CINIME_-_O_Homem_que_viu_o_Infinito

Prévia do material em texto

O Homem que viu o infinito (2015) 
Realidade, Ficção e a Matemática de Srinivasa Ramanujan 
 
Profª Ana Paula Chaves (IME-UFG) 
Projeto: CINIME 
 
Introdução 
 
"O homem que viu o infinito" (2015), é 
um filme americano, dirigido pelo britânico 
Matt Brown (“Ropewalk”), que conta a 
história de Srinivasa Aiyangar Ramanujan 
(1887 – 1920), um dos mais influentes 
gênios matemáticos do século XX, 
interpretado por Dev Patel ("Quem quer ser 
um milionário?"). 
Ramanujan nasceu na índia, em 1887. Já 
na infância, a sua inteligência excepcional 
deixa todos à sua volta impressionados. Por 
conta disso, ganha uma bolsa para o Liceu de 
Kumbakonam, onde desperta a admiração 
dos professores. Na adolescência começou, 
por auto-recriação, a estudar séries 
aritméticas e séries geométricas e com 
apenas 15 anos conseguiu encontrar as 
fórmulas das raízes de polinômios de 
terceiro e quarto grau. Com essa idade teve 
acesso a um livro que marcou a sua vida: 
"Synopsis of Elementary Results on Pure 
Mathematics", a obra de George Shoobridge 
Carr, um professor da Universidade de 
Cambridge (Inglaterra). O livro apresenta 
cerca de seis mil teoremas e fórmulas com 
poucas demonstrações, o que influenciou a 
maneira de Ramanujan interpretar a 
matemática. 
 
Aos 16 anos fracassou nos exames de 
inglês e perdeu a bolsa para a o Government 
College em Kumbakonam. Sem desistir, 
continuou as suas pesquisas de forma 
autodidata. Mais tarde, decidiu frequentar 
uma universidade local como ouvinte. Os 
professores, percebendo as suas qualidades, 
aconselharam-no a enviar os resultados dos 
seus trabalhos para o grande matemático 
inglês G. H. Hardy, interpretado por Jeremy 
Irons. Em 1913, impressionado com o seu 
intelecto, Hardy convida-o para ir para 
Cambridge (Inglaterra). Ali, apesar de todas 
as dificuldades de adaptação e de algum 
cepticismo do corpo docente, ele tornou-se 
professor no Trinity College (Cambridge) e 
foi agraciado com o ingresso na Royal 
Society de Ciências. Em 1919, adoeceu com 
tuberculose e voltou para a Índia. 
 
Realidade x Ficção em uma visão 
bastante pessoal 
 
Meu primeiro contato com a história e, 
consequentemente, com a matemática de S. 
Ramanujan foi, ainda durante a graduação, 
ao ler "A Mathematician's Apology", livro 
escrito por G. H. Hardy, onde, dentre outras 
tantas colaborações, ele escreve sobre a sua 
história com Ramanujan. Seguramente, é 
uma das mais "românticas" da matemática, 
como se vê no filme. 
 
Figura 1: Jeremy Irons (esq) interpretando G. H. Hardy e 
Dev Patel como Ramanujan. 
 
Mais do que "Uma mente brilhante" ou 
"Gênio indomável" ou "O jogo da imitação", 
ou a série de TV NUMB3RS, o filme me 
parece respeitar a matemática como uma 
coisa em si mesma, em vez de apenas uma 
ferramenta ou símbolo para outra coisa que 
interessa muito mais ao diretor. O pano de 
fundo dos créditos de abertura - e que 
melhor opção poderia haver? - é apenas 
página após página dos cadernos de 
Ramanujan. Posteriormente no filme, há 
uma explicação correta do que é a função de 
partição 𝑃(𝑛) e de uma das realizações 
centrais de Ramanujan e Hardy, que era 
fornecer uma fórmula assintótica para 𝑃(𝑛), 
a saber 
 
 
e provar tal comportamento da função de 
partição. 
 
O filme também deixa claro que 
matemáticos (puros) não produzem 
matemática por vislumbrar aplicações à 
física ou qualquer outra coisa, mas 
simplesmente porque se sentem compelidos 
a tal: para o devoto Ramanujan, a 
matemática era literalmente escrever "os 
pensamentos da Deusa" enquanto para o 
ateu Hardy, a matemática era como uma 
substituta da religião. Notavelmente, o filme 
explora a tensão entre a intuição 
destreinada de Ramanujan e as demandas de 
Hardy por rigor, de uma maneira que faça 
justiça a ambos, resistindo ao desejo de 
Hollywood de tornar a intuição 100% 
vitoriosa e rigor apenas um saco de 
pancadas a ser derrotado. 
 
Pelo que li, o filme também é fiel às 
roupas, músicas, religião e cultura do sul da 
Índia. Sim, os personagens indianos falam 
em inglês, e não em tâmil, mas Brown 
explicou isso como um compromisso 
necessário (não apenas pelo bem do público, 
mas também porque Dev Patel e os outros 
atores indianos não falam tâmil). 
 
Algumas críticas mencionaram problemas 
com elenco e caracterização. Por exemplo, 
Hardy é interpretado por Jeremy Irons, que 
é excelente, mas também décadas mais velho 
que Hardy na época em que conhecia 
Ramanujan. Enquanto isso, a esposa de 
Ramanujan, Janaki, é interpretada por uma 
crescida Devika Bhise; a verdadeira Janaki 
tinha nove (!) quando se casou com 
Ramanujan e quatorze quando Ramanujan 
partiu para a Inglaterra. J. E. Littlewood é 
interpretado quase como um palhaço de 
alívio cômico, tanto que parece incongruente 
quando, próximo ao final do filme, Irons-as-
Hardy apresenta a seguinte fala, da vida real: 
 
Eu ainda digo para mim mesmo quando 
estou deprimido e me vejo forçado a ouvir 
pessoas pomposas e cansativas: “Bem, eu fiz 
uma coisa que você nunca poderia ter feito, e 
é ter colaborado com Littlewood e 
Ramanujan em termos iguais. 
 
Finalmente, um jovem Bertrand Russell 
bigodudo é um personagem recorrente. 
Russell e Hardy realmente eram amigos e 
companheiros pacifistas da Primeira Guerra 
Mundial, mas Hardy, buscando os conselhos 
de Bertie sobre cada desenvolvimento 
relacionado a Ramanujan, parece quase 
certamente apenas um dispositivo de enredo 
irresistível. 
 
Mas nada disso importa. O que mais me 
incomodou foram as dramatizações do 
preconceito que Ramanujan sofreu na 
Inglaterra. Ramanujan é mostrado sendo 
derrubado no chão, socado e chutado por 
soldados britânicos latindo insultos anti-
indianos para ele; ele aparece no seu 
próximo encontro com Hardy, que Hardy 
(sendo indiferente) esquece de perguntar. 
Ramanujan também é retratado sendo 
empurrado, gritado e instruído a nunca 
voltar por um professor de matemática que 
 
ele humilha durante uma palestra. Entendo 
por que Brown fez essas escolhas 
cinematográficas: não há dúvida de que 
Ramanujan experimentou preconceito e 
esnobismo em Cambridge e que ele muitas 
vezes se sentia sozinho e indesejável lá. E é 
certamente mais fácil mostrar Ramanujan 
literalmente sendo espancado por fanáticos 
racistas, do que descrever sua alienação da 
sociedade de Cambridge como o assunto 
mais sutil que provavelmente era. Para mim, 
porém, é exatamente por isso que a última 
escolha teria sido ainda mais 
impressionante, se o filme tivesse 
conseguido. 
 
Da mesma forma, durante a Primeira 
Guerra Mundial, o filme mostra não apenas o 
Trinity College convertido em um hospital 
militar, e muitos estudantes promissores 
marcharam para a morte (tudo verdade), 
mas também uma concha explodindo no 
campus perto de Ramanujan, após o que 
Ramanujan olha horrorizado nos cadáveres 
sangrentos. Tipo, a verdade aqui não é 
dramática o suficiente? 
 
Outra coisa: o filme deixa você com a 
impressão de que Ramanujan morreu de 
tuberculose. Uma análise mais recente 
concluiu que provavelmente foi a amebíase 
hepática que ele trouxe da Índia - algo que 
poderia ser curado com o remédio da época, 
se alguém o tivesse diagnosticado 
corretamente. (Aliás, o filme omite 
completamente o último ano de Ramanujan, 
na Índia, quando ele sofreu uma recaída de 
sua doença e desapareceu lentamente, mas 
com Janaki ao seu lado, continuou a fazer 
pesquisas de classe mundial e trocou cartas 
com Hardy até o final. Todos os que li 
comentaram que essa era “a escolha 
dramática certa”, mas ... não sei, eu teria 
mostrado!) 
 
Mas chega! Receio que adotar esses 
defeitos seja manter o filme em padrões 
platônicos impossivelmente altos, em vez de 
padrões que se envolvam com a realidade de 
Hollywood. Uma anedota que Brown relatou 
no final da sessão de perguntas e respostas 
trouxe esse ponto para mim. 
Aparentemente, Brown lutou por uma 
década inteira para atrair financiamento 
para um filme sobre um matemático da Índia 
do sul da virada do século quevisitava 
Trinity College, Cambridge, cujo trabalho 
não tinha valor comercial ou militar. A certa 
altura, Brown foi informado de que poderia 
financiar o filme, se ele concordasse em 
fazer Ramanujan se apaixonar por uma 
enfermeira branca, para que uma estrela 
britânica que vendesse ingressos pudesse 
ser escolhida como seu interesse amoroso. 
Só podemos imaginar como deve ter sido 
uma batalha obter uma explicação correta 
da função de partição na tela. 
 
A Matemática de Srinivasa Ramanujan 
 
 
 
As contribuições de Ramanujan estão 
presentes em diversas nuances da Teoria 
dos Números, causando mudanças 
revolucionárias nesta área. Além destas 
contribuições, Ramanujan também deixou 
várias conjecturas que ainda permanecem 
sem solução. 
Como podemos ver no filme, uma delas 
diz respeito à função de partição, sobre a 
qual discorremos brevemente agora. 
 
A função de partição: Uma partição de 
um número inteiro positivo n é uma 
sequência não crescente de números 
inteiros positivos, denominada partes, cuja 
soma é igual a n. Usualmente, o número de 
 
partições para um número inteiro positivo n 
é indicado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, 
ou seja, existem cinco maneiras diferentes 
de expressar o número 4 desta forma. As 
partições do número 4 são: 
 
4 
 
3 + 1, 
 
2 + 2, 
 
2 + 1 + 1, 
 
1 + 1 + 1 + 1. 
 
Alguns valores da função P(n): 
 
P(1)=1 ; P(2)=2; P(3)=3; P(4)=5 ; P(5)=7 
P(6)= 11 ; P(7) = 15 ; ... ; P(12) = 77; ... 
P(19)= 490 ; P(20) = 627. 
 
Sobre as partições de um número natural, 
G. Hardy e E. Wright comentam em seu 
excelente livro de introdução à Teoria dos 
Números que: "apesar da simplicidade da 
definição de P(n), pouco se sabe sobre suas 
propriedades aritméticas ” 
Ramanujan estabeleceu três belas 
congruências para a função de partição 
P(n), que são as seguintes: 
𝑃(5𝑛 + 4) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5) 
𝑃(7𝑛 + 5) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 7) 
𝑃(11𝑛 + 6) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 11) 
Como já havíamos mencionado 
anteriormente, em um trabalho conjunto 
com Hardy, Ramanujan também obteve uma 
fórmula assintótica para a função de 
partição, dada por: 
 
 
Números altamente compostos: Um 
número natural n é considerado composto 
se tiver um divisor diferente de 1 e n. 
Ramanujan levantou uma questão 
interessante: se n é um número composto, o 
que o torna altamente composto? Para esse 
propósito, ele considerou o número de 
divisores positivos distintos de n denotados 
por d (n), e definiu n como um número 
altamente composto se d(m) < d(n) para 
todo m<n. 
A seguir, temos alguns números 
altamente compostos e a sua quantidade de 
divisores positivos: 
1 -> d(1)=1; 
2 -> d(2)=2; 
4 -> d(4)=3; 
6 -> d(6)=4; 
12 -> d(12)=6; 
24 -> d(24)=8; 
36 -> d(36)=9; 
Um dos números altamente compostos 
calculados por Ramanujan é 
6746328388008, que tem 13 dígitos e cuja 
composição é 26 × 34 × 52 × 72 × 11 × 13 ×
17 × 19 × 23. 
Bem mais que isso, Ramanujan 
caracterizou a decomposição em fatores 
primos de um número altamente composto: 
Teorema: Se 𝑛 = 2𝑎23𝑎35𝑎5 ⋯ 𝑝𝑎𝑝 é um 
número altamente composto, então 𝑎2 ≥
 𝑎3 ≥ 𝑎5 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑝 , e 𝑎𝑝 = 1 , exceto para 
n=4 e 36. 
Ele também expôs outros resultados 
sobre este tópico, tal como uma fórmula 
assintótica para a quantidade de números 
altamente compostos menores ou iguais a n. 
 
Fórmulas para 𝝅 : Para o número 
transcendente π, Ramanujan deu várias 
fórmulas. Algumas delas, listadas abaixo 
 
 
 
 
Funções Mock-theta: Em sua famosa 
carta no leito de morte, Ramanujan 
introduziu a noção de uma função "mock-
theta", e forneceu alguns supostos exemplos. 
Essa carta foi celebrada, não apenas por 
conta das circunstâncias trágicas que a 
cercavam, mas também porque era 
matematicamente muito misteriosa e 
intrigante. Ramanujan não fornece nenhuma 
definição de funções mock-theta, mas 
apenas uma lista de 17 exemplos e uma 
descrição qualitativa da propriedade chave 
que ele havia notado: que essas funções têm 
expansões assintóticas em todos os pontos 
racionais do mesmo tipo que os das "funções 
teta" (Ramanujan usava a palavra "funções 
teta", onde hoje se diz "formas modulares", 
de modo que "funções mock-theta" significa 
algo como "mock-modular”), mas que não 
existe uma função teta única cuja expansão 
assintótica concorda em todos os pontos 
racionais com a função mock-theta. 
Obviamente, esta é uma propriedade básica, 
mas está longe de uma definição completa. 
Desde 1920, muitos artigos foram 
escritos, incluindo muitos de matemáticos 
famosos como Watson, Selberg e Andrews, 
estudando os 17 exemplos específicos que 
Ramanujan havia dado, provando as 
identidades que ele havia declarado e 
encontrando outras identidades do mesmo 
tipo. Mas nenhuma definição natural era 
conhecida que descrevesse o que essas 
funções são intrinsecamente e, portanto, 
poderia dar uma explicação natural das 
identidades entre elas e um método para 
construir outros exemplos à vontade. O 
avanço ocorreu em 2002 com a tese de um 
estudante de doutorado holandês, Sander 
Zwegers, que finalmente encontrou a 
caracterização intrínseca ausente das 
funções mock-theta. 
 
Equações Diofantinas: 
1. O número de Hardy-Ramanujan: O 
número 1729 adquiriu um status especial 
em matemática. É referido como número de 
Hardy-Ramanujan. Há uma anedota famosa 
sobre esse número. Ramanujan fez uma 
declaração a G. H. Hardy de que 1729 é o 
menor número que pode ser expresso como 
uma soma de dois cubos de duas maneiras 
diferentes. Temos as duas expressões 1729 
= 93 + 103 e 1729 = 13 + 123. Assim, 1729 é a 
menor solução inteira positiva da equação 
A3 + B3 = C3 + D3. 
Ramanujan resolveu completamente esta 
equação diofantina, exibindo a forma geral 
das soluções como 
(α+λ2γ)3+(λβ+γ)3=(λα+γ)3+(β+λ2γ)3 onde 
α2 +αβ+β2 =3λγ2. 
2. A equação simétrica: Ramanujan 
considerou a equação diofantina xy = yx. 
Pode-se observar a simetria dessa equação 
em x e y. Ramanujan provou que esta 
equação tem apenas uma solução inteira, ou 
seja, x = 4 e y = 2 e há um número infinito de 
soluções racionais. Por exemplo, temos 
(27/8) 9/4 = (9/4) 27/8 . 
3. A equação de Ramanujan: A equação 
diofantina x2 + 7 = 2n é chamada equação de 
Ramanujan. Ele deu as soluções 12 + 7 = 23, 
32 + 7 = 24, 52 + 7 = 25, 112 + 7 = 27, 1812 + 7 
= 215 e conjecturou que a equação acima não 
tinha outra solução inteira. Esta equação 
permaneceu sem solução até 1948. 
Trabalhando no corpo quadrático ℚ(√−7), 
T. Nagell comprovou a conjectura de 
Ramanujan em 1948. 
A equação de Ramanujan também tem 
influência nos números triangulares e nos 
números de Mersenne. 
 
Referências 
 
[1] G. H. Hardy, A Mathematician's Apology. 
Cambridge paperbacks: Mathematics Canto 
(Cambridge University Press), pp 153 (1992). 
[2] S. Ramanujan, Collected Papers of Srinivasa 
Ramanujan. v. 159 of AMS Chelsea Publishing Series, 
pp 426 (2000). 
[3] R. Kanigel, The Man Who Knew Infinity. Charles 
Scribner's Sons, pp 438 (1991).