Revisão Diagramas Momentos Fletores e Esforços Cortantes 24 08

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R E V I S Ã O 
S E M A N A 
4
M O N I T O R I A E S T Á T I C A 
2 0 2 0
D I A G R A M A 
D E 
M O M E N T O S 
F L E T O R E S
O Q U E É ?
É uma ferramenta de análise que, em conjunto
com o estudo estrutural, determina o momento
fletor (força que tende a curvar o eixo
longitudinal) em um certo ponto de um elemento
estrutural como uma viga.
R E L A Ç Ã O :
Para cada modelo de sistema viga + apoios +
carregamentos, é possível encontrar uma
equação específica; esta SEMPRE será a integral
da equação obtida para os esforços cortantes do
mesmo sistema.
Integral: correspondente elevada em um grau
Derivada: correspondente reduzida em um grau
Equação
Momentos
Fletores
Equação
Esforços
Cortantes
integral derivada
parábola reta
C O M O É 
C A L C U L A D O ?
Determinando o momento em cada um dos
pontos de interesse separadamente. Para isso,
imaginamos uma seção αβ que passe por cada
um individualmente e olhamos para as
componentes à esquerda ou à direita para fazer o
cálculo. α
à esquerda à direita
β
A T E N Ç Ã O :
Nos pontos das extremidades não engastadas,
esse valor será 0, já que, escolhendo a direção
extrema, nenhuma das forças entra na conta -
sistema equilibrado (ΣM=0).
α
β
α
β
Não entra na 
conta pois não 
gera momento
C D E
Reações de apoio:
C D E
VbVa
Ha
ΣFx=0 Ha = 0
ΣFy=0 Va + Vb – 18 – 18 - 36 = 0
Va + Vb = 72 kN
ΣMa=0 4Rb – 18.1 – 36.2 – 18.3 = 0
4Rb = 144 
Rb = 36 kN
Va + Vb = 72 kN Va = 72 – 36
Va = 36 kN
+
+
+
Para o ponto C:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Mc = + 36. 1 = +36 kNm
α
à esquerda
β
Para o ponto D:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Md = + 36. 2 – 18.1 = +54 kNm
α
à esquerda
β
Para o ponto E:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Me = + 36. 1 = +36 kNm
α
à direita
β
Depois, traçam-se os valores encontrados para
cada ponto respeitando a convenção de positivo
para BAIXO e negativo para CIMA.
0 0
+36 kNm +36 kNm
+54 kNm
C O M O U N I R O S
P O N T O S ?
De acordo com a equação de dedução do
momento fletor, chegamos ao formato do
diagrama:
Para cargas concentradas: o diagrama deve ser
composto por retas (equação do 1º grau); ou seja,
basta apenas ligar os valores encontrados para
cada ponto.
Para cargas distribuídas: o diagrama deve ser
composto por uma parábola (equação do 2º
grau); para isso, deve ter um momento de
máximo/mínimo.
Esse momento máximo acontece onde os
esforços cortantes são nulos (V=0) – ou seja, ao
igualar a equação derivada a 0.
Nesse caso, como todas as forças são
concentradas:
0 0
+36 kNm +36 kNm
+54 kNm
D I A G R A M A 
D E 
E S F O R Ç O S 
C O R T A N T E S
O Q U E É ?
É uma ferramenta de análise que, em conjunto
com o estudo estrutural, determina o esforço
cortante (força que tende a cisalhar o objeto, sem
girar o eixo longitudinal) em um certo ponto de
um elemento estrutural como uma viga.
C O M O É 
C A L C U L A D O ?
Determinando o valor das componentes no eixo y
para dois pontos infinitamente próximos de cada
ponto: um à esquerda e outro à direita, sempre
olhando para o mesmo lado das seções αβ.
α
à esquerda à direita
β
C D E
VbVa
Ha
α
β
VA com αβ à esquerda = 0
C D E
Va
Ha
α
β
VA com αβ à direita = + 36 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
β
VC com αβ à esquerda = +36 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VC com αβ à direita = + 36 – 18
VC com αβ à direita = + 18 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
β
VD com αβ à esquerda = +18 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VD com αβ à direita = + 36 – 18 - 36
VD com αβ à direita = - 18 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
β
VE com αβ à esquerda = -18 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VE com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 - 18
VE com αβ à direita = - 36 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
β
VD com αβ à esquerda = -36 kN
C D E
Va
Ha
α
β
Todas as forças = sistema equilibrado = ΣFy é 0
α
à esquerda
β
Vb
VD com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 
– 18 + 36
VD com αβ à direita = 0
Depois, traçam-se os valores encontrados para
cada ponto respeitando a convenção de positivo
para CIMA e negativo para BAIXO.
0 0
+36 kN
-36 kN
+18 kN
+36 kN
+18 kN
-18 kN -18 kN
-36 kN
C O M O U N I R O S
P O N T O S ?
De acordo com a redução em um grau do
diagrama de momentos fletores, chegamos ao
formato do diagrama:
Para cargas concentradas: o diagrama deve ser
composto por constantes; ou seja, basta apenas
ligar os valores encontrados (na ordem que foram
descobertos) para cada ponto.
Para cargas distribuídas: o diagrama deve ser
composto por uma reta (equação do 1º grau);
deve-se unir os pontos na ordem que foram
encontrados.
Nesse caso, como todas as forças são
concentradas:
0 0
+36 kN
-36 kN
+18 kN
+36 kN
+18 kN
-18 kN -18 kN
-36 kN
C Á L C U L O 
M O M E N T O 
M Á X I M O /
M Í N I M O
Para encontrar o local que momento máximo da
parábola (gráfico momentos fletores para carga
distribuída), devemos encontrar o local onde os
esforços cortantes são zero, ou seja, Fy = 0.
Isso porque os momentos de máximo (se +) ou de
mínimo (se -) são encontrados igualando a
derivada da equação a 0: lembre que a equação
de V é derivada da equação de M.
L O C A L D E 
A P L I C A Ç Ã O
A partir da esquerda, é possível encontrar a
distância em que a carga distribuída anula a força
de 66 kN (resultante em y no ponto do apoio),
satisfazendo, assim, Fy = 0.
Q = q. L Q = 66 kN q = 24 kN/m
66 = 24. x x= 66/24 x = 2,75m
66 kN x -18 + 84
66 kN
Para encontrar o valor do momento máximo,
basta calcular o momento fletor em relação ao
ponto x encontrado.
Neste caso:
V A L O R
α
β
α
β
2,75 m
Mx = - 18. 4,75 + 84. 2,75 – (2,75. 24). (2,75/ 2)
Mx = 54,75 kNm
Com isso, é só traçar a parábola.
Q = q1. L
Q = 30. 10
Q = 300 kN
ΣFx=0
Ha = 0
ΣFy=0
Ra + Rb – 150 – 300 – 80 = 0
Ra + Rb = 530 kN
+
+
-150.3 + 80.5 +300.5 – Rb. 10
Rb = 145kN
Ra + Rb = 530 kN
Ra + 145 = 530
Ra = 385 kN
ΣMa = 0+
• Cálculo dos momentos fletores
Mc = 0
Ma = -150.3 = -450kNm
Md = -150.8 + 385.5 – 150.2,5 = +350kNm
Mb = -150.13 + 385.10 – 300. 5 – 80.5= 0
• Diagrama dos momentos fletores
Mc = 0
Ma = -450kNm
Md = +350kNm
Mb = 0
• Cálculo dos esforços cortantes
Vc (esq) = 0
Vc (dir) = -150 kN
Va (esq) = -150 kN
Va (dir) = -150 +385 = + 235 kN
Vd (esq) = -150 + 385 - 150 = +85 kN
Vd (dir) = -150 + 385 - 150 - 80= +5 kN
Vb (esq) = -150 + 385 - 300 – 80 = -145 kN
Vb (dir) = -150 + 385 - 300 – 80 + 145 = 0
• Diagrama dos esforços cortantes
Vc (esq) = 0 Vc (dir) = -150 kN
Va (esq) = -150 kN Va (dir) = + 235 kN
Vd (esq) = +85 kN Vd (dir) = +5 kN
Vb (esq) = -145 kN Vb (dir) = 0
• Cálculo do momento fletor máximo
Q = q. L
145 = 30. x
x = 4,833m
Mx = +145.4,833 – 30.4,833.2,416
Mx= 350,4165 kNm
D Ú V I D A S
O B R I G A D A
• E S T A M O S S E M P R E 
D I S P O N Í V E I S P A R A T I R A R 
D Ú V I D A S : )
• A N A L U Í S A B A R B O S A E 
G A B R I E L A S T A N G A