C2 Lista Semanal 4 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 4
Questão 1. Determine a reta tangente à curva α(t) dada no ponto P indicado em
cada um dos ítens.
a) α(t) = (2t2, 3t+ 1) em P = (0, 1).
b) α(t) = (t, 4 sen(t), 4 cos(t)) em P = (0, 0, 4).
c) α(t) = (t, sen(t) + cos(t), π) em P = (0, 1, π).
Solução: Temos os pontos das curvas por onde as retas passarão. Só precisamos
achar o vetor tangente α⃗′ e aplicar na fórmula vetorial da reta com ele sendo seu vetor
diretor.
a)
α′(t) = (4t, 3) ⇒ α′(0) = (0, 3)
r : (x, y) = (0, 1) + λ(0, 3)
b)
α′(t) = (1, 4cos(t),−4sen(t)) ⇒ α′(0) = (1, 4, 0)
r : (x, y, z) = (0, 0, 4) + λ(1, 4, 0)
c)
α′(t) = (1, cos(t)− sen(t), 0) ⇒ α′(0) = (1, 1, 0)
r : (x, y) = (0, 1, π) + λ(1, 1, 0)
Questão 2. Determine o vetor normal unitário N⃗(t) das curvas dos ítens a) e b)
acima nos pontos dados, sabendo que o vetor normal unitário é dado por
N⃗(t) =
T ′(t)
||T ′(t)||
,
onde T⃗ (t) é o versor do vetor tangente à curva.
Solução: Os parâmetros acima t = 0 foram escolhidos para facilitar as resoluções.
Vamos usá-los antes de calcular os ||T⃗ ′(t)||.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 4
a) Temos da questão anterior que α′(t) = (4t, 3), logo ||α′(t)|| =
√
16t2 + 9. Então
T⃗ (t) =
α′(t)
||α′(t)||
=
(
4t√
16t2 + 9
,
3√
16t2 + 9
)
.
Temos então
T⃗ ′(t) =
(
36√
16t2 + 9(16t2 + 9)
,− 48t√
16t2 + 9(16t2 + 9)
)
e
T⃗ ′(0) =
(
36√
16.0 + 9(16.0 + 9)
,− 48.0√
16.0 + 9(16.0 + 9)
)
=
(
36
27
, 0
)
.
Portanto,
N⃗(t0) =
T ′(0)
||T ′(0)||
=
1
||T ′(0)||
(
36
27
, 0
)
=
27
36
(
36
27
, 0
)
= (1, 0).
b) Temos da questão anterior que α′(t) = (1, 4cos(t),−4sen(t)), logo ||α′(t)|| =√
17. Então
T⃗ (t) =
α′(t)
||α′(t)||
=
(
1√
17
,
4cos(t)√
17
,
−4sen(t)√
17
)
.
Temos então
T⃗ ′(t) =
(
0,
−4sen(t)√
17
,
−4cos(t)√
17
)
e
T⃗ ′(0) =
(
0, 0,− 4√
17
)
.
Portanto,
N⃗(t0) =
T ′(0)
||T ′(0)||
=
1
||T ′(0)||
(
0, 0,− 4√
17
)
=
√
17
4
(
0, 0,− 4√
17
)
= (0, 0,−1).
Questão 3. Qual é o comprimento de arco da curva vetorial r⃗(t) = ⟨cos(t), sen(t)⟩
de 0 a 2π?
Solução: O comprimento de arco de uma curva vetorial r⃗(t) = ⟨cos(t), sen(t)⟩ de 0
a 2π é dado por:
L =
∫ 2π
0
||r⃗′(t)||dt
onde ||r⃗′(t)|| é o módulo do vetor velocidade da curva, dado por:
r⃗′(t) = ⟨− sen(t), cos(t)⟩
||r⃗′(t)|| =
√
(sen2(t) + cos2(t))
||r⃗′(t)|| = 1.
Logo, o comprimento de arco é:
L =
∫ 2π
0
||r⃗′(t)||dt =
∫ 2π
0
1dt = 2π.
Portanto, o comprimento de arco da curva r⃗(t) de 0 a 2π é 2π.
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Questão 4. Dada a função de R2 em R, f(x, y) = ln(x2 + y2), determine:
a) O domínio de existência de f(x, y).
b) As curvas de nível de f(x, y).
c) O gráfico de f(x, y) e sua interpretação geométrica.
Solução:
a) O domínio de existência de f(x, y) é o conjunto de pontos (x, y) onde f(x, y) está
definida. No caso de f(x, y) = ln(x2 + y2), o domínio é o conjunto de pontos
(x, y) onde x2 + y2 > 0, pois a função logarítmica é definida apenas para valores
positivos. Portanto, o domínio de f(x, y) é o conjunto R2 exceto a origem (0, 0).
b) As curvas de nível de f(x, y) são as curvas que ligam pontos (x, y) onde f(x, y) é
constante. Para encontrar as curvas de nível de f(x, y) = ln(x2 + y2), igualamos
a função a uma constante k:
ln(x2 + y2) = k.
Exponenciando ambos os lados, temos:
x2 + y2 = ek.
Esta é a equação de uma circunferência de raio
√
(ek). Portanto, as curvas de
nível de f(x, y) são circunferências concêntricas à origem, com raios crescentes
conforme k aumenta.
c) O gráfico de f(x, y) é a superfície z = ln(x2 + y2). Essa função descreve a altura
de um ponto (x, y) acima do plano xy em relação ao eixo z. A interpretação
geométrica é que essa superfície representa uma espécie de "colina" suave, com
a altura aumentando à medida que nos afastamos da origem. As curvas de nível
de f(x, y) são seções horizontais dessa colina, e correspondem às curvas circulares
descritas na parte b) da questão.
Figure 1: Gráfico da função f(x, y) = ln(x2 + y2).
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Questão 5. Siga os passos abaixo para esboçar os gráficos das funções indicadas e
responda o questionamento a seguir:
• Determine o domínio de f .
• As curvas de nível de f .
• As intersecções de f com os planos yz e zx.
• Esboce o gráfico.
a) f(x, y) =
√
x2 + y2
b) g(x, y) = e
√
x2+y2
Pensando em g(x, y) como sendo a função composta h(f(x, y)). É fácil obter o gráfico
de g a partir de f?
Solução:
a) • Df = R2
• Fazendo f(x, y) = c, com c ∈ R. Temos c como sendo o raio da cicunferência
dada por x2 + y2 = c2. Segue o esboço das curvas de nível no R2.
Figure 2: Curvas de Nível de f .
• Fazendo y = 0, temos f(x, y) = z =
√
x2 = |x|. O gráfico do módulo de
x no plano zx e fazendo x = 0, temos de maneira análoga f(x, y) = z =√
y2 = |y|.
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Figure 3: Intersecções
• O gráfico deve se assemelhar à
Figure 4: Gráfico
b) • Df = R2
• Fazendo f(x, y) = c, com c ∈ R. Temos c como sendo o raio da cicunferência
dada por x2 + y2 = ln(c)2. Segue o esboço das curvas de nível no R2.
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Figure 5: Curvas de Nível de f .
• Fazendo y = 0, temos f(x, y) = z = e
√
x2 = e|x|. O gráfico da exponencial
do módulo de x no plano zx e fazendo x = 0, temos de maneira análoga
f(x, y) = z =
√
y2 = |y|.
Figure 6: Intersecções.
• O gráfico deve se assemelhar à
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Cálculo II Lista de Exercícios 4
Figure 7: Gráfico.
Os domínios são os mesmos e as curvas de nível são circunferências em ambas, al-
terando epenas o valor do raio. Na intersecção com os planos zy e zx, percebemos
a mudança, em que a forma da função h(t) = et prevalece. Dito isto, é fácil obter
o gráfico de g a partir de f . Também é fácil desenhar outros gráficos a partir de
f , como por exemplo h(f(x, y)) = ln(
√
x2 + y2) apenas desenhando suas inter-
secções com os planos zy e zx e respeitando o valor dos raios das circunferências.
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