apostila matemática fundamental

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MATEMÁTICA 
FUNDAMENTAL
VANESSA DA LUZ VIEIRA
EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIAFACULDADE ÚNICA
1
MATEMÁTICA 
FUNDAMENTAL
VANESSA DA LUZ VIEIRA 
1
Vanessa da Luz Vieira
Mestre em Educação Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto 
(UFOP-MG) (2018). Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Viço-
sa (UFV-MG) (2015). Atualmente é professora de matemática e geometria na rede 
Municipal de Ipatinga, pro¬fessora da OBMEP na Escola, programa de extensão 
do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. Atua também como autora 
de materiais didáticos, tutora mestre e Coordenadora do curso de Licenciatura 
em Matemática EAD na Faculdade ÚNICA Ipatinga. Tem experiência na área de 
Educação, com ênfase em Educação Matemática, atuando principalmente nos 
seguintes temas: Educação do Campo, Pedagogia da Alternância e Etnomate-
mática.
2
MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2021
3
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL
 
 Diretor Geral: Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos
 Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
 Revisão Gramatical e Ortográfica : Fabiana Miraz de Freitas Grecco
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes Leite
 Carla Jordânia G. de Souza
 Guilherme Prado Salles
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
 Design: Aline de Paiva Alves
 Bárbara Carla Amorim O. Silva
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras
 Taisser Gustavo Soares Duarte 
© 2021, Faculdade Única.
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300
www.faculdadeunica.com.br 
4
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas 
quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
5
SUMÁRIO UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
1.1 Definições ..........................................................................................................................................................................................9
1.2 Descrição de um conjunto ..................................................................................................................................................10
1.3 Conjunto Unitário e Conjunto Vazio .............................................................................................................................11
1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos ..............................................................................................................................................11
 1.4.1 Conjunto Universo ............................................................................................................................................................11
 1.4.2 Igualdade de Conjuntos ..............................................................................................................................................12
 1.4.3 Subconjuntos ......................................................................................................................................................................12
 1.4.4 Propriedades de Inclusão...........................................................................................................................................14
 1.4.5 União de Conjuntos .......................................................................................................................................................14
 1.4.6 Propriedades de União ................................................................................................................................................15
 1.4.7 Interseção de Conjuntos .............................................................................................................................................15
 1.4.8 Propriedades de Interseção .....................................................................................................................................16
 1.4.9 Propriedades ......................................................................................................................................................................16
 1.4.10 Diferença de Conjuntos ............................................................................................................................................17
 1.4.11 Complementar de B em A ......................................................................................................................................17
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................................................................................20
2.1 Conjuntos dos Números Naturais ................................................................................................................................25
2.2 Conjuntos dos Números Inteiros ..................................................................................................................................25
 2.2.1 Operações em Z .............................................................................................................................................................26
2.3 O conjunto Z e a Reta ...........................................................................................................................................................26
2.4 Regra de Sinal ............................................................................................................................................................................27
2.5 Divisibilidade ...............................................................................................................................................................................28
2.6 Mínimo Multiplo Comum ...................................................................................................................................................29
2.7 Máximo Divisor Comum .....................................................................................................................................................29
FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................................................................................313.1 Conjuntos dos Números Racionais ...............................................................................................................................35
3.2 Fração e Decimais ...................................................................................................................................................................36
 3.2.1 Fração ....................................................................................................................................................................................36
3.3 Operações com frações .......................................................................................................................................................37
 3.3.1 Soma e Diferença de Frações ................................................................................................................................37
 3.3.2 Multiplicações e Divisão de Fração ..................................................................................................................39
 3.3.3 Porcentagem ..................................................................................................................................................................40
 3.3.4 Representação Decimal .........................................................................................................................................40
3.4 Operações dos Decimais ...................................................................................................................................................42
 3.4.1 Adição e Subtração .....................................................................................................................................................42
 3.4.2 Multiplicação e Divisão ............................................................................................................................................42
3.5 Expressão Numérica ..............................................................................................................................................................43
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................................................................................45
CONJUNTOS 
CONJUNTOS NUMÉRICOS - NATURAIS E INTEIROS 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS 
UNIDADE 4
4.1 Números Irracionais I ............................................................................................................................................................49
4.2 Conjuntos dos Números Reais R ..................................................................................................................................50
4.3 Operações em R .....................................................................................................................................................................50
 4.3.1 Os números reais na reta ..........................................................................................................................................50
FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................................................................................52
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS 
6
SUMÁRIO UNIDADE 5
5.1 Potência de Expoente Natural .........................................................................................................................................55
5.2 Potência de Expoente Inteiro e Negativo.................................................................................................................56
5.3 Radiciação .....................................................................................................................................................................................59
5.4 Racionalização de Denominadores ............................................................................................................................62
5.5 Expressões Numéricas .........................................................................................................................................................65
FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................................................................................67
POTÊNCIAS E RAÍZES 
UNIDADE 6
6.1 Noções Primitivas da Geometria .................................................................................................................................70
6.2 Posições Ralativas da Reta ...............................................................................................................................................71
6.3 Figuras Planas ..........................................................................................................................................................................72
 6.3.1 Nomeclatura dos Polígonos .................................................................................................................................73
 6.3.2 Elementos de um Polígono ................................................................................................................................74
 6.3.3 Perímetro de Figuras Planas ..............................................................................................................................75
6.4 Figuras Espaciais ...................................................................................................................................................................77
6.5 Unidades de Madida ...........................................................................................................................................................79
 6.5.1 Unidades de Comprimento .................................................................................................................................79
 6.5.2 Unidades de Área ........................................................................................................................................................81 
FIXANDO O CONTEÚDO ..........................................................................................................................................................82
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO..................................................................................................................85
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................................................................86
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
7
UNIDADE 1
Na primeira unidade do livro, o assunto abordado serão os conjuntos. Alguns 
conceitos, definições e propriedades desse conteúdo serão apresentadas, como 
também exemplos e exercícios.
UNIDADE 2
Nesta unidade, aprenderemos sobre os conjuntos numéricos, sendo os conjuntos 
dos números naturais (N) e o conjunto dos números inteiros (Z). Abordaremos, além 
de conceitos, a relação entre esses conjuntos.
UNIDADE 3
Nesta unidade, o assunto continua sendo os conjuntos numéricos, mas 
apresentaremos outra definição, sendo o conjunto dos números racionais (Q). Além 
dessa importante definição, outras operações são apresentadas.
UNIDADE 4
Dando continuidade às explicações dos conjuntos numéricos, listamos nesta 
unidade, os conjuntos irracionais e reais. Além disso, apresentamos a relação entre 
os conjuntos numéricos.
UNIDADE 5
Iniciamos a unidade definindo potências de expoente natural. Em seguida, de forma 
similar, apresentamos o conceito e exemplos de potências de expoente inteiro 
negativo e de expoente racional. Mostramos como é feita a racionalização de frações 
com denominadores irracionais, e finalizamos com alguns exemplos de expressões 
numéricas.
UNIDADE 6
Na última unidade, apresentamos uma noção geométrica,pautando os principais 
conceitos sobre geometria plana e espacial. Conceitos importantes tão presentes na 
vida.
C
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
IV
R
O
8
CONJUNTOS UNIDADE
01
9
1.1 DEFINIÇÕES 
 Nesta unidade estudaremos os conjuntos, elementos, subconjuntos e as relações 
que envolvem esses conceitos. Os conjuntos são de suma importância para a compreensão 
de muitos exemplos e práticas, além de estarem presentes no nosso dia a dia. Por Exemplo: 
o conjunto das pessoas que fazem curso em EaD na Faculdade Única.
 A teoria de conjuntos é fundamental para o estudo da matemática, as definições 
que perpassam essa teoria são primitivas, sendo assim, algumas são incertas. As principais 
noções são: conjunto, elemento e pertinência entre elementos e conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos chamados de elementos, escritos en-
tre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo, o conjunto dos números 
7, 8 e 9 pode ser denotado por {7, 8, 9}.
FIQUE ATENTO
Podemos ter infinitos exemplos de conjuntos, como alguns descritos abaixo: 
• O conjunto das vogais; 
• O conjunto formado pelos números ímpares; 
• Conjunto das pessoas que residem em Ipatinga – MG; 
• Conjunto dos alunos da Faculdade Única.
A notação utilizada para representar os conjuntos é definida do seguinte modo:
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Já os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, ..., x, y, z. 
 Para relacionar um elemento a um conjunto, utiliza-se a palavra e o símbolo pertence, 
como mostra os Exemplos: 
• a pertence ao conjunto das vogais.
• 5 é um elemento do conjunto dos números primos;
• 2 pertence ao conjunto solução da equação x2-5x+6=0 .
 Sejam B um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto B, denotamos (1):
 (1)
 
 Caso x não pertença ao conjunto B, usamos (2):
 (2)
𝐱 ∈ 𝐁
𝐱 ∉ 𝐁
10
 Os conjuntos podem ser representados por diagrama, sendo que os elementos 
pertencentes ao conjunto ficam no interior. No Exemplo: abaixo, temos o conjunto A e 
alguns elementos:
Figura 1: Conjunto A
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Podemos observar que . 
Se utilizarmos um conjunto no formato de círculo, esse se denotará como Diagrama de 
Venn. 
b ∈ A, f ∈ A, mas e ∉ A e d ∉ A
1.2 DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
 A descrição de um conjunto pode ser realizada de duas formas: pelos elementos, 
quando são listados ou pelas características/propriedades do conjunto. 
 Quando os elementos são enumerados, eles são representados entre chaves, como 
nos exemplos a seguir:
 Conjunto dos divisores de 2: {1,2}
 Conjunto dos meses que iniciam com a letra j: { janeiro, junho e julho} 
 Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
 Conjunto dos múltiplos de 5 até 300: {0, 5, 10, 15, ..., 295, 300} 
 Quando não são enumerados, os conjuntos podem ser descritos por suas 
propriedades. Considere um conjunto A, com uma característica Q para os elementos x, 
então escrevemos (3): 
 (3)
E lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade Q”.
Observe os Exemplos a seguir: 
• {x| x é um número primo menor que 10} é o mesmo conjunto que {2, 3, 5, 7}.
• {x| x é um estado da região Sudeste} pode ser representado por { Minas Gerais, São 
Paulo, Rio de Janeiro e Espírito Santo}.
A = x x tem a propriedade Q
11
1.3 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO 
 O conjunto unitário possui apenas um único elemento. 
Exemplos: 
 {x| x é um número par e primo}: {2}
 Conjunto das soluções da equação 5x – 20 = 10: {6}
 Já o conjunto vazio, é um conjunto que não possui nenhum elemento. É representado 
pelo símbolo ∅ ou { }. 
Exemplos: 
 {x| x é ímpar e múltiplo de 4}= ∅
 {x| x ≠x}= ∅
Observe que para ser um conjunto vazio, a propriedade precisa ser falsa, pois assim não te-
remos elemento válido.
FIQUE ATENTO
1.4 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 
 Um conjunto é finito quando é enumerável, isto é, seus elementos podem ser listados, 
como pode ser observado nos exemplos abaixo: 
• Conjunto das consoantes: {a, b, c, d, e, ..., w, x, z}
• Conjunto dos divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
 Intuitivamente, o conjunto é infinito quando não pode ser contado, ele não é 
enumerável. 
• O conjunto dos múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, ...}
• O conjunto das estrelas: infinito 
1.4.1 Conjunto Universo
 Os conjuntos e elementos são analisados dentro de um conjunto maior, que no 
caso, é o conjunto universo. Admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem 
todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto 
universo.
 Observem nos exemplos a seguir, como a mudança do conjunto universo, determina 
respostas diferentes.
12
• Conjunto das soluções da equação 2x + 7 = 24 nos números naturais: ∅
• Conjunto das soluções da mesma equação, 2x + 7 = 24 no universo dos números reais: 
{8,5}
 Pode-se notar que a mudança do universo na resolução da equação, altera o conjunto, 
assim o conjunto universo é extremamente importante, e veremos adiante mais sobre sua 
utilização.
1.4.2 Iguadade de Conjuntos 
 Dois conjuntos são iguais quando todos os elementos do conjunto A pertencem a 
B, se somente se, todo elemento de B pertence a A. Essa igualdade pode ser representada 
por (4):
 
 (4)
Exemplos: 
• {x| x é inteiro, par e menor que 15} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
• {a, e, i, o, u} = {e, i, a, u, o} 
A = B ⟺ (∀x)(x ∈ A ⟺ x ∈ B)
Os símbolos são muito utilizados na matemática, observe alguns usuais.
• o símbolo significa “para todo”;
• “se somente se”;
• indica que “existe”;
• / significa “tal que
FIQUE ATENTO
∀
⟺
∃
Se escrevermos {a, b, c, d} = {a, b, b, c, d, d, d, d}, está correto?
VAMOS PENSAR?
1.4.3 Subconjuntos 
 Um subconjunto, como o nome sugere, é um conjunto menor que está contido 
dentro de outro. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somente se, todo 
elemento de A pertence a B. 
 Podemos escrever que, ,que significa que A está contido em B, ou A é subconjunto 
de B. 
A ⊂ B
13
Figura 2: A subconjunto B
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Assim, traduzindo em termos matemáticos, essa relação pode ser escrita como (5):
 (5)
Exemplos: 
1. 
2. 
 Essa relação também pode ser descrita como , que significa que “B contém A” 
ou “o conjunto B contém o conjunto A”. 
 Como todos os conectores, há a negação, pois quando um subconjunto não está 
contido ou um conjunto não contém um subconjunto . 
 Exemplos:
1. 
2. 
3. 
A ⊂ B ⟺ ∀x x ∈ A ⟹ x ∈ B
a, b ⊂ a, b, c, d
5, 6 ⊂ 5, 6
B ⊃ A
⊄ ⊅
3, 4, 5 ⊄ 4, 5, 6, 7
A ⊄ B ou B ⊅ A
14
1.4.4 Propriedades da Inclusão
No exemplo 2 há elementos de A em B, mas como não são todos, .
FIQUE ATENTO
Se dois conjuntos são iguais, A=B , podemos afirmar que
VAMOS PENSAR?
 Considere três conjuntos quaisquer A, B e C, têm-se as seguintes propriedades:
• 
• 
• 
• 
∅ ⊂ A
A ⊂ A reflexiva
A ⊂ B e B ⊂ A ⟹ A = B anti − simétrica
A ⊂ B e B ⊂ C ⟹ A ⊂ C (transitiva)
1.4.5 União de Conjuntos
𝐴 ⊄ 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 ⊅ 𝐴
𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴? 
 Considere dois conjuntos A e B, a união de A e B é o conjuntoformado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B, ou seja (6),
 (6)
Observe que o símbolo U significa união, e se .
Exemplos:
1. 
A ∪ B = x x ∈ A ou x ∈ B}
x ∈ A ∪ B ⟹ x ∈ A ou x ∈ B
A ∪ B = a, b, e, f ∪ c, d, f, g = a, b, c, d, e, f, g
15
 
2. 
A ∪ B = a, b, e ∪ c, d, f = a, b, c, d, e, f
1.4.6 Propriedade da União
 Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades:
• 
• 
• 
• 
A∪ A = A
A∪ ∅ = A elemento neutro
A∪ B = B ∪ A comutativa
A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C associativa
1.4.7 Interseção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B é o conjunto formado por elementos que 
pertencem a A e a B. Como notação matemática, temos (7): 
 (7)
O símbolo significa interseção, isto é, é formado pelos elementos que pertencem a 
A e B simultaneamente. 
Exemplos:
1. 
A ∩ B = x x ∈ A e x ∈ B}
A ∩ B∩
A ∩ B = a, b, e, f ∩ c, d, f, g = {f}
16
2. 
A ∪ B = a, b, e ∩ c, d, f = ∅
 Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades:
• 
• 
• 
• 
1.4.8 Propriedades da Interseção 
A∩ A = A
A ∩ U = A elemento neutro
A ∩ B = B∩ A comutativa
A∩ B ∩ C = A∩ B∩ C associativa
Quando , os conjuntos são chamados de conjuntos disjuntos, pois eles não possuem 
elementos em comum.
FIQUE ATENTO
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
 Considere os conjuntos A, B e C quaisquer conjuntos, sendo as seguintes propriedades 
relacionadas à união e interseção:
1. 
2. 
3. 
4. 
1.4.9 Propriedades 
A ∪ A ∩ B = A
A ∩ A ∪ B = A
 A∪ B ∩ C = A∪ B ∩ A ∪ C 
distribuição da reunião em relação à interseção 
A∩ B ∪ C = (A∩ B) ∪ (A∩ C)
distribuição da interseção em relação à reunião
17
1.4.10 Diferença de Conjuntos 
 Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a diferença entre A e B é o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B (8).
 (8)
Exemplos:
1. 
2. 
A − B = x x ∈ A e x ∉ B}
A − B = a, b, c, d, g − d, e, f, g = a, b, c
A − B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 − 3, 6, 7 = 1, 2, 4, 5, 8
B − A = 3, 6, 7 − 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = ∅
1.4.11 Complementar de B em A 
 Considere dois conjuntos A e B, tais que B está contido em A, chama-se complementar 
de B em relação a A, o conjunto A-B, ou seja, os elementos de A que não estão em B. O 
símbolo que representa essa relação é (9):
Figura 3: Complemento de B em A
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
18
 Observe que só é definido para , assim temos 
Exemplos: 
1) 
2)
 No estudo de conjunto, há exercícios que são comuns em concursos, vestibulares e 
ENADE. Vamos estudar alguns exemplos. 
Exemplo:
(UFBA) Em uma enquete, várias pessoas foram entrevistadas acerca de suas preferências 
em relação a três esportes, Volei (V), Basquete (B) e Tênis (T), cujos dados estão indicados 
na tabela a seguir:
De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa enquete, o número de pessoas 
entrevistadas foi:
a) 400 b) 440 c) 490 d) 530 e) 570 
Resolução:
 Para resolver esse tipo de questão, devemos inserir os dados em um diagrama de 
Venn, pois as interseções devem ser analisadas no início para descobrir os valores exatos 
em relação aos três esportes. Primeiramente, vamos inserir o valor comum entre os três 
esportes, pois eles se relacionam com os demais valores. 
∁AB B ⊂ A ∁AB= A− B
Se A = 1, 2, 3, 4 e B = 3, 4 , então ∁AB= 1, 2
Se A = a, b, c, d, e, = B, então ∁AB= ∅
ESPORTE N° DE PESSOAS
V 300
B 260
T 200
V e B 180
V e T 130
B e T 100
V, B e T 50
Nenhum 40
19
 Após inserir os 50 na interseção dos três esportes, devemos colocar as interseções 
entre dois esportes. Para isso é necessário tirar o valor que é comum dos três, assim, tere-
mos os cálculos. 
V e T = 130 – 50 = 80
V e B = 180 – 50 = 130
B e T = 100 – 50 = 50
 Observem os valores encontrados destacados no diagrama das interseções. Agora 
vamos descobrir os valores que faltam para completar os esportes. Realizando os cálculos, 
retirando os valores já inseridos em cada esporte. 
V = 300 – 130 – 50 – 80 = 40
B = 260 – 130 – 50 – 50 = 30
T = 200 – 50 – 50 – 80 = 20
 Desse modo, como todos os valores inseridos, vamos somar os valores do diagrama 
com o valor que representa as pessoas que não possuem preferência nenhuma. Somando, 
40 + 130 + 50 + 80 + 30 + 50 + 20 + 40 = 440. Logo, a alternativa correta é a letra b.
Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o livro “Fundamen-
tos de Matemática”, de autoria de Araujo et al. (2018), unidade 2. O acesso está 
disponível em: https://bit.ly/3fIGN4k. Acesso em: 14 fev. 2021
BUSQUE POR MAIS
20
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 
se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos 
dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é 
correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de
a) 380. 
b) 360. 
c) 340. 
d) 270. 
e) 230.
2. Considere A, B e C conjuntos quaisquer. Classifique as seguintes afirmativas em 
verdadeiras ou falsas, e posteriormente, marque a alternativa com a sequência correta.
• 
• 
• 
• 
• 
A sequência correta é
a) F, V, F, V, V.
b) V, V, F, F, F.
c) V, F, F, V, F.
d) V, V, V, F, F.
e) F, F, F, V, V. 
3. (UFMG-Adaptado) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
• 600 dos entrevistados leem o jornal A.
• 825 dos entrevistados leem o jornal B.
• 525 dos entrevistados leem o jornal C.
• 180 dos entrevistados leem os jornais A e B.
• 225 dos entrevistados leem os jornais A e C.
• 285 dos entrevistados leem os jornais B e C.
• 105 dos entrevistados leem os três jornais.
• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
∅ ⊂ A ∩ B
A ⊂ A ∩ B
A ∈ A ∩ B
A ∩ B ⊂ B
A ∩ B ⊃ (A∩ B ∩ C)
21
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi
a) 1.200.
b) 2.880.
c) 1.350.
d) 1.250.
e) 1.500.
4. (ENEM – Adaptado) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, 
a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes 
do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma 
equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária 
(Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram 
inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das 
companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto 
Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm,
Acesso em: 09.05.2009.)
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre 
todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam 
passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto 
das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; 
M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do 
México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza 
A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região 
sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas 
caracterizadas como:
a) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
b) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
c) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
d) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
e) tripulantessem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
5. PUC/Campinas-SP) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas 
de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas 
pessoas assistem a esses programas:
PROGRAMAS N° DE TELESPECTADORES
E 400
N 1220
H 1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E, N e H 100
22
 Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que 
não assistem a qualquer dos três tipos de programas é
a) 200.
b) 300.
c) 900.
d) 100.
e) 50.
6. Considere três conjuntos A, B e C e tais condições. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Marque a alternativa que indica corretamente o conjunto B.
a) {p,q,r,s}
b) {p,q,r,u,v}
c) {t,s,x,u,v}
d) {r,s,z,x}
e) {r,s,u,v}
7. Dados os conjuntos é primo e menor que 20}. Assinale 
a alternativa que corresponde à operação :
a) {4,6,8,9,10}
b) {5,6,11,13,17,19}
c) {2,3,4,5,6,8,11,13}
d) {3,6,9,10,11,13,17,19}
e) {4,6,8,9,11,13,17,19}
8. Considere três conjuntos A, B e C quaisquer. Assinale a alternativa que representa
 .
a)
A ∪ B ∪ C = z, x, v, u, t, s, r, q, p
A ∩ B = r, s
B ∩ C = s, x
C ∩ A = s, t
A ∪ C = p, q, r, s, t, u, v, x
A ∪ B = p, q, r, s, t, x, z
A = {x ∈ ℤ| 2 ≤ x < 10} e B = {x ∈ ℝ| x
A − B) ∪ (B − A
(B − A) ∩ C
23
b)
c)
d)
e)
24
CONJUNTOS NUMÉRICOS- 
NATURAIS E INTEIROS 
UNIDADE
02
25
2.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 
 O conjunto dos números naturais (10), representado por N, é formado pelos números 
0,1,2,3,… . 
 (10) 
 Neste conjunto, são definidas duas operações, a adição e a multiplicação, que apre-
sentam as seguintes propriedades: 
 Considere a,b e c elementos do conjunto dos números naturais:
• associativa da adição (a+b)+c=a+(b+c)
• comutativa da adição a+b=b+a
• elemento neutro da adição a+0=a
• associativa da multiplicação (a.b).c=a.(b.c)
• comutativa da multiplicação a.b=b.a
• elemento neutro da multiplicação a.1=a
• distributiva da multiplicação em relação à adição a.(b+c)=a.b+a.c
 Alguns conceitos, como a subtração serão vistos nos próximos conteúdos, pois, pela 
definição dos números naturais, é preciso estender esse conjunto numérico. 
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, …
→
→
→
→
→
→
→
2.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS 
 O conjunto dos números inteiros (11) é representado pelo símbolo Z, e é definido pe-
los números:
 (11)
 Nesse conjunto observa-se que ele é uma extensão dos naturais, pois ele possui os 
números inteiros positivos e inteiros negativos. Assim, dentro do conjunto dos inteiros, 
existem três subconjuntos notáveis, sendo eles: 
• Conjunto dos inteiros não nulos (12):
 
 (12)
• Conjunto dos inteiros não positivos(13): 
 (13)
• Conjunto dos inteiros não negativos (14): 
 (14)
ℤ = {… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }
ℕ
ℤ+ = 0, 1, 2, 3, 4, … = ℕ
ℤ− = … ,−4,−3,−2,−1, 0
ℤ∗ = … ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, …
26
2.2.1 Operação em ℤ
No conjunto dos números inteiros, são definidas as operações de adição e multiplicação 
como no conjunto dos naturais e a operação de simétrico da adição. 
Simétrico ou oposto da adição:
Assim, a operação de subtração pode ser definida:
Para todo a∈Z, existe−a ∈ Z tal que a+ −a =0
Para quaisquer a, b ∈Z, estabelece a operação a−b=a+(−b)
2.3 O CONJUNTO E A RETA ℤ
 O conjunto dos números inteiros pode ser representado por uma reta numérica 
orientada da seguinte maneira.
1. Na reta marcamos a origem, que será representada pelo zero e o sentido positivo (à di-
reita da origem) 
2. A partir da origem (zero) no sentido positivo, estabelece um segmento unitário u≠0, 
cuja extremidade será o 1
3. Para cada número inteiro, marcamos cada segmento unitário até atingir o valor do nú-
mero inteiro. Por exemplo: se for o número 5, teremos 5u .
 Observe que quanto mais à direita, maior o número é, portanto, pode-se concluir 
que: 
• qualquer número negativo é menor que o zero;
• qualquer número positivo é maior que o zero; 
• qualquer número negativo é menor que um número positivo. 
 Podemos então relacionar esses dois conjuntos numéricos por meio de diagrama, 
pois .ℕ ⊂ ℤ
27
Figura 4: .
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
ℕ ⊂ ℤ
2.4 REGRA DE SINAL 
 Nos números inteiros, devemos pontuar algumas regras sobre as operações. 
• Adição e Subtração
Sinais Iguais: soma e repete o sinal da base:
+ 6 + 7 = + 13 
- 4 – 5 = - 9 
Sinais diferentes: subtrai e repete o sinal do número de maior valor absoluto:
+ 8-12= -4
- 6+14= +8 
• Multiplicação e Divisão 
Sinais Iguais: o resultado será positivo:
(-5).(-9)= +45
(+2).(+3)= +6
(-24):(-4)= +6
Sinais Diferentes: o resultado será negativo:
(+12).(-3)= -36
(-81):(+9)= -9
28
2.5 DIVISIBILIDADE
 Uma importante definição no conjunto dos números inteiros é de divisor. Dizemos 
que o inteiro a é divisor do inteiro b, representado por a|b , indica que existe um c inteiro tal 
que c.a=b .
 (15)
Exemplos: 
1. 3|18 pois 6.3 = 18
2. 5|- 35 pois (-7).5 = -35
3. -4|32 pois (-8).(-4) = 32
4. 2|0 pois 0.2 = 0 
a|b ⟺ ∃ c ∈ ℤ ca = b)
Seja , podemos falar que 0|a?
VAMOS PENSAR?
𝑎 ∈ ℚ
 Assim quando a é divisor de b, podemos escrever que “b é divisível por a” ou “b é múl-
tiplo de a”. Indicamos D(a) o conjunto dos divisores de a, e M(a) o conjunto dos múltiplos 
de a. 
Exemplos: 
D(3) = {1,-1,3,-3}
D(5) = {1,-1,5,-5} 
M(3)={0,±3,±6,±9,…}
M(5)={0,±5,±10,±15,…} 
 Observe que são listados todos os divisores e múltiplos, os positivos e negativos. 
Quando esse assunto é trabalhado na escola, abordamos apenas os divisores e múltiplos 
positivos, pois o conteúdo é abordado nos 5° e 6° anos, onde o aluno tem apenas o conhe-
cimento dos números naturais. 
 Um número especial p é chamado de primo, quando seus divisores são apenas o 1 e 
o p nos números naturais ou {1, -1, p, -p} no conjunto dos números inteiros. 
 São alguns exemplos de números primos, 2, 3, 5, 7, 11, -2, -3. 
29
O menor múltiplo comum (m.m.c) deve ser o menor múltiplo diferente de zero, pois o zero é 
múltiplo de todos.
FIQUE ATENTO
Sobre divisores, há casos de divisibilidade, que podemos definir se um número é 
divisível ou não por outro, aplicando algumas regras. Para saber mais sobre os 
casos de divisibilidade, no portal da matemática da OBMEP há uma sequência de 
vídeos explicativos. Para mais informações, acesse: https://bit.ly/3cQg4kF. 
(Acesso em: 15 fev.2021).
BUSQUE POR MAIS
 Mínimo múltiplo comum (mmc), como o próprio nome sugere é o menor múltiplo 
comum diferente de zero entre dois ou mais números inteiros ou naturais. Por exemplo: no 
conjunto dos números naturais, 
2.6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
o mmc 3, 4 = 12, pois M 3 = 0, 3, 6, 9, 12 , … e M 4 = 0, 4, 8, 12 , … . 
 O mmc também pode ser calculado de uma forma prática. 
Exemplo: 
Calcule o mmc(6,9):
Para calcular, fatoramos os números 6 e 9 em fatores primos, e multiplicam-se esses nú-
meros primos e, assim, encontramos o mmc(6,9) = 18. 
2.7 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 O máximo divisor comum (m.d.c) é o maior divisor igual entre dois ou mais números 
inteiros. 
Exemplo:
 Do mesmo modo do mmc, o mdc pode ser calculado de outra maneira,como defi-
nido a seguir. 
 Considere o mesmo exemplo: mdc(12,18)=6 
O mdc 12, 18 =6, pois D 12 = 1, 2, 3, 4, 6 , 12 e D 18 = 1, 2, 3, 6 , 9, 18 . 
30
 
 
 Para calcular o mdc, fatoramos os números, destacamos os fatores primos que são 
divisores comuns dos números, e depois multiplicamos esses fatores. 
O m.d.c pode ser calculado utilizando o Algoritmo de Euclides. Nesse cálculo é uti-
lizada uma outra ferramenta que obtém o valor do máximo divisor comum. Para 
saber mais, veja em: https://bit.ly/3dy9TRr. 
Acesso em: 15 fev.2021
BUSQUE POR MAIS
31
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Analise as seguintes operações em verdadeiras ou falsas. 
I. 
II. 
III. 
IV. 
Indique a sequência correta das afirmativas.
a) V, F, V, V.
b) V, V, F, V.
c) V, F, V, F.
d) F, F,V, V.
e) V,V,FV
2. Utilize o algoritmo estudado, e calcule o mmc dos seguintes números no conjunto dos 
naturais. 
• (2, 3) 
• (6, 8) 
• (10, 15) 
• (7, 11)
Assinale a alternativa que corresponde aos valores encontrados.
a) 6, 30, 24, 77
b) 6, 24, 30, 77
c) 6, 48, 150, 77
d) 6, 48, 30, 77
e) 12, 24, 30, 77
3. (OBMEP – Adaptado) Dois rolos de arame, um de 210 metros e outro de 330 metros, 
devem ser cortados em pedaços de mesmo comprimento. Quantos pedaços podem ser 
feitos se desejamos que cada um destes pedaços tenha o maior comprimento possível?
a) 7 pedaços
b) 11 pedaços
ℕ ∪ℤ− = ℤ
2 − 3 ∈ ℕ
0 ∈ ℤ+
−4 . −5 ∈ ℤ−
32
c) 35 pedaços
d) 18 pedaços
e) 55 pedaços 
4. (OBMEP – Adaptado) Dois ciclistas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 
30 segundos e 35 segundos para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo 
local e no mesmo instante. Após algum tempo os dois atletas se encontram, pela primeira 
vez, no local de largada. Depois de quanto tempo da largada ocorrerá o encontro? 
a) 60 segundos
b) 70 segundos
c) 90 segundos
d) 210 segundos
e) 420 segundos
5. (OBMEP – Adaptado) Se a=23.52.72 identifique qual dos seguintes números são múltiplos 
de a:
a) 22.52.7
b) 2.5.74.132
c) 25.52.7
d) 22.33.52
e) 23.3.54.72.11
6. Calcule o valor da expressão numérica envolvendo números inteiros. 
[(18+3.2):6+5.7]-24
a) 15
b) 18
c) 24
d) 39
e) 42
7. Analise as afirmativas a seguir sobre o conjunto dos números naturais e inteiros. 
I. 
 
II. 
 
III. 
 
IV. 
−4 . −3 . −2 ∈ ℕ
−3 + 54 − 22 − 29 ∈ ℤ∗
ℕ ∩ℤ ⊂ ℕ
−12 : +6 − 1 = −3 
33
Marque a alternativa que corresponde à sequência correta das afirmativas. 
a) V, F, V, V
b) F, F, V, V
c) V, V, F, F
d) F, F, F, V
e) V, V, V, F
 
8. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo 
tempo, por 4, 8 e 10.
a) 80
b) 100
c) 110
d) 120
e) 160 
34
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS
UNIDADE
03
35
3.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS
 O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo Q, é o conjunto dos 
números que são representados por uma fração, sendo , em que , no qual 
a é o numerador e b o denominador. 
Exemplo:
 Vamos abordar algumas propriedades importantes desse conjunto, como a adição e 
a multiplicação. Uma nova operação será definida, a divisão. 
 Considere a,b,c,d,e,f,g e as seguintes propriedades. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 Outra operação que podemos definir, é o simétrico ou inverso da multiplicação. As-
sim, para todo , existe . 
 Portanto, podemos definir em a operação de divisão, sendo para quais-
quer 
a
b
a ∈ ℤ e b ∈ ℤ∗
∈ ℤ
a
b +
c
d +
e
f = 
a
b +
c
d +
e
f
a
b +
c
d = 
c
d +
a
b
a
b + 0 = 
a
b
a
b + −
a
b = 0
a
b . 
c
d .
e
f = 
a
b .
c
d .
e
f
a
b .
c
d =
c
d .
a
b
a
b . 1 = 
a
b
a
b .
c
d +
e
f = 
a
b .
c
d + 
a
b .
e
f
a
b ∈ ℚ
∗ 
b
a ∈ ℚ tal que 
a
b .
b
a = 1 a
b :
c
d =
a
b .
d
ca
b e 
c
d ∈ ℚ
∗. 
36
3.2 FRAÇÃO E DECIMAIS 
3.2.1 Fração
 Uma fração representa quando um todo é dividido em partes, e indicamos uma 
parte ou a união delas em relação ao todo. Como mencionado anteriormente a fração é 
composta por dois números inteiros, sendo: 
• o denominador representa as partes do todo que foram divididas. 
• o numerador indica uma unidade ou união de algumas das partes que foram divididas. 
 Assim, a fração é representada por dois termos, sendo o numerador 
a e o denominador b. 
 Na fração temos 4 como numerador e 9 como denominador. Ela pode represen-
tar por exemplo, que um chocolate foi dividido em 9 partes e repartido 4 desses pedaços. 
 As frações possuem nomes diferentes conforme os números, por exemplo: se lê 
“cinco oitavos”. Já a fração que possui denominador maior que 10, usamos avos após o nú-
mero do denominador. Assim, a leitura da fração será “três quatorze avos”. 
a
b a e b ∈ ℤ, b ≠ 0
4
9
5
8
3
14
Exemplo:
 Uma loja possui 50kg de laranja, e precisam vender dessa fruta para não perder a 
mercadoria. Quantos quilos a loja deverá vender? 
Resolução: 
Para resolver, temos que multiplicar 50 por , isto é, 
 Portanto a loja precisará vender 20 kg de laranja. 
 Dadas duas frações , são iguais se e somente se a.d=b.c, ou seja 
 . Quando acontece essa igualdade, dizemos que as frações 
são equivalentes. 
Simplificação
Exemplo: 
Com a igualdade de frações, encontramos as frações equivalentes. 
2
5
2
5
50.
2
5 = 
50.2
5 =
100
5 = 20
a
b e 
c
d com b ≠ 0 e d ≠ 0
a. d = b. c ⟺
a
b =
c
d com b ≠ 0 e d ≠ 0
2
7 =
6
21 , pois 2.21=7.6=42, assim elas são equivalentes
37
 As frações são classificadas como próprias e impróprias. A primeira, são frações que 
possuem o numerador menor que o denominador, por exemplo: . Já as frações 
impróprias possuem o numerador maior ou igual ao denominador, exemplo: .
 As frações impróprias podem ser transformadas em frações mistas, isto é, represen-
tam a parte inteira e fracionária. Por exemplo: a fração , assim a fração impró-
pria 
 Como sabemos, as frações representam uma divisão, assim, pode-se transformar 
uma fração imprópria em mista ou vice-versa utilizando a operação da divisão. Considere 
a fração imprópria, , realizando a divisão, 
5
6 e 
1
7 9
5
9
5 = 1 +
4
5 = 1
4
59
5 = 1
4
5 . 
11
2
11 2
10 5
1 
 Assim, consideramos a parte inteira o número do quociente e o número do resto o 
numerador da fração mista. Logo, a fração mista de será . Para transformar a mista 
em imprópria, multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos com o nume-
rador e obtemos o numerador da fração imprópria, e o denominador se repete, isso porque 
sempre estamos trabalhando com o todo repartido. Então .
Exemplo:
Indique qual fração é maior . 
Resolução: 
 Para resolver, vamos, primeiramente, transformar a fração mista em imprópria,
 .Analisando as duas frações, como possuem o mesmo denominador, a 
maior é a que possui maior numerador, que será a . 
11
2
5
1
2
5
1
2 = 5x2 + 1 = 11 ⟹ 
11
2 .
42
5 ou 8
3
5
8
3
5 =
8x5 + 3
5 =
43
5
8
3
5
3.3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
3.3.1 Soma e Diferença de Frações
 Para calcular a soma e a diferença de duas ou mais frações, é preciso verificar se os 
denominadores são iguais. Se forem, basta repetir o denominador e somar ou subtrair os 
numeradores. Observe os exemplos a seguir:
 No caso das frações possuírem denominadores diferentes, é preciso encontrar fra-
ções equivalentes que tenham denominadores iguais. Para isso, calculamos o mínimo 
múltiplo comum (m.m.c).
3
8 +
7
8 =
3 + 7
8 =
10
8 =
5
4
10
7 −
5
7 =
10 − 5
7 =
5
7
38
 No caso das frações possuírem denominadores diferentes, é preciso encontrar fra-
ções equivalentes que tenham denominadores iguais. Para isso, calculamos o mínimo 
múltiplo comum (m.m.c). 
Exemplo:
Encontre o resultado da seguinteoperação 
Resolução: 
 As frações possuem diferentes denominadores, assim, é preciso calcular o m.m.c de 
(4, 8, 12), isto é, m.m.c (4, 8, 12) = 24
 Agora, vamos encontrar as frações equivalentes com o denominador 24, e resolver a 
operação.
 Assim, a resposta é . 
Exemplo:
 Simplifique a expressão numérica .
 Os denominadores são diferentes, portanto, é preciso encontrar o m.m.c (4, 10). 
1
4 +
3
8 +
5
12
1
4 +
3
8 +
5
12 =
6
24 +
9
24 +
10
24 =
6 + 9 + 10
24 =
25
24
25
24
4 10 2
2 5 2
1 5 5
1 1 20
 Substituímos as frações por frações equivalentes que possuam o denominador igual 
a 20 e simplificamos a expressão. 
 Logo, a simplificação da expressão numérica é .
9
10−
1
4
9
10−
1
4 =
18
20−
5
20 =
13
20
13
20
39
3.3.2 Multiplicação e Divisão de Fração
 A multiplicação de frações é realizada multiplicando o numerador pelo numerador, 
e o denominador pelo denominador. Dados , o produto dessas duas 
frações é . Por exemplo:
a
b e 
c
d ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0a
b .
c
d =
a. c
b. d
4
7 .
3
5 =
12
35
2
9 .
3
11 =
6
99 =
2
33
Quando calculamos a multiplicação das frações podemos simplificar, cortando ou simplifi-
cando os múltiplos.
FIQUE ATENTO
 Na divisão das frações, conservamos a primeira fração, mudamos o sinal para multi-
plicação e invertemos a segunda fração. Dados , temos a divisão 
 . 
 . Observe alguns Exemplos:
Exemplo: 
 Simplifique a fração .
Resolução: 
 Para resolver, precisamos escrever os números como fatores primos, para depois 
simplificar (cortar os termos comuns). 
Exemplo: 
 Simplifique a fração , sendo 
Resolução: 
 Nesse exercício, os fatores são números e letras, assim vamos escrevê-los em fatores. 
a
b e 
c
d ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0
a
b :
c
d = 
a
b .
d
c ou 
a
b
c
d
=
a
b .
d
c
1
6 :
3
8 =
1
6 .
8
3 =
8
18 =
4
9
20.7
15.14
20.7
15.14 =
2.2.5.7
3.5.2.7 =
2
3
4x3y2
6x2yz3
x ≠ 0, y ≠ 0 e z ≠ 0.
2.2. x. x. x. y. y
2.3. x. x. y. z. z. z =
2xy
3z3
40
3.3.3 Porcetagem
 A porcentagem é uma forma de representar uma fração . Nesse tipo 
de representação usamos o símbolo %, que se lê por cento e significa por cem. Assim, por 
exemplo: 30% significa . A porcentagem é muito utilizada para indicar dados de pes-
quisa, doenças, pessoas entre outros. 
Exemplo: 
 Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca de 6200 
pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o transplante, quantos resta-
ram na fila? 
Resolução:
 Vamos calcular 61% de 6200, isto é, 
Assim, restam 3782 na fila. 
a
b , sendo b = 100
30
100 
61% de 6200 = 
61
100 . 6200 =
61
100 .
6200
1 =
378200
100 = 3782
Quando queremos calcular uma porcentagem de outra porcentagem, o que fazemos? Exem-
plos 40% de 60%?
VAMOS PENSAR?
3.3.4 Representação Decimal
 Todo número racional pode ser representado por um número decimal. Para isso, 
dividimos a por b, isto é, o numerador pelo denominador. Quando é realizada essa trans-
formação, podemos encontrar dois tipos de números decimais. 
1. Quando possui uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero. 
2. Quando o número possui uma quantidade infinita de algarismos que se repetem perio-
dicamente, que é chamada de dízima periódica.
5
1 = 5
1
2 = 0,5
5
4 = 1,25
12
100 = 0,12
41
 Podemos observar que os números decimais podem ser escritos na forma de fra-
ção .Para cada situação, a fração se altera. 
• Número decimal exato
O numerador da fração será o número decimal sem a vírgula, e o denominador o algaris-
mo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais do número dado. 
• Dízima Periódica 
Para transformar a dízima periódica em geratriz (fração), devemos analisar se a dízima é 
simples ou composta. A dízima simples é composta apenas pelo período, já a dízima com-
posta possui o período e algarismos que não se repetem. Observe os exemplos a seguir de 
cada uma. 
a) Dízima periódica simples: para cada algarismo que se repete no período, acrescenta o 
algarismo 9 no denominador, e escrevemos o período no numerador.
b) Dízima periódica composta: para cada algarismo que se repete no período acrescenta o 
algarismo 9, e o 0 para cada número que não se repete na parte decimal, no denominador. 
No numerador escrevemos o número composto pela parte que não se repete com a que 
se repete e subtraímos a parte que não se repete. 
a
b
4,15 = 
415
100 ; 8,9256 =
89256
10000 ; 0,64 =
64
10
2,0913913913 … = 2 +
913 − 0
9990 = 2 +
913
9990 =
20893
9990
Há outras maneiras de obter a fração geratriz, envolvendo equação do 1° grau. 
Saiba mais no vídeo do YouTube da página matemática no papel. Disponível em: 
https://bit.ly/3rKYPFC. 
Acesso em: 27 mar. 2021.
BUSQUE POR MAIS
42
3.4 OPERAÇÃO DOS DECIMAIS 
 A adição e a subtração são definidas, armando os números decimais um embaixo do 
outro, sendo vírgula abaixo de vírgula, e posteriormente realizando os cálculos. Como, por 
exemplo: 
• 3,45+8,93= 12,38
• 14,89 – 9,23 = 5,66 
• 4,76 + 19,734 = 24,494
3.4.1 Adição e Subtração
3,45
+ 8,93
 12,38
 14,89
- 9,23
 5,66
 4,760
+ 19,734
 24,494
3.4.2 Multiplicação e Divisão
 A multiplicação de números decimais é realizada multiplicando os números normal-
mente e depois, a vírgula deve ser inserida de modo a deixar o número de casas decimais 
igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores multiplicados. Por exemplo:
 Na divisão, armamos o divisor e dividendo, e devemos igualar as casas decimais, pre-
enchendo com zero, quando necessitar. Após isso, ignoramos a vírgula, e realizamos a divi-
são. Por exemplo: dividir 31,15 por 3,5.
 3,46 8,7
X 1,29 X 3,15
 3114 435
+ 692 + 87
 346 261
 4,4634 25,405
 31,15 3,50
- 2800 8,9
- 3150 
 3150 
 0 
43
3.5 EXPRESSÃO NUMÉRICA 
 As expressões numéricas são conjuntos de operações definidas entre parênteses, 
colchetes e chaves. Para resolver existe uma ordem a ser seguida. Entre os símbolos, te-
mos: 
1. Parênteses 
2. Colchete
3. Chaves
 Nas operações, a ordem é a seguir: 
1. Potenciação ou Radiciação 
2. Divisão ou Multiplicação
3. Soma ou Subtração
Exemplo: 
 Resolva a expressão numérica 
 60 ÷ {2 · [-7 + 18 ÷ (-3 + 12)]} – [7 · (-3) – 18 ÷ (-2) + 1]
Resolução:
 Iniciamos a resolução pelos parênteses
 Agora vamos analisar os colchetes, e as operações que têm prioridade 
 Ficamos nesse momento nas chaves 
 
 Por fim, do lado externo aos símbolos, seguindo a ordem das operações
 Logo o resultado é +5.
60 ÷ 2 · −7 + 18 ÷ −3 + 12 – 7 · −3 – 18 ÷ −2 + 1
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) – 18 ÷ (−2) + 1]
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) −18 ÷ (−2) + 1�
60 ÷ 2 · −7 + 2 – 7 · −3 + 9 + 1
60 ÷ {2 · (−5)} – [−21 + 9 + 1�
60 ÷ 2 · −5 – −11
60 ÷ 2 · −5 – −11
60 ÷ −10 – −11
60 ÷ −10 – −11
−6 – −11
−6 + 11
+5
44
Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o material da bi-
blioteca person, no livro “Fundamentos de Matemática”, de autoria de Araujo et 
al. (2018), unidade 9 e 13. O acesso está disponível no link https://bit.ly/3mm5hSv. 
Acesso em: 13 fev.2021.
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45
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Calcule o valor da expressão e assinale a alternativa que corresponda à so-
lução. 
a) 2
b) 
c) 
d) 
e) 1
2. ENEM-2021) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas quais está impressa uma 
fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence aquele que pri-
meiro consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. 
O vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: 3/5, 1/4,2/3 e 5/9. A ordem que 
esse aluno apresentou foi. 
a) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9
b) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3
c) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3
d) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3
e) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9
3. (OBMEP) Um garrafão cheio de água pesa 10,8 kg. Se retirarmos metade da agua nele 
contida, pesar a 5,7 kg. Quanto pesa, em gramas, esse garrafão vazio? 
a) 400.
b) 500.
c) 600.
d) 700.
e) 800.
4. (OBMEP – Adaptado) Sófocles recebe R$15,60 por hora como garçom. Em um determi-
nado dia, ele recebeu R$148,20 pelo seu trabalho. Quanto tempo ele trabalhou neste dia?
a) 8 horas.
b) 8 horas 30 minutos.
c) 9 horas. 
d) 9 horas e 30 minutos.
e) 9 horas e 50 minutos. 
0,999 … +
1
5 +
1
3
3
5−
1
15
9
5
8
15
49
5
46
5. Um salão de festa possui um formato retangular com 22,5 m por 18,2 m. Para instalar um 
piso, são gastos R$ 8,40 por m². Calcule o valor gasto na instalação do piso. 
a) R$ 683,76.
b) R$ 1.367,52.
c) R$ 2.735,04.
d) R$ 3.439,80.
e) R$ 5.743,58.
6. (ENEM – 2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um em-
presário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. 
Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma 
delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa 
que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de re-
ais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.
O empresário decidiu comprar a empresa:
A) F.
B) G.
C) H.
D) M.
E) P.
7. Encontre o valor da expressão numérica.
Marque a alternativa correspondente ao valor correto. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. Considere uma sequência de números 
 
Indique a ordem crescente desses números. 
5
3
5
4
−
25
9
−
5
3
−
3
5
−3; 
234
10 ; 7,81; −
8
11 ; 0,21111 … ; −6, 7
�
47
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
−
8
11 ;−6, 7
�; −3; 0,21111 … ; 7,81; 
234
10
−
8
11 ;−6, 7
�; −3; 7,81; 0,21111 … ; 
234
10
−3;−
8
11 ;−6, 7
� ; 7,81; 
234
10 ; 0,21111 …
−3;−
8
11 ;−6, 7
� ; 7,81; 0,21111 … ; 
234
10
48
CONJUNTOS DOS 
NÚMEROS REAIS
UNIDADE
04
49
 Os conjuntos de números são representados por letras, como os símbolos Z e Q, 
que são derivados do alemão Zahl (número) e Quocient (quociente). Primeiramente, 
esses símbolos foram usados na obra “Éléments deemathématique: Algèbre” de Nicolas 
Bourbaki. Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de matemáticos franceses criado 
em 1935.
 A seguir, abordaremos outros conjuntos numéricos, sendo os irracionais e os reais. Eles 
são representados pelos símbolos I e R, respectivamente. Esses conjuntos são importantes, 
e englobam operações como os conjuntos vistos anteriormente. 
4.1 NÚMEROS IRRACIONAIS
 Os números irracionais, representado pelo símbolo , são números decimais que 
possuem infinitas casas decimais, não periódicas. Ou seja, não possuem representação em 
fração. Seguem alguns exemplos de números irracionais. 
• 7,89436231... 
• 0,3425187...
• -5,98009832...
 Alguns números irracionais são usuais na matemática, como: 
• √2=1,4142135…
• π (pi)=3,141592…
• e=2,71828182…
𝕀
Prove que .
VAMOS PENSAR?
2� ∉ ℚ
 Um número irracional fácil ser identificado é a raiz quadrada de números primos, 
isto é, se p é primo e positivo, √p é irracional. Assim, √7,√11,√13 são números irracionais. 
 As operações usuais definidas nos outros conjuntos, também são utilizadas no con-
junto, entretanto, quando há operações entre racionais e irracionais, o resultado será irra-
cional. Desse modo, dados a irracional e r racional não nulo, então: 
Exemplo:
 Percebemos que o conjunto dos irracionais é disjunto dos racionais, ou seja, não pos-
suem elementos em comum.
a + r, a. r,
a
r e 
r
a são irracionais.
5� + 3, 6 2� ,
7�
8 ,
4
2�
50
4.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS
 O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é denominado con-
junto dos números reais ( ). Assim, os naturais, inteiros, racionais e irracionais formam o 
conjunto dos reais
ℝ
ℝ
Figura 5: Conjunto dos Números Reais
Fonte: Elaborado pela Autora (2021
Como mostra o diagrama, os conjuntos numéricos possuem uma relação de inclusão. No en-
tanto, como apresentado, os conjuntos dos irracionais não possuem os demais subconjuntos, 
pois .
FIQUE ATENTO
ℚ ∩ 𝕀 = ∅
 Observamos pelo diagrama que, . Então podemos dizer que o complemen-
to de em relação à é , e vice-versa. 
 Além desses subconjuntos dos reais, podemos destacar os seguintes: 
• += conjunto dos números reais não negativos 
• - = conjunto dos números reais não positivos
• * = conjunto dos reais não nulos
ℝ
ℝ
ℝ
ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
ℚ 𝕀ℝ
4.3 OPERAÇÕES EM ℝ
 As operações de soma, subtração e multiplicação em são definidas como no con-
junto dos racionais. A divisão está definida em *. Na próxima unidade abordaremos ou-
tras operações presentes no conjunto dos reais.
ℝ
ℝ
4.3.1 Os números reais na reta
 Como vimos em unidades anteriores, os números podem ser representados na reta 
numérica. Na unidade 2, destacamos os números inteiros.
51
 Do mesmo modo, podemos destacar os números reais, tanto os racionais como os 
irracionais. Devemos pensar que entre os números inteiros há espaços não preenchidos, 
onde podem ser inseridos os racionais, e entre esses, os irracionais. Assim, obtemos os con-
juntos dos reais na reta numérica.
 Essa reta representa todo o conjunto dos reais, cuja nomenclatura é reta real ou reta 
numérica. 
 Observamos que os conjuntos numéricos se relacionam, e desse modo mantêm 
propriedades e valores em comum. 
Para mais informações sobre os conjuntos numéricos, pesquise na minha biblio-
teca, o livro “Fundamentos de Matemática” de autoria de Araujo et al. (2018), na 
Unidade 2, “Conjuntos Numéricos”. Disponível em: https://bit.ly/3rOR3ub. 
Acesso em: 29 mar. 2021
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52
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Analise as afirmativas abaixo:
I. 
II. 
III. 
IV. 
Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta. 
a) V, V, V, V.
b) F, V, F, V.
c) V, V, F, V.
d) V, F, V, V.
e) F, F, F, V.
2. O resultado da operação pertence a qual conjunto numérico?
 
a) Racionais.
b) Inteiros.
c) Naturais. 
d) Nulo. 
e) Irracionais.
3. Os conjuntos numéricos se relacionam, como vimos nas unidades. O resultado da ope-
ração é:
a)
b) 
c) 
d)
e) 
4. Observe as proposições abaixo, e aponte a verdadeira. 
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b)A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracio-
nais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
ℕ ⊂ ℝ
 4 + 5� ∈ ℚ
 3 − 7� ∈ (ℝ− ℚ)
2�
3�
 .
3�
7
ℤ ∪ ℚ C
ℝ
𝕀
ℤ
ℕ
ℚ
53
e) A multiplicação de um inteiro com um irracional, é racional. 
5. O valor da expressão abaixo, quando a = 8 e b = 15, é:
a) Um número natural.
b) Um número inteiro.
c) Um número irracional.
d) Um valor nulo.
e) Um número racional. 
6. Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa correta.
a) Alguns números naturais são também racionais.
b) Um número racional pode ser irracional.
c) Todo número negativo é um número inteiro.
d) O conjunto dos números reais é formado pela interseção dos números racionais e irra-
cionais.
e) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto, são também nú-
meros reais.
7. Seja A = {3,5}, B = {3,5,8} e C = {8,10}, determine os elementos da operação .
a) {3,5,8}
b) {3,5}
c) {8,10}
d) {3,5,8,10}
e) {3,10}
8. Sobre os conjuntos numéricos, julgue as afirmativas a seguir:
I. A diferença entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números racionais é 
igual ao conjunto dos números irracionais.
II. Zero pertence ao conjunto dos números irracionais.
III. O resultado de (-7,5).(+2) é um número natural.
Marque a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
b
b− a 2�
(A U B) ∩ (B U C)
54
POTÊNCIAS E RAÍZES UNIDADE
05
55
5.1 POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL 
 A potenciação, também conhecida como exponenciação, é a multiplicação de um 
determinado número por ele mesmo diversas vezes.
Para escrever essas multiplicações em forma de potenciação, usamos a seguinte notação 
(16):
 (16)
 Na representação acima lê-se “a elevado à n”. Nela, o número real não-nulo a é cha-
mado de base, é o número que está sendo multiplicado por ele mesmo. Já o número 
natural n é chamado de expoente e representa a quantidade de vezes que o número é 
multiplicado. O resultado dessa multiplicação é chamado de potência.
 Vejamos alguns exemplos na tabela abaixo:
an = a. a. a . . . a
n fatores
.
BASE EXPOENTE REPRESENTAÇÃO POTÊNCIA
2 4 24= 2.2.2.2 =16
(2 elevado à 4 é igual à 16)
16
5 2 52= 5.5 =25
(5 elevado à 2 é igual à 25)
25
3 5 35= 3.3.3.3.3 =243
(3 elevado à 5 é igual à 243)
243
7 1 71= 7
(7 elevado à 1 é igual à 7)
7
Tabela 1: exemplos de potenciação
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)a (2021)
Nos exemplos acima, consideramos expoentes diferentes de zero. Caso o expoente seja 
zero, independentemente da base, a potência será sempre igual à 1.
Exemplos:
50=1
(-2)0=1
(0,27)0=1
189476230=1
 Vejamos agora algumas propriedades das potências de expoente natural. Para isso, 
considere e . Então, valem as seguintes propriedades:m, n ∈ ℕa, b ∈ ℝ
56
I. Produto e potências de mesma base (17): 
 (17)
II. Divisão de potências de mesma base (18):
 (18)
 
III. Potência de um produto (19):
 
 (19)
IV. Potência de um quociente (20):
 
 (20)
V. Potência de potência (21):
 (21) 
Exemplos:
am. an = am+n
am
an = a
m−n, com m ≥ n 
a. b m = am. bm
a
b
m
=
am
bm com b ≠ 0
am n = am.n
51.52 = 51+2 = 53 = 125;
5.7 2 = 52. 72 = 25.49 = 1225;
23 2 = 26 = 64
5.2 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO 
 Dado um número real não-nulo a e um número natural n, definimos a potência 
(22) da seguinte forma:
 
 (22)
Ou seja, a potência de base real não-nula e expoente inteiro negativo é definida como o 
inverso da potência correspondente de expoente positivo.
a−n
a−n =
1
an
57
Exemplos:
Quando a base é uma fração e o expoente é um inteiro negativo, para o cálculo da potência, 
basta invertermos a base e trocarmos o sinal da potência. De forma geral, dados não-
-nulos e tem-se:
FIQUE ATENTO
a, b ∈ ℕ
m ∈ ℕ
a
b
−m
=
b
a
m
Exemplos:
 Dados não-nulos e as potências de expoentes inteiros negativos pos-
suem as seguintes propriedades:
 (23)
 
 (24)
 (25)
 
 (26)
 (27)
 
a, b ∈ ℝ m, n ∈ ℤ
am . an = am+n
am
an = a
m−n
a. b m = am. bm
a
b
m
=
am
bm
am n = am.n
58
Observe que as propriedades são iguais às propriedades das potências de expoente natu-
ral, apenas a propriedade (24) se altera, podendo m e n serem quaisquer.
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão:
Solução:
 
Observe que:
Assim temos : 
2) Dados a, b reais não-nulos, simplifique a expressão:
Solução:
22. 4−3. 25
26. 8−1
4−3 = 22 −3 = 2−6 e 8−1 = 23 −1 = 2−3.
22.4−3 . 25
26. 8−1 =
22. 2−6. 25
26. 2−3 =
22+ −6 +5
26+ −3
=
21
23 = 2
1−3 = 2−2 =
1
22 =
1
4
a5. b−2 −3
a−1. b3 2
a5. b−2 −3
a−1. b3 2 =
a5 −3. b−2 −3
a−1 2. b3 2 =
a−15. b6
a−2. b6 =
a−15
a−2 .
b6
b6 = a
−15− −2 . b6−6 = a−13. b0 = a−13. 1 = a−13
Vimos que a0=1 para todo número real não-nulo a. Podemos justificar essa igualdade utilizan-
do as propriedades de potências de expoente inteiro negativo. Dado qualquer número natural 
n tem-se:
 
 . 
VAMOS PENSAR?
a0 = an−n = an+ −n = an. a−n = an.
1
an =
an
an = 1
59
5.3 RADICIAÇÃO 
 Para estudarmos a radiciação, vamos pensar em um número elevado ao cubo que 
seja igual a 125. Isto é, ( )³ = 125, esse número é 5, pois 5³ = 125. Essa operação é inversa à 
potenciação, chamada de radiciação. 
 A representação da radiciação é definida como: , sendo: 
• √ radical 
• a radicando 
• b a raiz 
• n o índice da raiz, um número natural maior ou igual a 1. 
an = b
Figura 6: Radiciação
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Exemplos: 
92 = 3, pois 32 = 9
83 = 2, pois 23 = 8
−273 = −3
−252 = ∄ em ℝ
Quando o radicando é negativo, não existe raiz com índice par, pois um número elevado a 
um expoente par sempre dará positivo nos reais. Por exemplo:
FIQUE ATENTO
−164 = ∄,𝑝𝑜𝑖𝑠 −2 4 = 16
 Algumas propriedades da radiciação podem ser definidas. Considere m, n, p inteiros 
e n > 1, p > 1 e m > 1, então, temos:
 (28)
 
 (29)
abn = an . bn
60
 (30)
 
 (31)
 
an m = amn
Exemplos:
 
 Podemos relacionar a raiz com a potência com expoente fracionário. Considere a 
um número real positivo e seja um número racional, definimos a potência de base a e 
expoente da seguinte forma (32):
 (32)
 Se a=0 temos a seguinte definição especial.
Exemplos:
 As propriedades de potências vistas até agora se aplicam às potências de expoentes 
racionais. Assim, dados a,b números reais positivos e números racionais, valem as se-
guintes propriedades:
8.73 = 83 . 73 = 2. 73 = 2 73
p
qp
q
a
p
q = apq
0
p
q = 0
p
q ,
m
n
61
a
p
q. a
m
n = a
p
q+
m
n
a. b
p
q = a
p
q. b
p
q
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Exemplos: 
 
Uma vez que os números decimais são números racionais, para calcularmos potências 
cujos expoentes são números decimais, basta escrevermos esse decimalem forma de fra-
ção e utilizarmos a definição de potências de expoente racional.
Exemplos:
 
 As propriedades acima são de extrema importância no estudo das potências. Veja-
mos alguns exercícios resolvidos que envolvem essas propriedades:
Exemplos: 
 
 Simplificar fazendo o uso das propriedades:
a) 
b)
c) 
21/2. 23/4 = 2
1
2+
3
4 = 2
2+3
4 = 25/4
73/5
71/2
= 7
3
5−
1
2 = 7
6−5
10 = 71/10
145/4 = 2.7 5/4 = 25/4. 75/4
20
7
3/2
=
203/2
73/2
22/5 3/7 = 2
2
5.
3
7 = 26/35
30,5 = 35/10 = 31/2 = 32
0,20,7 = 0,27/10 = 0,2710
51,3 = 513/10
163/4
27−4/3
812 1/4
62
Solução: 
a)
b) 
c) 
2) Simplifique: 
a)
b) 
Solução:
a) 
b) 
163 4⁄ = 24 3 4⁄ = 24.
3
4 = 23 = 8
27−4 3⁄ = 33 −4 3⁄ = 33. −
4
3 = 3−4 =
1
34 =
1
81
812 1 4⁄ = 34 2 1 4
⁄
= 34.2.
1
4 = 32 = 9
22 3⁄ . 2−1 5⁄ . 24 5⁄
31 2⁄ . 3−2 3⁄
31 5⁄ . 31 8⁄ . 31 60⁄
22 3⁄ . 2−1 5⁄ . 24 5⁄ = 2
2
3+ −
1
5 +
4
5 = 2
2
3−
1
5+
4
5 = 2
10−3+12
15 = 219
Em muitos livros encontramos o termo “Radiciação” ao invés de “Potência de base 
racional”. Veja, por exemplo, no livro “Matemática aplicada” de Bravo (2020), pági-
na 9. Disponível em: https://bit.ly/39K6ttI. 
Acesso em: 14 fev.2021.
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5.4 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
 A racionalização de denominadores tem como objetivo transformar uma fração que 
possui um denominador irracional em uma nova fração, que seja equivalente à fração an-
terior, com denominador racional.
 Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mes-
mo número real, obtemos como resultado uma fração equivalente. Dessa forma, para ra-
63
cionalizar uma fração, basta multiplicar seu numerador e denominador por um número 
que transforme o irracional do denominador em racional. Esse número é chamado de con-
jugado.
Exemplos:
a) O conjugado de é pois, 
b) O conjugado de é pois, 
 Para encontrar o conjugado de um número irracional do tipo devemos:
1º) Escrever esse número na forma 
2º) Pensar no menor número tal que a+c seja um múltiplo de b;
3º) O conjugado será 
Exemplo:
1) Determine o conjugado dos seguintes números:
a)
b)
c)
d)
Solução: 
a) Escrevendo em forma de potência temos . O número que quando eu 
somo 2 resulta 3 é o 1. Logo o conjugado de
b) Escrevendo em forma de potência temos . O número que quando eu somo 
4 resulta 7 é o 3. Logo o conjugado de 
c) Escrevendo em forma de fração temos .O número que quando eu somo 5 
resulta 6, que é múltiplo de 2, é o 1. Logo o conjugado de 
d) Escrevendo em forma de fração temos . O número que quando eu 
somo 23 resulta 25 é o 2. Logo o conjugado de 
 Para racionalizar uma fração devemos encontrar o conjugado do denominador, 
multiplicar o numerador de denominador da fração pelo conjugado e, por fim, simplificar 
a fração equivalente encontrada.
Exemplos:
1) Racionalize as seguintes frações:
2 2 c 2 2 c 22 . 22 = 22
2
= 21 2⁄
2
= 2
73 723 73 . 723 = 71 3⁄ . 72 3⁄ = 7
1
3+
2
3 = 73 3⁄ = 7
xa b⁄
c ∈ 1,2,3, . . . , b − 1 
xcb
xab
2423
347
752
11235
2423 2423 = 242 3⁄
2423 é 2413
347 347 = 34 7⁄
347 é 337
752 752 = 75 2⁄
752 é 72 .
11235 1123
5 = 1123 5⁄
11235 é 1125
64
a)
b)
c)
Solução: 
 
a) Escrevendo em forma de potência temos . O número menor que 3 que quando 
eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2, logo o conjugado de . Multiplicando o nu-
merador e denominado da fração temos:
Logo, a forma racionalizada de
b) Escrevendo em forma de potência temos O número menor que 5 que quan-
do eu somo 1 resulta um múltiplo de 5 é 4, logo o conjugado de . Multiplicando o 
numerador de denominador da fração por temos:
Logo, a forma racionalizada de 
c) Escrevendo em forma de potência temos .O número menor 
que 3 que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2, logo o conjugado de . 
Multiplicando o numerador e denominador da fração temos:
Logo, a forma racionalizada de 
10
323
3
65
1
43
43 43 = 41 3⁄
43 é 423
1
43
por 423
1
43
 .
423
423
=
423
433
=
423
4 =
243
22 =
233 . 23
22 =
23
2
1
43
é 2
3
2 .
65 = 61 5⁄ .6
5
65 é 645
3
65
645
3
65
 .
645
645
=
3 645
655
=
3 645
6 =
645
2
3
65
é 6
45
2 .
323 323 = 321 3⁄ = 25 1 3⁄ = 25 3⁄
323 é 3223
10
323
por 3223
10
323
.
3223
3223
=
10 323
3233
=
10 323
32 =
5 253
32 =
5 233 . 223
32 =
5.2 43
32 =
5 43
16
10
323
é 5 4
3
16 .
65
Podemos nos deparar com denominadores irracionais constituídos pela soma de 
dois termos. Nesse caso, para transformá-lo em um número racional, precisare-
mos dos produtos notáveis. Veja alguns exemplos de como isso é feito no vídeo 
disponível em: https://bit.ly/3rQtBwR. 
Acesso em: 14 fev.2021.
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5.5 EXPRESSÕES NUMÉRICAS
 Vimos que para resolver expressões numéricas existe uma ordem a ser seguida. Pri-
meiro, eliminamos os parênteses resolvendo tudo que está dentro dele. Depois, fazemos o 
mesmo para os colchetes e, em seguida, para as chaves. Dentro de cada um desses delimi-
tadores obedecemos à seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação;
2º) Multiplicações e divisões;
3º) Adições e subtrações.
 Vejamos alguns exemplos de expressões numéricas e como resolver cada uma delas.
25 + 33: 9 + 32. 5– 3. 23 − 51 =
25 + 33: 9 + 32. 5– 3. 8 − 5 =
25 + 33: 9 + 32. 5– 3.3 =
25 + 33: 9 + 9.5– 3.3 =
25 + 33: 9 + 45– 9 =
25 + 33: 9 + 36 =
25 + 27: 9 + 36 =
25 + 3 + 36 =
= 64
42 + 83 . 32 + 16: 64�
2
− 35
2
+ 110 − 100 =
16 + 2.9 + 16: 8 2 − 35 2 + 110 − 100 =
16 + 18 + 22 − 35 2 + 110 − 100 =
34 + 22 − 35 2 + 110 − 100 =
34 + 4 − 35 2 + 110 − 100 =
32 + 110 − 100 =
9 + 1 − 1 =
= 9
66
642 : 2 . 22 + 81� − 23 . 24 − 50 . 2564 =
8: 2 . 22 + 9− 8 . 24 − 50 . 2564 =
4. 22 + 1. 24 − 50 . 2564 =
4. 22 + 1.16− 1 . 2564 =
4. 22 + 16 − 1 . 2564 =
4. 22 + 15. 2564 =
4. 22 + 15.4 =
4. 22 + 60 =
4.4 + 60 =
16 + 60 =
= 76
De forma similar ao que foi feito para o cálculo de expressões numéricas, podemos 
simplificar expressões algébricas. Veja em “Pré-Cálculo” de Adami, Dornelles Filho; 
e Lorandi (2015), página 13, disponível em: https://bit.ly/3rWcIRb. 
Acesso em: 14 fev. 2021.
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67
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (Cesgranrio-1994) O número de algarismos do produto é igual a:
a) 17.
b) 18.
c) 26.
d) 34.
e) 35.
2. (CPCAR-2002-Adaptada) Simplificando , com x>0 e y>0 obtemos:
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e) 
3. (Fuvest-1981) Dos números abaixo, o que está mais próximo de
 é:
a) 0,625.
b) 6,25.
c) 62,5.
d) 625.
e) 6250.
4. (OBM-1998) Qual dos números a seguir é o maior?
 
a) 3 45
b) 920
c) 2714
d) 2439
e) 8112
5. (UECE-2002) A expressão numérica é igual a
517. 49
x
y
y
x
3�
xy56
y
x2y3
x
yx56
x
xy23
y
x
y
3
5,2 4. 10,3 3
9,9 2
5 543 − 3 163
68
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. (Vunesp-1992) O valor da expressão é:
a) 0,3
b) -0,3
c) -0,2
d) 0,2
e) 0
7. (UFPB-1977) A expressão 2√27-√75+3√12 é igual a:
a) 2√3
b) 4√12
c) 4√27
d) 7√3
e) 7√6
8. (IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:
I. 
II. 
III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
 
14583
7293
2 703
2 383
1403
5−1 −
1
2
−52 − 16� . −10 : 5�
2
= −17
35: 3 + 81� − 23 + 1 . 2 = 10.
3 + 5� . 3− 5�
69
GEOMETRIA PLANA
 E ESPACIAL 
UNIDADE
06
70
6.1 NOÇÕES PRIMITIVAS DA GEOMETRIA 
 Ponto, reta e plano são as noções primitivas da geometria. Não existe uma maneira 
de definir esses objetos, mas, precisamos de cada um deles para construirmos todas as