: 
Para que o polinômio seja divisível por (𝑥 + 1) 𝑒 (𝑥 − 3), 𝑟1 =-1 e 𝑟2 =3 devem ser duas de suas 
raízes. Por Girard, podemos descobrir qual será a terceira raiz desse polinômio de grau 3: 
𝑟1𝑟2𝑟3 =
−6
2
= −3 → (−1)(3)𝑟3 = −3 → 𝑟3 = 1 
Logo, as raízes são -1, 1 e 3. Dessa forma, pelas outras relações de Girard: 
 
 
 
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𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 =
−𝑚
2
 𝑒 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟3 + 𝑟2𝑟3 =
𝑛
2
 
Portanto, 
𝑚 = −6 𝑒 𝑛 = −2. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2001) Qualquer raiz racional da equação 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝟎 é inteira. 
O menor grau da equação polinomial de coeficientes reais, que admite as raízes 𝟑, 𝟐 + 𝒊 𝒆 − 𝒊,é 𝟓. 
Toda equação polinomial da forma 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟑 + 𝒄𝒙𝟐 + 𝒅𝒙 + 𝒆 = 𝟎 de coeficientes reais e 𝒂 ≠ 𝟎, 
necessariamente possui uma raiz real. 
São verdadeiras as afirmações: 
a) I, II e III. 
b) I e II. 
c) II e III. 
d) I e III. 
 
Comentário: 
I. Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que as possíveis candidatas a raízes racionais 
são: 9, −9, 3, −3, 1, −1. Portanto, inteiras. 
II. Como os coeficientes são reais, vale o Teorema da Raízes Conjugadas, o qual afirma que se um 
número complexo é raiz da equação o seu conjugado também será. Logo, teremos as raízes 3, 2 −
𝑖, 2 + 𝑖, −𝑖 𝑒 + 𝑖. Assim, há 5 raízes de modo que o menor grau desse polinômio é 5. 
III. Como o grau do polinômio de coeficientes reais é 4, poderíamos ter 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 − 𝑏𝑖, 𝑐 +
𝑑𝑖 𝑒 𝑐 − 𝑑𝑖, com b≠ 0 𝑒 𝑑 ≠ 0 como raízes. Logo, não se faz necessário ter uma raiz real. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 é a soma das outras duas. A 
maior raiz dessa equação é: 
a) 𝟕 
b) 𝟔 
c) 𝟒 
d) 𝟐 
 
 
 
 
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Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes dessa equação, com 𝑐 > 𝑏 > 𝑎. Assim, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏. 
Por Girard, temos que 
𝑖) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12 
𝑖𝑖) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 44 
𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑏𝑐 = 48 
De 𝑖), 2𝑐 = 12 → 𝑐 = 6. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Os valores reais de a e b tais que os polinômios 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒂𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃)𝒙 − 𝟑𝒃 e 
𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − (𝒂 + 𝟐𝒃)𝒙 + 𝟐𝒂 sejam divisíveis por 𝒙 + 𝟏 são dois números 
a) Inteiros positivos. 
b) Inteiros negativos. 
c) Reais, sendo um racional e outro irracional. 
d) Inteiros, sendo um positivo e outro negativo. 
 
Comentário: 
Para que os polinômios sejam divisíveis por 𝑥 + 1, temos que -1 deve ser raiz de ambos os 
polinômios. Assim, 𝑃(−1) = 𝑄(−1) = 0. 
𝑃(−1) = −1 − 2𝑎 − 3𝑎 − 𝑏 − 3𝑏 = −1 − 5𝑎 − 4𝑏 = 0 
𝑄(−1) = −1 + 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑎 = −1 + 3𝑎 + 2𝑏 = 0 
Resolvendo o sistema, 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = −4. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2002) É verdadeira a afirmação: 
“A equação 𝒙𝟖 − 𝟏𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝟔 = 𝟎 
a) Admite 𝟒 raízes reais irracionais”. 
b) Admite 𝟒 raízes reais racionais positivas”. 
c) Não admite raízes reais”. 
d) Admite 𝟒 raízes reais inteiras”.