Semana 4 - Videoaula 8 - Arrendamento mercantil, CDC e período singular de juros - MAT200

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Arrendamento mercantil, CDC e 
período singular de juros
MATEMÁTICA FINANCEIRA
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO APLICADO ÀS 
OPERAÇÕES DE ARRENDAMENTO MERCANTIL
O Leasing é uma modalidade de financiamento 
que promove o aluguel de bens móveis e imóveis 
entre pessoas jurídicas.
Durante o período do aluguel, a empresa 
arrendatária paga uma prestação, mais conhecida 
por contraprestação, à instituição Arrendadora.
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO APLICADO ÀS 
OPERAÇÕES DE ARRENDAMENTO MERCANTIL
Ao final do contrato, a Arrendatária pode devolver 
o bem à Arrendadora ou, se for de seu interesse, 
adquiri-lo por determinado preço previamente 
estipulado no contrato.
Este preço de compra é definido por valor residual 
garantido (VRG).
O mercado trabalha geralmente com um fator de 
financiamento fixo, denominado de coeficiente de 
arrendamento (CA). 
Ao se multiplicar este coeficiente pelo valor do 
bem arrendado determina-se as contraprestações 
periódicas.
Pode haver valores não uniformes.
CÁLCULO DAS CONTRAPRESTAÇÕES
Verifica-se com frequência algum pagamento 
diferenciado ao final do fluxo do arrendamento 
referente ao seu VRG.
Basicamente, existem duas maneiras de tratar 
essa situação: a) se incluem os juros do VRG 
nas contraprestações em vez de no coeficiente; 
ou b) apura-se o coeficiente de arrendamento 
com os encargos do VRG. 
CÁLCULO DAS CONTRAPRESTAÇÕES
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NAS 
CONTRAPRESTAÇÕES
As contraprestações são calculadas pela aplicação 
do CA sobre o valor do bem arrendado diminuído 
do valor residual garantido.
Admita ilustrativamente um contrato de 
arrendamento mercantil com as seguintes 
características:
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NAS 
CONTRAPRESTAÇÕES
• Valor global do bem arrendado - $ 300.000,00
• Valor residual garantido (VRG) - $ 30.000,00
• Taxa de juros cobrada - 2,7% ao mês
• Prazo - 24 meses
• Periodicidade dos pagamentos – Mensal
Vamos desenvolver da mesma forma que os outros 
coeficientes de financiamento.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NAS 
CONTRAPRESTAÇÕES
Custo do Bem a recuperar = Valor Global do Bem 
– VRG = 300.000,00 – 30.000,00 
Custo do Bem a recuperar = $ 270.000,00
Coeficiente de Arrendamento/Financiamento – CA
Fonte: ASSAF 
NETO (2019)
𝑪𝑨 =
𝒊
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
=
𝟎, 𝟎𝟐𝟕
𝟏 − 𝟏, 𝟎𝟐𝟕 −𝟐𝟒
𝑪𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟏𝟓𝟔
Os valores das contraprestações do contrato de 
arrendamento são definidos conforme a tabela.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
Mês Valor das 
contraprestações: 
custo do bem a 
recuperar x CA ($)
Encargo
s sobre 
o VRG 
($)
Amortizaç
ão do 
VRG ($)
Contrapre
stações 
totais ($)
1 a 
23
270.000,00 x 
0,057156 = 
15.432,12
30.000,0
0 x 2,7% 
= 810,00
- 16.242,12
24 15.432,12 810,00 30.000,00 46.242,12
Ao se determinar a taxa interna de retorno do 
fluxo gerado do contrato de arrendamento, chega-
se ao custo de 2,7% ao mês, conforme definido 
pela Arrendadora:
300.000,00 = [16.242,12 x FPV (i, 23)] + [46.242,12 x 
FAC (i, 24)] 
Resolvendo-se:
i = 2,7% ao mês.
O valor das contraprestações é computado sobre 
o custo do bem a recuperar, sendo adicionado, em 
cada parcela encontrada, os juros referentes ao 
VRG.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NO 
COEFICIENTE DE ARRENDAMENTO
Pode-se optar por aplicar diretamente o CA sobre 
o valor global do bem arrendado, sem excluir o 
seu VRG. 
Nesta situação, a instituição passa a operar com 
um coeficiente menor, mas que será aplicado 
sobre um montante maior. Esse critério produz 
os mesmos resultados do método anterior.
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NO 
COEFICIENTE DE ARRENDAMENTO
Cálculo do CA:
𝑪𝑨𝑮 = 𝟏 −𝑾 × 𝑪𝑨 + 𝒊 ×𝑾
Onde: 
W = percentual do VRG em relação ao bem 
arrendado.
CAG = Coeficiente de arrendamento com a 
inclusão dos juros do VRG.
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NO 
COEFICIENTE DE ARRENDAMENTO
No exemplo anterior:
𝑾 =
𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
= 𝟏𝟎%
𝑪𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟏𝟓𝟔
𝒊 = 𝟐, 𝟕% 𝒂.𝒎.
INCLUSÃO DOS JUROS DO VRG NO 
COEFICIENTE DE ARRENDAMENTO
Portanto, 
CAG = [(1 – 0,1) × 0,057156] + (0,027 × 0,1)
CAG = 0,051440 + 0,0027
CAG = 0,054140
Aplicando-se o CA encontrado sobre o valor 
global do bem arrendado de $ 300.000,00, 
determinam-se as mesmas contraprestações 
apuradas anteriormente.
Os valores das contraprestações do contrato de 
arrendamento são definidos conforme a tabela.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
Mês Valor das 
contraprestações: 
custo do bem a 
recuperar x CA ($)
Amortização 
do VRG ($)
Contrapresta-
ções totais ($)
1 a 
23
300.000,00 x 
0,054140 = 
16.242,12
- 16.242,12
24 16.242,12 30.000,00 46.242,12
CRÉDITO DIRETO AO CONSUMIDOR (CDC)
Operação destinada a financiar a aquisição de bens e 
serviços por consumidores ou usuários finais.
O financiamento é geralmente amortizado, seguindo 
a estrutura do modelo-padrão de fluxo de caixa. Pode 
existir também contratos de CDC com carência e com 
entrada.
Encargos: juros e “imposto sobre operações 
financeiras” (IOF). 
PRESTAÇÃO COM IOF
𝑷𝑴𝑻 𝒄𝒐𝒎 𝑰𝑶𝑭 =
𝑷𝑴𝑻(𝒔𝒆𝒎 𝑰𝑶𝑭)
𝟏 − 𝒏 × (
𝑰𝑶𝑭
𝟏𝟎𝟎
)
Onde: IOF/100 = Taxa unitária (decimal) do IOF
Admita um financiamento de $ 5.000,00 
feito por meio de um contrato de CDC por 
7 meses (prestações mensais, iguais e 
sucessivas), à taxa de 3,8% a.m. O IOF é 
de 0,3% a.m. Qual o valor das prestações?
Primeiramente, vamos calcular o PMT sem 
considerar o IOF.
EXEMPLO 
𝑷𝑴𝑻 𝒔𝒆𝒎 𝑰𝑶𝑭 =
𝑷𝑽
𝑭𝑷𝑽(𝒊, 𝒏)
=
𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑭𝑷𝑽 𝟑, 𝟖%, 𝟕
=
𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟔, 𝟎𝟒𝟔𝟔𝟔𝟖
= 𝟖𝟐𝟔, 𝟗𝟎
𝑷𝑴𝑻 𝒄𝒐𝒎 𝑰𝑶𝑭 =
𝑷𝑴𝑻(𝒔𝒆𝒎 𝑰𝑶𝑭)
𝟏 − 𝒏 × (
𝑰𝑶𝑭
𝟏𝟎𝟎
)
Fonte: ASSAF NETO (2019)
=
𝟖𝟐𝟔, 𝟗𝟎
𝟏 − 𝟕 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑
=
𝟖𝟐𝟔, 𝟗𝟎
𝟎, 𝟗𝟕𝟗
= $ 𝟖𝟒𝟒, 𝟔𝟒
PERÍODO SINGULAR DE JUROS
Ocorre quando o prazo da primeira prestação não 
coincide com os prazos das demais prestações, 
todas iguais e sucessivas. 
Por exemplo, o financiamento de um veículo em 
10 prestações mensais é oferecido, vencendo a 
primeira prestação em 20 dias e as demais, 
sequencialmente, a cada 30 dias. 
PERÍODO SINGULAR DE JUROS
O prazo de pagamento da primeira parcela (20 
dias) é diferente dos demais pagamentos 
periódicos (mensais), sendo conhecido por 
período singular de juros.
Quando o intervalo de tempo para pagamento da 
primeira parcela for menor que os demais 
períodos, tem-se um fluxo definido por 
antecipado; quando for maior, será postecipado.
EXEMPLO DE FLUXO ANTECIPADO
Admita um financiamento de $ 12.000,00 a ser 
pago em 6 prestações mensais. A primeira 
parcela vence em 25 dias e as demais de 30 em 
30 dias. A taxa de juros considerada na operação 
é de 3,6% a.m.
Determinar o valor da prestação.
Ao se aplicar a fórmula do fluxo de caixa padrão, 
os valores das prestações serão atualizados 
pela taxa mensal de 3,6% pelo intervalo de 30 
dias, sendo identificados no momento “– 5”.
Logo, para se colocar todas as parcelas num 
mesmo momento (data focal = 0), o resultado 
atualizado deve ser corrigido por 5 dias.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
= 𝑷𝑴𝑻 × 𝑭𝑷𝑽 𝟑, 𝟔%, 𝟔 × 𝑭𝑪𝑪 𝟑, 𝟔%,
𝟓
𝟑𝟎
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝑷𝑴𝑻 ×
𝟏 − 𝟏, 𝟎𝟑𝟔 −𝟔
𝟎, 𝟎𝟑𝟔
× 𝟏, 𝟎𝟑𝟔 𝟓/𝟑𝟎
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝑷𝑴𝑻 × 𝟓, 𝟑𝟏𝟏𝟎𝟗𝟒 × 𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟗𝟏𝟐
𝑷𝑴𝑻 = $ 𝟐. 𝟐𝟒𝟔, 𝟏𝟒
Fonte: ASSAF NETO (2019)
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO –
FLUXO ANTECIPADO
Sendo t o intervalo de tempo padrão do fluxo de 
caixa e a o prazo do primeiro pagamento do 
período singular:
𝑷𝑴𝑻 =
𝑷𝑽
𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏 × 𝑭𝑪𝑪(𝒊,
𝒕 − 𝒂
𝒕
)
𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 ×
𝟏
𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏
×
𝟏
𝑭𝑪𝑪(𝒊,
𝒕 − 𝒂
𝒕
)
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO –
FLUXO ANTECIPADO
Logo, 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 ×
𝟏
𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏
× 𝑭𝑨𝑪 (𝒊,
𝒕 − 𝒂
𝒕
)
𝑪𝑭𝒂 =
𝟏
𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏
× 𝑭𝑨𝑪 (𝒊,
𝒕 − 𝒂
𝒕
)
Para o exemplo, Cfa = 0,187178 e PMT = $ 
12,000,00 x 0,187178 = $ 2.246,14.
EXEMPLO DE FLUXO POSTECIPADO
Suponha, noexemplo anterior, que o primeiro 
pagamento deve ocorrer em 40 dias, vencendo os 
demais sequencialmente a cada intervalo de 30 
dias. Mantendo as demais informações do 
financiamento, calcular o valor da prestação.
O valor atualizado das prestações é definido pelo 
modelo-padrão no 10o dia, devendo este resultado 
ser expresso no momento 0.
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
= 𝑷𝑴𝑻 × 𝑭𝑷𝑽 𝟑, 𝟔%, 𝟔 × 𝑭𝑨𝑪 𝟑, 𝟔%,
𝟏𝟎
𝟑𝟎
Fonte: ASSAF NETO (2019)
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 =
𝑷𝑴𝑻 ×
𝟏 − 𝟏, 𝟎𝟑𝟔 −𝟔
𝟎, 𝟎𝟑𝟔
× 𝟏, 𝟎𝟑𝟔 −𝟏𝟎/𝟑𝟎
12.000,00 = PMT × 5,311094 × 0,988280
PMT = $ 2.286,22
Fonte: ASSAF NETO (2019)
A expressão de cálculo do coeficiente de 
financiamento de um período singular com 
fluxo postecipado (CFP) é apurada:
𝑪𝑭𝒂 =
𝟏
𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏
× 𝑭𝑪𝑪 (𝒊,
𝒑 − 𝒕
𝒕
)
Para o exemplo, Cfp = 0,190518 e PMT = $ 
12,000,00 x 0,190518 = $ 2.286,22.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: 
GEN, 2019. ISBN 9788597021608 Link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597021615/
REFERÊNCIAS
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597021615/