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UNISANTANNA-HIDRÁULICA-STZ
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REVISÃO-MECÃNICA DOS 
FLUIDOS
I-CAP.2: HIDROSTÁTICA:
Pressão, Unidades SI; 
Stevin-Pascal
ENG. CIVIL;ENG. MINAS
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OUTRAS UNIDADES DE PRESSÃO
• Atm (atmosfera);
• mmHg (milímetros de 
mercúrio);
• Kgf/cm2 ;
• bar (pressão barométrica)
• psi (libra por polegada 
quadrada);
• mca (metro de coluna d’agua).
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PRESSÃO ATMOSFÉRICA E BARÔMETRO DE TORRICELLI
• O ar atmosférico exerce uma pressão sobre tudo na superfície da terra; Em 1643 um discípulo 
de Galileu chamado “Evangelista Torricelli” realizou um experimento para a medida dessa 
pressão;
• Torricelli utilizou um longo tubo de vidro, fechado em uma das pontas enchendo-o até a borda 
com mercúrio. Depois tampou a ponta aberta e, invertendo o tubo, mergulhou essa ponta em 
uma bacia com mercúrio. Soltando a ponta aberta notou que a coluna de mercúrio descia até 
um determinado nível e estacionava quando alcançava uma altura de cerca de 760 mm;
• Acima do mercúrio, Torricelli logo percebeu que havia vácuo e que o peso do mercúrio dentro 
do tubo estava em equilíbrio estático com a força que a pressão do ar exercia sobre a 
superfície livre de mercúrio na bacia, assim definiu que a pressão atmosférica local era capaz 
de elevar uma coluna de mercúrio em 760 mm, definindo assim a pressão atmosférica padrão;
• O mercúrio foi utilizado na experiência devido a sua elevada densidade, se o líquido fosse água 
sua densidade é cerca de 14 vezes mais leve que o mercúrio. Nesse caso o tubo deveria ter 
mais de 10 metros de altura para haver equilíbrio. 
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ESCALAS DE PRESSÃO
• Se a pressão for medida em relação ao vácuo ou 
zero absoluto, é chamada ‘pressão absoluta’;
• Quando for medida adotando-se a pressão 
atmosférica como referência, é chamada ‘pressão 
efetiva’;
• A escala de pressões efetivas é importante, pois 
praticamente todos os aparelhos de medida de 
pressão (manômetros) registram zero quando 
abertos à atmosfera, medindo, portanto, a 
diferença entre a pressão do fluido e a do meio 
em que se encontram;
• Se a pressão for menor que a atmosfera, costuma 
ser chamada impropriamente de vácuo e mais 
propriamente de depressão; é claro que uma 
depressão na escala efetiva terá um valor 
negativo.;
• Todos os valores da pressão na escala absoluta 
são positivos.
• 𝒑𝒂𝒃𝒔 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 + 𝒑𝒆𝒇;
Figura abaixo- mostra, esquematicamente, a medida da 
pressão nas duas escalas, a efetiva e a absoluta.
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EXERCÍCIO
Determinar o valor da pressão de 340 mmHg em psi e kgf/cm2 na escala efetiva e em 
Pa(Pascal) e atm na escala absoluta.
Resp.: 0,461 kgf/cm2 e 6,6 psi; pef =45,3 kPa e pabs 146,5 kPa; pef=0,447 atm e pabs =1,147atm (abs) 
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LEI DE PASCAL
“Em qualquer ponto no interior de um líquido em 
repouso, a pressão é a mesma em todas as direções”. 
Na fog. 2.2 tem-se as pressões nas faces 
perpendiculares ao plano do papel (tela). 
O prisma estando em equilíbrio, o 
somatório das forças na direção X deve ser 
nulo.
Como o prisma tem dimensões elementares, o último termo (peso), sendo 
diferencial de segunda ordem, pode ser desprezado, assim:
A prensa hidráulica, tão conhecida, é uma importante aplicação:
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
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O princípio de Pascal é uma lei da mecânica dos 
fluidos que afirma que a pressão aplicada sobre um 
fluido em equilíbrio estático é distribuída igualmente e 
sem perdas para todas as suas partes, inclusive para as 
paredes do recipiente em que está contido. Do acima 
exposto podemos escrever: P1 =P2 : A diferença de 
pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio 
estático deve ser igual.
Exemplo: No esquema ao lado, a área 
do pistão 1 é 10 cm2 , e a do pistão 2 é 
25 cm2.. Se uma força de 45N for 
aplicada no pistão 1, espera-se que 
sobre o pistão 2 atuará uma força de 
qual intensidade?
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
=
45
10
=
𝐹2
25
; 𝐹2 = 25
45
10
=
112,5𝑁 
A fig. 2.2 mostra as pressões nas faces 
perpendiculares ao plano da figura.
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A alteração de pressão produzida em um fluido em 
equilíbrio transmite-se integralmente a todos os 
pontos do fluido e as paredes do seu recipiente.
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(𝑭𝟏)
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EXEMPLO:
Na figura abaixo, os êmbolos A e B possuem 
áreas de 80 e 20 cm2 respectivamente. 
Desprezar os pesos dos êmbolos e considerar o 
sistema em equilíbrio. Dado massa de A =100 
kg, g=10 m/s2 , determinar a massa do corpo B. 
Resp.: A força aplicada em B é quatro vezes 
menor do que A.
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PRINCÍPIO DOS VASOS COMUNICANTES
Por definição, quando dois ou mais recipientes 
que contém o mesmo líquido são conectados por 
um tubo, as colunas de líquido de todo o sistema 
terão a mesma altura se submetidas a mesma 
pressão, qualquer que seja o tamanho ou formato 
desse sistema. [enunciado por Blaise Pascal-
Século XVII].
TEOREMA DE STEVIN
É a Lei Fundamental da Hidrostática; O que é importante 
notar ainda neste teorema é que: 
Obs.: fig. 1
1- na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a 
distância entre eles, mas a diferença de cotas;
2-a pressão dos pontos num mesmo plano ou nível 
horizontal é a mesma;
3- o formato do recipiente não é importante para o cálculo 
da pressão em algum ponto; na fig. 1, em qualquer ponto do 
nível A , tem-se a mesma pressão pA , em qualquer ponto do 
nível B, tem-se a pressão pB , desde que o fluido seja o 
mesmo em todos os ramos;
4- se a pressão na superfície livre de um líquido contido num 
recipiente for nula, a pressão num ponto à profundidade h 
dentro do líquido será dada por: 𝒑 = 𝜸𝒉; fig.2
Fig. 1
Fig.2
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LEI DE 
STEVIN
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𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = 𝜸𝒉
LEI DE STEVIN: PRESÃO DEVIDA A UMA COLUNA LÍQUIDA
Seja, no interior de um líquido em repouso, um prisma, 
segundo a vertical deve-se ter: 
e, portanto,
( é o peso específico do líquido), obtendo-se
a lei que se enuncia:” A diferença de pressões entre dois pontos da massa líquida em equilíbrio é igual à diferença de 
profundidade multiplicada pelo peso específico do líquido.” Para a água, -1 kg/m3. 
Portanto o número de decímetros de profundidade equivale ao número de quilogramas por decímetro cúbico de diferença de 
pressões. 
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INFLUÊNCIA DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA
A pressão na superfície de um líquido é exercida pelos gases 
que se encontram acima, geralmente a pressão atmosférica. 
Levando-se em conta a pressão atmosférica tem-se na fig. 
1.Ao lado:
𝑃1 = 𝑝𝑎 + 𝛾ℎ; 𝑒 𝑃2 = 𝑝1 + 𝛾ℎ
′ = 𝑝𝑎 + 𝛾 ℎ + ℎ
′ , [fig. 1]
A pressão atmosférica varia com a altitude, correspondendo 
ao nível do mar, a uma coluna de água de 10,33 m. A coluna 
de mercúrio seria 13,6 vezes menor, ou seja 0,760 m 
(Experimento de Torricelli), figura 2.
Fig.1
Fig.2
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MEDIDA DE PRESSÕES
• O dispositivo mais simples para medir 
pressões é tubo piezométrico (piezômetro). 
Consiste na inserção de um tubo 
transparente na canalização ou recipiente;
• O líquido subirá no tubo piezométrico a uma 
altura h, correspondenteà pressão interna-
fig.1; 
• Um outro dispositivo é o tubo em “U”, fig.2; 
• Para medir pequenas pressões utilizam-se: 
água, tetracloreto de carbono, tetrabrometo 
de acetileno e benzina. Para pressões 
elevadas o mercúrio.
• No exemplo da figura 2; 
• em A-pA ; em B-pA +’h; em C-pA +’h; em D- 
pA +’h-z; onde: = peso específico do líquido 
em D; ’= peso específico do mercúrio ou 
líquido indicador.
h
Fig. 1
Fig. 2
OBS.:
1-Problemas relativos à 
pressões nos líquidos, o que 
geralmente interessa é 
conhecer é a diferença de 
pressões.;
2- Sendo assim, aplica-se a 
Lei de Stevin : p2 –p1 =h
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EXEMPLO: 
OBS.: Lembrar!
1-Massa esp. =m/V;
2-Peso esp.: 
=W/V=mg/V=g.
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EXPERIMENTO DE REYNOLDS
ESCOAMENTOS: 
–LAMINAR E TURBULENTO
-NÚMERO DE REYNOLDS
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• ESCOAMENTO LAMINAR E 
TURBULENTO
• CÁLCULO DO NÚMERO DE 
REYNOLDS
Osborne Reynolds (1883) procurou observar o 
comportamento dos líquidos em escoamento. Para isso, 
Reynolds empregou um dispositivo semelhante ao 
esquema acima e (ao lado), que consiste em um tubo 
transparente inserido em um recipiente de vidro. A entrada 
do tubo, alargada em forma de sino, facilita a entrada do 
corante.
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Cont. 
1-A vazão pode ser regulada pela torneira na 
sua extremidade. Abrindo-se a torneira, pode-
se observar a formação de um filamento 
colorido retilíneo. Este tipo de movimento as 
partículas fluidas apresentam trajetórias bem 
definidas, que não se cruzam (é o regime 
definido como lamelar.
2- Abrindo-se mais o obturador, elevam-se a 
descarga e a velocidade do líquido. O filamento 
colorido pode difundir-se na massa líquida, em 
consequência do movimento desordenado das 
partículas. A velocidade apresenta em qualquer 
instante uma componente transversal. Tal 
regime é denominado turbulento.
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ESCOAMENTO LAMINAR
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ESCOAMENTO TURBULENTO
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NÚMEROS DE REYNOLDS= Re [Azevedo Neto pg 108 vol.I]
Reynolds, após investigações teóricas e experimentais, concluiu que o melhor critério para se 
determinar o tipo de movimento em uma canalização não se prende exclusivamente ao valor 
da velocidade, mas ao valor de uma expressão sem dimensões na qual considera, também a 
viscosidade do líquido. Sendo escrita por:
𝑅𝑒 =
ρvD
𝜇
=
𝑣𝐷

;
=massa específica; v=velocidade do fluido em (m/s); D= Diâmetro da canalização (m); 
=viscosidade cinemática [ 𝜐 =
𝜇
𝜌
], = viscosidade dinâmica); (m2/s). Independente do 
sistema de unidades empregado o Re será adimensional.
OBS.: viscosidades dinâmica no SI [𝑁𝑠/𝑚2].
CONCEITO GENERALIZADO
𝑅𝑒 =
𝑉𝐿
𝜈
; 𝑅 =
4𝑅𝐻
𝜈
; 𝑅𝑒 =
𝑉𝐻
𝜈
;
Nestas expressões: L=dimensão linear; RH =raio hidráulico (seções não circulares); Na última 
expressão H=trata-se de canais.
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EXERCÍCIOS
Na prática, o escoamento da água, do ar e de outros fluidos pouco viscosos 
se verifica um regime turbulento.
Exemplos
1- Dados vmH20=0,90 m/s; mH20 =20
0C; =0,000001 m2/s (viscosidade 
cinemática); 50 mm (diâmetro da canalização). Justificar a resposta?;
2-Uma tubulação nova com 10 cm de diâmetro, conduz 757 m3/dia de óleo 
combustível pesado a temperatura de 330 C. Determinar o regime de 
escoamento?
3- Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é Laminar ou 
turbulento. Dados: diâmetro da tubulação 4 cm; a água escoa a 0,06 cm/s; 
viscosidade dinâmica =1,0030 x 10-3 Ns/m2 ;
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CALIGRAFIA TÉCNICA-ABNT 8602
É recomendado para a solução de exercícios. Trabalhos 
em TDE. Etc.
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AS CAMADAS DA 
TERRA
Envolturas fluidas da Terra
• A parte sólida da Terra está rodeada por duas envolturas fluidas, 
uma contínua, a atmosfera, constituída por gases, e a outra 
descontínua, a hidrosfera, formada pela água;
• A atmosfera evitou, por sua função de filtro das radiações solares, 
que a superfície do nosso planeta apresente condições 
extremadas.
• A hidrosfera, por seu lado, é um grande termostato que regula a 
temperatura a superfície terrestre.
• A existência dessas duas envoltura fluidas da Terra tem sido um 
dos fatores essenciais para o surgimento e o desenvolvimento da 
vida no nosso planeta;
• Entre os componentes principais da atmosfera encontram-se 
substâncias básicas para o desenvolvimento dos organismos, tais 
como o anidrido carbônico, o oxigênio e o hidrogênio.
GEOLOGIA NA ENG. 
CIVIL-MINAS,...
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AS CAMADAS DA 
TERRA
Envolturas fluidas da Terra
• A parte sólida da Terra está rodeada por duas envolturas 
fluidas, uma contínua, a atmosfera, constituída por gases, e a 
outra descontínua, a hidrosfera, formada pela água;
• A atmosfera evitou, por sua função de filtro das radiações 
solares, que a superfície do nosso planeta apresente condições 
extremadas.
• A hidrosfera, por seu lado, é um grande termostato que regula 
a temperatura a superfície terrestre.
• A existência dessas duas envoltura fluidas da Terra tem sido um 
dos fatores essenciais para o surgimento e o desenvolvimento 
da vida no nosso planeta;
• Entre os componentes principais da atmosfera encontram-se 
substâncias básicas para o desenvolvimento dos organismos, 
tais como o anidrido carbônico, o oxigênio e o hidrogênio.
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ATMOSFERA • A atmosfera é a envoltura gasosa que roteia a Terra, tem uma 
espessura aproximada de 1000 Km, uma massa de 5,6 x 1015 
toneladas (quadrilionésima) e exerce sobre a superfície da terra 
uma pressão uniforme de 1 033 gr/cm3 .
• A atmosfera é formada por uma mistura de gases, o ar, dos quais o 
mais abundante é o nitrogênio, que constitui por si só 78% do 
volume total da atmosfera, seguido pelo oxigênio com um volume 
de 21% do total e em quantidade muito menores o argônio (0,93%) 
e o anidrido carbônico (0,001%).
• Além desses quatro componentes (99,9%) do volume da atmosfera, 
é necessário acrescentar o vapor de água, cuja quantidade é variável 
conforme a latitude geográfica e com o tempo, e nos primeiros 10-
15 Km da atmosfera.
• O vapor de água atmosférico é simplesmente água extraída da 
hidrosfera por evaporação e que voltará a ela através de 
precipitações.
Troposfera; estratosfera; mesosfera; ionosfera.
Anidrido carbônico ou gás carbônico é o gás 
exalado pelos seres humanos e animais (CO2)
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Camadas constituintes da 
atmosfera:
1. Troposfera
2. Estratosfera
3. Mesosfera
4. Ionosfera e
5. Exosfera
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Troposfera, que se extende a partir da superfície 
terrestre até a altura de 14-16 Km nas zonas equatoriais 
e até uns 8-10 Km nas zonas polares, pois nestas últimas 
as baixas temperaturas provocam a contração dos 
componentes atmosféricos. O limite superior da 
troposfera, denominado tropopausa, corresponde às 
zonas onde sãoalcançadas temperaturas mais baixas 
(9/10 da massa da atmosfera) e contém quase que a 
totalidade do vapor de água desta, a partir do qual são 
formadas as nuvens, nela são produzidos a maioria dos 
fenômenos meteorológicos.
Temperaturas: -630 a -330. Independentemente da 
umidade a composição permanece a mesma: 
78%Ni;21% O, 0,9% Ar e 0,001% a 0,03% CO2 .
Estratosfera, 
• Se estende sobre a tropopausa até uns 
50 Km de altura da superfície terrestre. É 
quase totalmente desprovida de nuvens, 
seu ar é menos denso que o da 
troposfera.
• Possui função absorvente das radiações 
solares, a temperatura aumenta com a 
altura, chegando a 170 C na 
estratopausa.
• Na estratosfera predomina a camada de 
ozônio,. originado pela dissociação do 
oxigênio pela ação dos raios ultravioleta, 
letal para os seres vivos
Mesosfera,
• Se estende a partir da 
estratopausa, 
aproximadamente de 
5- Km da superfície 
terrestre;
• Na mesosfera a 
temperatura volta a 
diminuir até mínimos 
de -70 a -800 C. Sua 
composição contém 
uma pequena parte do 
ozônio e vapores de 
sódio.
Ionosfera ou termosfera: que se estende desde a parte superior da mesosfera até uma altura de uns 500 Km da superfície terrestre. Nesta camada não se 
formam moléculas eletricamente neutras, mas sim íons na forma de átomos e de moléculas carregados de eletricidade. Sobre a ionosfera se produz um 
contínuo bombardeio de radiações solares cujo efeito principal é a ionização dos componentes gasosos. As camadas inferiores desempenham papel muito 
importante nas transmissões de radio e televisão. O limite superior da ionosfera denomina-se termo pausa.
Exosfera, capa que se estende sobre a termopausa até alturas em que a densidade atmosférica é igual a do gás interespacial que a circunda. Uma das 
primeiras e essenciais atribuições da atmosfera é a de impedir não só um excessivo aquecimento da superfície terrestre durante o dia , isto é, durante as 
horas de insolação, como também um excessivo resfriamento durante a noite. Por fim, certos componentes da atmosfera são essenciais para o 
desenvolvimento dos organismos. O anidrido carbônico atmosférico é a base à partir do qual os vegetais sintetizam (fotossíntese) os compostos orgânicos 
que serão o fundamento da cadeia alimentar da maioria dos organismos.
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HIDROSFERA
Pode ser definida como o conjunto das águas superficiais da crosta terrestre. A Terra é o único 
planeta do sistema solar que possui grande quantidade de água: mais de 70% de sua superfície está 
coberta por água, quer em estado líquido que forma os oceanos, mares, lagos e rios, quer sólida nas 
geleiras e quer gasosa sob a forma de vapor de água nas camadas inferiores da atmosfera. As 
quantidades aproximadas dos diversos tipos de água que constituem a hidrosfera são os seguintes:
Águas oceânicas 1,4 x 109 Km3 
Geleiras continentais 2,3 x 107 Km3 
Lagos 2,5 x 105 Km3 
Rios e águas subterrâneas 2,4 x 105 Km3 
Vapor de água atmosférico 1,3 x 103 Km3 
A fração mais importante da hidrosfera e 
constituída, por larga margem, pelas águas 
oceânicas que cobrem aproximadamente 65% 
da superfície terrestre, com espessura média 
de 4.000 metros.
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• A segunda fração em quantidade é 
constituída pelas geleiras glaciares 
continentais que, na atualidade 
ocupam uma superfície de uns 
15.000.000 Km3.
• Por exemplo se a água imobilizada 
nas geleiras se fundisse 
rapidamente e retornasse aos 
oceanos provocaria um aumento de 
60 m no nível dos mesmos.
• A água da hidrosfera está 
submetida a uma série de 
movimentos e de mudanças de 
estado, conhecidas sob o nome de 
ciclo hidrológico . Os oceanos 
constituem os grandes depósitos 
dos quais provém toda a água do 
ciclo e aos quais retornará ao 
encerrar o ciclo.
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Na figura acima, verifica-se diversas manifestações do ciclo da água na 
natureza: nos cumes de altas montanhas sob a forma de neve, num glaciar 
em forma de gelo e nas nuvens sob a aparência de vapor d’agua.
• Na superfície dos oceanos produz-se 
uma contínua evaporação, de 
intensidade diferente conforme a 
latitude, mediante a qual tem origem 
grandes massas de vapor de água que 
formam as nuvens nas camadas 
inferiores da atmosfera.
• A partir destas nuvens, e por 
condensação do seu vapor de água 
originar-se-ão as precipitações em 
forma de chuva, neve e granizo, parte 
das quais se precipita diretamente 
sobre o mar, outra parte sobre os 
continentes alimentando rios e lagos, 
embora volte afinal aos oceanos, e 
outra ainda que se infiltrará pelo 
subsolo onde irá gerar as águas 
subterrâneas.
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• A evaporação da água na hidrosfera é 
máxima na zona intertropical, onde absorve 
grande parte da quantidade de calor e influi 
para moderar a temperatura.
• Quando a umidade originada na zona 
intertropical é levada pelas camadas 
interiores da atmosfera até as zonas de 
latitudes mais elevadas, precipita-se em 
forma de chuva e libera grande parte do calor 
absorvido durante a evaporação; possibilita, 
assim, a elevação das temperaturas nas zonas 
mais frias.
• Como dado importante para compreender a 
importância da hidrosfera como regulador 
térmico, deve-se destacar que a maior parte 
das regiões desérticas da superfície terrestre 
encontram-se afastadas das influências 
oceânicas.
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O INTERIOR DA TERRA
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O conhecimento do interior da Terra 
pode ser feito mediante dois tipos de 
estudos geológicos e os geofísicos.
I- As observações geológicas diretas 
alcançam apenas uns poucos milhares 
de metros de profundidades nas minas 
e em sondagens mais profundas. Esses 
tipos de observação mostraram que as 
rochas , naquelas profundidades, são 
essencialmente do mesmo tipo 
daquelas existentes na superfície 
terrestre;
II- Um segundo tipo de dados 
geológicos, ou indiretos, são obtidos 
pelos estudos dos materiais mais 
profundos que chegam à superfície 
terrestre através das erupções 
vulcânicas.
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Os principais dados subsidiados pela geofísica para o 
conhecimento do interior da terra baseiam-se em diversos 
tipos de estudos, a saber:
• Estudos sismológicos: mais concretamente o estudo das 
trajetórias seguidas pelas ondas sísmicas no interior do 
planeta;
• Estudos gravimétricos: que permitiram, mediante o 
conhecimento das anomalias da gravidade, conhecer o 
equilíbrio dos diversos blocos da crosta terrestre, bem como 
seus movimentos em sentido vertical;
• Estudos geomagnéticos: que ao verificarem a 
variabilidade do campo magnético terrestre 
evidenciaram a mobilidade horizontal dos blocos da 
crosta terrestre, o que permitiu uma reelaboração da 
teoria do deslocamento continental.
• Define-se a forma da terra como geoide, cuja superfície 
é irregular e, portanto não é uma esfera, em função do 
achatamento nos polos e em função do movimento de 
rotação.
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Um terceiro grupo de dados, 
também, indiretos, sobre o interior 
da terra são obtidos pelo estudo da 
composição e da origem dos 
meteoritos, fragmentos de corpos 
celestes do nosso sistema solar, os 
quais tem estrutura e composição 
semelhantes aos da Terra.
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Dados sismológicos
A cada ano tem origem nacamadas 
mais superficiais da crosta terrestre 
um grande número de movimentos 
sísmicos ou terremotos, a maioria 
despercebidos pelo homem, e 
detectados por aparelhos especiais 
de registro (sismógrafos). A maioria a 
menos de 100 Km de profundidade.
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Propagação das ondas transversais e longitudinais.
Recentemente descobriu-se que os tremores 
de terra são produzidos a considerável 
profundidade: entre 80 a 300 Km e alguns a 
mais de 700 Km de profundidade; geralmente 
produzem-se a poucos Km da crosta terrestre.
O ponto ou foco onde se 
origina um terremoto 
denomina-se hipocentro, e 
a partir dele geram-se as 
ondas sísmicas que se 
propagam em todas as 
direções.
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https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi6tKu4h_3fAhXkKLkGHfrNCZ0QjRx6BAgBEAU&url=http://revistapesquisa.fapesp.br/2012/08/10/abrindo-a-terra/&psig=AOvVaw1Us1RZwAai93BXQD1TTDJX&ust=1548096879217864
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Propagação das ondas 
sísmicas através da Terra.
As superfícies no interior 
da Terra onde ocorrem 
mudanças bruscas na 
velocidade na velocidade 
de propagação das ondas 
sísmicas recebem o nome 
de descontinuidades 
sísmicas. 
Na atualidade detectaram-se três descontinuidades principais ou de primeira ordem, uma situada a 
uma profundidade de 35-40 Km sob os continentes e a uns 10 KM sob os oceanos, denominada 
descontinuidade de Mohorovicic; outra situada a uns 2.900 Km de profundidade, chamada 
descontinuidade de Gutenberg, e outra a uns 5.100 Km, denominada descontinuidade de 
Wiechert. Estas três descontinuidades indicam modificações importantes na composição dos 
materiais do interior da Terra e são a base a partir da qual se estabeleceu a estrutura do globo 
terrestre em camadas concêntricas.
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Esquema que mostra hipóteses diversas sobre a 
estrutura interna da Terra.
Tendo-se em conta os dados obtidos da sismologia, a 
Terra sendo formada por camadas concêntricas de 
composição diferente, separadas por superfícies de 
descontinuidades também concêntricas.
A camada mais superficial, limitada na parte inferior 
pela descontinuidade de Mohorovicic, denomina-se 
crosta terrestre.
Entre esta descontinuidade e a de Gutenberg, a 2900 
Km de profundidade. Estende-se o manto e sob esta 
descontinuidade até o centro da Terra, estende-se o 
núcleo terrestre (o estudo sismológico do núcleo, 
permite supor que ao menos em sua parte mais 
externa até uns 5.100 Km, comporta-se como um 
líquido, pois não transmite ondas transversais).
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ESTRUTURA 
INTERNA
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25
Nosso planeta pesa 5,9 
sextilhões de toneladas 
(ou 
5.972.000.000.000.000.0
00.000). Na verdade, o 
certo é “massa”, já que 
“peso” é o resultado da 
atração gravitacional de 
um objeto maior 
(geralmente a própria 
Terra) 
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
1Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
CIÊNCIA E ENGENHARIA
DE
MATERIAIS
ESTRUTURA ATÔMICA;
TABELA PERIÓDICA;
LIGAÇÕES QUÍMICAS
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
2Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1- CALLISTER, W.D.JR.; RETHWISCH, D. G.- Ciência e Engenharia
de Materiais uma Introdução. 8a Ed. São Paulo. LTC 2012. 817
2- ASKELAND, R. D; PHULÉ, P.P.-. Ciência e Engenharia de
Materiais–São Paulo: Cengage Learning, 2011.594p.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
1- VAN VLACK, L.H.- Princípios de Ciência dos Materiais. São
Paulo. Ed. Edgard Blücher, 1970. 427p.
2- PADILHA, A.F.-. Materiais de Engenharia, Microestrutura e 
Propriedades. Hemus Livraria, Distribuidora e Editora. São Paulo. 
2007. 349 p.
3- SMITH, W.F.- Principles Of Science and Engineering. 1986.
McGraw-Hill, Inc. New York. 892p.
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
3
Conceituação de ciência e engenharia de materiais
Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
4
Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
As primeiras atividades “químicas ”-”O átomo”.
Os filósofos gregos levantaram outra importante questão: era a matéria 
contínua ou descontínua? Se a matéria fosse de natureza contínua, ou de 
natureza gelatinosa, então qualquer pedaço dela podia ser fragmentada, em 
pedaços cada vez menores, a esta divisão e subdivisão poderia ocorrer 
ilimitadamente. Se, por outro lado, fosse descontínua, ou granular, então a 
divisão sucessiva de qualquer substância poderia ocorrer somente até que os 
menores grânulos indivisíveis fossem obtidos. Dois filósofos gregos, Leucipo 
e Demócrito, que viveram por volta do ano 400 a.C., foram os primeiros 
partidários da descontinuidade. Demócrito denominou os últimos grânulos 
indivisíveis, menores, de átomos (“indivisíveis”) e é de onde diretamente 
deriva a palavra átomo. Assim, o conceito de que a matéria não é 
indefinidamente subdivisível é conhecida como atomismo.
O Átomo
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
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QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
6Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
OS CIENTISTAS E A EVOLUÇÃO DO MODELO ATÔMICO
John Dalton (1766-1844), que imaginou o átomo como uma pequena esfera variando de 
elemento para elemento. Bem mais tarde, J.J. Thomson (1856-1940), descobridor do 
elétron, propôs o modelo em que o átomo seria uma esfera de eletricidade positiva, 
com elétrons incrustados. Esse modelo foi modificado por Ernest Rutherford (1871-
1937), que através de sua famosa experiência, onde bombardeou uma lâmina de ouro 
com partículas alfa, criou o modelo planetário. Niels Bohr (1885-1962), aperfeiçou 
modelo planetário, admitindo que os elétrons giravam em torno do núcleo em órbitas 
específicas, sem perder energia. Werner Heisenberg (1901-1977),estabeleceu o princípio 
da incerteza, que contribuiu para que Erwin Schroedinger (1987-1961), fixasse o que se 
aceita atualmente: o átomo onde os elétrons são descritos por equações de onda e a 
órbita é substituída pelo orbital (região do espaço em torno do núcleo, onde há maior 
propabilidade de se encontrar o elétron).
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ESTRUTURA ATÔMICA
BIBLIOGAFIA:
COMPLEMENTAR ESTE ÍTEM COM:
CALLISTER-CAP 2.; PG 32 e ss.
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8
CAP. 2-ESTRUTURA ATÔMICA
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Por terem cargas elétricas opostas, 
os elétrons e os prótons se atraem 
mutuamente. E, quanto menor a 
distância que os separa, maior é a 
força de atração entre eles.
Se existisse apenas essa força de 
atração, seria de se esperar que os 
elétrons se chocassem com o núcleo 
(contradição de Rutherford). Isso não 
ocorre porque os elétrons estão em 
movimento ao redor do núcleo, sem 
perder energia. Inúmeros estudos 
comprovaram que os elétrons se 
dispõe em camadas ao redor do 
núcleo.
• Um grupo de elétrons situados a uma 
mesma distância do núcleo pertence a 
uma mesma camada eletrônica (ou 
nível eletrônico).
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9
DISTRIBUIÇÃO DOS ELÉTRONS NAS 
CAMADAS
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Consideremos um átomo de um elemento- por exemplo, o 
sódio, que tem número atômico 11. Sabemos que esse átomo 
possui 11 elétrons em sua eletrosfera. Para descobrir como 
esses elementos se distribuem, seguimos a seguinte regra: e 
preenchemos a tabela-
 11 Na
 9 F 
K
K L M
2 8 1
K L M
2 7
56 Ba K L M N O P
2 8 18 28
2 8 18 20 8
2 8 18 18 102 8 18 18 8 2
OBS.: Existem alguns elementos, entretanto, cuja distribuição eletrônica não pode ser 
determinada a partir de regras acima descritas. A distribuição eletrônica desses elementos 
– chamados elementos de transição- pode, no entanto, ser encontrada nas tabelas 
periódicas.
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RESUMO
1-Partículas Fundamentais (PF)- Núcleo (prótons-partículas positivas; nêutrons sem carga); 
elétrons (carga elétrica negativa);
2-Massa das PF: Massa do próton e a nêutron são aproximadamente iguais. A massa do 
próton é cerca de 1840 vezes maior do que a massa do elétron; usa-se a palavra nùcleon para 
designar indiferentemente o próton ou o nêutron.
Conclusão: Em termos de massa, o que importa, no átomo, é realmente o núcleo, porque 
contém os núcleons, que são os mais pesados. A massa do elétron é praticamente 
desprezível, comparada à dos núcleons (aproximadamente 1840 vezes menor).
3- Dimensões do átomo e das partículas fundamentais:
∅𝒎(𝒂) = 𝟏𝟎
−𝟖 𝒄𝒎 = 𝟏 ሶ𝑨 𝑨𝒏𝒈𝒔𝒕𝒓𝒐𝒏 ; ∅𝒎(𝒏) = 𝟏𝟎
−𝟏𝟐 𝒄𝒎; onde ∅𝒎(𝒂)𝒆 ∅𝒎(𝒏) 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚:
Respectivamente os diâmetros médios do átomo e do núcleo. 
Portanto, o diâmetro do átomo é da ordem de 10.000 vezes maior que o do núcleo. Como 
comparação, se o diâmetro do núcleo tivesse 1cm, o diâmetro da eletrosfera seria de 100 m.
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4- RELAÇÃO ENTRE NÚMEROS DE PRÓTONS E ELÉTRONS
Quando o átomo está no seu estado fundamental (livre da influência de fatores 
externos), o número de prótons (np ) é sempre igual ao número de elétrons ne ):
𝑛𝑝 = 𝑛𝑒
5-CARGA DAS PF
Como as cargas das partículas fundamentais, expressas em Coulomb ou em stat-
Coulomb, são muito pequenos. Criou-se uma escala relativa, tomando a carga do 
próton como unitária e atribuindo-se o valor +1 u.e.c., isto é, 1 unidade elementar 
de carga.
OBS
a) Por serem numericamente iguais, as cargas do elétron e do próton serão 
representadas por, isto é, para o próton e –e para o elétron.
b) No estado fundamental, o átomo é um sistema eletricamente neutro, porque o 
núcleo atômico (próton) tem carga numericamente igual à da eletrosfera 
(elétrons), mas de sinal oposto, e estas cargas se neutralizam.
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6- ÁTOMO NEUTRO E ÁTOMO ELETRIZADO.ÍONS
i) Em um átomo eletricamente neutro, o número de elétrons na eletrosfera é igual ao 
número de prótons no núcleo. Ex. átomo de sódio:11p e 11e; átomo de cloro: 17p e 17e;
ii) Em um átomo eletricamente carregado, o número de elétrons na eletrosfera é maior, ou 
menor, que o número de prótons no núcleo. Tais átomos são chamados íons e sua 
existência se deve exclusivamente à variação do número de elétrons e nunca a uma 
variação do número de prótons. Ex. íon sódio:11p e 10e; íon cloreto:17p e 18e;
iii) Quando o número de elétrons diminui, isto é, o átomo cede elétrons, o íon que resulta 
tem carga elétrica positiva (prevalece o número de prótons do núcleo). Neste caso, o íon 
recebe o nome particular de cátion (+); portanto, o cátion é um íon positivamente 
carregado.
iv) Quando o número de elétrons aumenta, isto é, o átomo ganha elétrons, sucede o 
contrário e o íon negativamente carregado é chamado ânion (-). Sempre que se forma 
um íon, diz-se que o átomo está ionizado.
Átomo (perde elétrons): íon positivo-cátion; Átomo (ganha elétrons): íon negativo-ânion.
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7-NÚMERO ATÔMICO
O número atômico (Z) de um átomo, por definição, é o número de prótons existentes 
em seu núcleo; Z representa, portanto, a carga nuclear relativa e caracteriza 
perfeitamente cada tipo de átomo. Daí, conclui-se que o número atômico de um 
elemento independe do estado elétrico (neutro ou ionizado) do mesmo; Ex. átomo de 
sódio Z=11; átomo de cloro e íon cloreto Z=17. Atualmente a representação do número 
atômico com a letra Z, colocada à esquerda como subíndice da letra que designa o 
átomo (convenção internacional). Ex. 11 Na; 17 Cl.
NÚMERO DE MASSA – (A) de um átomo é a soma do número de prótons e de 
nêutrons do núcleo desse átomo. Sendo N, o número de nêutrons temos: 
𝑨 = 𝑵 + 𝒁; Ex. O átomo de sódio apresenta 11 prótons e 12 nêutrons no núcleo, logo: 
Z=11; A=12+12=23; REPRESENTAÇÃO 11 Na
23 . 11=Z; 23=número de massa.
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ELEMENTO QUÍMICO
-é um conjunto de átomos de mesmo número atômico (Z). Assim, o conjunto de todos os 
átomos de número atômico 11 (11 prótons) é o elemento químico sódio.
Os químicos descobriram, até o momento são 118 elementos químicos classificados e 90 
deles são os elementos naturais, ou seja elementos encontrados na natureza (16/12/1919). 
Os restante são artificiais. Portanto, elemento químico é um conjunto de átomos de mesmo 
número atômico.
CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA-Distribuição dos elétrons ao redor do núcleo)
Consideremos primeiramente, o modelo atômico de Dalton, no qual julga, como a menor 
porção da matéria, uma partícula indivisível, impenetrável, esférica, o átomo. Sucessivas 
investigações experimentais, aliadas a novas concepções teóricas, levaram aos modelos de 
Thomsom, Rutherford, Bohr, o modelo orbital. Nesses, o átomo não é mais a menor porção 
da matéria, mas já se admitem partículas subatômicas: elétrons, prótons, nêutrons, etc.
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NÍVEIS ENERGÉTICOS OU CAMADAS ELETRÔNICAS
O volume do átomo é determinado pelos elétrons. Como alguns desses elétrons são mais 
facilmente removíveis que os outros, isto nos leva a concluir que alguns elétrons estão 
mais próximos do núcleo do que outros.
A medida que se aproxima do núcleo, a energia potencial do elétron, devido à atração 
pelo núcleo, diminui, enquanto sua velocidade e, consequentemente sua energia cinética 
aumentam (tal como a velocidade de um satélite aumenta, ao se aproximar da Terra). De 
um modo geral, a energia total do elétron aumenta, à medida que o elétron se afasta do 
seu núcleo.
Portanto, dependendo da distância do elétron ao núcleo, conclui-se que os elétrons se 
encontram em níveis energéticos diferentes.
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NÍVEIS ENERGÉTICOS OU CAMADAS ELETRÔNICAS, cont.
Mediante estudos de espectroscopia, o pesquisador-cientista pode determinar quantos 
níveis de energia existem nos átomos. De fato, quando um elétron adquiri energia, ele se 
move de um nível de energia para outro nível de energia, mais afastado do núcleo (nível de 
maior conteúdo de energia). Perdendo essa energia adquirida, o elétron a devolve em 
forma de radiação luminosa, cuja frequência pode ser perfeitamente determinada, pois a 
cor da radiação depende da frequência.
Nos átomos, dos 118 elementos químicos da tabela periódica atual, podem ocorrer 7 níveis 
de energia (contendo elétrons) representados à partir do núcleo pelas letras :k, L, 
M,N,O,P,Q ou pelos números 1,2,3,4,5,6,7. Estes números são chamados números 
quânticos principais, representando aproximadamente a distância do elétron ao núcleo, 
assim como a energia do elétron. Se um elétron tem número quântico igual a 3, ele 
pertence à camada M e tem energia desse nível. Eqação de Rydberg: 𝑿 = 𝟐 ∙ 𝒏𝟐; onde 
X=número de elétron numa determinada camada; n=número quântico principal 
correspondente a essa camada.
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Aplicando a equação de Rydberg, para cada camada obtemos:
Essa fórmula aplica-se até a camada N, inclusive. Para os átomos dos 118 elementos 
conhecidos, vigoram até agora, os seguintes números máximos de elétrons em cada 
camada.
 
K L M N O P Q
2 8 18 32 50 72 98
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 13 2
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18Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
CAMADA DE VALÊNCIA
O nível de energia mais externo do átomo é denominado camada de valência. A camada de 
valênciapode conter no máximo 8 elétrons.
REGRA PRÁTICA
É aplicável a todos os átomos que não sejam elementos de transição:
a) Distribuir, segundo K,L,M.... Até completar Z (número atômico);
b) Se, na última camada, houver mais que 8 elétrons, risca-se e coloca-se o número 
imediatamente inferior, que esteja entre (2,8,18,32)e, a diferença, passa-se para o nível 
seguinte. Na penúltima camada, não pode haver mais do que 18 elétrons;
c) Se recair no item b, repete-se tudo.
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19Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
CLORO:
Cl: Z=17; Massa Atômica= 35,5 (TP)
MASSA ATÔMICA:
A=Z+N
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20Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
Subníveis de energia:
Verificou-se que a relação correspondente à energia liberada, quando um elétron 
passa de um nível de energia mais afastado para um nível de energia mais próximo 
do núcleo, é na realidade, a composição de várias ondas luminosas mais simples. 
Conclui-se, então, que o elétron percorre o caminho “aos pulinhos”, isto é, os níveis 
de energia subdividem-se em subníveis de energia.
Nos átomos dos (118) elementos, podem ocorrer 4 subníveis, designados 
sucessivamente pelas letras: s (sharp), p (“principal’), d (“difuse”) e f (fundamental).
A cada subnível, corresponde um número (𝑙) 
s p d f
𝑙 0 1 2 3
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EXEMPLO
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
23
Conceituação de 
ciência e engenharia 
de materiais
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1- Faça a distribuição eletrônica dos seguintes átomos: 16 S; 34 Se; 86 Rn;
2-Um átomo X possui 7 elétrons na camada N, que é a sua última camada. Qual o 
número total de elétrons que este átomo possui?
3-Indique o número de elétrons na última camada dos seguintes átomos: 10Ne; 38Se; 35 
Br; 32 Ge?
4) i) Para o 24 Cr, elabore a constituição dos subníveis usando D. Pauling; ii)Quantos 
elétrons há no subnível mais energético; iii) Qual a camada de valência e quantos 
elétrons há nessa camada; 
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AS TRÊS CIÊNCIAS DO 
ÁTOMO:
1-a da eletricidade, ou 
seja a ciência dos 
elétrons livres;
2-a química que é a 
ciência das 
combinações dos 
átomos;
3-a física nuclear, que 
trata do núcleo do 
átomo.
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25
Conceituação de ciência e engenharia de materiais
Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
TABELA PERIÓDICA
CONSULTAR A BIBLIOGRÁFIA:
CALLISTER PG 11
Dimitri Ivanovitch Mendeleyev( 
1834-1907)
 E OUTROS
QUÍMICA E 
CIÊNCIA DOS 
MATERIAIS-STZ
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QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
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EXERCÍCIOS
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
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FORÇAS INTERATÔMICAS EM PARES IÔNICOS-Auxílio ao ex 4.
Seja um par de íons de cargas opostas (por ex 4 a seguir), Na+ Cl- , que 
se aproximam um do outro à partir de uma grande distância a . A 
medida que que os íons se aproximam um do outro, são mutuamente 
atraídos pelas forças de Coulomb. Isto é, o núcleo de um dos íons atrai 
a nuvem eletrônica do outro e vice-versa. 
Utilizando a lei de Coulomb podemos escrever a equação:
𝐹𝑎𝑡𝑟 = −
𝑍1𝑒 𝑍2
4 𝜋𝜀0𝑎2
= −
𝑍1𝑍2𝑒
2
4𝜋𝜀0𝑎2
;
Em que Z1 Z2 = número de elétrons removidos ou adicionados aos 
átomos durante a formação dos íons; 
 e= carga do elétron; a= distância interiônica;
 0=permitividade do vácuo= 8,85 x10
-12 C2/(Nm2) ; para força repulsiva 
consultar literatura.
 
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
56
Conceituação de ciência e 
engenharia de materiais
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Química em CEM: Número de Avogadro e moles de átomos
• O mol: Às vezes é útil considerar as propriedades e comportamento de um único átomo ou, talvez, um 
pequeno grupo de átomos. No laboratório, contudo, temos necessidade de trabalhar com quantidades 
muito maiores. Por este motivo frequentemente devemos estar cientes e contar átomos em grupos 
grandes.
• Número de Avogadro e moles de átomos
• Assim como ovos são contados por dúzia, átomos são contados por mol, um número muito grande, 6,02; 
x 1023 . O próprio número é chamado número de Avogadro . Repetindo, um mol de átomos é o número de 
Avogadro de átomos, ou 6,02 x 1023 átomos;
• Por que contamos átomos em “pacotes de 6,02 x 1023 ? Para descobrir consulte a TP de pesos atômicos;
• O peso atômico de oxigênio é 16 uma. Resulta que se reunirmos um grupo de 6,02 x 1023 átomos de 
oxigênio, o conjunto inteiro pesa 16,0 g;
• Assim, podemos dizer que um único átomo de oxigênio pesa 16 uma (unidades de massa atómica) e 1 
mol de átomos de oxigênio (6,02 x 1023 átomos) pesa 16,0 g. (Mol é usado no SI).
QUÍMICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS-STZ
57Prof. Dr. Silvio Tado Zanetic
Exercícios I:
1-Uma certa amostra de gás nitrogênio tem 4,63 x 1022 átomos de N. A quantos moles de 
átomos de N isto corresponde?
Solução
Desde de que há 6,02 x 1023 átomos de N  1 mol de átomos de N; podemos escrever a 
equivalência:
6,02 x 1023 átomos de N  1 mol de átomos de N;
Portanto, 4,63 x 1022 átomos de N são:
4,63 𝑥 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑁
1 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑁
6,02 𝑥 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑁
= 0,0769 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 á𝑡. 𝑑𝑒 𝑁
2- Quantos átomos de ferro estão presentes em um pedaço de ferro com 1,00 x 10-4 mol 
de átomos de Fe?
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EXERCÍCIOS-II
1- Na tabela periódica explique por que o raio atômico do ouro (Au) é maior 
do que o da prata (Ag)?
2- Uma certa amostra de gás nitrogênio tem 4,63 x 1022 átomos de N. A 
quantos moles de átomos de N isto corresponde?
3-Qual é a massa em gramas de um átomo de Zinco (Zn)? Quantos átomos 
de Zn há em 1 g de zinco.
4-Calcule a força de Coulomb atrativa entre um par de íons Na+ e Cl- que se 
tocam. Admita que o raio iônico do íon íons Na+ é 0,095 nm e o do íon Cl- é 
de 0,181 nm.
5- Quantos átomos há em uma grama de prata?
Ex 4: Força atrativa : 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS I
1- Consultando a TP, classifique os elementos abaixo como: metais, semimetais ou 
não-metais:
Mg; Ge, O, Al; Fe, Sb, Cl e Po;
2- Consultando s TP, classifique os elementos abaixo como: representativos ou de 
transição:
Ru, Na, Ac, Ba, W, Ar, Ce, Se.;
3- O átomo X, cujo nível mais externo é N, apresenta aí 4 elétrons. Determine:
a) O número atômico desse elemento;
b) O grupo e o período a que X pertence.
4- Indique como variam numa mesma família de elementos as seguintes 
propriedades periódicas:
a) raio atômico;
b) potencial de ionização;
c) eletronegatividade.
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1
REVISÃO-MECÃNICA DOS 
FLUIDOS
I-CAP.2: HIDROSTÁTICA:
Pressão, Unidades SI; 
Stevin-Pascal;
Pressões e empuxos.
ENG. CIVIL;ENG. MINAS
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2
PRESSÕES E EMPUXOS
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MEDIDA DE PRESSÕES
• O dispositivo mais simples para medir 
pressões é tubo piezométrico (piezômetro). 
Consiste na inserção de um tubo 
transparente na canalização ou recipiente;
• O líquido subirá no tubo piezométrico a uma 
altura h, correspondente à pressão interna-
fig.1; 
• Um outro dispositivo é o tubo em “U”, fig.2; 
• Para medir pequenas pressões utilizam-se: 
água, tetracloreto de carbono, tetrabrometo 
de acetileno e benzina. Para pressões 
elevadas o mercúrio.
• No exemplo da figura 2; 
• em A-pA ; em B-pA +’h; em C-pA +’h; em D- 
pA +’h-z; onde: = peso específico do líquido 
em D; ’= peso específico do mercúrio ou 
líquido indicador.
h
Fig. 1
Fig. 2
OBS.:
1-Problemas relativos à 
pressões nos líquidos, o que 
geralmente interessa é 
conhecer é a diferença de 
pressões.;
2- Sendo assim, aplica-se a 
Lei de Stevin : p2 –p1 =h
REVISÃO-MEDIDAS DAS 
PRESSÕES
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4
A pressão atm normal, ao nível 
do mar, equivale a 10,33 mH2O. 
Sendo menor nos locais mais 
elevados, ex. em SP é igual a 9,50 
mH2O.
Na fig. ao lado pto 2, situado no 
interior de um cilindro, está sob 
vácuo parcial.
A pressão relativa é inferior à atm 
local e a indicação manométrica 
seria negativa. Entretanto, nesse 
ponto, a pressão absoluta é 
positiva, correspondendo a 
alguns metros de coluna d’água.
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5
EMPUXO EXERCIDO POR UM LÍQUIDO 
SOBRE UMA SUPERFÍCIE PLANA IMERSA
Frequentemente, o engenheiro encontra 
problemas relativos ao projeto de 
estruturas que devem resistir às pressões 
exercidas por líquidos. Tais são os 
projetos de comportas, registros, 
barragens, tanques, canalizações, etc.
I-GRANDEZA E DIREÇÃO DO EMPUXO 
(fig.1):
A determinação do empuxo que atua em 
um dos lados da fig., a área será 
subdividida em elementos dA, localizado 
à profundidade genérica h e a distância y 
da intersecção O.
Cálculo da força F:
A força agindo em dA será....
Fig. 1
𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 = hdA=ysendA;
A resultante ou o empuxo (total) sobre toda a área, também normal, será:
𝐹 = න 𝑑𝐹 = න
𝐴
𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 න
𝐴
𝑦𝑑𝐴; 
𝐴׬ 𝑦𝑑𝐴 −é o momento da área em relação à intersecção O;
∴ 𝐴׬ 𝑦𝑑𝐴 = 𝐴 ത𝑦; ത𝑦(é a distância do CG da área até O. e A , a área total.
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐹 = 𝛾 ത𝑦sem /A; 
𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 = ℎ; ∴ 𝐹 = 𝛾 തℎ𝐴
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6
Cont.
O empuxo exercido sobre uma 
superfície plana imersa é uma 
grandeza tensorial perpendicular à 
superfície e é igual ao produto da 
área pela pressão relativa ao centro 
de gravidade da área. 
Exercício 1: Qual o empuxo exercido pela água em 
uma comporta vertical, de 3x4m, cujo topo se 
encontra a 5m de profundidade? (fig.2)
Dado - (água) =1000 kg/m3; F= hCG A
Resp.: F= 78 000 Kgf.
OBS.: A resultante das pressões não está aplicada no CG da 
figura, mas um pouco abaixo, porém num ponto que se 
denomina centro de pressão (fig. 3)
Fig. 2
Fig. 3
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7
DETRMINAÇÃO DO CENTRO DE PRESSÃO
A posição do centro de pressão pode ser 
determinada aplicando-se o teorema dos 
momentos, ou seja, o momento da 
resultante em relação à intersecção O 
deve igualar-se aos momentos das forças 
elementares dF: Fyp =dFy ...
Fig. 4
O centro de pressão está sempre abaixo 
do CG a uma distância
𝐾2
ത𝑦
, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎.
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EXERCÍCIOS CONT.:
2- Determinar a posição do centro de pressão para o caso da 
comporta do ex.1. Use a fórmula da tela 7 e o CG do retângulo 
no quadro 2.1. Usar: 𝑦𝑝 = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼0
𝐴𝑦𝐶𝐺
;
Resp.: y=6,615 m. 
3- Numa barragem de concreto está instalada uma comporta 
circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, à profundidade 
indicada na fig. 5,. Determine o empuxo que atua na comporta?
Usar: F= hCG A
Resp.: F=527 Kg.
Fig.5
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Aula 27 Fev.
Cap.4: 
Eq. Continuidade-Vazão
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VAZÃO
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1-VAZÃO VOLUMÉTRICA
Em hidráulica (ou em mec. dos 
fluidos), define-se vazão em volume Q 
como o volume de fluido que 
atravessa uma certa seção do 
escoamento por unidade de tempo 
(fig.1):
Qv=
𝑽
𝑻
; 
A vazão representa a rapidez com a 
qual um volume escoa. As unidades 
são: m3/s; m3/h; l/h ou l/s.
2-RELAÇÃO ENTRE ÁREA E 
VELOCIDADE
Pela fig.2, o vol. do cilindro tracejado 
é dado por: 𝑽 = 𝒅 ∙ 𝑨; substituindo 
na equação da vazão volumétrica 
temos: 𝑸𝒗 =
𝒅∙𝑨
𝒕
; mas d/t é a 
velocidade do escoamento portanto 
Qv =v x A.
Fig.1
Fig.2
3-VAZÃO EM MASSA-VAZÃO EM PESO
i) Vazão em massa- é a massa do fluido que escoa em um determinado 
intervalo de tempo: 𝑸𝒎 =
𝒎
𝒕
; 𝒎 = 𝝆 ∙ 𝑽; ∴ 𝑸𝒎 =
𝝆.𝑽
𝒕
;
𝒆 𝑸𝒎 = 𝝆𝑸𝒗; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑸𝒎 = 𝝆 ∙ 𝒗 ∙ 𝑨.
As unidades usuais para a vazão em massa são o kg/s ou então o kg/h;
ii) Vazão em peso- é o peso do fluido que escoa em um determinado intervalo de 
tempo. 𝑸𝒘 =
𝑾
𝒕
; 𝒘 = 𝒎. 𝒈 𝑒 𝒎 = 𝝆. 𝑽; ∴ 𝑊 = 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑔; 
 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 QW =. V/t; QW=. QV ;
Portanto para se obter a vazão em peso: 𝑸𝑾 = 𝜸 ∙ 𝒗 ∙ 𝑨;
Unidades usuais: N/s ou N/h.
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
PARA
REGIME PERMANENTE
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Consideremos um escoamento por um tubo de corrente da 
figura. Num tubo de corrente não pode haver fluxo lateral de 
massa. 
Seja a vazão em massa na seção de entrada Qm1 e na saída Qm2 
. Para que o regime seja permanente, é necessário que não 
haja variação de ppdds, em nenhum ponto do fluido, com o 
tempo.
Se, por absurdo 𝑄𝑚1 ≠ 𝑄𝑚2 ; então em algum ponto interno 
ao tubo de corrente haveria ou redução ou acúmulo de massa.
Dessa forma, a massa específica nesse ponto variaria com o 
tempo, o que contraria a hipótese de regime permanente, 
Logo:
𝑸𝒎𝟏 = 𝑸𝒎𝟐; 𝒐𝒖 𝝆𝟏𝑸𝟏 = 𝝆𝟐𝑸𝟐 𝒐𝒖; 𝝆𝟏𝒗𝟏𝑨𝟏 = 𝝆𝟐𝒗𝟐𝑨𝟐 *
Esta é a equação da continuidade para um fluido qualquer em 
regime permanente.
Fig. 3-Tubo de corrente
Exercício: 1-Um gás escoa em regime permanente no 
trecho da tubulação da figura. Na seção (1), A1=20 
cm2 , 1 =4 kg/m
3 e v1 =30 m/s; Na seção (2) A2 =10 
cm2 e 2 =12 kg/m
3 .Qual a velocidade na seção (2)?
Resp.: v2 =20 m/s v1A1 =v2A2 ; V2 =v1A1/A2.
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1-VAZÃO VOLUMÉTRICA
Em hidráulica (ou em mec. dos 
fluidos), define-se vazão em volume Q 
como o volume de fluido queatravessa uma certa seção do 
escoamento por unidade de tempo 
(fig.1):
Qv=
𝑽
𝑻
; 
A vazão representa a rapidez com a 
qual um volume escoa. As unidades 
são: m3/s; m3/h; l/h ou l/s.
2-RELAÇÃO ENTRE ÁREA E 
VELOCIDADE
Pela fig.2, o vol. do cilindro tracejado 
é dado por: 𝑽 = 𝒅 ∙ 𝑨; substituindo 
na equação da vazão volumétrica 
temos: 𝑸𝒗 =
𝒅∙𝑨
𝒕
; mas d/t é a 
velocidade do escoamento portanto 
Qv =v x A.
Fig.1
Fig.2
3-VAZÃO EM MASSA-VAZÃO EM PESO
i) Vazão em massa- é a massa do fluido que escoa em um determinado 
intervalo de tempo: 𝑸𝒎 =
𝒎
𝒕
; 𝒎 = 𝝆 ∙ 𝑽; ∴ 𝑸𝒎 =
𝝆.𝑽
𝒕
;
𝒆 𝑸𝒎 = 𝝆𝑸𝒗; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑸𝒎 = 𝝆 ∙ 𝒗 ∙ 𝑨.
As unidades usuais para a vazão em massa são o kg/s ou então o kg/h;
ii) Vazão em peso- é o peso do fluido que escoa em um determinado intervalo de 
tempo. 𝑸𝒘 =
𝑾
𝒕
; 𝒘 = 𝒎. 𝒈 𝑒 𝒎 = 𝝆. 𝑽; ∴ 𝑊 = 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑔; 
 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 QW =. V/t; QW=. QV ;
Portanto para se obter a vazão em peso: 𝑸𝑾 = 𝜸 ∙ 𝒗 ∙ 𝑨;
Unidades usuais: N/s ou N/h.
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RESUMO
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EXERCÍCIOS
1-Recipiente possui volume de 214 litros, um líquido escoa nesse recipiente à velocidade de 0,3 
m/s. Um tubo é conectado ao recipiente possui 30 mm de diâmetro. Determinar o tempo gasto 
para encher o recipiente.
Usar: QV =v x A; A= x d
2/4; QV =V/t; .....
Resp.: 16,9 min.
2- Calcular o diâmetro de uma tubulação, na qual escoa água à v=6 m/s. A tubulação está 
conectada a um tanque com volume de 12 m3 e leva uma hora, 5 minutos e 49 segundos para 
enchê-lo totalmente. 
Resp.: d=1”. 
Orientação: 1-determine o tempo em seg.; 2- Vazão volumétrica QV =V/t; 3- det. do diâmetro, 
use: QV =V x A; A= d
2/4; d=(4 QV /V x 3.14.16)
1/2 =....
3- Uma torneira enche de água um tanque de 6.000 L em 1h e 40 min. Determine a vazão em 
massa, volume e em peso em unidades do SI, dado H2O =1.000 kg/m
3; g= 10 ms-2 .
Resp.: 10-3 m3/s; Qm =1 kg/s; QG =10 N/s.
Usar: Q=V/t; Qm =Q; QG =gQm .
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Cf. dito acima: o tubo de 
corrente é tal que não existe 
fluxo na superfície lateral. O 
fluxo existe apenas nas 
superfícies de entrada e saída 
do tubo.
Uma linha de corrente consiste 
numa linha contínua traçada 
num fluido, tangente em todos 
os pontos ao vetor velocidade. 
Não existe escoamento através 
de uma linha de corrente.
ANOTAR O TEXTO ABAIXO
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20
TUBO DE VENTURI
O tubo de Venturi é um aparelho 
criado por “Giovanni Battista 
Venturi”, para medir a velocidade de 
escoamento e a vazão de um líquido 
incompressível através da variação 
da pressão durante a passagem 
deste líquido por um tubo de seção 
mais larga e depois outro de seção 
mais estreita. 
Aplicações diversas na engenharia 
hidráulica. Ex. sistemas ejetores ou 
injetores, etc.
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Ex.4
Solução
Pela eq. da continuidade: 𝑣𝑒𝐴𝑒 = 𝑉𝐺𝐴𝐺; ∴ 𝑣𝐺 = 𝑣𝑒
𝐴𝑒
𝐴𝐺
= 2
20
5
= 8𝑚/𝑠;
Venturi [G.B.Venturi-1746 1822]: utilizado para medir a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido incompressível 
através da variação da pressão durante a passagem deste líquido por um tubo de seção mais larga e depois por outro de seção 
mais estreita. 
Ae 
AG
ENTRADA
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AULA 5/03;
HIDRODINÂMICA;
EQ. BERNOULLI
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