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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
 
Comentário: 
Faremos uma substituição de variável: 
𝑥4 = 𝑚 → 𝑚2 − 13𝑚 + 36 = 0. 
Resolvendo agora a equação do segundo grau, temos que 
𝑚 =
13 ± √169 − 144
2
=
13 ± 5
2
→ 𝑚 = 9 𝑜𝑢 𝑚 = 4. 
Logo, 
𝑥 = √9
4
= √3 𝑜𝑢 𝑥 = √4
4
= √2. 
Logo, temos 4 raízes reais irracionais (√2 𝑒 √3 são raízes duplas cada uma). 
Gabarito: A 
 (EEAR-2002) A equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 tem como raízes a, b e c. Então, o valor da expressão 
𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄𝟐 é 
a) 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝟐𝟓𝟎 
c) −𝟐𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
Comentário: 
Fatorando a expressão solicitada, temos 
𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). 
Pelas relações de Girard, podemos afirmar que 
𝑎𝑏𝑐 = −(20) 𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10 
Assim, 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = −200 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) Uma das raízes da equação 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é 𝒙𝟏 = 𝟐. 
Pode-se afirmar que: 
a) As outras raízes são números imaginários puros. 
 
 
 
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b) As outras raízes são −𝟑 𝒆 − 𝟐. 
c) Só uma das outras raízes é real. 
d) As outras raízes estão entre −𝟐 𝒆 𝟎. 
 
Comentário: 
Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, podemos baixar o grau do polinômio. Assim, resultamos 
que 
2𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0. 
As raízes dessa equação, por Bhaskara são: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5 ± √5² − 4.2.3
2.2
=
−5 ± 1
4
 
Assim, as raízes são −1 𝑒 
−3
2
. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2002) Considere a equação 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 em que −𝟐 é uma das raízes. As demais 
raízes são 
a) −𝟐+ 𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝒊 
b) −𝟏 𝒆 −5 
c) 𝟐 − 𝒊 𝒆 𝟐 + 𝒊 
d) −𝟐+ 𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝟐𝒊 
 
Comentário: 
Podemos fatorar o polinômio (utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini) da seguinte forma 
(𝑥 + 2)(𝑥2 + 4𝑥 + 5) = 0 
Assim, para 
𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 =
−4 ± √42 − 4.5
2
 
Logo, 
𝑥 = −2 + 2𝑖 𝑒 𝑥 = −2 − 2𝑖 
Gabarito: D 
 
 
 
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AULA 09 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2002) Uma equação do 3° grau cujas raízes são −𝟏,−𝟐 𝒆 𝟑 é 
a) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
b) 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 = 𝟎 
c) 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
d) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 = 𝟎 
 
 
Comentário: 
Pelo teorema da decomposição de um polinômio cujas raízes são 𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2)(𝑥 − 𝑟3) 
Assim, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 𝑎(𝑥3 − 7𝑥 − 6) 
Para 𝑎 = 1, temos que a equação fica 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) Sobre a equação 𝟏𝟗𝟖𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖𝟓 = 𝟎, a afirmação correta é: 
a) Não tem raízes reais 
b) Tem duas raízes simétricas 
c) Tem duas raízes reais distintas 
d) Tem duas raízes reais iguais 
 
Comentário: 
Primeiramente façamos uma substituição facilitadora: 1984 = 𝑎. 
Resolvendo a equação do segundo grau (𝑎 − 1)𝑥2 − 𝑎𝑥 − (𝑎 + 1) = 0, 
𝑥 =
𝑎 ± √𝑎2 − 4. (𝑎 − 1)(−𝑎 − 1)
2. (𝑎 − 1)
→ 𝑥 =
𝑎 ± √5𝑎2 − 4
2(𝑎 − 1)
 
Como 5𝑎2 − 4 > 0, a equação possui duas raízes reais distintas. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) O n° 𝟏 é uma das raízes do polinômio 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔. Com relação às outras raízes do 
polinômio, podemos afirmar que