TD DE MATEMÁTICA - AULA 1 - Frente 1 - Versão 12

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REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1o GRAU 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
O sistema de numeração que usamos é o sistema de numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em 
grupos de dez. 
 
Dezenas  cada grupo de 10 unidades 
 dezenas = 10 unidades 
Centenas  cada grupo de 10 dezenas 
 centenas = 100 unidades 
Milhar  cada grupo de 10 centenas 
 milhar = 1000 unidades 
 
Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa) no numeral: 
 
Ex: 7 8 9 
9  casa das unidades (ordem das unidades) 
8  casa das dezenas (ordem das dezenas) 
7  casa das centenas (ordem das centenas) 
 
A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em 
classes de três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) 
 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 
 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º 
 
1º  Ordem das unidades 
2º  Ordem das dezenas 
3º  Ordem das centenas 
4º  Ordem das unidades de milhar 
5º  Ordem das dezenas de milhar 
6º  Ordem das centenas de milhar 
7º  Ordem das unidades de milhão 
8º  Ordem das dezenas de milhão 
9º  Ordem das centenas de milhão 
10º Ordem das unidades de bilhão 
11º Ordem das dezenas de bilhão 
12º  Ordem das centenas de bilhão 
 
FORMA POLINOMIAL 
Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos escrever da seguinte forma: 
 
428 = 4.100 + 2.10 + 8.1 ou 4.10
2
 + 2.10
1
 + 8.10
0
 
 
ATENÇÃO! 
 
Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo sistema de numeração as notações. 
 
Para um número de dois algarismos: 
N = [ab]  forma polinomial: N = 10 a + b 
 
Para um número de três algarismos: 
N = [abc]  forma polinomial: 100 a + 10 b + c 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 1 – Prof Raul Brito 
 
2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
NÚMEROS NATURAIS 
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o que chamamos de números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... 
 
O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o antecessor de n é (n – 1) 
 
Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as 
seguintes notações: 
 
I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivos 
II. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos pares 
III. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares 
 
 
OPERAÇÕES: 
 
I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número o que chamamos de 
soma. 
 
a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma. 
 
II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos: 
 
a – b = D ou a – b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D ou R é o resto ou diferença. 
 
III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número ou 
(fator) o que chamamos de produto. 
 
a · b · c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto. 
 
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto. 
 
IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. 
 
Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a  b  0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q” 
também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e q é o quociente. 
 
Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) 
 
a b
a b q r, onde 0 r b.
r q
 
 
 
a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
O que é número primo? 
A seguir estão representados os números naturais de 2 a 50: 
 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
 
 
 
 
 
3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por 2, que 
números permanecem? 
 
 2 3 5 7 9 
11 13 15 17 19 
21 23 25 27 29 
31 33 35 37 39 
41 43 45 47 49 
 
Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números que são divisíveis por 3, quais ficam? 
 
 2 3 5 7 
11 13 17 19 
 23 25 29 
31 35 37 
41 43 47 49 
 
Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros números 
divisíveis por 5, quais ainda continuam? 
 
 2 3 5 7 
11 13 17 19 
 23 29 
31 37 
41 43 47 49 
 
Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no primeiro número não assinalado e apagando os demais 
números que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números assinalados com o círculo. Veja os números que 
permanecem: 
 
 2 3 5 7 
11 13 19 
 23 29 
31 37 
41 43 47 
 
 Esses números que ficaram assinalados com o circulo são números primos. Você sabe o que é um número primo? 
 
Um número natural, maior que 1, é primo quando só é divisível por 1 e por ele mesmo. 
 
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por exatamente dois 
números: 1 e ele mesmo. 
 Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois 
números. 
 
Um número natural, maior que 1, é composto quando é divisível por mais de dois números naturais. 
 
Observações: 
Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de primo ou composto. O número 0 é divisível por mais 
de dois números naturais (é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado número composto. 
Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é considerado primo nem composto. 
 
Como reconhecer um número primo 
Há infinitos números primos. 
Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o 
que acontece: 
 Encontrando um resto zero, o número não é primo. 
 Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só precisamos fazer as divisões até obter um quociente 
menor ou igual ao divisor. 
 
Veja: 
 197 não é divisível por 2, porque não é par. 
 
 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1 + 9 + 7 = 17) não é divisível por 3. 
 
4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5. 
 
 
197 7
57 28
8
 
 
 
197 11
87 17
10
 
 
 
197 13
67 15
2
 
 
 
197 17
27 11
10
 
 
Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor 
que o divisor, concluímos que 197 é número primo. 
 
ALGORITMO DA DIVISÃO 
Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e 
0 r d . Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D é o dividendo e d é o divisor). 
 
 
D d
D d q r onde 0 r d
r q
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regras 
são chamadas de critérios de divisibilidade. 
 
Um número natural N é divisível por: 
2 se seu algarismo da unidade é par: 
Ex.: 31457968 
3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. 
Ex.: 96257832 ( = 42) 
4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4. 
Ex.: 63517916 ou 00 
5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. 
Ex.: 73689210 ou 5 
6 se é divisível por 2 e por 3. 
Ex.: 96257832 
7 * 
8 se o número formado por seustrês últimos algarismos é divisível por 8. 
Ex.: 42796512 ou 000 
9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. 
Ex.: 56482371 ( = 36) 
10 se seu algarismo das unidades é 0. 
Ex.: 27865390 
11 * 
 
 
Divisibilidade por 7 
197 não é divisível por 7, porque nessa 
divisão ocorre resto 1. O quociente (28) é 
maior que o divisor (7). 
197 não é divisível por 11, porque nessa 
divisão ocorre resto 10. O quociente (17) 
é maior que o divisor (11). 
197 não é divisível por 13, porque nessa 
divisão ocorre resto 2. O quociente (15) é 
maior que o divisor (13). 
197 não é divisível por 17, porque nessa 
divisão ocorre resto 10. O quociente (11) 
é menor que o divisor (17). 
quociente 
divisor 
resto 
dividendo 
 
5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma 
das classes pares é zero ou múltiplo de 7. 
Exemplo: 
103381285 é divisível por 7? 
3ªclasse 2ªclasse 1ªclasse
103 381 285 
Soma das classes ímpares 385 + 103 = 388 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 7 
 
Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 103381285 também é múltiplo de 7. 
Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos 
forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares. 
 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a sorna dos 
algarismos de ordem par é zero ou múltiplo de 11. 
Exemplo: 103742 é divisível por 11? 
Note: 
1 0 3 7 4 2
 
 
Soma das ordens ímpares 2 + 7 + 0 = 9 
Soma das ordens pares 4 + 3 + 1 = 8 
Diferença 9 – 8 = 1 
Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão por 11 é 1. 
 
 
Observação 
Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos 
11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual à soma dos algarismos de ordem par. 
 
DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO 
Existe um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como vamos achar os divisores de 18: 
 
1) Fatoramos o número 18. 
18 2
9 3
3 3
1
 
 
2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 
18 2
9 3
3 3
1
 
 
3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a 
linha do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima dele (2 1 2). 
1
18 2
9 3
3 3
1
 
 
 
 
 
4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos números que estão nas linhas acima dele, à 
algarismos de ordem ímpar 
algarismos de ordem par 
2 
 
6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
direita do traço (3 1 3 e 3 2 6). 
1
18 2
9 3
3 3
1
 
 
5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e 
3 2 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18). 
1
18 2
9 3
3 3
1
 
 
Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 18: 
1, 2, 3, 6, 9 e 18 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO NATURAL 
Se N = 2ª · 3
b
 · 5
c
 · 7
d
 · ..., a quantidade de divisores (positivos) de N, dada por: 
 
n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ... 
Exemplo: 
O número de divisores positivos de 90 é: 
 
1 2 1
90 2
45 3
15 3 90 2 · 3 · 5 n[D(90)] (1 1)·(2 1)·(1 1) 2 · 3 · 2 12
5 5
1
 
 
Observação 
Para encontrar os 12 divisores de 90 faça: 
1
90 2 2
45 3 3, 6
15 3 9, 18
5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90
1
 
Logo os 12 divisores de 90 são 
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 
 
 
RESTO DA DIVISÃO 
 
Resto da divisão por 2 e por 5. 
O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que o da divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5. 
Exemplos: 
3.277 (7 : 2) resto 1 
3.277 (7 : 5) resto 2 
1.323 (3 : 2) resto 1 
1.323 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do nº). 
 
Observação 
No caso da divisão por 2, temos ainda a opção de utilizarmos a seguinte regra prática: 
Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é zero, e se for ímpar o resto será um. 
Resto da divisão por 3 e por 9. 
2 
2 
3 – 6 
3 – 6 
9 – 18 
 
7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da divisão da sorna dos valores absolutos dos sem 
algarismos, por 3 ou 9. 
Exemplos: 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 3 23 : 3 resto 2 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 9 23 : 9 resto 5 
 
Resto da divisão por 4. 
O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e 
das unidades de seu numeral por 4. 
Exemplo: 
49615 (15 : 4) resto 3 
 
Resto da divisão por 6. 
O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o 
resto da divisão da sorna do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos 
restantes. 
 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 
 por 6? 
 
Soma dos algarismos
res tan tes
4 4 (2 2 2 1) 4 4 7 32 
quádruplo 
Logo 
32 6
2 5
 
Assim o resto procurado é 2. 
 
Resto da divisão por 7. 
Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o 
resto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 111381285 por 7? 
3ª Classe 2ª Classe 1ª Classe
111 381 285 
Soma das classes ímpares 285 + 111 = 396 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 15 
 
Corno 15 não é múltiplo de 7 ternos que o número 111381285 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: 
 
15 7
1 2
 
Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença 
já será o resto. 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7? 
3ª Classe 2ª Classe 1ª Classe
213 340 132 
Soma das classes ímpares 213 + 132 = 345 
Soma das classes pares = 340 
Diferença = 5 
 
Como 5 não é múltiplo de 7, temos que o número 213340132 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5. 
 
Resto da divisão por 8. 
O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das centenas, 
dezenas e das unidades de seu numeral por 8. 
Exemplo: 
318574 (574 : 8) resto 6 
 
Resto da divisão por 10. 
O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das unidades do numeral desse número. 
Exemplo: 
1.315 resto 5 
 
2 2 2 1 4
resto 
 
8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Resto da divisão por 11. 
Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja um 
número múltiplo de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto efetuando-se a divisão da diferença obtida por 11. 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11? 
8 1 9 2 8 3 7
 
 
Soma das ordens ímpares 8 + 9 + 8 + 7 = 32 
Soma das classes pares = 6 
Diferença = 26 
 
Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81 92837 não é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será: 
 
26 11
4 2
 
 
 
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 
Múltiplo de um número natural é o produto dele por um númerointeiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 
7 (indicado por M(7)) é: 
7· (0) 0
7· ( 1) 7
7· ( 2) 14
7· ( 3) 21
7· ( 4) 28
M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...)
7· ( 5) 35
7· ( 6) 42
.
.
.
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Definição: 
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primos 
comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente. 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Definição: 
O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primos 
comuns de a e b, tomados com o menor expoente. 
 
PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC DE DOIS NÚMEROS 
1ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto deles e o MDC é 1. 
Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1 
 
2ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o MMC e o menor é o MDC. 
Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6 
 
3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números. 
 
a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b) 
 
Ex.: 15 20 MMC(15, 20) MDC(15, 20) 
 300 60 · 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
algarismos de ordem par 
algarismos de ordem ímpar 
resto 
 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 1 
Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e 
A1B representados em notação posicional. Sabendo que 
B = 2.A e que a diferença entre A1B e AB vale 280, 
determine o valor de A + B. 
 
Questão 2 
O número de inteiros positivos que são divisores do número 
N = 21
4
 × 35
3
, inclusive 1 e N, é 
a) 84. 
b) 86. 
c) 140. 
d) 160. 
e) 162. 
 
Questão 3 
O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos 
que necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O 
Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede 
onde utilizaria os azulejos era retangular e media 3,15 
metros de altura por 6,15 metros de comprimento. E por 
uma questão de economia ele gostaria de utilizar o menor 
numero possível de azulejos quadrados. Antes que o 
vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários 
para revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer que 
ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes 
entre um azulejo e outro. João ficou todo feliz e disse: papai 
eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a 
seu pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. 
Pergunta-se: 
a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar 
o numero de azulejos, nas condições acima? 
b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João 
c) Qual a medida do lado do azulejo ? 
 
 
Questão 4 
Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o 
maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o 
quociente vale 6, calcule o dividendo. 
 
 
Questão 5 
Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a 
soma dos seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 36 
unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa 
YX. 
 
 
 
 
 
10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 6 
O estoque de um depósito atacadista de cereais está 
constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas de 
trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 72kg cada. Os 
cereais disponíveis devem ser reembalados em sacas 
menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso 
possível em cada saca, sem misturar os cereais e sem 
sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque 
ficará distribuído em n sacas. O valor de n é: 
a) 29 c) 31 
b) 30 d) 32 
 
Questão 7 - (UECE) 
Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: 
de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em 
12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 
2002. Coincidirão novamente em: 
a) outubro de 2011. d) algum mês de 2004. 
b) setembro de 2003. e) fevereiro de 2015. 
c) setembro de 2012. 
 
Questão 8 
Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos das 
divisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente n, p e q. 
Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: 
a) 76 d) 92 
b) 84 e) 96 
c) 88 
 
Questão 9 
O número 97381285: 
a) é divisível por 7. 
b) na divisão por 7 deixa resto 1. 
c) na divisão por 7 deixa resto 2. 
d) na divisão por 7 deixa resto 3. 
e) na divisão por 7 deixa resto 4. 
 
Questão 10 
De forma a não machucar as belas maças que comprou na 
feira, a governanta da casa de uma família arruma as frutas 
em uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha por 
alguns instantes, não percebe que: 
• o dono da casa pegou 
1
6
 das frutas e colocou no 
frigobar do quarto; 
• sua patroa pegou 
1
5
 das restantes e levou para comer 
no trabalho; 
• o filho mais velhos pega para si 
1
4
 do restante para 
comer com os amigos no lanche da faculdade; 
• o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 
1
3
 e 
1
2
 das restantes para comerem. 
Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio, 
fica magoada com a gulodice dos patrões e decide guardar 
as 3 frutas restantes não mais uma cesta, e sim um prato 
pequeno. Quantas eram as maçãs arrumadas 
originalmente? 
a) 8 d) 15 
b) 12 e) 18 
c) 14 
 
 
11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 11 
Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6o 
egípcio de cerca de 1650 a.C., no qual um escriba de nome 
Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, 
frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, 
repartições proporcionais, regra de três simples, equações 
lineares, trigonometria básica e geometria. É um dos mais 
famosos antigos documentos matemáticos que chegaram 
aos dias de hoje, juntamente com o Papiro de Moscou. 
Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind. 
Acesso em: 17 nov. 2012. 
 
 
No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se a 
expansão de frações como soma de outras frações de 
numerador 1, como por exemplo 
2 1 1 1 1
.
73 60 219 292 x
 
Nessa expressão, o valor de x é igual a 
a) 345. d) 360. 
b) 350. e) 365. 
c) 355. 
 
Questão 12 
Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. 
As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma, 
ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira 
caixa, 
1
15
 das bolas são azuis. O peso total das bolas da 
segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira 
caixa. Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa? 
a) 
4
5
 d) 
2
15
 
b) 
7
8
 e) 
1
2
 
c) 
2
3
 
 
Questão 13 
Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta para 
saber quantos dias ainda faltavam para o seu aniversário. 
Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar 
2
5
 do 
total de dias e, em seguida, mais 
1
6
 do que restou, ainda 
faltariam 10 dias para o seu aniversário. Dessa forma, 
quantos dias faltavam inicialmente para tão esperada data? 
a) 10 d) 20 
b) 14 e) 24 
c) 16 
 
http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind
 
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 14 
Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois 
caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de Maria e os 
dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho 
2
3
 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra 
Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda 1 km a 
menos que no primeiro caminho, mas o dobro do que Maria 
terá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Maria 
e o cinema? 
a) 1 km d) 4 km 
b) 2 km e) 6 km 
c) 3 km 
 
Questão 15 
Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A 
e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 
apostadores, tendo cada um deles contribuído com a 
mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, 
que cada apostador da cidade B receberá, é 
a) 
1
6
. d) 
1
10
. 
b) 
1
8
. e)1
12
. 
c) 
1
9
. 
 
Questão 16 
A geratriz da dízima 1,833... é 
a
b
, então a + b vale: 
a) 17. d) 10. 
b) 15. e) 9. 
c) 16. 
 
Questão 17 
Um pedreiro poderia fazer um muro em 40 dias e outro 
pedreiro faria o mesmo muro em 60 dias. Trabalhando os 
dois juntos, em quantos dias concluiria o muro? 
a) 12. d) 26. 
b) 20. e) 28. 
c) 24. 
 
Questão 18 
Três torneiras são abertas simultaneamente. A primeira 
consegue encher o tanque completamente cheio em 2h. A 
segunda em 4h. A terceira torneira consegue esvaziar o 
mesmo completamente cheio em 3h. Determine o tempo 
para que o tanque fique completamente cheio, com as três 
torneiras abertas nas condições do problema. 
 
Questão 19 
Rafael tem 
2
3
 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem 
que Reinaldo. A idade de Roberto apresenta 
4
3
 da idade de 
Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é 
a) 72 d) 48 
b) 60 e) 35 
c) 58 
 
 
 
MARIA-BLITZ
Máquina de escrever
FAZER AS DUAS FORMAS
MARIA-BLITZ
Máquina de escrever
FAZER AS DUAS FORMAS
MARIA-BLITZ
Máquina de escrever
COLOCAR EM H:I
MARIA-BLITZ
Máquina de escrever
QUESTÃO 20:

Qual o resto da divisão de 
17^100 por 3.
 
13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 1 
Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das 
dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao 
número 12 unidades o resto seja igual ao quadrado do 
algarismo das dezenas. 
 
Questão 2 
O quociente da divisão de um número N de 2 algarismos 
pela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o 
dobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das 
unidades ? 
 
Questão 3 - (UECE) 
O número de algarismos, contados com as repetições, 
necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual 
a: 
a) 180 
b) 181 
c) 182 
d) 183 
 
Questão 4 - (Fuvest) 
Abaixo está representada uma multiplicação onde os 
algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o 
valor de a + b + c? 
a) 5 
b) 8 
c) 11 
d) 14 
e) 17 
 
 
 
1abc
3
abc 4
 
Questão 5 
Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24 
e 30? 
 
Questão 6 
Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24 
e 30? 
 
Questão 7 
Sendo dois números A = 2
2
 · 3
3
 · 5 e B = 2
3
 · 3
2
 ·11, o 
quociente da divisão do seu MMC pelo seu MDC será: 
a) 5 · 11 
b) 2
2
 · 3
3
 
c) 2 · 3 · 5 · 11 
d) 2
2
 · 3
3
 · 5 · 11 
e) 2
2
 · 3 · 5
2
 · 11 
 
 
 
 
 
 
 
14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 8 (UECE) 
Seja n o menor inteiro positivo para o qual 
n n n n n n n n
, , , , , , e
2 3 4 5 6 7 8 9
 são números inteiros. O produto dos 
algarismos do número n é: 
a) 0 
b) 5 
c) 10 
d) 20 
 
Questão 9 (PUC) 
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita 
na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e 
na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi 
feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias 
as máquinas receberão manutenção no mesmo dia ? 
a) 9 de dezembro 
b) 10 de dezembro 
c) 11 de dezembro 
d) 14 de dezembro 
e) 28 de dezembro 
 
Questão 10 
Uma empresa de logística é composta de três áreas: 
administrativa, operacional e vendedores. A área 
administrativa é composta de 
30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 
36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma 
integração entre as três áreas, de modo que todos os 
funcionários participem ativamente. As equipes devem 
conter o mesmo número de funcionários com o maior 
número possível. Determine quantos funcionários devem 
participar de cada equipe e o número possível de equipes. 
a) 19 equipes com 6 participantes cada uma 
b) 18 equipes com 5 participantes cada uma 
c) 20 equipes com 4 participantes cada uma 
d) 21 equipes com 3 participantes cada uma 
 
Questão 11 
Larissa fez uma viagem de 1 210km, até chegar à fazenda 
de seu avô. A viagem foi feita da seguinte forma: 
7
11
 do 
percurso, de avião; 
2
5
 do resto, de trem; a seguir 
3
8
 do que 
restou, de ônibus; e os demais quilômetros, de carro com 
tração nas quatro rodas, pois não se chega em carro com 
tração em duas rodas à fazenda, em época de chuva. 
Calcule quantos quilômetros percorreu de carro com tração 
nas quatro rodas. 
a) 135 
b) 145 
c) 155 
d) 165 
e) 175 
 
 
 
 
 
 
 
15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 12 
A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 
50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro 
no momento de partida e no momento de chegada de uma 
viagem feita por João. 
 
Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? 
a) 10 
b) 15 
c) 18 
d) 25 
e) 30 
 
Questão 13 
Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma 
líquida, ou seja, após os descontos, um salário de apenas 
520 reais por mês. Dessa quantia, gasta 
1
4
 com aluguel e 
2
5
 com alimentação da família. Este mês ele teve uma 
despesa extra 
3
8
 do seu salário foram gastos com 
remédios, extrapolando o seu orçamento e, 
consequentemente, fazendo com que ele pedisse um 
adiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou? 
a) 
41
40
 d) 
1
40
 
b) 
3
40
 e) 
7
40
 
c) 
3
20
 
 
Questão 14 
Em um aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. 
João ganhou 
1
12
 do bolo, Luiz ganhou a metade do que 
João, Maria ganhou 
1
6
 do bolo, Joana ganhou o dobro de 
Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então, pode-se 
afirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi: 
a) 
3
.
8
 
b) 
3
.
5
 
c) 
2
.
3
 
d) 
5
.
8
 
e) 
2
.
9
 
 
 
16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Questão 15 
Um feirante vendeu, a R$ 2,00 a dúzia, metade das 
trezentas dúzias de laranjas que comprou. Dois terços da 
outra metade, ele vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante, a 
R$ 1,00 a dúzia. Qual foi o valor, em reais, que o vendedor 
faturou na venda? 
a) 300 
b) 400 
c) 500 
d) 600 
e) 700 
 
Questão 16 
Uma pessoa perdeu 
2
7
 do que possuía. Em seguida, 
ganhou 320 reais e ficou com o triplo do que possuía 
inicialmente. Quanto a pessoa possuía inicialmente? 
 
 
Questão 17 
Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou 
com 
1
3
; a segunda com 
2
5
 e a terceira, que ficou com o 
resto, recebeu 60 reais a menos do que a primeira. Calcule 
a quantia. 
 
Questão 18 
Uma torneira A enche um tanque sozinha em 3 horas. Outra 
torneira B, sozinha, enche o mesmo tanque completamente 
em 6 horas. Estando o tanque vazio, abrindo-se as duas 
torneiras simultaneamente, o tanque vai encher em quanto 
tempo? 
 
Questão 19 
Uma torneira enche um tanque em apenas 4 horas. O ralo 
do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque 
cheio, abrimos simultaneamente, a torneira e o ralo. Então, 
em quantas horas o tanque esvazia-se? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
F1 F2 F3 F4 F5 
93 63 D D 360 
F6 F7 F8 F9 F10 
6 C A D A 
F11 F12 F13 F14 F15 
D D D A A 
F16 F17 F18 F19 
140 900 2h 12 h 
 
17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
RESOLUÇOES DAS QUESTÕES DE CASA 
 
Questão 01 
Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever: 
N = X Y 
 
 
 dezena unidade 
Podemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 10X + Y, já que são X dezenas e Y unidades. 
Do enunciado, temos: 
X = 3Y e 2 2N 12 X 10X Y 12 X     
Substituindo o valor de X, temos: 
   
2 2 210 3Y Y 12 3Y 30Y Y 12 9Y 0 9Y 31Y 12           
Pela fórmula de Bhaskara, encontramos: 
 
2 31 4.9.12 961 432 529 529
31 529 31 23 54
y y 3
2.9 18 18
        
   
    
 
Assim: X 3Y X 3.3 X 9     
 
Resposta: XY = 93 
 
Questão 02 
Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever: 
N = X Y 
 
 
 dezena unidade 
Podemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 10X + Y, já que são X dezenas e Y unidades. 
Do enunciado, temos: 
N = XY XY X + Y 
 7 
Pelo algoritmo da divisão, temos: 
 XY X Y 7 XY 7X 7Y      
Usando a forma polinomial: 
 XY 10X Y X Y 7 10X Y 7X 7Y 10X 7X 7Y Y 3X 6Y X 2Y                 
Do enunciado, podemos escrever: 2X 3Y 3  
Assim, substituindo o valor de x encontrado: 
 2 2Y 3Y 3 4Y 3Y 3 Y 3       e X 2.3 X 6   
Logo o número procurado é XY = 63. 
 
Resposta: 63 
 
Questão 03 
Resolução: A questão pede para determinarmos a quantidade de algarismos que devemos usar para numerar as 
páginas de um livro, ou seja, para numerar, por exemplo, a página 20, precisaremos de 2 algarismos, o 2 e o 0 e assim 
formaremos o número 20. Para numerar a página 48, precisaremos de 2 algarismos, o 4 e o 8, assim formaremos o 
número 48. Então para numerar as páginas de 1 até 9, precisaremos de: 
(9 - 1 + 1)x1 = 9x1 = 9 algarismos. 
Para numerar da página 10 até a 96, precisaremos de: 
(96 - 10 + 1)x2 = 87x2 = 174 algarismos. (Aqui multiplicamos por 2 porque são números de 2 algarismos) 
Assim, para numerar as 96 páginas, necessitamos de 9 algarismos (da página 1 até a página 9) + 174 algarismos (da 
página 10 até a página 96), portanto necessitamos de 183 algarismos. 
Como encontramos o 9 e o 87? Veja o apêndice no final deste material. 
 
18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
 
Resposta: 183 algarismos 
 
Questão 04 
Resolução: Usando o algoritmo da multiplicação, temos: 
 
Assim podemos escrever: 1abc = 1 .1000 + 100a + 10b + c 
a b c 4 = 1000a + 100b + 10c + 4 
Logo, se 1abc  3 = abc4, vem: 
3 (1.1000 + 100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c + 4 
3000 + 300a + 30b + 3c = 4 + 1000a + 100b + 10c 
2996 = 700a + 70b + 7c + (7) 
428 = 100a + 10b + 1c 
400 + 20 + 8 = 100a + 10b + 1c 
1004 + 102 + 281 = 100a + 10b + 1c 
Como a decomposição de qualquer número em potências de 10 (1, 10, 100, 1000.....) é única....... 
se 1004 + 102 + 281 = 100a + 10b + 1c 
Comparando, temos a = 4, b = 2 e c = 8 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 05 
Resolução: Fatorando cada um dos números, temos: 
18 = 2 . 3
2
 
24 = 2
3
 . 3 
30 = 2 . 3 . 5 
O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes: 
MMC (18, 24, 30) = 2
3
 . 3
2
 . 5 = 360 
 
Resposta: 360 
 
Questão 06 
Resolução: Usando a fatoração da questão anterior, temos que o MDC é o produto dos fatores COMUNS, porém com 
os menores expoentes: 
MDC (18, 24, 30) – 2 . 3 = 6 
 
Resposta: 6 
 
Questão 07 
Resolução: Como os números já estão fatorados, temos: 
A = 2
2
 . 3
3
 . 5 e B = 2
3
 . 3
2
 . 11 
MMC (A, B) = 2
3
 . 3
3
 . 5 . 11 
MDC (A, B) = 2
2
 . 3
2
 
Logo o quociente q vale: 
3 3
2 2
2 3 5 11
q q 2 3 5 11 q 230
2 3
  
       

 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 08 
Resolução: Vamos supor que a questão pedisse o produto dos algarismos do número n para apenas três deles, (vamos 
pegar os três primeiros apenas para facilitar as contas usadas como exemplo). 
 
19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Então n seria o mmc de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Sendo n = 12, o produto seria 1.2 = 2. Tranquilo até ai? 
Bem, se fosse 
n
4
; 
n
7
 e 
n
9
, por exemplo, então n seria o mmc de 4, 7 e 9, fazendo as contas encontramos 252. Sendo 
n = 252, o produto seria 2.5.2 = 20. 
Vejamos o que acontece quando pegamos o 5. 
 
Caso 1: Pegaremos o 5, sem pegar um múltiplo de 2. 
Vamos pegar, por exemplo, 
n
3
; 
n
5
 e 
n
7
, então n seria o mmc de 3,5 e 7, fazendo as contas, encontramos 105. Sendo 
n = 105, o produto seria 1.0.5 = 0. 
 
Caso 2: Pegaremos 
n
2
; 
n
3
 e 
n
5
, então n seria o mmc de 2, 3 e 5, fazendo as contas encontramos 30. Note que 30 é um 
múltiplo de 10. Sendo n = 30, o produto seria 3.0 = 0. 
 
Pegaremos agora 
n
5
; 
n
6
 e 
n
7
, então n seria o mmc de 5, 6 e 7, fazendo as contas encontramos 210. Note que 210 é um 
múltiplo de 10. Sendo n = 210, o produto seria 2.1.0 = 0. 
 
Pegaremos agora 
n
4
; 
n
5
 e 
n
9
, então n seria o mmc de 4, 5 e 9, fazendo as contas encontramos 180 note que 180 é um 
múltiplo de 10. Sendo n = 180, o produto seria 1.8.0 = 0. 
Note que se n for um múltiplo de 10, o produto dará sempre zero, pois sempre vai aparecer um zero que vai ser 
multiplicado. 
Assim, basta verificarmos se n será um múltiplo de 10! 
Para ser múltiplo de 10, n precisa ser múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo, por isso nos preocupamos apenas com o 2 
e com o 5. 
Ah! Quer dizer que só precisamos nos preocupar com 2 e 5, pois assim n será múltiplo de 10 e o produto será sempre 
zero? 
Sim!! Por isso pegamos apenas o 2 e o 5. 
Mas n será múltiplo de 3, 7 ou 8, por exemplo? 
Sim, mas ele não deixará de ser múltiplo de 10 que é o que nos interessa. 
Ah prof entendi agora. 
 
Resposta: alternativa A 
 
Questão 09 
Resolução: Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6. 
 
MMC (3, 4, 6) = 2 2  3 = 12 
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de Dezembro. 
 
Resposta: 14 de Dezembro 
 
Questão 10 
Resolução: Temos que encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30. Fatorando cada número, temos: 
 
Da decomposição em fatores primos: 
48 = 2  2 2  2  3 
36 = 2  2 3 3 
 
20 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
30 = 2  3  5 
O MDC é o produto dos fatores COMUNS com os menores expoentes: MDC (30, 36, 48) = 2  3 = 6 
Assim, o número total de equipes é: 
48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipes 
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 
 
Resposta: alternativa A 
 
Questão 11 
Resolução: Fazendo-se uma análise das informações dadas, tem-se: 
• avião: 
7
. 1 210 km 770 km
11
 
• trem: 
2 2
1210 770 440km 176 km
5 5
 
• ônibus: 
3 3
1210 770 176 264 99 km
8 8
 
• carro: x km 
Assim, temos: 770 + 176 + 99 + x = 1210  1045 + x = 1210  x = 1210 – 1045  x = 165 km 
 
Resposta: alternativa D 
 
Questão 12 
Resolução: As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro continha 
3
4
 de sua capacidade no momento da 
partida e 
1
4
 no momento de chegada. Desse modo, João gastou 
3 1 1
4 4 2
 do tanque na viagem. Como o tanque 
gastou 
1
50 25
2
litros de gasolina na viagem. Note que esta última conta pode ser pensada como “João gastou meio 
tanque de gasolina e a metade de 50 é 25”. 
 
Resposta: alternativa D 
 
Questão 13 
1ª Resolução: Calculando a fração do salário correspondente às suas despesas neste mês com aluguel, alimentação da 
família e com remédios. 
10 16 151 2 3 41
4 5 8 40 40
 
Conclui-se que ele gastou com essas despesas um total de 
41
40
 ou ainda 
1
40
 só com remédios. Portanto, ele extrapolou 
1
40
 do salário. 
 
2ª Resolução: No início ele gastava: 
1 2 5.1 4.2 5 8 13
x x x x x
4 5 20 20 20
 
    , com x = 520 reais, assim temos que os 
gastos dele era de 
13 6760
520 338
20 20
  reais. Com a despesa extra, foram gastos: 
3 1560
520 195
8 8
   reais. Assim o 
total gasto com a despesa extra foi de: 338 + 195 = 533 reais. 
Logo, o gasto a mais foi de 533 520 13  reais. 
Assim, a fração do salário é de 
13 1
520 40
 . 
 
 
21 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Resposta: 
1
40
 do salário. 
 
Questão 14 
Resolução: Fazendo a distribuição do bolo: 
João ganhou 
1 2
ou
12 24
 
Luiz ganhou 
1
24
 
Maria ganhou 
1 4
ou
6 24
 
Joana ganhou 
2 8
ou
6 24
 
Somando as frações, tem-se: 
2 1 4 8 15
24 24 24 24 24
 
Sobrou para Jorge: 
24 15 9 3
24 24 24 8
 
 
Resposta: 
3
8
. 
 
Questão 15 
Resolução: Do enunciado, tem-se a informação direta de que a fração correspondente ao preço de R$ 2,00 é 
1
2
. 
Já a fração correspondente ao preço de R$ 1,50 é obtida calculando-se 
2 1 1
3 2 3
  
A fração vendida a R$ 1,00 será dada por: 
1 1 5 1
1 1
2 3 6 6
     
Assim: 
1
300 2 300
2
   
1
300 1,50 150
3
   
1
300 1 50
6
   
Portanto, na venda, o feirante faturou R$ 500,00. 
 
Resposta: R$ 500,00 
 
Questão 16 
Resolução: No início tinha x, então: 
 x  perdeu 
2
7
, logo a pessoa ficou com 
2 7x 2x 5x
x x 
7 7 7 7
    
Depois ganhou 320, ficando com 
5x
320
7
 . Após esse ganho, ficou com 3x, temos então uma igualdade: 
5x 5x 21x 5x
320 3x 320 3x 320 320 7 16x 16x 2240
7 7 7
2240
 x x 140
16

           
   
 
 
Resposta: x = 140,00 
 
Questão 17 
Resolução: Uma quantia x será dividida entre três pessoas da seguinte forma: 
 
22 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
1ª pessoa: ganhou 
x
3
 
2ª pessoa: ganhou 
2x
5
 
3ª pessoa: ganhou o restante, ou seja, 
x 2x 15x 5x 6x 4x
x 
3 5 15 15
 
    ficando com 60 reais a menos que a primeira, 
ou seja, 
4x x x 4x 5x 4x x
 60 60 60 60 x 60 15 x 900
15 3 3 15 15 15 15
               
 
Resposta: x = 900,00 
 
Questão 18 
Resolução: A torneira A sozinha enche o tanque em 3h, veja que em 1h, a torneira A sozinha enche apenas 
1
3
 do 
tanque. 
A torneira B sozinha enche o tanque em 6h, veja que em 1h, a torneira B sozinha enche apenas 
1
6
 do tanque. 
Assim as duas torneiras enchem em 1h, 
1 1 2 1 3 1
 
3 6 6 6 2

    do tanque. Se as duas torneiras enchem metade do 
tanque em 1h, para enchê-lo todo, gastarão 2h. 
 
Resposta: t = 2h 
 
Questão 19 
Resolução: A torneira sozinha enche o tanque em 4h, logo em 1h ela enche 
1
4
do tanque. 
O ralo sozinho esvazia o tanque em 3h, logo em 1h ele esvazia 
1
3
do tanque. 
Assim os dois juntos em 1h: 
1 1 3 4 1
 
4 3 12 12

    
 
Ou seja, a cada 1 hora, o tanque faz é esvaziar “um doze avos” dele. 
Ora, se a cada 1 hora, a fração 1/12 do tanque é esvaziada, se aguardarmos um intervalo de tempo 12 vezes maior, ou 
seja, se aguardarmos 12 horas, o tanque inteiro estará esvaziado. 
 
Resposta: t = 12h 
 
 
Dica importante: como achar quantos números existem num certo 
intervalo de números ? 
 
Vamos aprender como encontrar a quantidade de números de a até b, e entre a e b. Vejamos: 
Caso 1: Quantidade de números DE a ATÉ b: 
Ex.1: Quantos números tem de 5 até 10? 
Resposta: Veja que DE tanto ATÉ tanto inclui o primeiro e o último número. Assim temos: 
 5 , 6 , 7 , 8 , 9 e 10 , ou seja, temos 6 números. 
 
Ex.2: Quantos números tem de 20 até 37? 
Resposta: temos os números, 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 e 37 
, ou seja, 18 números. 
 
Agora vejamos o seguinte: 
No exemplo 1, tínhamos os números de 5 até 10, então: 
10 – 5 = 5, note que temos 6 números e essa diferença deu 5. 
 
23 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
No exemplo 2, tínhamos os números de 20 até 37, então: 
37 – 20 = 17, note que temos 18 números e essa diferença deu 17. 
Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números DE a ATÉ b pode ser encontrada pela 
expressão: 
N = b – a + 1, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números. 
 
Caso 2: Quantidade de números ENTRE a e b: 
Ex.3: Quantos números tem entre 3 e 9? 
Resposta: Veja que ENTRE tanto e tanto, não inclui nem o primeiro, nem o último. Assim temos: 
 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 , ou seja, 5 números. 
 
 
Ex.4: Quantos números tem entre 19 e 31? 
Resposta: temos os números: 19, 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31, ou seja, 11 números. 
 
Agora vejamos o seguinte: 
No exemplo 3, tínhamos os números entre 3 e 9, então: 
9 – 3 = 6, note que temos 5 números e essa diferença deu 6. 
No exemplo 4, tínhamos os números de 19 até 31, então: 
31 – 19 = 12, note que temos 11 números e essa diferença deu 12. 
Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números ENTRE a e b pode ser encontrada pela 
expressão: 
N = b – a – 1, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números.