Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Me. Felipe Chaves Inácio
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. ME. FELIPE CHAVES INÁCIO
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Esp. Imperatriz da Penha Matos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Elislaine Santos 
 Revisão Técnica: Profª. Olívia Coimbra
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Clarice Virgilio Gomes
 Prof. Esp. Guilherme Prado
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza Perboyre Campos 
© 2023, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2023
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 Possui graduação em Economia 
pela Universidade Federal de Minas 
Gerais (UFMG) (2000) e Mestrado em 
Estatística pela Universidade Federal 
de Pernambuco (UFPE) (2004). Atual-
mente é gerente da Seção de Estatísti-
ca e Indicadores Municipais na Prefei-
tura Municipal de Ipatinga e professor 
tutor na Faculdade Única de Ipatinga. 
Tem experiência na área de Economia, 
com ênfase em Métodos e Modelos 
Matemáticos, Econométricos e Estatís-
ticos.
FELIPE CHAVES INÁCIO
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/5931305817501976
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
http://lattes.cnpq.br/5931305817501976
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LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
SUMÁRIO
1.1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................................................................................................................................................................................10
1.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.........................................................................................................................................................................................................................................................11
 1.2.1 Capitalização Simples...............................................................................................................................................................................................................................................................11
 1.2.2 Equivalência de taxas..............................................................................................................................................................................................................................................................18
FIXANDO O CONTEÚDO .........................................................................................................................................................................................................................................................................21
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................................................................................................................................................................................24
2.2 DESCONTO SIMPLES.........................................................................................................................................................................................................................................................................25
2.3 DESCONTO COMPOSTO................................................................................................................................................................................................................................................................28
FIXANDO O CONTEÚDO ..........................................................................................................................................................................................................................................................................31
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
DESCONTOS
UNIDADE 3
3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................................................................................................................................................................................34
3.2 FLUXO DE CAIXA.................................................................................................................................................................................................................................................................................34
3.3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES......................................................................................................................................................................................................................................35
 3.3.1 Séries uniformes com parcelas vencidas................................................................................................................................................................................................................35
 3.3.2 Séries uniformes com parcelas antecipada..........................................................................................................................................................................................................41
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS.........................................................................................................................................................................................................................................43
 3.4.1 Gradientes em progressão aritmética crescente.............................................................................................................................................................................................43
3.5 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA..............................................................................................................................................................................................................................................45
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................48SÉRIES DE PAGAMENTOS
UNIDADE 4
EMPRÉSTIMOS
5.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................................................................................................................................................59
 5.1.2 Sistema de Amortização Francês..................................................................................................................................................................................................................................59
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE...........................................................................................................................................................................................................................64
5.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO........................................................................................................................................................................................................................................66
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................70
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
UNIDADE 5
6.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................................................................................................................................................................................73
6.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)..............................................................................................................................................................................................................................................73
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)...........................................................................................................................................................................................................................................75
FIXANDO O CONTEÚDO.........................................................................................................................................................................................................................................................................78
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO........................................................................................................................................................................80
REFERÊNCIAS .....................................................................................................................................................................................................................81
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS
UNIDADE 6
4.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................................................................................................................................................51
4.2 DESCONTO DE DUPLICATAS.........................................................................................................................................................................................................................................................51
4.3 NOTAS PROMISSÓRIAS..................................................................................................................................................................................................................................................................53
4.4 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING)..................................................................................................................................................................................................................................53
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................56
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UNIDADE 1
Nesta unidade serão apresentados os conceitos básicos de juros, capital e montante, 
além dos regimes de capitalização simples e composto.
UNIDADE 2
Nesta unidade será apresentado o conceito de desconto que é uma operação 
muito utilizada na prática. Serão vistos o desconto simples e o desconto composto 
que tem uma questão conceitual muito importante.
UNIDADE 3
Nesta unidade será introduzido o conceito de fluxo de caixa e será visto como 
ocorre o fluxo de pagamentos e recebimentos futuros sob os diferentes regimes de 
capitalização.
UNIDADE 4
Nesta unidade serão apresentados diferentes instrumentos utilizados no mercado 
por empresas que buscam formas de financiar seu capital de giro.
UNIDADE 5
Nesta unidade serão estudados os principais sistemas de amortização que são 
vastamente utilizados na prática como em financiamentos de imóveis, por exemplo.
UNIDADE 6
Nesta unidade serão apresentados os principais métodos de avaliação de 
investimentos utilizados: o VPL e a TIR. Estes métodos nos permitem avaliar a 
viabilidade econômica e a taxa de retorno de um investimento.
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JUROS SIMPLES E 
COMPOSTOS
10
1.1 INTRODUÇÃO
 A matemática financeira é um ramo da matemática que trata essencialmente da 
relação entre dinheiro e tempo. Receber uma certa quantia de dinheiro hoje ou daqui a 
seis meses claramente não é a mesma coisa. Da mesma forma, comprar um produto 
hoje e comprá-lo daqui a seis meses não é a mesma coisa. Dessa forma, abrir mão do 
consumo imediato (que é preferível) para consumir depois deve trazer uma espécie de 
“prêmio” para alguém, e os juros podem ser entendidos como esse prêmio. Portanto, 
são os juros que levam ao adiamento do consumo e à posterior criação de poupanças, 
tão úteis para a economia. O interesse também pode ser entendido de outras maneiras:
 Remuneração do risco: por exemplo, ao conceder um empréstimo, o credor 
expõe-se ao risco de incumprimento do devedor. Quanto maior o risco, maior será o 
“prêmio” exigido pelo credor, ou seja, maiores serão os juros.
 Proteção contra a perda do poder de compra: a moeda perde gradualmente o 
seu poder de compra, ou seja, a capacidade de comprar produtos, ao longo do tempo. 
Obviamente, você não pode comprar hoje por US$ 100 tudo o que você poderia comprar 
há 20 anos. Isso se deve ao processo de inflação. Os juros podem anular ou pelo menos 
minimizar essa perda.
 Remuneração do capital: os juros também podem ser entendidos como “aluguel” 
que deve ser pago pela utilização do dinheiro por terceiros.
 Além do juro (J), existem outros conceitos que precisamos compreender para 
estudar a relação entre dinheiro e tempo. São eles:
 Capital (C): do ponto de vista da matemática financeira, capital significa qualquer 
valor expresso em moeda que esteja disponível num determinado momento. Também 
pode ser chamado de “principal” ou “valor presente”.
 Montante (M): também chamado de “valor futuro”, é o valor obtido após a adição 
de juros ao final de um determinado período. O valor será, portanto, igual ao principal 
mais juros.
 Taxa de juros (i): é a razão entre os juros recebidos e o capital investido. Ou seja, é 
uma recompensa pelo capital investido e está sempre relacionada a um determinado 
período de tempo. Uma taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras: uma taxa 
percentual e uma taxa unitária. Uma taxa percentual é dada como uma porcentagem, 
e uma taxa unitária será a taxa percentual dividida por 100. Por exemplo:
Taxa percentual Taxa unitária
15% 0,15
7,5% 0,075
2% 0,02
1,5%0,015
Quadro 1: Taxa de Juros
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
 Portanto, quando expressamos matematicamente as relações acima, temos o 
seguinte:
 M=C+J 
11
 i=J/C 
 Exemplo: Qual é a taxa de juros de um empréstimo de $100 se você sabe que $125 
serão pagos após um mês?
 Solução: Neste caso, o capital é igual a $100 e o valor é igual a $150. Então nós 
temos:
M=C+J
J=M-C
J=125-100=25
i=J/C
i=25/100=0,25 ou 25%
 A taxa de juros é, portanto, igual a 25% ao mês, que é o prazo da operação.
1.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
 Na matemática financeira, o regime de capitalização de juros representa a 
forma como os juros são criados e incorporados ao capital ao longo do tempo. Nesse 
sentido, podemos destacar dois modos de capitalização: a capitalização simples e a 
capitalização composta.
 1.2.1 Capitalização Simples
 A capitalização simples, popularmente chamada de “juros simples”, é uma 
modalidade de capitalização onde a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial 
e nunca sobre os juros acumulados. Neste regime, o juro cresce linearmente com o 
tempo, ou seja, a relação entre o juro e o tempo pode ser expressa como uma função 
de primeiro grau. Considere o seguinte exemplo: suponha que uma pessoa contraia um 
empréstimo de R$ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês, a ser pago após 6 meses. A 
tabela abaixo ilustra essa situação com o valor da dívida a cada mês.
Mês Juros Dívida
0 - 1.000
1 0,03∙1.000=30 1.030
2 0,03∙1.000=30 1.060
3 0,03∙1.000=30 1.090
4 0,03∙1.000=30 1.120
5 0,03∙1.000=30 1.150
6 0,03∙1.000=30 1.180
Quadro 2: Taxa de juros (simples)
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
 Na tabela acima, o mês “0” representa o momento exato em que a pessoa contrata 
o empréstimo. Neste momento ainda não foram pagos juros. Ao final do primeiro mês, a 
dívida será igual a R$ 1.000,00 mais juros, que era de R$ 30,00. Portanto, o valor da dívida 
12
neste momento é de R$ 1.030,00 e assim por diante. Observe que foi utilizada uma taxa 
unitária (0,03) e não uma taxa percentual (3%) para obter o valor dos juros de cada 
mês. Também é importante entender que os juros são constantes ao longo do tempo, o 
que significa que a dívida aumenta sempre no mesmo valor. Isso significa que os juros 
são uma função linear do tempo. A cada mês, a taxa de variação da dívida é sempre 
a mesma (constante). É óbvio que nem sempre é necessário construir um tal painel, o 
que pode ser trabalhoso especialmente durante um período de operação muito longo. 
Felizmente, existem fórmulas que nos permitem calcular as variáveis envolvidas numa 
transação financeira. Vejamos alguns que se referem à simples capitalização.
 • Juros: Os juros de uma operação financeira no regime de capitalização simples 
podem ser calculados através da seguinte expressão:
 J=C∙i∙t (3)
 Onde “t” é o tempo ou prazo da operação.
 Exemplos: considerando o exemplo dado na tabela anterior, qual será o valor dos 
juros no final da operação?
 Solução: analisando a tabela, já podemos afirmar que os juros ao final da operação 
(no sexto mês) serão iguais a R$ 180,00 (J=1.180-1.000). Porém, se não tivéssemos uma 
tabela, deveríamos calcular usando uma fórmula como esta:
J = ?
C = 1.000
i = 3% ao mês
t = 6 meses
 Como a taxa é mensal e o tempo de operação é medido em meses, não há 
necessidade de fazer nenhuma conversão (veremos mais tarde quando será necessário 
e como fazê-lo). Então, usando a taxa unitária e substituindo na fórmula, temos:
J=C∙i∙t
J=1.000∙0,03∙6
J=$180
 Ou seja, os juros gerados pela operação são de R$ 180,00, como esperávamos.
 Qual é a taxa de juros de um empréstimo de $ 1.500,00 que deve ser pago em $ 
1.950,00 após 12 meses?
 Solução: neste caso, temos os seguintes valores:
C = 1.500
M = 1.950
t = 12 meses
i = ?
 Para usar a fórmula, vamos primeiramente calcular o valor dos juros.
13
J=M−C
J=1.950−1.500
J=450
 Agora, podemos substituir estes valores na outra fórmula.
J=C∙i∙t
450=1.500∙i∙12
450=18.000∙i
i=45018000
i=0,025 ou 2,5%
 A taxa de juros da operação é, portanto, de 2,5% ao mês, já que o tempo é medido 
em meses.
 Sabe-se que um capital de $ 2.300,00 investido à taxa de 5% ao mês rende $ 
800,00 em juros. Qual foi o prazo para esta operação?
Solução: neste caso temos os seguintes dados:
C = 2.300
J = 800
i = 5% (ou 0,05) ao mês
t = ?
 Substituindo na fórmula temos:
J=C∙i∙t
800=2300∙0,05∙t
800=115∙t
t=800/115
t≈6,96
 A duração da operação é, portanto, de aproximadamente sete meses, uma vez 
que a taxa de juro é mensal.
 Que montante de capital, aplicado a 7,5% ao ano, gerará $4.000,00 em juros em 5 
anos?
 Solução: neste caso, os dados do problema são:
i = 7,5% ao ano
t = 5 anos
J = 4.000
 Substituindo na fórmula temos:
J=C∙i∙t
4000=C∙0,075∙5
4000=C∙0,375
C=4000/0,375
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C=10.666,67
 Portanto, o capital é igual a $ 10.666,67.
 Valor: vimos anteriormente que o valor é a soma do principal e dos juros 
acumulados no período, então M=C+J. Também vimos que J=C∙i∙t. Portanto, podemos 
derivar outra fórmula para o valor da operação da seguinte forma:
 Sabemos que M=C+J (1) e J=C∙i∙t (2). Então, substituindo a equação (2) na equação 
(1), temos o seguinte:
M=C+C∙i∙t
 Colocando “C” em evidência, temos:
 M=C∙(1+i∙t) 
A taxa de juros a ser utilizada nas fórmulas deve sempre ser a taxa unitária, nunca a per-
centual.
FIQUE ATENTO
 E essa é a nova fórmula para o cálculo do montante de uma operação.
 Exemplo: Se $10.000,00 de capital forem investidos a 1,5% ao mês, qual será o valor 
após 12 meses?
 Solução: neste caso temos os seguintes dados:
C = 10.000
i = 1,5% ao mês
t = 12 meses
M = ?
 Como M=C∙(1+i∙t), então:
M=10000∙(1+0,015∙12) A multiplicação deve ser feita primeiro
M=10000∙(1+0,18)
M=10000∙(1,18)
M=11.800
 Portanto, o valor desta operação é de R$ 11.800,00.
 • Conversão de taxas: como vimos acima, a taxa de juros e o período (tempo) 
devem referir-se sempre à mesma unidade (dias, meses, ano, etc.). No entanto, isso 
não acontece em muitas situações. Nestes casos, precisamos converter a taxa de 
juros a ser medida na mesma unidade do período (ou converter o período na mesma 
unidade da taxa). No regime de capitalização simples, a conversão da taxa de juro é 
feita simplesmente multiplicando ou dividindo pelo valor requerido. Então, por exemplo, 
se tivermos uma anuidade, podemos obter a mensalidade simplesmente dividindo por 
15
12. Ou, se tivermos uma diária, podemos obter a mensalidade multiplicando por 30, e 
assim por diante. Vejamos alguns exemplos:
 Exemplo: suponha que uma pessoa invista R$ 2.500,00 em um fundo que rende 
3% ao mês. Quanto essa pessoa terá após 2 anos?
 Solução: observe que a taxa é mensal e o período é medido em anos. Portanto, 
precisamos converter a taxa para uma taxa anual como esta:
ia=im∙12
ia=0,03∙12
ia=0,36
 Aqui, “ia” é a taxa anual e “im” é a taxa mensal. Agora, podemos utilizar a fórmula 
do montante:
M=C∙(1+i∙t)
M=2500∙(1+0,36∙2)
M=2500∙(1+0,72)
M=2500∙(1,72)
M=4.300
 Então depois de 2 anos a pessoa terá R$ 4.300,00.
 • Capitalização composta: popularmente chamada de “juros compostos”, a 
capitalização composta é uma modalidade de capitalização onde a taxa de juros é 
retirada do capital inicial mais os juros acumulados até o período anterior, por isso 
também é chamada de “juros sobre juros ”. Na prática, esta é a modalidade utilizada 
para todas as operações de capitalização. É também importante notar que neste 
regime a taxa de juro varia exponencialmente ao longo do tempo. Ou seja, o capital 
“cresce” muito mais rápido se comparado ao regime de simples capitalização. Vejamos 
um exemplo: suponha que uma pessoa contraia um empréstimo de R$ 1.000,00 com 
taxa de juros de 3% ao mês, para ser pago após 6 meses. Observe que este é o mesmo 
exemplousado no início da seção de letras maiúsculas simples. A tabela abaixo ilustra 
esta situação com o valor devido a cada mês.
Mês Juros Dívida
0 - 1.000
1 0,03∙1.000=30 1.030
2 0,03∙1030=30,9 1.060,9
3 0,03∙1.060,9=31,83 1.092,73
4 0,03∙1.092,73=32,78 1.125,51
5 0,03∙1.125,51=33,77 1.159,28
6 0,03∙1.159,28=34,78 1.194,06
Quadro 3: Taxa de juros (compostos)
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
16
 Portanto, ao final de seis meses, o valor devido será de R$ 1.194,06. Observe que 
quando implementamos a capitalização simples, esse valor era menor ($1.180,00). Esta 
diferença será tanto maior quanto maior for o período entre o início e o fim da operação. 
O Gráfico 1 abaixo ilustra a diferença entre esses dois tipos de letras maiúsculas. 
Pelo gráfico podemos observar que ao final de 60 meses a dívida na modalidade 
de capitalização composta é praticamente o dobro do que seria na modalidade de 
capitalização simples.
Figura 1: Capitalização simples X Capitalização composta
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020)
 Também no caso de capitalização composta, não é necessário realizar cálculos 
conforme tabela acima. Existem também algumas fórmulas que são muito úteis. Vamos 
ver:
 • Valor: o valor da operação na modalidade de capitalização composta pode ser 
calculado através da seguinte fórmula:
M = C � 1 + i t
 Da mesma forma, temos que:
M = montante;
C = capital;
i = taxa de juros;
t = período (ou tempo).
A partir desta fórmula também podemos obter a fórmula do capital “passando” o 
termo para o “outro lado da igualdade”. Então nós temos:1 + i t
C =
M
1 + i t
 Exemplo: imagine que uma pessoa investe R$ 1.500,00 em um fundo que rende 2% 
de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá após 12 meses?
 Solução: os dados do problema são:
M= ?
C=1.500
17
i=2% ao mês
t=12 meses
 Substituindo esses valores na fórmula, temos o seguinte:
M = C � 1 + i t
M = 1500 � 1 + 0,02 12
M = 1500 � 1,02 12
M = 1500 � 1,268
M = 1.902
 Então depois de 12 meses essa pessoa terá R$ 1.902,00.
 Exemplo: qual é o capital que, usando 1,5% ao mês, renderá $3.200,00 após 15 
meses?
 Solução: os dados do problema são os seguintes:
C = ? 
M = 3.200 
i = 1,5% ao mês 
t = 15 meses
 Substituindo na fórmula, temos:
M = C ∙ (1 + i) t
3200 = C ∙ (1 + 0,015) 15
3200 = C ∙ (1,015) 15
3200 = C ∙ (1,25)
C = 3200 / 1,25
C = 2.560
 Portanto, o capital procurado é $2.560,00.
 Exemplo: após quanto tempo um capital de $1.300,00 aplicado a uma taxa de 4% 
ao mês rende um montante de $2.600,00?
 Solução: neste caso, como o período aparece como um expoente na fórmula 
do montante precisou utilizar uma propriedade dos logaritmos. Essa propriedade diz o 
seguinte:
 Assim, substituindo os valores na fórmula do montante, temos o seguinte:
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛𝐜 = 𝐜 � 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
M = C � 1 + i t
2600 = 1300 � 1 + 0,04 t
2600 = 1300 � 1,04 t
log 1,04 t = log 2
18
t = 17,7
 Assim, após 17,7 meses (uma vez que a taxa é mensal), o capital de $1.300,00 irá 
gerar um montante de $2.600,00 a uma taxa de 4% ao mês.
 Exemplo: Qual é a taxa de juros que faz um capital de $5.000,00 gerar um montante 
de $8.000,00 após 12 meses?
 Solução: Substituindo os valores na fórmula do montante, temos o seguinte:
M = C � 1 + i t
8000 = 5000 � 1 + i 12
1,6 = 1 + i 12
1,6 = 1 + i 12
1 + i = 1,0399
i = 1,0399 − 1
i = 0,0399 ou 3,99%
 Assim, a taxa de juros procurada é 3,99% ao mês (uma vez que o período está em 
meses).
 1.2.2 Equivalência de taxas
 Assim como na capitalização simples, na modalidade de capitalização composta 
a taxa e o prazo devem corresponder à mesma unidade (dia, mês, ano, etc.). No entanto, 
a transformação da taxa não é feita da mesma maneira. Mas antes de analisarmos 
como transformar as taxas no regime de capitalização composta, vejamos um conceito 
importante na matemática financeira: o conceito de equivalência de taxas. Duas ou 
mais taxas relativas a períodos unitários diferentes são equivalentes se produzem o 
mesmo valor ao final de determinado tempo através da utilização do mesmo capital 
inicial (SOBRINHO, 2008).
 Em outras palavras, duas taxas são equivalentes quando produzem a mesma 
quantidade quando aplicadas ao mesmo capital ao mesmo tempo. Uma taxa de 2% ao 
mês, por exemplo, corresponde a uma taxa de 26,82% ao ano. Vejamos: se considerarmos 
um capital de R$ 1.000,00 investido a 2% ao mês durante 12 meses, temos:
19
M = 1.000 � 1 + 0,02 12
M = 1.000 � 1,2682
M = 1.268,20
 Considerando, agora, o mesmo capital aplicado a 26,82% ao ano durante um ano 
(equivalente a 12 meses), temos:
M = 1.000 � 1 + 0,2682 1
M = 1.000 � 1,2682
M = 1.268,20
 Como podemos perceber, essas duas taxas geram o mesmo valor quando 
aplicadas ao mesmo capital no mesmo período. Mas como você transforma uma taxa 
mensal em uma taxa anual? Para isso usaremos a seguinte fórmula:
ia = 1 + im 12 − 1
 Onde “ia” é a taxa anual e “im” é a taxa mensal. De forma análoga, para calcular a 
taxa mensal conhecendo a taxa anual, utilizamos a seguinte fórmula:
 im= 1 + ia
1
12 − 1
 Exemplo: Qual é a taxa mensal equivalente a 32% ao ano?
 Solução:
im = (1,32)0,0833−1
im = 1,0234 − 1
im = 0,0234 ou 2,34%
Nos links abaixo, vocês encontrarão esses assuntos de forma bem detalhada e 
com muitos exemplos diferentes. 
Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício 
Samanez, (2007). Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. Acesso em: 08 mai. 2020. 
FIQUE ATENTO
Matemática financeira, de José Dutra Vieira Sobrinho (2008). 
Disponível em: https://bit.ly/2PoxtI7. Acesso em: 08 mai. 2020.
https://bit.ly/3fb75J
https://bit.ly/2PoxtI7
20
Ao comprar eletrodomésticos parcelados, normalmente nos deparamos com uma taxa 
de juros para parcelas maiores (por exemplo, acima de seis parcelas). Porém, para par-
celas mais curtas (por exemplo duas ou três parcelas) é comum que não haja juros. Qual 
é a razão desta diferença?
VAMOS PENSAR?
21
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $1.000,00 que rendeu $120,00 de juros ao 
longo de 12 meses.
a) 30% ao mês.
b) 24% ao mês.
c) 12% ao mês.
d) 36% ao mês.
e) 0,12% ao mês.
2. Calcule os juros de um financiamento de $150.000,00 que rendeu um montante de 
$190.000,00 após 12 meses.
a) $40.000,00.
b) $30.000,00.
c) $50.000,00.
d) $25.000,00.
e) $12.000,00.
3. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $5.000,00 que, após 6 meses, gerou um 
montante de $5.200,00.
a) 0,3% ao mês.
b) 0,66% ao mês.
c) 3% ao mês.
d) 4% ao ano.
e) 0,4% ao mês.
4. Calcule a taxa unitária de juros de equivalente a 12% ao ano.
a) 0,012 ao ano.
b) 0,12 ao ano.
c) 0,0012 ao ano.
d) 0,12% ao ano.
e) 0,012% ao ano.
5. Calcule o montante de um empréstimo de $15.000,00 a ser liquidado após 12 meses, 
considerando uma taxa de 3% ao mês sob o regime de capitalização simples.
a) $19.200,00.
b) $24.000,00.
c) $20.400,00.
d) $18.750,00.
22
e) $19.820,00.
6. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $2.000,00 que deve ser pago por 
$2.350,00 após 6 meses, considerando a capitalização simples.
a) 2,92% ao ano.
b) 0,029% ao mês.
c) 0,029% ao ano.
d) 1,03% ao mês.
e) 2,92% ao mês.
7. Considerando o regime de capitalização composta, qual será o montante de uma 
aplicação de $10.000,00 durante 20 meses a uma taxa de 1,8% ao mês?
a) $14.287,48.
b) $14.000,00.
c) $13.800,00.
d) $4.287,48.
e) $5.728,53.
8. Qual é o capital que, aplicado por 24 meses a uma taxa de 2% ao mês sob o regime 
de capitalização composta gera um montante de $20.000,00?
a) $19.000,00.
b) $17.500,00.
c) $15.204,70.
d) $12.434,43.
e) $18.452,25.
23
DESCONTOS
24
2.1 INTRODUÇÃO
 A operação de desconto pode ser entendida como capitalização “inversa”. Nos 
regimes de capitalização conhecemos o valor presente (capital) e queremos saber o 
valor futuro (montante) após a aplicação da taxa de juro de um determinado período. 
Por outro lado, numa operação de desconto, conhecemos o valor futuro de um título e 
queremos saber o seu valor atual numa determinada data após a aplicação da taxa de 
desconto.Em ambos os casos, a operação depende do tempo decorrido.
Numa transação de desconto, o valor futuro de um título é frequentemente chamado de 
“valor de face” ou “valor de resgate” e pode ser definido como o valor do título na sua data 
de vencimento.
FIQUE ATENTO
 A liquidação (pagamento) de um título antes de sua data de vencimento 
geralmente requer um “prêmio” ou desconto no pagamento antecipado. O desconto é, 
portanto, entendido como a diferença entre o valor de resgate do título e o valor atual 
(valor pago) na data da transação, ou seja,
 D=M-C 
 Onde “D” é o valor do desconto, “M” é o valor de resgate do título na data de seu 
vencimento e “C” é o valor pago pelo título na data da transação.
 Exemplo: Um título de $2.500,00 foi liquidado por $2.275,00 dois meses antes da 
sua data de vencimento. Neste caso, qual foi o valor do desconto?
 Solução: Neste caso, temos as seguintes informações:
M=2.500
C=2.275
D=?
Substituindo na fórmula, temos:
D=M-C
D=2.500-2.275
D=225
 Portanto o valor do desconto nesta transação foi de R$ 225,00.
 Tal como acontece com a capitalização, também temos regimes de descontos 
simples e descontos compostos. O primeiro envolve cálculos lineares e o segundo 
cálculos exponenciais.
25
2.2 DESCONTO SIMPLES
 Também chamado de “desconto bancário” ou “desconto comercial” é uma 
operação muito utilizada pelo sistema bancário. Neste tipo de operação, o desconto é 
obtido multiplicando o valor de resgate pela taxa de desconto e pelo tempo até à data 
de vencimento do título. Assim:
 D=M∙d∙t 
 Onde “d” é a taxa de desconto da operação.
Uma taxa de desconto não é o mesmo que uma taxa de juros. A taxa de desconto refe-
re-se sempre ao valor futuro (valor) da transação, enquanto a taxa de juros refere-se ao 
valor presente (capital).
FIQUE ATENTO
 Para obter o valor presente ou valor descontado, basta subtrair o valor futuro pela 
taxa de desconto, ou seja,
 C=M-D 
 Exemplo: Qual o valor do desconto de um título de $900,00 com vencimento em 3 
meses, considerando uma taxa de desconto de 2,5% ao mês?
 Solução: Os dados do problema são os seguintes:
M=900
d=2,5% ao mês
t=3 meses
D=?
 Substituindo estes valores na fórmula do desconto, temos:
D=M∙d∙t
D=900∙0,025∙3
D=67,50
 Portanto, o valor do desconto para esta transação é de $ 67,50.
 Exemplo: Dados os dados do exemplo anterior, qual será o valor descontado 
(valor pago) deste título?
 Solução: Sabemos que C=M-D, então:
C=900-67,50
C=832,50
 Portanto, o valor com desconto é de R$ 832,50.
 Exemplo: Um título com valor de resgate de $ 1.550,00 foi resgatado 20 dias antes 
26
do vencimento por $ 1.470,00. Qual foi a taxa de desconto utilizada na transação?
 Solução: Neste caso os dados são os seguintes:
M=1.550
C=1.470
t=20 dias
d=?
 Neste caso, primeiro precisamos conhecer o valor do desconto.
D=M-C
D=1.550-1.470
D=80
 Substituindo estes valores na fórmula do desconto, temos o seguinte:
D=M∙d∙t
80=1.550∙d∙20
80=31000∙d
80/31000=d
d=0,0026 ou 0,26%
 Assim, a taxa de desconto da operação é 0,26% ao dia.
 Exemplo: Um título de $5.200,00 é liquidado por $4.950,00. Considerando uma 
taxa de desconto de 3% ao mês, o título foi liquidado quanto tempo antes da data de 
vencimento?
 Solução: Neste caso, temos os seguintes dados:
M=5.200
C=4.950
d=3% ao mês
t=?
 Calculando, primeiramente, o valor do desconto, temos:
D=M-C
D=5.200-4.950
D=250
 Substituindo na fórmula do desconto:
D=M∙d∙t
250=5.200∙0,03∙t
250=156∙t
250/156=t
t=1,6
27
 O tempo entre a liquidação e o vencimento do título é, portanto, de 1,6 meses. 
Se quiséssemos saber exatamente quantos meses e dias se passaram, poderíamos 
transformar esse tempo. Sabemos que é 1 mês mais 0,6 meses. Portanto, precisamos 
saber quantos dias equivalem a 0,6 meses. Para fazer isso, basta criar uma regra de três 
simples, como segue:
Ao comprar eletrodomésticos parcelados, normalmente nos deparamos com uma taxa 
de juros para parcelas maiores (por exemplo, acima de seis parcelas). Porém, para par-
celas mais curtas (por exemplo duas ou três parcelas) é comum que não ha-ja juros. Qual 
é a razão desta diferença?
VAMOS PENSAR?
 O prazo da operação é, portanto, de um mês e 18 dias.
 Exemplo: Suponha que uma pessoa deseja liquidar 15 dias antes do vencimento 
um título com valor de resgate de $ 850,00. Sabendo que a taxa de desconto oferecida 
pelo credor é de 3,5% ao mês, qual será o valor descontado (valor pago antes do 
vencimento)?
 Solução: Primeiro precisamos converter a taxa (ou período) de desconto porque 
está em dias e o período está em meses. Por se tratar de um desconto simples, a 
conversão é linear, ou seja:
dd =
dm
30
 Onde “dd” é a taxa de desconto diária e “dm” é a taxa de desconto mensal. Então:
dd = 0,0012
 Substituindo na fórmula do desconto, temos:
D=M∙d∙t
D=850∙0,0012∙15
D=15,30
 Agora podemos calcular o valor descontado.
28
C=M-D
C=850-15,30
C=834,70
 Também é possível calcular o valor descontado diretamente através da fórmula 
única obtida nas duas anteriores. Como sabemos que D=M∙d∙t e C=M-D, podemos 
substituir uma fórmula pela outra assim:
𝐂 = 𝐌 − 𝐌 � 𝐝 � 𝐭 ⇒ Colocamos o “M” em evidência
 C=M(1-d∙t)
 Repetindo o exemplo anterior com a nova fórmula, temos o seguinte:
C=M(1-d∙t)
C=850(1-0,0012∙15)
C=850(1-0,018)
C=850(0,982)
C=834,70
O desconto simples é uma operação normalmente realizada no curto prazo. Se o período 
operacional for muito longo, o valor do desconto poderá ser superior ao valor de resgate 
do título se for utilizado o desconto simples.
FIQUE ATENTO
 Nos casos em que o período operacional é muito longo, é comum a utilização de 
uma taxa de desconto crescente em relação ao que chamamos de “taxa de desconto 
efetiva”.
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos 
Patrício Samanez, (2007) você encontrará a definição de taxa de desconto efe-
tiva com uma explicação detalhada e muitos exemplos de aplicação. 
Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. Acesso em: 08 maio 2020.
BUSQUE POR MAIS
2.3 DESCONTO COMPOSTO
 O desconto composto é uma taxa de desconto em que a taxa de desconto é 
aplicada ao valor de resgate do título menos os descontos acumulados no período 
anterior. Esta operação é pouco utilizada na prática e resulta em um valor descontado 
bem menor (desconto maior) ao final da operação. Como os cálculos aqui são 
exponenciais (e não lineares), o valor descontado é calculado da seguinte forma:
https://bit.ly/3fb75J
29
C = M 1 − d t
 Neste caso, se a taxa de desconto e o prazo não estiverem na mesma unidade, 
será sempre mais fácil transformar o prazo. Vejamos o seguinte:
 Exemplo: Uma pessoa decide resgatar um título de $ 20.000,00 120 dias antes 
do vencimento. Sabendo que a taxa de desconto é de 2,3% ao mês, qual será o valor 
descontado considerando o sistema de desconto composto?
 Solução: Como o prazo e a taxa de desconto estão em unidades diferentes, 
primeiro transformamos o prazo da operação. Como sabemos, 120 dias equivalem a 
quatro meses. Então, substituindo na fórmula, temos:
𝐶 = 𝑀(1 − 𝑑)t
𝐶 = 20.000(1 − 0,023)4
𝐶 = 20.000(0,977)4
𝐶 = 20.000(0,9111)
𝐶 = 18.222
 Assim, o valor descontado é $18.222,00
 Exemplo: Suponha que uma pessoa tenha liquidado um título 90 dias antes do seu 
vencimento, gerando um desconto de $1.379,77. Considerando uma taxa de desconto 
de 3% ao mês, calcule o valor de resgate do título. 
 Solução: Os dados deste problema são:
D=1.379,77
t=90 dias ou três meses
d=3% ao mês
M= ?
 Observe que não temos valor com desconto (C) nem valor de resgate (M). Então, 
vamos derivar uma nova fórmula de cálculo:
D=M-C
D = M − M 1 − d t
D = M[1 − 1 − d t]
 Assim, substituindo os valores nesta fórmula, temos:
1.379,77 = M[1 − 1 − 0,03 3
1.379,77 = M[1 − 0,97 3]1.379,77 = M 1 − 0,9127
1.379,77 = M 0,0873
M = 15.804,92
30
 Assim, o valor de resgate do título é $15.804,92.
Nos links abaixo vocês encontrarão estes assuntos de forma detalhada e um 
com muitos exemplos de aplicação.
LINK’S: https://bit.ly/3ecSZWP. 
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3iKdiOE.
Como foi dito ao longo do texto, o desconto composto gera descontos maiores que o 
desconto simples no mesmo período. Foi dito também que a operação de desconto com-
posto praticamente não é utilizada na prática. Por que isso acontece?
VAMOS PENSAR?
https://bit.ly/3ecSZWP
https://bit.ly/3iKdiOE
31
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Suponha que um título com valor de resgate de $15.350,00 seja liquidado 20 dias antes 
de seu vencimento por $15.000,00. Calcule o valor do desconto.
a) $350,00.
b) $450,00.
c) $300,00.
d) $225,00.
e) $280,00.
2. Calcule o valor do desconto de um título de $5.500,00 com vencimento em dois meses, 
considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês.
a) $500,00.
b) $220,00.
c) $320,00.
d) $250,00.
e) $450,00.
3. Um título com valor de resgate de $1.000,00 foi descontado um mês antes do seu 
vencimento por $900,00. Calcule a taxa de desconto da operação.
a) 10% ao mês.
b) 15% ao mês.
c) 20% ao mês.
d) 10% ao dia.
e) 15% ao dia.
4. Calcule o valor descontado de um título cujo valor de resgate é $1.300,00 e foi liquidado 
35 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 0,25% ao dia.
a) $1.250,00.
b) $1.186,25.
c) $320,75.
d) $113,75.
e) $1.224,80.
5. Uma pessoa deseja liquidar um título de $800,00 vinte dias antes do seu vencimento. 
Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, qual será o valor descontado?
a) $789,33.
b) $12,33.
c) $652,23.
32
d) $425,00.
e) $782,35.
6. Um título com valor de resgate de $10.000,00 é descontado dois meses antes de seu 
vencimento por $9.250,00. Qual foi a taxa de desconto da operação?
a) 5,75% ao mês.
b) 4% ao mês.
c) 2,25% ao mês.
d) 3,75% ao mês.
e) 4,25% ao mês.
7. Qual é o valor de resgate de um título que foi liquidado por $3.250,00 três meses antes 
do seu vencimento a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês?
a) $3.900,00.
b) $3.750,38.
c) $4.000,00.
d) 3.895,32.
e) $3.403,14.
8. Considerando o regime de desconto composto, calcule o valor descontado de 
um título cujo valor de resgate é $15.000,00 e que foi liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês.
a) $13.125,36.
b) $12.500,00.
c) $14.117,88.
d) $13.458,23.
e) $12.753,55.
33
SÉRIES DE PAGAMENTOS
34
 Uma série de pagamentos consiste em vários pagamentos ou recebimentos 
regulares de valores (constantes ou variáveis) com vencimentos consecutivos. Existem 
diversas classificações para séries de pagamentos dependendo se as parcelas 
(pagamentos ou rendimentos) são constantes ou variáveis; se o prazo é finito ou infinito e 
se as parcelas são antecipadas ou diferidas. Porém, em todos estes casos precisaremos 
de um conceito de fundamental importância: o conceito de fluxo de caixa.
3.2 FLUXO DE CAIXA
 Segundo Sobrinho (2008), “o fluxo de caixa pode ser entendido como uma 
sequência de rendimentos ou pagamentos, em dinheiro, programados para um 
determinado período de tempo”. Esse fluxo normalmente é mostrado graficamente, 
onde a linha horizontal representa o tempo e as linhas verticais, apontando para cima 
ou para baixo, representam as entradas e saídas de caixa. Vejamos o seguinte exemplo:
3.1 INTRODUÇÃO
Dia Recebimento previsto Pagamento previsto
07 $1.200,00 -
08 - $800,00
09 - $300,00
10 $1.500,00 -
Quadro 4: Fluxo de Caixa
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020)
Figura 2: Gráfico representativo do fluxo de caixa
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020)
 Como você pode ver, as entradas são representadas por setas para cima e as 
saídas são representadas por setas para baixo. Além disso, o tamanho de cada seta 
deve ser proporcional ao valor que ela representa. Assim, o item de R$ 1.500,00 deve 
ser representado por uma seta maior que o item de R$ 1.200,00. Por outro lado, a linha 
horizontal que representa o tempo deve estar orientada para a direita, para que os 
períodos futuros fiquem mais distantes do ponto zero (início da linha). Se o pagamento 
(saque) e o recebimento (saque) estiverem no mesmo lugar, só poderemos representar 
a diferença. Neste caso, a seta apontará para cima se a diferença for positiva e apontará 
para baixo se a diferença for negativa.
 Exemplo: Suponha que uma pessoa contraia um empréstimo pessoal de R$ 
30.000,00 em um banco, que paga em cinco parcelas mensais de R$ 7.000,00. Do ponto 
de vista de uma pessoa, a representação do fluxo de caixa desta operação será a 
seguinte:
35
 Primeiro, há um fluxo de caixa de $ 30.000,00 no início da operação, seguido 
de cinco fluxos de caixa de $ 7.000,00 em intervalos regulares. Do ponto de vista do 
banco credor a situação se inverte, pois, primeiro há uma saída de caixa e depois cinco 
entradas. Assim:
3.3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES 
 As séries de pagamentos uniformes são aquelas em que as parcelas (entradas/
saídas de caixa) são constantes ao longo da operação. Tal como acontece com 
todas as séries de pagamentos, estas prestações podem ser antecipadas ou diferidas 
(vencidas), sendo as primeiras pagas/recebidas no início de cada período e as últimas 
pagas/recebidas no final de cada período. A partir de agora usaremos notações que já 
estamos acostumados, além de anotar o valor das parcelas. Assim:
R=Valor das parcelas;
C=Capital ou valor presente;
M=Montante ou valor futuro;
i=Taxa de juros;
t=Períodos unitários da operação (quantidade de parcelas).
 3.3.1 Séries uniformes com parcelas vencidas
 Conforme observado anteriormente, os pagamentos vencidos (ou atrasados) 
são aqueles que foram pagos ou recebidos no final de cada período. Como exemplo, 
temos as contas de cartão de crédito ou aquelas compras parceladas, cuja primeira 
parcela vence 30 ou 45 dias após a compra. Considere o seguinte exemplo: suponha 
que uma pessoa faça depósitos mensais de $ 1.000,00 em um fundo que rende juros de 
1,5% ao mês. Sabendo que o primeiro depósito ocorrerá um mês após o momento inicial 
36
(momento em que a pessoa “decide” aplicar), quanto terá essa pessoa ao final de 4 
meses? Esta operação pode ser representada da seguinte forma:
 Assim, temos os seguintes dados:
R=1.000
i=1,5% ao mês
t=4 meses
 Utilizando os conceitos que vimos até agora, calcularemos o valor de cada parcela 
individualmente até o quarto mês. Desta forma temos o seguinte:
1ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M1 = 1000(1,015)3 ⇒ M1 = 1.045,68
2ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M2 = 1000(1,015)2 ⇒ M2 = 1.030,22
3ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M3 = 1000(1,015)1 ⇒ M3 = 1.015,00
4ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M4 = 1000(1,015)0 ⇒ M4 = 1.000,00
 Sendo assim, o montante total (Mt) ao final de quatro meses será:
Mt=1.045,68+1.030,22+1.015+1.000
Mt=4.090,90
 Contudo, esta não é a única (ou mesmo a melhor) forma de fazer estes cálculos. 
Imagine se tivéssemos, por exemplo, 50 ou 100 parcelas. Portanto, é natural que se 
procure uma forma de obter esse valor de forma mais direta. Para isso, procuraremos a 
fórmula somando primeiro os valores sem fazer nenhum cálculo.
 
Mt= M1+M2+M3+M4
Mt = 1000 1,015 3 + 1000 1,015 2 + 1000 1,015 1 + 1000 1,015 0
37
 Colocando 1.000 em evidência, temos:
Mt = 1000[ 1,015 0 + 1,015 1 + 1,015 2+(1,015)3]
A sequência representa a soma dos termos de uma 
progressão geométrica (PG) finita cuja razão é igual 1,015. Podemos, então, utilizar a 
fórmula da soma dos termos de uma PG:
 Onde “a1” é o primeiro termo da progressão e “q” é sua razão. Substituindo os 
valores na fórmula e lembrando que , temos o seguinte:1,015 0 = 1
Mt = 1000 4,0909
Mt = 4.090,90
 Como R = 1000 e q = 1 + 0,015, podemos generalizar a fórmula acima e dessa 
maneira obtemos a fórmula que procuramos:
 Exemplo: Se uma pessoa aplica mensalmente $800,00 em um fundo que rende 
2% ao mês, quanto essa pessoa terá ao final de 3 anos?
 Solução: Primeiramente, temos queobservar que 3 anos são 36 meses. Assim, os 
dados do problema são:
R=800
i=2% ao mês
t=36 meses
 Substituindo na fórmula, temos:
M = 800 � 51,995
M = 41.596
38
Quanto maior for a quantidade de casas decimais, mais preciso será o resultado. A partir 
daqui vamos usar sempre cinco casas decimais, arredondando o resultado pa-ra duas 
casas.
FIQUE ATENTO
 Exemplo: Suponha que uma pessoa queira ter R$ 10.000,00 para uma viagem 
daqui a dois anos e queira saber quanto deve investir por mês, considerando um fundo 
que rende 1,75% ao mês.
 Solução: Os dados para este problema são:
M=10.000
i=1,75% ao mês
t=2 anos (24 meses)
R= ?
 Substituindo na fórmula, temos:
10.000 = R � 29,51086
R = 338,86
 Assim, esta pessoa deverá depositar mensalmente $338,86 para ter $10.000,00 
após dois anos. 
 Exemplo: Quantas prestações mensais de $500,00 devo aplicar para ter $11.707,22 
considerando um fundo que rende 3% ao mês?
 Solução: Os dados são os seguintes:
R=500
M=11.707,22
i=3% ao mês
t= ?
 Substituindo na fórmula:
39
11.707,22 � 0,03 = 500 � [(1,03)t − 1]
351,2166 = 500(1,03)t−500
351,2166 + 500 = 500(1,03)t
8851,2166 = 500(1,03)t
1,03 t = 1,70243
 Aqui, precisaremos usar novamente a propriedade dos logaritmos.
log 1,03 t = log 1,70243
t � log 1,03 = log 1,70243
t ≈ 18
 Então essa pessoa terá que investir 18 parcelas de R$ 500,00 para conseguir o 
valor necessário.
 Assim como temos uma fórmula para calcular o valor (valor futuro) de uma série 
de pagamentos uniformes, também temos uma fórmula para o patrimônio líquido 
(valor presente). Esta fórmula é a seguinte:
 Devemos utilizá-lo quando há entrada de caixa no início da operação seguida 
de saídas (pagamentos) periódicas. A fórmula quantitativa que vimos anteriormente 
é usada na situação oposta. Ou seja, naquelas situações em que primeiro há saídas 
(pagamentos) periódicas e no final da operação há entrada de caixa.
 Exemplo: Se uma pessoa deseja contratar um empréstimo a ser pago em 12 
parcelas mensais de R$ 350,00. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo credor é de 
4% ao mês, qual deverá ser o valor desse empréstimo?
 Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
40
 Reparem que primeiro há uma entrada no caixa e, depois, saídas periódicas. 
Assim, devemos utilizar a fórmula acima com os seguintes dados:
R=350
i=4% ao mês
t=12 meses
C= ?
Substituindo na fórmula, temos:
C = 350 � 9,38523
C = 3.284,83
 Portanto, o valor do empréstimo deve ser $3.284,83.
 Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje financiar um veículo no valor de 
$50.000,00 em 36 prestações. Suponha ainda que não haja taxas, impostos nem outros 
custos financeiros e que a taxa de juros cobrada pela financeira seja de 2,8% ao mês. 
Dessa forma, qual será o valor das prestações?
 Solução: Neste caso, também há uma entrada de caixa no início da operação e, 
depois, as saídas periódicas. Então, utilizaremos novamente a fórmula anterior com os 
seguintes dados:
C=50.000
i=2,8% ao mês
t=36 meses
R= ?
41
 Substituindo, temos:
50.000 = R � 22,49782
R = 2.222,44
 3.3.2 Séries uniformes com parcelas antecipadas
 As séries de adiantamentos são aquelas em que ocorre um pagamento ou 
recebimento no início de cada período. Portanto, a primeira parcela deverá ser paga ou 
recebida no “tempo zero”. Um bom exemplo desse tipo de transação são as compras 
parceladas, onde há um “entrado” e o restante é dividido em partes iguais. Neste caso 
teremos também uma fórmula para o valor futuro da operação (valor) e outra para o 
valor presente (capital). Essas fórmulas podem ser derivadas da mesma forma que no 
início da seção anterior e são as seguintes:
 Percebam que somente foi acrescentado o termo (1+i) às fórmulas que tínhamos 
para séries com termos vencidos.
 Exemplo: Uma pessoa compra um aparelho de tv por $3.000,00 para ser paga em 
6 prestações mensais e iguais. Sabendo que a primeira prestação é paga como entrada 
e que a taxa de juros da operação é de 1,5% ao mês, qual será o valor das prestações?
 Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
42
 Os dados deste problema são os seguintes:
C=3.000
i=1,5% ao mês
t=6 meses
R= ?
 Substituindo estes valores na fórmula, temos:
 Dessa forma, o valor de cada prestação será $518,76.
 Exemplo: Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $600,00 em 
um fundo que rende 2% de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá ao final de 24 meses, 
sabendo que o primeiro depósito é feito no início do primeiro mês? 
 Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
 Temos, então, os seguintes valores:
R=600
i=2% ao mês
t=24 meses
M= ?
 Substituindo na fórmula:
43
M = 600 � (1,02) � 30,422
M = 18.618,26
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
 As séries de pagamentos variáveis são aquelas em que os pagamentos ou 
rendimentos não são constantes durante a operação. Esses pagamentos/receitas 
podem aumentar ou diminuir em cada período. Há também casos em que estes valores 
não seguem uma tendência, seja de aumento ou de diminuição. Nesta seção veremos 
o primeiro caso, ou seja, aumento e diminuição de pagamentos/receitas.
 3.4.1 Gradientes em progressão aritmética crescente
 Numa série em que os pagamentos/receitas diferem de acordo com uma 
regra definida, chamamos a diferença entre um pagamento e outro de gradiente (G). 
Chamando a renda base do primeiro pagamento (R), os pagamentos subsequentes 
serão essa renda base mais os gradientes acumulados em cada período. O diagrama 
abaixo ilustra esta situação.
 Neste caso, temos uma renda básica de $50,00 e gradiente igual a $100,00, ou 
seja, R = 50 e G = 100.
44
É importante ressaltar que a recusa sempre começa a partir do segundo pagamento. 
Portanto, existem duas séries: o gradiente e a renda básica, e essas duas séries de-vem 
ser somadas.
FIQUE ATENTO
 Em uma série gradiente, quando os pagamentos/receitas são diferidos (vencidos), 
a fórmula para o valor (valor futuro) será:
 Para o cálculo do capital (valor presente), usaremos a seguinte fórmula:
 Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje realizar uma viagem dentro de 5 
meses e, para isso, resolva fazer aplicações em um fundo que rende 2% ao mês. Sabe-
se que o primeiro depósito ocorrerá ao final do primeiro mês e terá o valor de $200,00. 
Os depósitos seguintes aumentarão segundo um gradiente de $50,00. Dessa forma, 
quanto essa pessoa terá ao final do 5° mês?
 Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
 Assim, os dados do problema são:
G=50
R=200
i=2% ao mês
t=5 meses
M= ?
 Substituindo na fórmula e chamando o montante da série do gradiente de “MG”, 
temos o seguinte:
45
MG = 2.500 � 5,204 − 5
MG = 2.500 � (0,204)
MG = 510
 O montante da série da renda base (MR) é calculado da forma como já conhecemos:
MR = 200 � 5,20404
MR = 1.040,81
 Somando os dois resultados, temos o montante total:
MT = 510 + 1040,81
MT = 1.550,81
 Caso ocorra a série gradiente para adiantamentos/receitas, os cálculos são feitos 
da mesma forma, apenas são alteradas as fórmulas, que são as seguintes:
3.5 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA
 Dizemos que uma série de pagamentos é infinita quando possui um grande 
número de pagamentos ou rendimentos durante um período de tempo que não pode 
ser especificado. Um bom exemplo são os rendimentos dos fundos de pensões que 
recebemos após a reforma. Por quanto tempo o pensionista receberá esse rendimento 
46
não pode ser determinado e pode, portanto, ser considerado infinito. Imagine uma 
situação em que uma pessoa investe R$ 1.000,00 em um fundo que rende 3% ao mês. 
Essa pessoa poderá ter uma renda mensal infinita de R$ 30,00 porque um mês depois 
terá R$ 1.030,00 disponíveis. Se ele sacar R$ 30,00, continuará tendo R$ 1.000,00, o que 
gerará outros R$ 30,00 no mês seguinte, e assim por diante. Assim, no caso de uma série 
infinita diferida, o resultado é a aplicação da taxa de juros ao capital, onde o número de 
períodos é muito grande e indefinido. O valor periódico desta série (R) é, portanto, dado 
por:
R=C∙i
 Sendo assim, se conhecemoso valor dos pagamentos/recebimentos, o capital 
pode ser calculado da seguinte forma:
C =
R
i
 Exemplo: Se uma pessoa deseja ter uma renda infinita de $1.200,00 quanto ela 
deve aplicar hoje considerando uma taxa de juros de 2,5%?
 Solução: Pela fórmula do capital temos:
C = 48.000
 No caso de uma série infinita antecipada, a fórmula do capital seria:
C = (1 + i) �
R
i
 A fórmula para o valor da do pagamento seria, então: 
R = C �
i
1 + i
No início da unidade, foi derivada uma fórmula para o valor de uma série de pagamentos 
uniformes com parcelas devidas a partir da soma dos prazos do GP final. Como você de-
rivaria a fórmula de patrimônio líquido com base no mesmo raciocínio?
VAMOS PENSAR?
47
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos 
Patrício Samanez (2007) você encontrará este conteúdo com muitos exemplos 
e exercícios de fixação com várias situações que vemos na prática. 
Disponível em: https://bit.ly/2O422Pf. Acesso em: 14 maio 2020.
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48
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Suponha que uma pessoa deseja ter $5.000,00 para uma viagem dentro de 25 meses. 
Para isso, ela pretende depositar mensalmente certa quantia em um fundo que rende 
1,5% de juros ao mês. Considerando o sistema de parcelas vencidas, qual deve ser o 
valor mensal depositado por ela?
a)$166,32.
b)$225,41.
c)$83,16.
d)$332,63.
e)$125,44.
2. Se uma pessoa aplica mensalmente $1.500,00 em um fundo que rende 1,5% ao mês, 
quanto ela terá ao final de 24 meses, considerando prestações vencidas? 
a) $21.475,14.
b) $42.950,28.
c) $25.725,23.
d) $37.428,70.
e) $40.000,00.
3. Suponha que uma pessoa faça um empréstimo de $25.000,00 para ser pago em 24 
prestações mensais e iguais. Sabendo que a uma taxa de juros é de 3,5% ao mês que a 
operação ocorre sob o sistema de parcelas vencidas, qual será o valor das prestações?
a) $1.041,67.
b) $2.561,32.
c) $2.000,00.
d) $2.464,25.
e) $1.556,82.
4. Suponha que uma pessoa compre um eletrodoméstico por $1.800,00 para ser pago 
em 18 prestações mensais e iguais. Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 1,85% 
ao mês e a primeira prestação é paga como uma entrada (no momento da compra), 
calcule o valor das prestações.
a) $223,41.
b) $116,33.
c) $100,00.
d) $152,00.
e) $125,45.
5. Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $800,00 em um fundo que 
49
rende 1,2% de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá ao final de 36 meses, sabendo que 
o primeiro depósito é feito no início do primeiro mês? 
a) $36.187,72.
b) $40.125,87.
c) $28.800,00.
d) $43.850,00.
e) $29.380,00.
6. Suponha que uma pessoa deseja financiar $25.000,00 para a compra de um veículo e 
pretenda pagar em 36 prestações mensais e iguais. Sabendo que é cobrada uma taxa 
de juros de 2,15% ao mês e supondo que não haja nenhum outro custo envolvido, qual 
será o valor das prestações no regime de parcelas antecipadas?
a) $851,24.
b) $983,46.
c) $750,00.
d) $728,35.
e) $568,21.
7. Considerando a questão anterior, qual seria o valor das prestações sob o regime de 
parcelas vencidas?
a) $983,46.
b) $502,30.
c) $2.009,21.
d) $1.958,25.
e) $1.004,60.
8. Se uma pessoa pretende depositar mensalmente $500,00 em um fundo que rende 1% 
ao mês, em quanto tempo ela terá $8.048,45?
a) 12 meses.
b) 36 meses.
c) 15 meses.
d) 18 meses.
e) 25 meses.
50
EMPRÉSTIMOS
51
4.1 INTRODUÇÃO 
 Os diferentes tipos de empréstimos são uma importante ferramenta para a 
capitalização das empresas e, consequentemente, para o desenvolvimento econômico 
do país. Esses empréstimos podem ser de curto prazo, como capital de giro, ou de longo 
prazo, como empréstimos destinados, por exemplo, a investimentos produtivos. Neste 
contexto, a matemática financeira apresenta-se como uma ferramenta importante 
na operacionalização destas operações, e o conteúdo visto até agora será muito útil. 
No entanto, precisaremos introduzir alguns conceitos novos para compreender melhor 
essas operações e como elas ocorrem na prática.
4.2 DESCONTO DE DUPLICATAS
 Duplicados são títulos de dívida em que o emitente se compromete a pagar um 
determinado montante no final de um determinado período. Este valor é o já conhecido 
“valor de resgate” ou “valor de face” da segunda via e tem prazo de validade específico. 
Esses títulos são normalmente descontados nas instituições financeiras, com taxa de 
desconto e demais encargos financeiros definidos, que normalmente são cobrados à 
vista sobre o valor de resgate. Essa taxa de desconto geralmente ocorre, como vimos 
anteriormente, e os principais encargos financeiros presentes nesse tipo de transação 
são os seguintes:
 • Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): é, por exemplo, um imposto 
federal sobre operações de crédito, câmbio e seguros. A taxa é cobrada sobre o valor 
da operação e ao mesmo tempo serve como ferramenta de controle das operações 
financeiras no país.
 • Taxa administrativa: normalmente cobrada pelas instituições financeiras para 
cobrir os custos de abertura, concessão e revisão do empréstimo. Também é calculado 
a partir do valor do título e deve ser pago no momento da liberação do crédito.
 Desta forma, existe um custo efetivo de operação superior à taxa de desconto 
observada anteriormente. Após a introdução do IOF, este custo efetivo pode ser calculado 
da seguinte forma:
CE =
d + IOF
1 − (d + IOF)
 Onde “CE” representa o custo efetivo e “d”, como antes, representa a taxa de 
desconto da operação, considerando sempre um sistema de desconto simples.
As operações de desconto de duplicatas se constituem em empréstimos das instituições fi-
nanceiras para as empresas. A responsabilidade pela cobrança da duplicata é da empresa 
e esta deve pagar à instituição financeira mesmo que não receba dos clientes.
FIQUE ATENTO
52
 Exemplo: Qual é o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo 
valor de resgate é $30.000,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa de 
desconto de 2,5% ao mês, uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia? 
 Solução: O custo efetivo será:
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre
 Nota: como a taxa de desconto é mensal, ela foi multiplicada por 2 para dar em 
60 dias. O mesmo foi feito com a alíquota do IOF, que foi multiplicada por 60 como todos 
os dias.
 Exemplo: Qual será o valor descontado na operação do exemplo anterior?
 Solução: Para calcular o valor com desconto devemos subtrair o valor da compra 
pelo desconto mais o IOF. Assim:
C = M − D + IOF
D = 30.000 � 0,025 � 2
D = 1.500
IOF = 30.000 � 0,00041 � 60
IOF = 738
 Sendo assim temos, então:
C = 30.000 − 1.500 + 738
C = 27.762,00
 Podemos também calcular o valor descontado diretamente através da seguinte 
fórmula:
C = M � (1 − dt − IOFt)
 Sendo “IOF” a alíquota do imposto sobre operações financeiras. 
 De forma alternativa, o custo efetivo da operação também pode ser obtido 
dividindo-se o valor de resgate da duplicata pelo valor descontado, da seguinte forma:
53
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre
4.3 NOTAS PROMISSÓRIAS
 Os títulos do Tesouro, também chamados de “títulos comerciais”, são títulos de 
curto prazo emitidos para arrecadar recursos para capital de giro. Segundo Neto (2019), 
é uma “alternativa às operações convencionais de crédito bancário que permite reduzir 
as taxas de juros eliminando a intermediação financeira bancária”. Os custos consistem 
em juros pagos, comissões e outros custos de emissão.
 Exemplo: Suponha que uma empresa emita uma nota promissória com valor 
nominal de $ 35.000,00 e vencimento em 3 meses. Oferece taxa de desconto de 1,5% ao 
mês e o custo de emissão corresponde a 0,5% do valor de resgate. Nessas condições, 
qual será o valor líquido recebido pela empresa?
 Solução: O valor líquido recebido será igual ao valor de resgate do título menos o 
desconto e os custos de emissão. Desta forma temos o seguinte:
Desconto: D=M∙d∙t
D=35.000∙0,015∙3
D=1.575
Custos de emissão: C=35.000∙0,005
C=175
Assim, o valor líquido será:
VL=35.000-1.575-175
VL=33.250,00
 Exemplo: Considerandoos dados do exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da 
operação?
 Solução: Como vimos, o custo efetivo pode ser obtido dividindo-se o valor de 
resgate pelo valor líquido recebido. Então:
CE = 0,0526 ou 5,26% ao mês
4.4 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING)
 As operações de desenvolvimento comercial, também chamadas de “factoring”, 
não são exatamente empréstimos, embora sejam importantes ferramentas para 
obtenção de recursos de empresas, principalmente de pequeno e médio porte. 
Essas operações não são realizadas por instituições financeiras, mas por empresas 
comerciais denominadas “fatores” ou “fatores”. As empresas de factoring compram 
duplicatas de empresas de despacho e tornam-se detentoras de crédito dos clientes. 
54
Neste e em outros pontos, esta operação é fundamentalmente diferente do desconto 
de duplicatas que vimos anteriormente. É também uma operação mais segura para as 
transportadoras, pois o risco de inadimplência do cliente é transferido para a empresa 
de factoring. É claro que este risco é levado em consideração durante a operação e 
se reflete no valor pago pela empresa de factoring. Esse valor também dependerá de 
outros fatores, por isso a operação é realizada aplicando um fator ao valor de resgate do 
título do empréstimo, que deve cobrir custos administrativos, impostos e ainda garantir 
o lucro do fatorador. Este fator pode ser calculado da seguinte forma:
Fator =
Custo do dinheiro + Despesas + Lucro
1 − Tributos
 • Custo do dinheiro: representa o custo médio do capital de terceiros obtido pelo 
factorer e o custo de oportunidade dos recursos próprios utilizados para realizar suas 
operações.
 • Despesas: são despesas fixas e variáveis do factorer. Geralmente é calculado 
como uma porcentagem de sua renda mensal total.
 • Lucro: representa o lucro que a empresa de factoring espera da sua atividade. 
Geralmente é calculado como uma porcentagem do valor de resgate do título.
 • Impostos: O PIS (Programa de Integração Social) e a COFINS (Contribuição para 
o Financiamento da Seguridade Social) são normalmente recolhidos nessas operações.
Exemplo: Considere uma operação de desenvolvimento comercial com um título de 
US$ 15.000,00 com vencimento em 30 dias. Digamos que o custo do dinheiro seja de 
2,5% ao mês, o custo da empresa de factoring seja de 2% e sua margem de lucro seja 
de 4,5%. Se o total dos impostos for de 1%, qual será o fator operacional?
Solução: A operação tem o seguinte custo total (CT):
CT = 2,5% + 2% + 4,5%
CT = 9%
 Assim, o fator será:
Fator = 0,091 ou 9,1%
 Exemplo: Considerando a situação do exemplo anterior, qual será o valor 
descontado (capital)?
 Solução: Precisamos, primeiramente, calcular a taxa de desconto através do fator 
calculado. Para isso, podemos utilizar a seguinte fórmula:
d =
fator
1 + fator
 Assim, temos a seguinte taxa de desconto:
d = 0,08341
55
 Calculando, então, o valor descontado, teremos:
C = M � (1 − dt)
C = 15.000 � 1 − 0,08341 � 1
C = 15.000 � 0,91659
C = 13.748,85
 Exemplo: Considerando ainda o exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da 
operação?
 Solução:
CE = 0,091 ou 9,1%
 Como se pode ver, o custo efetivo é igual ao fator calculado anteriormente.
No livro “Matemática financeira com HP 12c e Excel” de Gimenes (2006) você 
encontrará mais detalhes sobre o conteúdo desenvolvido nesta unidade.
Disponível em: https://bit.ly/3e9WUDP. Acesso em: 14 maio 2020.
BUSQUE POR MAIS
No início do bloco vimos que o imposto sobre operações financeiras incide sobre opera-
ções com desconto na fatura. Porém, não é cobrado nas operações de factoring, como 
também vimos. Por que isso está acontecendo?
VAMOS PENSAR?
https://bit.ly/3e9WUDP
56
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de 
resgate é $5.000,00 com vencimento em 35 dias, considerando uma taxa de desconto 
de 0,02% ao dia e uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia.
a) 0,0002%.
b) 0,06104%. 
c) 0,00041%.
d) 0,035%.
e) 0,0203%.
2. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de 
resgate é $6.500,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa de desconto 
de 1,5% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia.
a) $5.300,00.
b) $5.890,00.
c) $4.350,00.
d) $6.289,00.
e) $3.250,00.
3. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de 
resgate é $10.780,00 com vencimento em 50 dias, considerando ma taxa de desconto 
de 1,9% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia.
a) $10.416,50.
b) $10.000,00.
c) $10.650,00.
d) $9.895,50.
e) $8.900,00.
4. Uma empresa emite uma nota promissória com valor de resgate de $15.000,00 e com 
vencimento em 2 meses. Ela oferece uma taxa de desconto de 2% ao mês e os custos de 
emissão correspondem a 0,7% sobre o valor de resgate. Sendo assim, qual será o valor 
líquido recebido pela empresa?
a) $14.900,00.
b) $14.000,00.
c) $14.295,00.
d) $13.950,00.
e) $13.568,00.
5. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de uma duplicata com valor 
de resgate de $15.000,00 com vencimento em 2 meses, sabendo que há uma taxa de 
57
desconto de 2% ao mês e os custos de emissão correspondem a 0,7% sobre o valor de 
resgate. 
a) 4,93%.
b) 3,27%.
c) 5,5%.
d) 2,75%.
e) 1,55%.
6. Calcule o valor de resgate de uma duplicata descontada 30 antes do seu vencimento, 
por $3.125,00 sabendo que o valor do desconto foi de $525,00 e os custos da operação 
foram de $150,00.
a) $3.950,00.
b) $3.800,00.
c) $4.000,00.
d) $4.250,00.
e) $2.790,00.
7. Imagine uma operação de fomento comercial sobre um título de $5.000,00 com 
vencimento em 60 dias. Suponha que o custo do dinheiro seja 3% ao mês, as despesas 
da fatorizadora representem 2,5% e sua margem de lucro seja de 5%. Se o total de 
tributos representa 1%, qual será o fator da operação?
a) 0,106%.
b) 0,61%.
c) 12,45%.
d) 10,61%.
e) 11,54%.
8. Uma fatorizadora realiza uma operação de fomento comercial sobre um título de 
$5.000,00 com vencimento em 60 dias. Supondo que o custo do dinheiro seja 3% ao mês, 
as despesas da fatorizadora 2,5%, sua margem de lucro 5% e os impostos 1%, calcule o 
valor descontado.
a) $4.040,77.
b) $5.055,21.
c) $3.950,00.
d) $4.980,25.
e) $3.780,00.
58
SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO
59
 A amortização é um processo que consiste em quitar gradativamente a dívida 
em parcelas para que o empréstimo seja quitado ao final do prazo determinado. Cada 
pagamento tem dois componentes: a amortização, que é o reembolso do principal, e o 
pagamento de juros sobre o saldo que ainda não foi amortizado. Um bom exemplo disso 
é o financiamento imobiliário, que pode durar 20 anos e é pago em parcelas mensais, 
onde uma parte quita o empréstimo e a outra corresponde ao pagamento dos juros.
 Outro conceito importante na área de financiamento é o termo “período de 
carência”, que representa o tempo decorrido entre a concessão do empréstimo e a 
data de pagamento da primeira parcela. Este período é geralmente acordado entre o 
credor e o devedor. Porém, é importante ressaltar que qualquer sistema de amortização 
pode ou não ter carência.
 Nesta unidade veremos os principais sistemas de depreciação adotados no país: 
o sistema de depreciação francês, o sistema de depreciação constante e o sistema de 
depreciação mista.
 5.1.2 Sistema de Amortização Francês
 Este sistema também é conhecido como “Tabela de Preços” porque foi criado pelo 
matemático Richard Price no século XVIII e desenvolvido na França no século seguinte.
5.1 INTRODUÇÃO
De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira, 
a denominação "Tabela Price" se deve ao nome do 
matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, 
que viveu no Século XVIII e que incorporou a teoria dos 
juros compostos às amortizações de empréstimos (ou 
financiamentos). A denominação "Sistema Frances", de 
acordo como autor citado, deve-se ao fato de o mesmo 
ter-se efetivamente desenvolvido na França no Século XIX 
(SOBRINHO, 2018, p. 138).
 Este sistema caracteriza-se pelo reembolso do empréstimo emprestações 
regulares, iguais e consecutivas de acordo com o conceito de prestações vencidas. O 
valor das parcelas é, portanto, calculado da forma que já conhecemos, ou seja:
 O pagamento de juros é calculado multiplicando a taxa de juros pelo saldo existente 
no período anterior, e como cada pagamento consiste em juros mais amortização, este 
valor será calculado subtraindo o valor do pagamento de juros. Portanto teremos:
A=R-J
 Onde “A” representa a componente de amortização e “J” representa a componente 
de juros.
60
 Exemplo: Considere um empréstimo de $ 50.000,00 a ser pago em 10 parcelas 
iguais a uma taxa de juros de 3%. Nesse caso, qual seria o valor das parcelas, da parte 
dos juros e da parte da amortização na primeira parcela?
 Solução: O valor das parcelas seria:
R = 50.000 � 0,12552
R = 6.276,00
 Como não houve amortização da primeira parcela até o momento, o saldo da 
dívida será o valor do próprio financiamento. Então:
J=i∙C
J=0,03∙50.000
J=1.500,00
 Assim, a parcela da amortização na primeira prestação será:
A=R-J
A=6.276-1.500
A=4.776,00
A partir de agora representaremos a parte dos juros em cada período como J1, J2, J3 e as-
sim por diante. Da mesma forma, chamaremos de A1, A2, A3, ... a parte da amortização de 
cada período e C1, C2, C3, ... o saldo devedor.
FIQUE ATENTO
 Exemplo: Considere um financiamento de $35.000,00 a ser pago em 5 prestações 
iguais e mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcule o valor de cada prestação, 
a parcela dos juros e da amortização em cada período. 
 Solução: Vamos primeiramente calcular o valor das prestações:
61
R = 35.000 � 0,20909
R = 7.318,13
 Devemos lembrar que este valor será constante em todos os períodos. A parte 
dos juros da primeira parcela será:
J1=0,015∙35.000
J1=525,00
 A parcela da amortização também na primeira prestação será:
A1=7.318,13-525
A1=6.793,13
 Ao final do primeiro mês, o saldo devedor será o saldo do período anterior menos 
o valor da amortização:
C1=C-A
C1=35.000-6.793,13
C1=28.206,87
 Ao final do segundo mês, teremos os seguintes valores:
J2=i∙C1
J2=0,015∙28.206,87
J2=423,10
 Amortização:
A2=R-J2
A2=7.318,13-423,10
A2=6.895,03
 Saldo devedor:
C2=C1-A2
C2=28.206,87-6.895,03
C2=21.311,84
62
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 35.000
1 7.318,13 525 6.793,13 28.206,87
2 7.318,13 423,10 6.895,02 21.311,85
3 7.318,13 319,68 6.998,45 14.313,40
4 7.318,13 214,70 7.103,42 7.209,98
5 7.318,13 108,15 7.209,98 0,00
Quadro 5: Tabela Final com os dados do financiamento
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
 Continuando os cálculos para os demais períodos e apresentando os resultados 
em uma tabela contendo os juros e amortizações de cada período, bem como o valor 
das parcelas e o saldo devedor, teremos o seguinte:
 Quando sabemos o valor do financiamento, a taxa de juros e o número de 
pagamentos, podemos utilizar outras fórmulas importantes. Por exemplo, vamos ver 
como calcular os atrasos após um determinado tempo, que chamaremos de “n”:
 Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual será o saldo devedor 
ao final do 3° mês? 
 Solução: Neste caso, temos n=3. Substituindo na fórmula com os outros valores 
que já conhecemos, teremos:
C3 = 7.318,13 � 1,955883
C3 = 14.313,40
 Este valor confere com aquele encontrado na tabela, como era de se esperar.
 Exemplo: Considere um financiamento de $70.000,00 a ser pago em 240 
prestações mensais e iguais. Se a taxa de juros da operação é de 2% ao mês, qual será 
o saldo devedor após 120 meses?
 Solução: Primeiramente, precisamos calcular o valor das prestações.
63
R = 70.000 � 0,020174
R = 1.412,18
 Agora podemos calcular o valor do saldo devedor no período desejado.
C120 = 1.412,18 � 45,35539
C120 = 64.049.97
 De forma semelhante, também podemos calcular os pagamentos de juros e 
amortizações em um determinado período da seguinte forma:
An = A1 ∙ (1 + i)n−1
 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será a parcela dos juros e a 
parcela da amortização no período 120?
 Solução: A parcela de juros será:
J120 = 28,2436 � 45,44664
J120 = 1.283,58
64
 Para calcular a parcela de amortização no período n=120 através da fórmula 
anterior, devemos primeiro calcular essa parcela na primeira prestação (A1).
A1 = R − i � C
A1 = 1.412,18 − 0,02 � 70.000
A1 = 12,18
 Assim, A120 será:
A120 = 12,18 � 1,02 120−1
A120 = 12,18 � 1,02 119
A120 = 128,60
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
 Um sistema de amortização constante (SAC) é um plano em que todos os 
pagamentos de amortização são iguais ou constantes ao longo do período. Neste 
ponto difere da tabela de preços, onde os reembolsos são constantes, como se pode 
verificar (na tabela de preços a amortização cresce exponencialmente ao longo do 
tempo). No sistema de amortização constante as parcelas vão diminuindo, ou seja, vão 
diminuindo com o tempo. Para iniciar o processo, devemos primeiro calcular o valor da 
depreciação da seguinte forma:
A =
C
t
 A parte dos juros continua sendo calculada a partir do saldo não pago do período 
anterior e o valor da parcela será a soma dessas duas parcelas, ou seja.
R=J+A
 Exemplo: Suponha um financiamento de $65.000,00 a ser pago em 5 prestações 
mensais a uma taxa de juros de 3% ao mês. Quais seriam os valores das prestações e 
as parcelas de juros e amortização em cada período?
 Solução: Calculando primeiramente o valor da amortização, temos:
A = 13.000
 No primeiro mês, teremos os seguintes valores:
65
J1 = 0,03 � 65.000
J1 = 1.950
R1 = 1.950 + 13.000
R1 = 14.950
C1 = 65.000 − 13.000
C1 = 52.000
 Seguindo este processo, podemos montar uma tabela como na seção anterior.
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 65.000
1 14.950,00 1.950,00 13.000,00 52.000
2 14.560,00 1.560,00 13.000,00 39.000
3 14.170,00 1.170,00 13.000,00 26.000
4 13.780,00 780,00 13.000,00 13.000
5 13.390,00 390,00 13.000,00 0,00
Total 70.850,00 5.850,00 65.000,00 -
Quadro 6: Tabela Final com os dados do financiamento
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
 No sistema de amortização constante, podemos calcular o saldo devedor no 
momento “n” da seguinte forma:
Cn=A∙(t-n)
 O valor da parcela de juros e da prestação no período “n” pode ser calculado 
através das seguintes fórmulas, respectivamente:
Jn=i∙A∙(t-n+1)
Rn=A[1+i∙(t-n+1)]
 Exemplo: Suponha um financiamento de $100.000,00 a ser pago em 60 prestações 
mensais sob o sistema de amortização constante. Considerando uma taxa de juros de 
1,2% ao mês, qual será o saldo devedor ao final de dois anos?
 Solução: Desejamos saber o saldo devedor no 24° mês, mas antes precisamos 
calcular o valor da amortização. Assim:
A = 1.666,67
66
 Assim, o valor do saldo devedor ao final de dois anos será:
Cn = A � t − n
C24 = 1.666,67 � 60 − 24
C24 = 60.000,00
 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será o valor da prestação e a 
parcela de juros ao final de dois anos?
 Solução: O valor da prestação será:
Rn = A � 1 + i � t − n + 1
R24 = 1.666,67 � 1 + 0,012 � 60 − 24 + 1
R24 = 1.666,67 � 1,444
R24 = 2.406,67
 A parcela de juros:
Jn = i � A � t − n + 1
J24 = 0,012 � 1.666,67 60 − 24 + 1
J24 = 740,00
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO
 Um sistema misto de amortização (SAM), como o SAC, costuma ser utilizado 
principalmente em financiamentos imobiliários. Como o nome sugere, baseia-se 
nos dois tipos de amortização anteriormente mencionados, sendo os reembolsos 
calculados como a média aritmética dos reembolsos dos outros sistemas. No início 
da operação essas parcelas são maiores em relação à Tabela de Preços. No entanto, 
diminuem significativamente a partir de meados do período de financiamento total. 
Neste sistema, a primeira parcela pode ser calculada da seguinte forma:
 Como você pode perceber, a parcela é a média aritmética da parcela da Tabela 
Price com a primeira parcela do sistema de amortização constante. Porém, existe outra 
forma de calcular o valor desse benefício. Introdução da variável “q”, que pode assumir