Resistencia dos Materiais Apostila Unibta 2023 s2 229p

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Introdução à Resistência dos Materiais
Apresentação
A resistência dos materiais é capítulo da Mecânica dos Corpos Sólidos que estuda o equilíbrio dos 
referidos corpos, considerando os efeitos internos, produzidos pela ação das forças externas: as 
relações entre cargas aplicadas em um corpo deformável e a intensidade das forças internas que 
atuam dentro do corpo, o cálculo das deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando 
submetido a solicitações.
Nesta Unidade de Aprendizagem você será apresentado a uma introdução geral à resistência dos 
materiais, a importância da identificação das forças atuantes e solicitações internas, para que o 
dimensionamento dos elementos estruturais seja feito de forma segura, analisando o uso de 
diferentes materiais. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Expressar a importância do estudo da resistência dos materiais para o dimensionamento das 
estruturas.
•
Mostrar as etapas para verificação ou projeto de uma estrutura.•
Comparar uso de diferentes tipos de materiais nas estruturas.•
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - C (2023.OUT)
1.1 - Introdução à Resistência dos Materiais
1.2 - Tensão: forças
2.1 - Tensão, deformação e módulos de elasticidade
2.2 - Tensão de cisalhamento e esmagamento
3.1 - Torção: tensão de cisalhamento
3.2 - Torção I
4.1 - Flexão I
4.2 - Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões
Aula 1.1
_1.1_
elm = Avaliação da aula. Ruim. Assinalada opções - Erros no conteúdo; - Precisei pesquisar 
mais; (qdo assinala <regular, só há opções para assinalar) + Erro nos exercícios.
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Desafio
As tensões e deformações calculadas ao longo das estruturas dependem do carregamento, da 
geometria, da seção transversal dos elementos estruturais e do material a ser analisado. Você é 
comprador de uma empresa de urbanismo e precisa adquirir bancos para uma praça; um fornecedor 
enviou-lhe duas opções, dois bancos de preços similares, porém, de materiais totalmente 
diferentes: um com estrutura em aço e outro com estrutura em madeira. A sabedoria popular diz 
que “ferro é mais resistente que madeira”, mas como você comprovaria isto, tecnicamente falando, 
para justificar sua compra?
_1.1_
elm = Testando para poder comparar o valor da resistência mecânica de cada 
material. Importante lembrar que resistência é apenas um dos aspectos a 
serem considerados; exemplos: preço, conforto, ergonomia, estética, 
integração urbanística, durabilidade, facilidade de instalação, limpeza e 
conservação, padronização.
Padrão de resposta esperado
Podemos pensar na solução deste desafio observando os diferentes valores de 
módulo de elasticidade destes materiais. O módulo de elasticidade do aço (E) 
pode ser até 20x maior que o módulo de elasticidade de determinadas madeiras. 
Analisando graficamente a equação da Lei de Hooke (Tensão = E * Deformação) 
para estes materiais, observamos que, para uma mesma tensão, a deformação da 
madeira é 20x maior, ou ainda, para que o aço atinja a mesma deformação da 
madeira, a tensão (carga aplicada no banco) tem de ser consideravelmente 
maior.
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Infográfico
Os objetivos da Resistência dos Materiais são:
- Determinar os esforços;
- Determinar as tensões e as deformações a que estão sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos 
esforços atuantes;
- Verificar o equilíbrio de um corpo deformável;
- Verificar a segurança;
- Realizar o dimensionamento.
Veja neste Infográfico quais são os esforços à que um corpo sólido pode estar submetido e as 
etapas macro de projeto e dimensionamento.
_1.1_
CABO 
ROLETE 
APOIO 
( ESTRUTURA ) 
ESFORÇOS ATUANTES 
UMA INCÓGNITA: F RÓTULA EXTERNA DUAS INCÓGNITAS: Fx,Fv 
Fx 
Fv 
UMA INCÓGNITA: F RÓTULA INTERNA DUAS INCÓGNITAS: Fx,Fv 
F.x 
FJ 
UMA INCÓGNITA: F RÓTULA EXTERNA TR~S INCÓGNITAS: Fx,FY, M 
ETAPASPARA O PROJETO 
IDENTIFICAR CARGAS ESTUDO DAS 
EXTERNAS ATIVAS "-.... ~ TENSÕES 
------- ~ ANÁLISE DAS / ----­
SOLICITAÇÕES 
CALCULAR CARGAS 
EXTERNAS REATIVAS 
CONHECER LIMITE 
INTERNAS ~ / __ _ ESTUDO DAS 
DEFORMAÇÕES 
- ->.::... RESISTENTE 
APLICAÇÃO 
00 COEFICIENTE 
OE SEGURANÇA 
~( PROJETO ) 
~ VERIFICAÇÃO 
00 MATERIAL 
-------
Plesha, Michael E. 
Mecânica para engenharia Lrecurso eleLrônicoJ : estática 
/Michael E. Plesha, Gary L. Gray, Francesco Costanzo; 
tradução: Eduardo Antonio Wink de Menezes ... let al.J ; 
revisão técnica: Walter Jesus Paucar Casas. - Dados l eletrônicos. - Porto Alegre: Bookman, 2014. 
LivrPt_Civ_Mecanica_p_Engenharia_Estatica_Plesha_2014_Parts_elm
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apoio 
y 
~X _//_ =a= 
rolete oscilador rolete 
~ _jj_ ~ 
rolete em superfície colar na 
curso com sem atrito barra sem 
folga atrito 
~ ~~ 
cabo haste ou barra 
t~ e r , ~ 
cabo com haste ou barra 
peso próprio curvada 
y 
_J{gx _jj_ 
pino superfície á~pera 
y 
1 
F-x 
embutido ou engastado 
y 
~-X 
colar resistente a momento 
reações 
M 
j ... OU .. . c5 
R!J 
a 
Figura 5.3 Apoios comuns para corpos em duas dimensões e suas forças de reação 
associadas. Cabos, hastes e barras de apoio são considerados sem peso, exceto onde 
indicado em contrário. 
apoio 
X 
li, 
/ 
superfície sem atrito 
/liy 
X 
li, 
/ 
X 
junta esférica superfície áspera 
J-, 
X 
~-Y 
X/ 
pino dobradiça 
mancai 
engastado ou embutiido 
reações 
Se também for um mancaa axial, 
adicionar Rx. 
Se for de autoalinhamento, M = M = O. 
y ' 
Figura 5.25 Apoios comuns para corpos em três dimensões com suas reações asso­
ciadas. 
Conteúdo do livro
O conhecimento de Resistência dos Materiais é o ponto de patida para se desenvolver qualquer 
projeto estrutural, nas mais diversas áreas da Engenharia. Por meio dela é possível entender o 
comportamento dos materiais em relação às cargas externas, ou seja, forças aplicadas ao corpo e 
suas reações de apoio. 
Assim, o conhecimento do assunto leva ao projetista a ter informações certeiras quanto à tensão 
adminssível para o projeto com diversos tipos de materiais, bem como conhecer suas deformações 
correspondentes, as quais podem ser ou não um limitante de seu projeto.
No capítulo Introdução à Resistência dos Materiais da obra Resistência dos Materiais I, você podera 
aprofundar seu conhecimento.
Boa leitura.
_1.1_
elm = livro não encontrado na bib virtual. 
Abhilfe pdf
LivrPt_Civ_Resistencia_Materiais_Hibbeler_
LivrPt_Civ_Mecanica_Materiais_Beer_etal_
LivrPt_Civ_Mecanica_p_Engenharia_Estatica_Pl
esha_2014_Parts_elm
(este disp na bib virtual !!)
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OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Expressar a importância do estudo da resistência dos materiais para o 
dimensionamento das estruturas.
 > Mostrar as etapas para verificação ou projeto de uma estrutura.
 > Comparar o uso de diferentes tipos de materiais nas estruturas.
Introdução
A resistência dos materiais apresenta os critérios básicos de entendimento do 
comportamento dos materiais utilizados nos mais diversos tipos de estrutura. 
O estudo do conteúdo proporciona conhecimento em relação às dimensões ne-
cessárias para cada elemento estrutural, de forma que este consiga receber as 
cargas externas e transmiti-las para outros elementos, até mesmo o solo (para o 
caso de fundação). Assim, a resistência dos materiais analisa como essas cargas 
atuam no interior dos corpos, fazendo com que eles permaneçam íntegros e 
funcionais no sistema proposto.
Essa área do conhecimento se baseia principalmente em ensaios comporta-
mentais, os quais caracterizam os materiais e geram as informações sobre tensão 
resistente e deformações correntes, bem como a proporcionalidade entre eles, 
para todos os materiais utilizados. Essas informações são utilizadas pelos enge-
Introdução à 
resistência dos 
materiais
Pedro Henrique Pedrosa de Melo
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nheiros e pelo projetista, que buscam sempre utilizar ao máximo as propriedades 
do material, visando à economia e à segurança.
Neste capítulo, você vai estudar o papel fundamental que a resistência dos 
materiais tem no dimensionamento das estruturas, os quais são a base para 
etapas de verificação e dimensionamento de elementos. Além disso, você vai 
ver a diferença entre os principais elementos utilizados na engenharia e como a 
resistência dos materiais pode ser utilizada para a escolha entre um material ou 
outro no momento de projeto de estruturas com base no seu comportamento.
A importância do estudo da resistência 
dos materiais para o dimensionamento 
das estruturas
A engenharia é uma ciência aplicada no cotidiano da vida, uma que todos os 
tipos de materiais precisam cumprir exigências mínimas quanto à integridade e à 
funcionalidade, isto é, não podem atingir o estado de colapso ou ruína e devem 
manter os níveis adequados de operacionalidade no que tange às dimensões 
e à deformação. De forma geral, a engenharia aplicada por meio da resistência 
dos materiais possibilita a manutenção da funcionalidade do material, a sua 
aparência e até mesmo o aspecto econômico de seu uso, aproveitando todas 
as propriedades do material, levando em consideração critérios de segurança. 
É importante ressaltar que, no estudo da engenharia, os materiais são 
estudados e dimensionados por sua resistência, que equivale à capacidade 
do objeto ou material específico, de suportar e transmitir cargas. Assim, 
o corpo recebe cargas externas, que podem ser classificadas como forças
de superfície, quando ocorre o contato direto entre corpos — ou forças de 
corpo, quando um corpo exerce força sobre o outro sem que ocorra contato 
direto. Um exemplo de força de corpo é o peso, que é causado pela ação 
gravitacional, e faz com que não ocorra, assim, um contato entre os corpos, 
mas a atração entre as massas.
Segundo Hibbeler (2019), na transmissão das cargas, surgem nos materiais 
as reações de apoio, forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou 
diretamente nos pontos de contato entre corpos. Uma forma simplificada 
de descobrir a existência de uma força de apoio em um corpo é imaginar 
que o elemento acoplado está sendo transladado ou girando de acordo com 
uma direção. Caso o apoio impeça a translação, existe no contato uma força 
de apoio contrária ao possível movimento; em outra situação, caso o apoio 
impeça a rotação, existe na referida direção um momento fletor.
Introdução à resistência dos materiais2
Para a quantificação das reações (força e/ou momento), são aplicadas as 
condições de equilíbrio. Nessa etapa, o princípio básico é que o equilíbrio de 
um corpo exige um “equilíbrio de forças”, de forma que impeça a translação 
ou até mesmo o movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória 
em x ou y. Além disso, o “equilíbrio de momentos” é analisado para que possa 
impedir que o corpo analisado gire em relação a um ponto genérico “O”. Tais 
análises podem ser descritas matematicamente em análise coplanar (plano 
bidimensional) por meio das Equações 1, 2 e 3.
∑ = 0 (Equação 1)
∑ = 0 (Equação 2)
∑ = 0 (Equação 3)
Entender a forma como o corpo recebe a carga externa e como ela a 
transmite em forma de reação de apoio é de extrema importância para o 
conhecimento do arranjo estrutural formado pela associação de diferentes 
elementos. Um exemplo disso é o sistema de apoio vigas/pilar; as estruturas 
aporticadas, aquelas em que a viga e os pilares de apoio se comportam como 
um só elemento (Figura 1); e até mesmo na análise da dissipação das cargas 
no solo por meio da fundação das estruturas.
No entanto, além dessa análise de transmissão de cargas/esforços, 
é preciso analisar o comportamento que essas cargas geram no interior do 
corpo e como isso está relacionado com a própria resistência do material. Esse 
estudo é feito por meio das “cargas resultantes internas”, especificamente 
pela definição das forças normais (N) e cisalhantes (V) e pelos momentos 
fletores e de torção, que surgem nas seções internas dos corpos.
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Figura 1. Representação do pórtico por meio da associação de vigas e pilares em uma estrutura.
Esquema estrutural Pórtico bidimensional
Pilar
Viga
Hibbeler (2019) afirma que a análise das cargas resultantes internas é uma 
das mais importantes aplicações da resistência dos materiais, uma vez que 
essas cargas determinam a integridade e a funcionalidade do corpo sujeito 
às cargas externas. A quantificação é feita por meio do método das seções, 
que parte de uma seção ou “corte” imaginário, passando pela região de in-
teresse. Para que esse método seja implementado, são utilizadas as cargas 
externas aplicadas ao corpo e as reações de apoio já definidas anteriormente. 
Um exemplo da aplicação do método é apresentado na Figura 2, em que são 
evidenciados o “corte” imaginário e o surgimento das cargas internas.
A quantificação, ou seja, a obtenção dos valeres das cargas internas são 
definidas utilizando as equações de equilíbrio aplicados, por exemplo, na 
Figura 2b. É importante destacar que, na situação apresentada na Figura 2b, 
o momento de torção não é considerado devido ao fato de a representação
ser feita no plano, fazendo com que as cargas se restrinjam àquelas coplana-
res, ou seja, contidas no plano de representação. O ponto de aplicação das 
cargas internas apresentadas é feito no centro de gravidade da seção, então 
todas as cargas internas da seção “cortada” são agrupadas nesse ponto e 
decompostas segundo as direções normal e cisalhante do corpo.
Introdução à resistência dos materiais4
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Figura 2. Aplicação do método das seções em um corpo genérico representado no plano: 
(a) corpo sujeito às cargas (ou forças) externas e uma seção imaginária de interesse; 
(b) “corte” e surgimento das cargas internas (forças normal e de cisalhamento, e momento 
fletor).
Fonte: Hibbeler (2019, p. 4).
As forças não são aplicadas diretamente no dimensionamento dos mate-
riais e estruturas, assim, para esse caso, é utilizado prioritariamente o conceito 
de tensão. Beer e Johnston Junior (2015) apontam que a análise e o projeto 
de uma estrutura ou elemento são feitos por meio da análise das tensões e 
deformações. A análise de tensões se refere à distribuição da força ao longo 
de uma área específica. Além disso, os autores ainda destacam que mesmo 
uma carga pontual estará sempre aplicada em determinada área, mesmo 
que esta seja tida como infinitesimal. Assim, como na análise de cargas 
internas obtêm-se as forças normais e cisalhantes, para essas forças t as 
correspondentes tensão normal (σ) e tensão cisalhante (τ). As Equações 4 e 5 
são aplicadas para obter as referidas tensões.
Introdução à resistência dos materiais 5
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= (Equação 4)
= (Equação 5)
Cada tipo de material tem um valor limite (máximo) de resistência a ser 
suportada, que é chamada de tensão de ruptura, ou seja, tensão à qual o corpo 
não consegue manter sua integridade e funcionalidade dentro do projeto 
estabelecido. Essa análise que envolve tensão aplicada e tensão de ruptura 
para critérios de projeto parte da premissa que se deve considerar o material 
contínuo, ou seja, tem distribuição uniforme da matéria sem a existência de 
vazios, e coeso, o que significa que todas as suas partes estão interligadas, 
não havendo trincas ou separações (HIBBELER, 2019). 
Dessa forma, partindo dessa análise, é feito o dimensionamento princi-
palmente das seções dos elementos, como vigas e pilares. Esse processo leva 
em consideração o limite do valor de tensão de ruptura e da força normal ou 
cisalhante à qual a seçãoestá sujeita. Assim, o projetista varia a área da seção 
de forma a atender o teto da tensão, verificando tanto os aspectos estruturais 
(integridade do elemento) como a economia, propondo a menor área possível.
Cabe destacar que não é apenas a tensão que norteia o dimensionamento 
ou verificação da integridade das estruturas, pois esta também deve atender 
requisitos relacionados à deformação. Pinheiro e Crivelaro (2016) ressaltam 
que todo corpo sujeito a tensão (a qual é relacionada diretamente à força) 
apresenta uma deformação correspondente. Essas deformações se relacionam 
à tensão aplicada por meio do módulo de elasticidade ou módulo de Young 
(E), e podem ser expressas pela Equação 6 para a tensão/deformação normal. 
Essa equação é popularmente conhecida como Lei de Hooke:
σ = E ∙ ε (Equação 6)
Na Equação 6, ε é a deformação normal, uma característica que representa 
o quanto um corpo alongou em relação ao comprimento inicial. Porém, a tensão
cisalhante (τ) também leva a um tipo de deformação específica, chamada de 
deformação cisalhante ou distorção (γ), responsável por alterar o formato 
do corpo, ou seja, são mudanças angulares entre as faces do corpo. Assim, 
a Lei de Hooke assume a forma da Equação 7, onde G representa o módulo 
de elasticidade ao cisalhamento.
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τ = G ∙ γ (Equação 7)
Os valores do módulo de Young (E) e do módulo de elasticidade ao cisa-
lhamento (G) são obtidos de forma experimental para cada tipo de material 
adotado no dimensionamento. Além disso, existe uma relação entre os dois 
módulos que utiliza o Coeficiente de Poisson, que relaciona a deformação 
longitudinal com a transversal em um ensaio de tração ou compressão simples. 
A Equação 8 apresenta a expressão de cálculo do coeficiente de Poisson (υ), 
e a Equação 9, a relação entre o módulo de elasticidade (E) e o módulo de 
cisalhamento (G).
= −
lat
long
(Equação 8)
=
2(1 + )
(Equação 9)
Compreendendo os conceitos de tensão e deformação, ficam claros os 
princípios básicos de dimensionamento de estruturas, pois, assim, se ga-
rante a integridade, não são atingidas as tensões de ruptura e se mantém a 
funcionalidade por meio do controle dos limites de deformação do material. 
No dimensionamento de qualquer elemento estrutural que utilize, por exem-
plo, concreto, madeira e aço, são adotados esses procedimentos básicos. 
Em seguida, é feito o dimensionamento da estrutura para que ela opere abaixo 
da tensão de ruptura ou falha e não apresente deformações que acarretem na 
perda de sua funcionalidade. Além disso, é levado em consideração também 
o aspecto econômico ao se adotar a menor quantidade de material possível.
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Em um elemento tridimensional, as deformações normais são respon-
sáveis por aumentar o volume do corpo, enquanto as deformações 
cisalhantes são responsáveis pela alteração na forma.
π
2
π
2
π
2
Δz
Δx
Δy
Elemento sem
deformação
Elemento
deformado
• Considerando as
dimensões muito
pequenas
• Deformação normal: muda os
comprimentos dos lados
• Deformação de cisalhamento: muda
os ângulos de cada lado
Segmentos de reta
permanecem retos
após a deformação
π
2( – gxy)
π
2( – gxz)
π
2( – gyz)
(1 + ∈z)Δz
(1 + ∈x)Δx
(1 + ∈y)Δy
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2019).
Etapas para verificação de uma estrutura 
Verificar uma estrutura ou um elemento estrutural é conferir se as dimensões 
propostas atendem às solicitações externas impostas a esse corpo, ou seja, 
analisar se ele vai manter a sua integridade e funcionalidade ao receber e 
transmitir cargas ou forças. Assim, o primeiro passo para a verificação de uma 
estrutura é conhecer como o material que a compõe se comporta em termos 
de tensão e deformação, verificando as propriedades mecânicas do material.
De acordo com Hibbeler (2019), a resistência de um material depende da 
sua capacidade para suportar uma carga sem deformações excessivas, e as 
propriedades que circundam a resistência do material devem ser obtidas 
por métodos experimentais. O principal teste para a obtenção das proprie-
dades do material é o ensaio de tração ou compressão, em que são obtidas 
as relações entre a tensão e a deformação caracterizada para um material 
específico, se tenta compreender o comportamento do material enquanto 
se eleva a tensão de compressão ou tração.
Dessa forma, nesse ensaio, além de se obter o valor máximo que um corpo 
suporta, é possível perceber que os materiais têm variação na proporção 
existente entre a tensão e deformação. Um exemplo disso é o gráfico da 
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Figura 3, que apresenta os resultados da relação de tensão e deformação 
para um ensaio de tração de um material dúctil genérico.
Figura 3. Diagrama de tensão-deformação genérico para materiais dúcteis com seus respectivos 
comportamentos para determinadas faixas de cargas atuantes.
Fonte: Hibbeler (2019, p. 58).
A partir da Figura 3, é possível compreender alguns comportamentos dos 
materiais e como eles devem nortear o dimensionamento ou verificação das 
estruturas. No primeiro trecho, o material submetido à tração apresenta 
comportamento elástico, havendo proporção e correspondência fixa entre a 
tensão e a deformação, e a inclinação da reta que caracteriza esse compor-
tamento gera o módulo de elasticidade, o denominado módulo de Young (E). 
Quanto ao comportamento plástico, o material apresenta diferentes relações 
entre a tensão e a deformação, sendo que, no escoamento, uma pequena 
modificação na tensão causa uma grande deformação, e após essa etapa 
chega-se no endurecimento por deformação, em que é necessário aplicar 
uma carga cada vez maior para que o corpo se deforme. Essa última etapa 
leva ao limite da resistência e da tensão de ruptura, quando o corpo perde 
toda a sua capacidade portante, entrando, assim, em colapso ou ruína (BEER; 
JOHNSTON JUNIOR, 2015).
Introdução à resistência dos materiais 9
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Ao pensar em projetos estruturais, a previsibilidade de comportamento 
é fundamental, e é sempre necessário conhecer a deformação exata para a 
tensão aplicada no corpo. Essa situação só é possível dentro da região elástica 
do carregamento, em que cada valor de tensão tem uma correspondência 
única na deformação. Assim, tem-se a primeira exigência de dimensiona-
mento de elementos estruturais, os quais devem sempre estar submetidos 
à tensão menor que a tensão de escoamento. É importante ressaltar que 
esses valores-teto (valores máximos) de dimensionamento são obtidos por 
ensaios experimentais, e materiais diferentes também têm comportamentos 
diferentes, como, por exemplo, o concreto, que não apresenta região de 
escoamento, e outros materiais considerados frágeis.
No dimensionamento estrutural e na resistência dos materiais, esses va-
lores-teto de tensão são denominados tensões ruptura para projeto. Segundo 
Hibbeler (2019), para garantir a segurança, é preciso que o responsável pelo 
dimensionamento escolha uma tensão para o cálculo menor do que a que o 
elemento pode suportar totalmente. Essa tensão menor é denominada tensão 
admissível, que é motivada por diversas razões, como as descritas a seguir.
 � A carga aplicada deve ser diferente da que foi projetada.
 � As possíveis imprecisões nas dimensões dos elementos ocorrem por 
erros de projeto ou construtivos.
 � A ocorrência de vibrações, impactos ou cargas acidentais não é utilizada 
no dimensionamento ou verificação da estrutura.
 � Os processos de deterioração nas seçõesdos elementos estruturais 
acarretam na perda de área resistente e, consequentemente, no au-
mento de tensão: corrosão atmosférica ou exposição a intempéries.
O valor da carga admissível é obtido por meio da adoção de um número 
responsável por reduzir o valor da carga ou tensão ruptura verificada para o 
material no ensaio mecânico (compressão ou tração), o qual é denominado 
fator de segurança (FS) ou coeficiente de segurança (CS). No dimensionamento, 
confia-se que o FS incorpora todas as inseguranças citadas anteriormente, 
sendo o seu valor numérico maior que 1. Assim, para o dimensionamento, 
sempre serão utilizadas as cargas admissíveis, conforme as Equações 10 e 11.
σadm =
σrup
FS (Equação 10)
Introdução à resistência dos materiais10
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τadm =
τrup
FS
(Equação 11)
Os valores adotados para o FS podem variar, relacionando diretamente 
com o grau de segurança exigido para o material e as incertezas de seu uso. 
Hibbeler (2019) cita exemplos ao explicar que esses valores são próximos 
de 1 para componentes de avião ou até veículos espaciais, e para projetos 
de componentes de uma usina nuclear, esse valor pode chegar a 3, devido à 
grande incerteza no carregamento e à variabilidade no comportamento do 
material adotado. É importante ressaltar que, atualmente, os valores para 
o FS e para tensões admissíveis estão bem padronizados, pois as incertezas
envolvidas em diversos projetos já foram razoavelmente testadas. 
Os valores dos FS para cada material são encontrados em normas de 
projeto ou dimensionamento, como, por exemplo, a NBR 6118:2014, a NBR 
8800:2008 e a NBR 7190:1997. Alguns valores de referência de tensão admissível 
para materiais de construção civil estão apresentados no Quadro 1.
Quadro 1. Valores de referência para tensões admissíveis de diferentes 
materiais de construção
Material p. Espec.
(kg/m³)
Tração 
(kg/cm²)
Compressão 
(kg/cm²)
Cisalhamento 
(kg/cm²)
Ferro
Laminado 7.650 1250 1.100 1.000
Fundido 7.200 300 800 240
Madeira*
Dura 1.050 110 80 65
Semidura 800 80 70 55
Branda 650 60 50 35
Alvenaria
Pedra 2.200 — 17 —
Tijolo comum 1.600 — 7 —
Tijolo furado 1.200 — 6 —
Tijolo prensado 1.800 — 11 —
(Continua)
Introdução à resistência dos materiais 11
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Material p. Espec.
(kg/m³)
Tração 
(kg/cm²)
Compressão 
(kg/cm²)
Cisalhamento 
(kg/cm²)
Concreto
Simples 1:3:6 1.100 — 18 —
Armado 1:2:4 2.400 — 45 —
Ciclópico 1:3:6 2.200 — 18 —
* Compressão paralela e cisalhamento perpendicular às fibras.
Fonte: Adaptado de Baêta e Sartor (1999).
Com as tensões admissíveis, o projetista faz o cálculo das áreas necessárias 
para o seu elemento conforme o equacionamento proposto para as tensões, 
que se relacionam com a carga imposta e a área. Dessa forma, são aplicadas 
as Equações 12 e 13 para o cálculo da área necessária para situações de tensão 
normal e cisalhante, respectivamente.
A =
N
σadm
(Equação 12)
A =
V
τadm
(Equação 13)
Lembrando que N representa a força normal, ou seja, aquela perpendicular 
à seção transversal de interesse, e V representa a força cisalhante que atua 
perpendicularmente à seção transversal de interesse. Essa seção de interesse 
é aquela em que foi feito o “corte” citado na seção anterior.
A identificação da tensão de ruptura a ser adotada em um projeto 
depende do comportamento do material no ensaio de tração e 
compressão.
Materiais dúcteis são os que apresentam deformação significativa antes da 
rutura ou colapso, nos quais deve-se limitar a tensão de ruptura àquela que an-
tecede o escoamento, ou seja, trecho em que, com pequena diferença na tensão, 
a deformação é significativamente aumentada e não segue uma “linearidade”. 
(Continuação)
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Já nos materiais frágeis ocorre menor deformação proporcional antes do 
colapso da estrutura, não apresentando, na maioria das vezes, deformações 
plásticas ou escoamento. Como esses materiais têm pouca deformação antes 
da ruptura, eles são menos adotados em projetos estruturais e, caso o seu uso 
seja indispensável, o dimensionamento é feito com a tensão de ruptura como 
referência.
Uso de diferentes tipos de materiais 
nas estruturas
Nas estruturas, são utilizados diferentes tipos de materiais, ou até mesmos 
diferentes combinações do mesmo material. O ideal é encontrar um material 
que tenha comportamento satisfatório para o tipo de solicitação aplicada e 
que tenha o seu custo reduzido. Um exemplo simples disso é a escolha entre 
ferro fundido e laminado para uma haste circular solicitada à tração. Como 
visto no Quadro 1, na seção anterior, o ferro fundido apresenta resistência 
(tensão) admissível de tração de 300 kg/cm², enquanto o ferro laminado 
apresenta resistência de 1250 kg/cm².
Caso a solicitação seja de 100 kg normal à seção transversal da haste, 
o cálculo da área necessária de aço para ferro laminado e ferro fundido é
realizado conforme a Figura 4.
Figura 4. Dimensionamento da área necessário para dois tipos de ferro diferentes sujeitos 
à mesma solicitação.
Ferro fundido Ferro laminado
Área (A)?
A
kg
kg kg
kg
A
AA
A cm
cm cm
cmA
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100 kg
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A partir da Figura 4, percebe-se que a bitola (área circular) necessária para 
a haste de ferro fundido é muito maior do que a necessária para a de ferro 
laminado. Assim, caso a dimensão dessa haste seja um fator preponderante 
no projeto, deve ser adotado o ferro laminado. É importante ressaltar que, 
no ambiente de projeto de estruturas, não é apenas a dimensão que permeia 
a escolha do material, devendo também ser analisado o custo do material, 
estabelecendo a relação de custo-benefício nessa etapa.
A comparação entre materiais também ocorre no ambiente de projeto 
de elementos estruturais. Imagine que, no projeto de uma área de lazer, 
o projetista de estruturas precisa escolher entre realizar o projeto dos pi-
lares em madeira ou concreto estrutural. Como visto no Quadro 1, na seção 
anterior, a tensão admissível para a madeira dura sujeita a compressão é de 
80 kg/cm², enquanto para o concreto estrutural é de 45 kg/cm². Considere 
que esse pilar esteja sujeito a uma compressão de 500 kg. O cálculo da área 
necessária para cada material é apresentado na Figura 5.
Figura 5. Dimensionamento da área necessário para madeira dura ou concreto armado para 
um pilar.
Madeira dura
2.500 kg
Concreto estrutural
Área (A)?
A
kg
kg kg
kg
A
AA
A cm
cm cm
cmA
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A partir da Figura 5, é possível concluir que, caso o projetista queira um 
pilar com uma área de seção transversal menor, deve ser adotado o concreto 
estrutural como material, uma vez que este necessita de uma área bem 
menor para resistir à mesma carga. Essa verificação faz parte da rotina de 
projetistas de diversas áreas da engenharia, tanto na busca pela identificação 
da área simples de elemento (fazendo a relação simples entre tensão admis-
Introdução à resistência dos materiais14
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sível, carga e área necessária) como na comparação de materiais diferentes, 
em busca de um material que melhor atenda ao problema ou de alternativas 
mais econômicas para o projeto.
Referências
BAÊTA, F. C.; SARTOR, V. Resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas 
para construções rurais. Viçosa, MG: Universidade Federal de Viçosa, 1999. Apostila 
da Disciplina ENG 350. Disponívelem: http://arquivo.ufv.br/dea/ambiagro/arquivos/
resistencia.pdf. Acesso em: 20 maio 2021.
BEER, F.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 
2015.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2019. 
PINHEIRO, A.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência dos materiais. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016
Leitura recomendada
BOTELHO, M. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 4. ed. Rio de Janeiro: 
McGrawhill, 2015.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Introdução à resistência dos materiais 15
bib virt
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Dica do professor
Vamos assistir no vídeo a seguir a importância do estudo da mecânica dos sólidos e quais são as 
etapas de projeto ou verificação de uma estrutura. Confira!
_1.1_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/
cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/0e8613590a3416a72ec97b808a17db76
5 min
[VIDEO TRANSCRIPT] 1.1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Vamos ver qual a importância do estudo da Mecânica dos sólidos e também, de 
um modo geral, quais são as etapas do projeto ou da verificação de uma 
estrutura.
Primeiro tópico. Por que devemos estudar mecânica dos sólidos? - Uma das 
possíveis respostas: para evitar possíveis tragédias estruturais, por 
exemplo, o colapso da ponte de Tacoma que se localizava no estado de 
Washington, nos Estados Unidos. Essa ponte entrou em colapso apenas seis 
meses após a sua inauguração em 1940; a ruptura foi causada por grandes 
oscilações geradas pela incidência do vento na estrutura.
A mecânica do sólidos fornece ferramentas iniciais necessárias para pôr em 
prática projetos um pouco mais complexos, como o exemplo da ponte de Tacoma, 
que estava submetida a cargas de vento de até 65 km/h.
Exemplo: Viaduto de Millau, na 
França. Devemos considerar cargas 
devido ao peso próprio, carga 
móvel (carga devido ao peso dos 
veículos), as cargas de aceleração 
e frenagem dos veículos e a ação 
do vento ao longo da estrutura.
Segundo passo: calcular as reações de apoio.
Terceiro passo: a partir dessas reações de 
apoio, determinar a solicitações internas ao 
longo de cada elemento componente da estrutura. 
Verificar se o elemento está sofrendo um 
esforço normal de tração / compressão; esforço 
de cisalhamento; ou está sofrendo uma flexão ou 
uma torção.
Segundo tópico. Quais são as etapas gerais do 
projeto ou da verificação de uma estrutura?
Primeiro passo: determinar quais são as cargas 
que estão agindo na estrutura.
Exemplo do viaduto de Millau. o 
peso próprio do tabuleiro 
superior vai provocar um esforço 
de flexão ao longo do comprimento 
do tabuleiro; então essa carga 
será elevada pelos estais até as 
torres e depois será distribuída 
ao longo dos pilares e difundida 
lá nas fundações. Os cabos 
estaiados estarão sofrendo tração 
e as torres e os pilares vão 
sofrer um esforço de compressão.
Quarto passo. A partir da solicitações 
internas, com a resistência dos materiais, 
calcular as tensões e deformações que ocorrem 
ao longo da estrutura.
Quinto passo: verificar se essas tensões e 
deformações estão dentro do limite desejado, 
ou seja, se a estrutura está em boas condições 
de segurança ou não.
Exercícios
1) De forma geral, qual deve ser a sequência de cálculo para definir a tensão em um
determinado ponto da estrutura?
A) Determinar cargas externas, calcular reações externas, calcular solicitações internas.
B) Calcular reações externas, determinar cargas externas, calcular solicitações internas.
C) Calcular solicitações internas, determinar cargas externas, calcular reações externas.
D) Determinar cargas externas, calcular solicitações internas, calcular reações externas.
E) Calcular solicitações internas, calcular reações externas, determinar cargas externas.
_1.1_
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2) Conforme a Lei de Hooke, quanto maior o módulo de elasticidade do material, menor será:
A) A torção.
B) O cisalhamento.
C) A flexão.
D) A tensão.
E) A deformação.
Exercícios 2: Anular.
- Nenhuma opção correta.
Nenhuma opção se verifica com base no enunciado.
Uma reposta possível seria "... maior a razão entre a 
tensão e a deformação".
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3) No estudo do projeto de um equipamento mecânico são avaliados três materiais diferentes:
o aço, o alumínio e a madeira. Sabendo que o aço apresenta um módulo de elasticidade igual
a 21.000 kN/cm2, o alumínio um módulo de elasticidade igual a 7.000 kN/cm2 e a madeira 
um módulo de elasticidade igual a 1.400 kN/cm2, indique em qual material será observada 
uma maior deformação, considerando a mesma estrutura e a tensão atuando no 
equipamento. 
A) A deformação será menor se a estrutura for de alumínio.
B) A deformação será menor se a estrutura for de aço.
C) A deformação será menor se a estrutura for de madeira.
D) A deformação será igual para qualquer material.
E) A deformação será menor se a estrutura for de alumínio ou de madeira.
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4) Quando o engenheiro projetista estiver dimensionando uma determinada estrutura,
necessitará encontrar o ponto de maior solicitação e calcular a tensão neste ponto. Caso
esta tensão seja menor que a tensão limite do material, pode-se dizer que:
A) A peça está entrando em ruptura.
B) A peça não está em segurança.
C) A peça está em segurança.
D) A peça está tracionada.
E) A peça está flexionada.
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5) Ao fazer o dimensionamento do cabo de uma estrutura atirantada, verificou-se que a tensão
máxima que passa nos cabos é de 625 kgf/cm2. Sabendo que a tensão limite do material
vale 1.500 kgf/cm2, assinale a alternativa correta:
A) Os cabos encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente de
segurança igual a 4,2.
B) Os cabos encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente de
segurança igual a 0,42.
C) Os cabos encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente de
segurança igual a 2,4.
D) Os cabos não encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente
de segurança igual a 2,4.
E) Os cabos não encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente
de segurança igual a 0,42.
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Na prática
Nas últimas décadas soluções em materiais plásticos vem substituindo peças feitas 
tradicionalmente de metais, devido a grande e constante evolução dos polímeros de engenharia de 
alto desempenho. O uso de plásticos pode oferecer vantagens, desde que as diferenças inerentes 
entre estes materiais sejam levadas em consideração desde o começo do projeto. Em busca do 
objetivo da substituição, uma revisão completa do projeto é necessário para que a produção seja 
adequada e vantajosa para a indústria.
Veja Na Pratica um comparativo entre plásticos e metais.
_1.1_
VANTAGENS DO PLÁSTICO DEVIDO ÀS SUAS PROPRIEDADES, NA MAIORIA DAS VEZES, 
SINGULARES.
> Baixo peso específico (peças mais leves);
> Possibilidade de consolidação de peças (ganhos produtivos na fase de 
montagem;
> Melhor acabamento, a peça pode sair pronta de molde (eliminando a 
necesidade de operações secundárias);
> Maior liberdade de projeto (designs impossíveis em metal, por exemplo);
> Redução do custo final (fator muitas vezes determinante para a conversão);
> Produção direta em cores (eliminando a necessidade de operações 
secundárias);
>Isolantes térmicos e elétricos.
VANTAGENS DO METAL QUE APARENTEMENTE OS PLÁSTICOS NÃO CONSEGUEM SUPERAR:
> Condutores elétricos excelentes;
> Condutores de calor;
> Quando a dissipação de calor é necessária, praticamente não há outra opção.
Já existem polímeros reforçados, como a poliarilamida (PAA, como Ixef, da 
Solvay Advanced Polymers, Bélgica), com algumas de suas propriedades 
semelhantes às de metais, como resistência à tração e acabamento superficial.
RESISTÊNCIA
A resistência à 
tração dos polímeros 
é comparável à do 
alumínio e, embora o 
módulo de 
elasticidade (E) 
seja menor, a 
resistência 
específica 
(resistência à 
tração dividida pela 
densidade) é maior. 
Os polímeros dilatam 
menos.
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RESISTÊNCIA AO 
IMPACTO
COEFICIENTE DE 
DILATAÇÃO E EXPANSÃO 
TÉRMICA
DENSIDADE
CONCLUSÃO
A substituição do metal por plástico não apenas é possível, pode ser 
extremamente viável e trazer vantagens competitivas para quem adota a 
mudança. Entretanto, tudo deve ser feito meticulosamente para que essas 
substituições sejam bem-sucedidas. Entre elas estão a correta seleçao do 
polímero mais adequado e as mudanças necessárias no desenho das peças para que 
elalas tragam todos os benefícios que os plásticos podem oferecer.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Mecânica dos materiais
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Resistência dos Materiais Aplicada
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
_1.1_
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
Banco de imagens Shutterstock.
SAGAH, 2015.
BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON JR., E. RUSSEL; DEWOLF, JOHN T.; MAZUREK, DAVID F. Estática e 
mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
LEET, Kenneth M.; UANG, Chia-Ming; GILBERT, Anne M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2010.
EQUIPE SAGAH
Coordenador(a) de Curso
Alexandre Baroni
Professor(a)
Paula Manica Lazzari
Gerente
Rodrigo Severo
Analista de Projetos
Fernanda Osório
Analistas Metodológicas
Daniela Stieh
Fernanda Zimpel
Designers Instrucionais
Ariane Longaray
Bianca Basile Parracho
Daniela Polycarpy
Ezequiel Alves
Franciane de Freitas
Luciana Helmann
Marcelo Steffen
Designers Gráficos
Carol Becker
Kaka Silocchi
Juarez Menegassi
Marcio Castellan
Rafael Zago
Thais Gliosci
Vinicius Rafael Cárcamo
bib virt
elm = extra sobre ELEMENTO DE DUAS FORÇAS - excerto livro encontrado bib virt
link bib virtual
Cuidado: Livro Sagah, capa laranja 
(a própria capa já com defeito - 
vazia, sem título...).link bib virtual
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Tensão: forças
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá alguns conceitos iniciais da resistência dos materiais, 
que é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo 
deformável e a intensidade das cargas internas que agem no interior do corpo. 
Neste propósito, você vai revisar, nesta Unidade, os princípios importantes da estática e a sua 
aplicação na determinação das cargas resultantes internas nos elementos de uma estrutura simples. 
Também estudará o conceito de tensão e como esta tensão pode ser determinada a partir da força 
nesse elemento. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Determinar as forças atuantes em estruturas de barras.•
Construir o traçado dos diagramas de corpo livre de estruturas simples.•
Definir o conceito de tensão em elementos de uma estrutura.•
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - C (2023.OUT)
1.1 - Introdução à Resistência dos Materiais
1.2 - Tensão: forças
2.1 - Tensão, deformação e módulos de elasticidade
2.2 - Tensão de cisalhamento e esmagamento
3.1 - Torção: tensão de cisalhamento
3.2 - Torção I
4.1 - Flexão I
4.2 - Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões
Aula 1.2
_1.2_
elm = Avaliação da aula. Ruim. Assinalada opções - Erros no conteúdo; - Precisei pesquisar 
mais; - Conteúdo Livro difícil (qdo assinala <regular, só há opções para assinalar)
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Desafio
Você é Engenheiro em uma indústria de refrigeração e precisa fazer um suporte semelhante ao da 
figura a seguir, para içamento de materiais diversos. O suporte é composto pelas barras AB, BC e 
BD, conectadas por um pino em B, sendo todo este conjunto submetido a um carregamento P no 
ponto A. Todas as barras da estrutura possuirão seção transversal uniforme, com área de 800 mm2. 
Com base nestes dados conhecidos, antes mesmo de definir o material da construção, calcule qual 
seria a máxima carga P que você conseguiria aplicar no ponto A da estrutura apresentada, sabendo 
que a tensão normal na barra BD não pode ultrapassar 50 MPa.
_1.2_
elm = Pmax = 4*10^4 N (trecho vertical 
de AB). Cisalhamento e Flexão 
desconsiderados.
elm = 
Resolução 
correta, 
mas 
resposta 
não. Note 
que o 
limite 50 
MPa é só 
para BD!
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Infográfico
Para determinar as forças que agem em cabos e barras devemos desenhar um diagrama de corpo 
livre e aplicar as equações de equilíbrio. Tal diagrama é um desenho que representa todas as forças 
externas que agem sobre um ponto material, e auxilia muito a montagem das equações de 
equilíbrio usadas para determinação das incógnitas de um problema - geralmente forças e ângulos. 
Ao isolarmos um ponto para representamos as forças que agem sobre ele (ativas e reativas) é de 
extrema importância identificar se lidamos com forças trativas ou compressivas, para seu preciso 
dimensionamento.
Veja no Infográfico como sinalizar corretamente estas forças.
_1.2_
elm = infográfico aborda convenção de sinais para esforços solicitantes. Por 
abordar o assunto de forma melhor, mais completa, substituí, com adaptação, 
por excerto de:
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/7571151/mod_resource/content/1/
Apostila%20de%20Teoria%20-%20Cap%C3%ADtulo%205.pdf
5.2 Diagramas de esforços solicitantes de estruturas planas 
5.2.1 Convenção de sinais 
Considerem-se as duas vigas da Figura 5.6. 
Nas seções correspondentes destas duas vigas têm-se esforços solicitantes que, apesar de possuírem 
exatamente as mesmas intensidades, têm ações físicas bem distintas: na viga (a) as forças cortantes giram 
o trecho de viga em que se aplicam no sentido horário, enquanto que na viga (b) giram o trecho de viga
em que se aplicam no sentido anti-horário; na viga (a) os momentos fletores tracionam as fibras 
superiores da barra, ao passo que na viga (b) tracionam as fibras inferiores. 
(a) (b) 
Figura 5.6 
Os diagramas de esforços solicitantes destas duas vigas devem ser diferentes, pois devem retratar as 
diferentes ações físicas que se tem nos dois casos. 
Esta identificação da ação física dos esforços solicitantes é feita mediante a atribuição de sinais a eles, 
conforme se apresenta na Tabela 5.1. 
Os sinais dos esforços solicitantes permitem a imediata identificação de sua ação física. 
Assim, se se disser que em uma seção transversal de uma barra se tem os esforços solicitantes 
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106 Introdução à Mecânica das Estruturas 
Capítulo 5 - Diagramas de Esforços Solicitantes 
Convenção de sinais dos esforços solicitantes 
Esforço solicitante Sinal positivo (+) Sinal negativo (-) 
Força normal Tração Compressão 
Força cortante 
Gira o trecho de barra em que 
atua no sentido horário 
Gira o trecho de barra em que 
atua no sentido anti-horário 
Momento fletor Traciona as fibras inferiores da 
barraTraciona as fibras superiores da 
barra 
Momento de torção2 
O vetor momento tem o sentido 
da normal externa à seção 
transversal em que atua 
O vetor momento tem sentido 
contrário ao da normal externa à 
seção tranversal em que atua 
Tabela 5.1 
N  100 kN
 V  200 kN (5.2) 
M  150 kNm
está-se dizendo que se tem nesta seção uma força normal de tração de 100 kN, uma força cortante de 200 
kN girando o trecho da barra em que se aplica no sentido horário e um momento fletor de 150 kNm 
tracionando as fibras superiores da barra. 
2 Apesar de nos sistemas planos não haver torção, está-se aproveitando a oportunidade para já apresentar 
a convenção de sinais destes esforços. 
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107 Introdução à Mecânica das Estruturas 
Capítulo 5 - Diagramas de Esforços Solicitantes 
(b) 
Figura 5.7 
Se cortar a barra nesta seção transversal se terá dos dois lados do corte os esforços solicitantes mostrados 
na Figura 5.7: em (a) os esforços solicitantes à esquerda do corte, em (b), à direita do corte. 
Para reforçar melhor a convenção de sinais da Tabela 5.1, apresentam-se na Figura 5.8 os dois trechos de 
uma estrutura espacial cortada segundo uma seção transversal em que todos os esforços solicitantes são 
positivos. Na Figura 5.9 faz-se o mesmo relativamente a uma barra cortada em uma seção transversal em 
que todos os esforços solicitantes são negativos. 
(a) (b) 
Figura 5.8 
(a) (b) 
Figura 5.9 
Os sinais dos esforços solicitantes devem ser considerados ao se traçar seus diagramas. 
Forças normais, forças cortantes e momentos de torção positivos são indicados acima do eixo que 
representa a viga; os negativos, abaixo do eixo. 
Além disso, nos diagramas destes esforços indica-se explicitamente seu sinal. 
(a) 
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108 Introdução à Mecânica das Estruturas 
Capítulo 5 - Diagramas de Esforços Solicitantes 
No caso dos momentos fletores, o critério para representá-los é outro: os diagramas são sempre 
desenhados no lado tracionado da barra. 
Como os momentos fletores são positivos quando tracionam as fibras inferiores da barra e negativos 
quando tracionam as fibras superiores, os momentos fletores positivos são desenhados abaixo do eixo que 
representa a viga e os negativos, acima do eixo. Nos diagramas de momentos fletores não se indica o seu 
sinal. 
Na Figura 5.10 os diagramas de esforços solicitantes da viga da Figura 5.6(a) estão traçados de acordo 
com estas regras, estando indicados explicitamente nesta figura os sistemas de eixos utilizados em seu 
traçado. 
Figura 5.10 
Na prática, omitem-se os eixos de referência, ficando os diagramas com o aspecto final mostrado na 
Figura 5.11. 
No caso da viga da Figura 5.6(b), os diagramas de esforços solicitantes são os da Figura 5.12. 
Os diagramas das Figuras 5.11 e 5.12 informam claramente quais são as intensidades dos esforços 
solicitantes e quais são suas ações físicas. 
Como já se mencionou, em seções correspondentes destas duas vigas em balanço tem-se esforços 
solicitantes de mesma intensidade, mas com ações físicas distintas, o que leva a diagramas distintos para 
estas duas vigas. 
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109 Introdução à Mecânica das Estruturas 
Capítulo 5 - Diagramas de Esforços Solicitantes 
Figura 5.11 Figura 5.12 
Observa-se também que a forma utilizada para representar os momentos fletores é muito eficiente: basta 
olhar o diagrama de momentos fletores para saber qual é o lado tracionado e qual é o lado comprimido da 
viga. 
5.2.2 Exemplos 
Serão agora apresentados vários exemplos de traçado dos diagramas de esforços solicitantes de estruturas 
planas, cada vez mais complexas. 
Exemplo 5.1 
Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço da Figura 5.13(a). 
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Conteúdo do livro
As tensões ocorrem em todas as estruturas sob a ação de forças, sendo que estas forças podem 
ocorrer pelo contato direto entre os corpos, por meio de suas superfícies, ou quando um corpo 
exerce uma força sobre outro corpo, sem que haja contato direto entre estes corpos. Destas forças 
surgem as reações nos elementos.
Estes elementos pode estar sujeitos a força normal, força de cisalhamento, momento de torção e 
momento fletor. Para a perfeita compreensão da atuação destas forças, faz-se necessário o 
desenvolvimento do diagrama de corpo livre, que corresponde a um esquema, onde são 
apresentadas todas as forças externas que agem sobre o corpo, sejam ela, ativas ou reativas.
No capítulo Tensão: forças, da obra Resistência dos Materiais I, você irá identificar as forças atuantes 
em estruturas de barras, irá compreender como traçar um diagrama de corpo livre e irá identificar o 
conceito de tensão em elementos de uma estrutura.
Boa leitura.
_1.2_
elm = livro não encontrado na bib virtual. 
Abhilfe pdf
LivrPt_Civ_Resistencia_Materiais_Hibbeler_
LivrPt_Civ_Mecanica_Materiais_Beer_etal_
LivrPt_Civ_Mecanica_p_Engenharia_Estatica_Pl
esha_2014_Parts_elm
(este disp na bib virtual !!)
elm = Conteúdo fraco com erros, não 
consultar, perda de tempo!
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OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Determinar as forças atuantes em estruturas de barras.
 > Construir o traçado dos diagramas de corpo livre de estruturas simples.
 > Definir o conceito de tensão em elementos de uma estrutura.
Introdução
Um corpo sofre ação de diversos tipos de forças, superfícies ou outros corpos. 
Essas forças geram reações que podem, principalmente, comprimir ou tracionar 
os elementos. As cargas resultantes podem ser do tipo força normal, força de 
cisalhamento, momento de torçor e momento fletor. A compreensão de cada 
uma dessas forças pode ser facilitada com um diagrama de corpo livre, em que 
as cargas atuantes e resultantes são indicadas.
Neste capítulo, você vai estudar as diferentes forças atuantes em estruturas 
de barras e a tensão em elementos de uma estrutura, além de como desenvolver 
um diagrama de corpo livre.
Forças atuantes em estruturas de barras
De acordo com Hibbeler (2010), um corpo está sujeito a diversas cargas exter-
nas, que podem ser classificadas como força de superfície ou força de corpo. 
As forças de superfície ocorrem mediante o contato direto de um corpo com 
outro por meio de suas superfícies. Se a área de contato entre as superfícies 
for pequena, essa força pode ser classificada como uma força concentrada 
única, que tem a sua aplicação em um determinado ponto do corpo. Porém, 
se a carga for aplicada ao longo da superfície atuando em uma faixa, será 
Tensão: forças
Jaqueline Ramos Grabasck
elm = Conteúdo fraco com 
erros, não consultar, 
perda de tempo!
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classificada como uma carga distribuída linear. A carga aplicada ao longo de 
uma viga é um exemplo típico desse tipo de idealização. 
Já a força de corpo pode ser descrita como a força que um corpo exerce 
sobre outro corpo, não havendo contato direto entre eles. Porém, há inter-
ferência em todas as partículas que constituem o corpo, e a força age de 
forma concentrada. 
Para as forças de superfície que atuam nos pontos de contato ou nos 
apoios entre os corpos, dá-se o nome de reações. Quando os corpos estão 
sob forças coplanares, ou seja, em situações bidimensionais, há alguns apoios 
mais comuns, conforme a Figura 1.
Figura 1. Tipos de acoplamentos e reações ocorridas.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 3).
Em três dimensões, há quatro tipos de cargas resultantes que podem ser 
observadas: força normal (N),força de cisalhamento (V), momento de torção 
ou torque (T) e momento fletor (M). De acordo com Hibbeler (2010), a força 
normal ocorre de forma perpendicular à área, desenvolvendo-se quando 
as cargas externas atuam empurrando ou puxando as partes do corpo. Já a 
força de cisalhamento se dá mediante o deslizamento de uma parte do corpo 
sobre o outro, advindo das forças externas que ocorrem no plano da área. 
O momento de torção ocorre por meio da torção de parte do corpo sobre o 
outro em virtude dos efeitos acarretados pelas cargas externas. No momento 
fletor, as cargas externas “[…] tendem a fletir o corpo em torno de um eixo que 
Tensão: forças2
elm = Ver Aula 1.1 Infográfico 
(copiei lá tabela mais completa).
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se encontra no plano da área” (HIBBELER, 2010, p. 4). A Figura 2 apresenta as 
quatro cargas resultantes que podem ocorrer na área seccionada de um corpo.
Figura 2. Cargas resultantes em área seccionada de um corpo.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 4).
De acordo com Martha (2010), os esforços normais, também denominados 
axiais, correspondem à força resultante no eixo x, ou seja, na direção axial, 
“[…] de todas as forças de um lado da seção de corte” (MARTHA, 2010, p. 54). 
Quando a força axial ocorre para fora da parte isolada da estrutura, temos 
esforços normais de tração. Nesse caso, o positivo é adotado para a convenção 
de sinais. Já a força axial que ocorre para dentro da parte isolada representa os 
esforços normais de compressão, que são representados pelo sinal negativo. 
A Figura 3 representa os esforços normais de tração.
Figura 3. Convenção para esforços normais positivos.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
xNNNN
y
Já para o esforço cortante será observado na direção do eixo y, no sentido 
positivo, abrangendo as forças que se encontram à esquerda da seção trans-
versal, e a sua resultante ocorrerá no sentido para cima. Martha (2010) salienta 
que, ao considerar as forças que estão à direita da seção transversal, será 
Tensão: forças 3
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observado o esforço cortante positivo que resulta no sentido contrário do eixo y. 
A Figura 4 apresenta a convenção utilizada para os esforços cortantes positivos.
Figura 4. Convenção para esforços cortantes positivos.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
y
Q Q Q Q
x
No caso de momentos fletores, o esforço interno positivo deve apresentar 
as forças e os momentos da seção transversal à esquerda, gerando um mo-
mento no sentido horário. No caso de forças que ocorrem a direita da seção 
transversal, haverá momento fletor positivo, ocorrendo no sentido anti-horário 
(MARTHA, 2010). A Figura 5 representa a convenção para momentos fletores 
positivos e suas resultantes de tensão normais para tração e compressão 
na seção transversal.
Figura 5. Convenção para momentos fletores positivos e suas resultantes de tensão normais 
de tração e compressão.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
M M
M
y
M M M
x
Tensão: forças4
elm = ver tb infográfico, 
copiei material sobre isso!
elm = ver tb infográfico, 
copiei material sobre isso!
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Para identificar o sinal que o momento fletor deve apresentar: um mo-
mento fletor positivo será observado quando ocorrer uma flexão da barra, 
estando ela com a concavidade elástica direcionada para cima, enquanto que 
o momento fletor negativo irá ocorrer quando a concavidade encontrar-se
voltada para baixo.
Segundo Melconian (2018), a força axial, ou força normal F, representa a 
carga atuante no eixo longitudinal, sendo perpendicular à seção transversal, 
conforme apresentado na Figura 6.
Figura 6. Representação da força normal atuando em uma barra.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
Eixo
longitudinal
Secção
transversal
F
Melconian (2018) indica que esta força axial pode atuar como tração ou 
compressão. A tração dá-se pela atuação da força axial no sentido do exterior 
da peça, conforme indicado na Figura 7.
Tensão: forças 5
F
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Figura 7. Força de tração.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
F
A compressão, por sua vez, ocorre quando a atuação da força é no sentido 
do interior da peça, conforme apresentado na Figura 8.
Figura 8. Força de compressão.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
F
Ao aplicar uma força de tração axial na seção transversal de uma barra 
de qualquer material, haverá o seu alongamento no sentido em que a força 
foi aplicada. De acordo com Smith e Hashemi (2012, p. 159), o deslocamento 
decorrente da aplicação dessa força é denominado deformação de enge-
nharia: “Por definição, a deformação de engenharia, que é provocada pela 
Tensão: forças6
F
F
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ação da força de tração uniaxial aplicada à amostra metálica, é dada pelo 
quociente entre a variação do comprimento da amostra segundo a direção de 
aplicação da força e o comprimento inicial da amostra”. A Figura 9 representa 
a deformação da barra cilíndrica por meio da tração uniaxial.
Figura 9. Barra cilíndrica (a) sem a aplicação de força e (b) com aplicação de força uniaxial F.
Fonte: Smith e Hashemi (2012, p. 159). 
A Equação 1 é usada para definir alongamento:
Equação 1
=
− 0
0
=
∆
0
De forma que:
 � l0 é o comprimento inicial da amostra;
 � l é o comprimento final da amostra após a aplicação da força de tração 
uniaxial.
Tensão: forças 7
deformação de engenharia
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Conforme Smith e Hashemi (2012), é comum utilizar o valor 5,1 cm como 
comprimento de deformação de referência em ensaios de tração para de-
terminar a deformação de engenharia, sendo marcada em uma amostra de 
20,3 cm de comprimento, conforme apresentado na Figura 10. Normalmente, 
utiliza-se como unidade de medida o metro por metro (m/m) ou a polegada/
polegada (in/in). Porém, no meio industrial podem ser utilizadas unidades 
adimensionais, como deformação percentual ou alongamento percentual, 
ou seja:
alongamento × 100% alongamento
Uma amostra de alumínio comercialmente puro com 1,27 mm de 
largura, 0,10 cm de espessura e 20,3 mm de comprimento, com duas 
marcas na parte central à distância de 5,1 mm, é deformada, de modo que a 
distância entre as marcas passe a ser 6,65 mm (Figura 10). Calcule a deformação 
nominal e o alongamento percentual sofrido pela amostra.
Figura 10. Corpo de prova plano de tração, antes e após deformação.
Fonte: Smith e Hashemi (2012, p. 160).
Solução
=
− 0
0
=
6,7 mm − 5,1 mm
5,1 mm
=
1,6
5,1
= 0,314
alongamento percentual = 0,314 × 100% = 31,4%
Tensão: forças8
* Alongamento = l - l0 (unidade: metro)
* Deformação de engenharia = ε ver eq. 1 (adimensional, mas é
usual e faz sentido usar m/m ou mm/mm ou in/in)
* Alongamento percentual = Deformação percentual = ε * 100%
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Diagramas de corpo livre de estruturas 
simples
De acordo com Nelson et al. (2013), o diagrama de corpo livre corresponde 
a um esquema apresentando todas as forças externas que atuam no corpo, 
sejam elas forças ativas, como as aplicadas e as gravitacionais, sejam elas 
forças reativas, advindas do solo, paredes, pinos, rolos e cabos. Quando 
conhecemos o ângulo da reação, devemos assumir em que sentido está 
ocorrendo a reação. Quando há um sinal positivo no resultado, assumimos 
que o sentido determinado anteriormente estava correto. Porém, caso seja 
encontrado um sinal negativo, o sentido não é o que foi determinado ante-
riormente, mas sim o seu oposto.
O diagrama de corpo livre corresponde a um desenho para apresentar as 
barras, separando-as de seus suportes, com o intuito de apresentar as reações 
que esses suportes exercem sobre as estruturas. Desenvolve-se um croqui das 
estruturas apresentandoapenas os detalhes estritamente necessários (BEER 
et al., 2021). Partindo da imagem de um guindaste, conforme apresentado na 
Figura 11, podem ser desenvolvidos seus diagramas de corpo livre.
Figura 11. Guindastes utilizados para carregar e descarregar navios.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 2).
Tensão: forças 9
elm = mas DCL do guindaste não é abordado adiante (descuido do autor).
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O croqui do guindaste encontra-se detalhado na Figura 12, onde pode-se 
observar apenas as informações necessárias para o desenvolvimento dos 
cálculos.
Figura 12. Barras utilizadas para suportar 30 kN.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Ao desenvolver o diagrama de corpo livre, as barras do guindaste são 
representadas conforme a Figura 13, desenvolvidas com a aplicação das 
cargas e das forças de reação. Beer et al. (2021) reforçam que se pode notar 
que os trechos AB e BC são considerados barras simples.
Tensão: forças10
Uma estrutura projetada para suportar 30 kN encontra-se mostrada
elm = correção em verm consultada Beer et al 2015
da estrutura
elm = Ver adiante (acabei copiando 
este trecho...
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Figura 13. Diagrama de corpo livre 
apresentando as cargas 
aplicadas e as forças de reação. 
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Por meio das equações, são encontradas apenas duas incógnitas com 
esse diagrama. Para encontrar as demais, devemos desmembrar a estrutura 
e analisá-las separadamente. Na Figura 14, é apresentado o diagrama de 
corpo livre da barra AB.
Figura 14. Diagrama de corpo livre da barra AB separada da estrutura.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Tensão: forças 11
Quais equações ?? (autor não copiou as equações do Beer et al !!) - 
Devem ser incluídas para podermos entender !
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A reação em A se desenvolve ao longo do trecho AB, gerando a compressão 
desse seguimento de barra, e o valor de A é 40 kN. Na barra BC observamos 
tração ao longo de seu eixo, porque as componentes Cx e Cy são reações em 
C, apresentando o valor de 50 kN, que ocorrem de forma proporcional em 
B e C, tanto na vertical quanto na horizontal. O pino B recebe uma carga de 
30 kN (BEER et al., 2021).
Tensão: forças12
elm = copiado do Beer et al 2015 continuação que usa "barras simples"
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elm = cont da p12 do original...
Ao utilizar a parte esquerda A, obtemos a cortante pela soma de suas 
forças, sendo ela V = 100 N. Porém, se for utilizada a parte B da direita, 
a soma das forças que estão atuando na parte da direita será a força cortante, 
de maneira que a sua força positiva estará disposta para baixo, apresentando 
também V = 100 N.
Hibbeler (2010) apresenta as etapas para desenvolvimento do diagrama 
de corpo livre (Figura 16). Primeiramente, é essencial manter “[…] as cargas 
distribuídas externas, momentos, torques e forças que agem sobre o corpo 
em suas localizações exatas” (HIBBELER, 2010, p. 5), para, então, criar uma 
seção imaginária sobre os pontos das cargas a serem determinadas. 
Nelson et al. (2013) apresentam os diagramas de corpo livre para uma viga 
simples, submetida à força cortante V e ao momento M, conforme apresentado 
na Figura 15.
Figura 15. Diagramas de corpo livre de uma viga simples.
Fonte: Nelson et al. (2013, p. 142).
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Figura 16. Desenvolvimento de diagrama de corpo livre.
Caso se trate de um elemento de uma estrutura ou um dispositivo me-
cânico, a seção deverá ser feita de forma perpendicular ao eixo longitudinal 
do corpo. Nesse momento, devemos desenhar o diagrama de corpo livre de 
uma das partes que foi seccionada e apresentar as resultantes N, V, M e T, 
estando normalmente no centro geométrico ou no centroide da seção. Caso 
o corpo esteja submetido a forças coplanares, ocorrerão no centroide apenas
N, V e M. O último passo compreende a definição dos eixos coordenados 
(x, y e z), apresentando a sua origem no centroide e, ao longo dos eixos, são 
apresentadas as componentes resultantes.
Os momentos gerados nos eixos coordenados no diagrama de corpo livre 
devem ser somados, de forma a eliminar as forças desconhecidas (N e V), 
acarretando em uma solução direta para as forças M e T. Caso o resultado das 
equações de equilíbrio sejam negativos, o sentido direcional apresentado no 
diagrama de corpo livre deve ser desconsiderado, e sua direção oposta deve 
ser indicada (HIBBELER, 2010).
Tensão em elementos de uma estrutura
De acordo com Beer et al. (2021), as tensões são decorrentes da ação das forças 
nas estruturas. Em uma área, a força ou a intensidade das forças distribuídas 
em uma seção é denominada tensão na respectiva seção, representada pela 
letra σ. Para obter a tensão na seção transversal, devemos dividir o valor da 
carga axial P pela seção transversal de área A, conforme apresentado na 
Equação 3:
Tensão: forças 13
elm = autor mal copiou parte do procedimento 
do Método das Seções do Hibbeler - para 
entender só indo ao Hibbeler p5... Uma 
lástima.
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Equação 3
=
A Figura 17 representa uma barra submetida a uma carga axial, represen-
tada pela Figura 17a e a distribuição uniforme considerada ideal perante uma 
seção arbitrária, conforme apresentado na 17b.
Figura 17. Força distribuída uniformemente.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 5).
Uma tensão de tração é indicada mediante o uso de um sinal positivo, utili-
zado quando a barra se encontra tracionada. Já para a tensão de compressão, 
utiliza-se um sinal negativo; neste caso, a barra encontra-se comprimida. 
Quando o corte traçado na barra for perpendicular ao eixo da barra, conforme 
apresentado na Figura 17, considera-se que está submetida à tensão normal. 
Dessa maneira, σ resultará na tensão normal em um elemento sob carga 
Tensão: forças14
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axial. σ corresponde ao valor médio da tensão, não considerando essa tensão 
em um ponto específico na seção transversal. Para considerar a tensão em 
um ponto específico, deve-se considerar uma pequena área e dividi-la pela 
intensidade. Assim, será obtido o valor médio da tensão nessa pequena área, 
por meio da Equação 4:
Equação 4
= lim
∆ →0
∆
∆
Beer et al. (2021) reforçam que, em uma barra que recebe carga axial, haverá 
uma distribuição de tensões normais, sendo a sua carga uniforme, mas isso 
não ocorre na vizinhança imediata onde é aplicada a carga. Melconian (2018) 
indica que, para o sistema internacional, utiliza-se como unidade de tensão 
o Pascal (Pa), de forma que a carga de 1 N atua em uma superfície de 1 m².
Sendo a unidade pascal infinitesimal, podemos utilizar o megapascal (MPa) 
e o quilopascal (kPa), conforme apresentado a seguir:
Pa = 106 Pa kPa = 103 Pa
O MPa corresponde a 1 N na superfície de 1 m², sendo que 1 N/m² corres-
ponde a:
1 × 10–6 MPa
Conforme Hibbeler (2010), ao seccionar um corpo que se encontra sujeito 
a uma carga externa, ocorre uma distribuição de forças que irá agir na área 
seccionada, mantendo todos os segmentos do corpo em equilíbrio. “A in-
tensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão” 
(HIBBELER, 2010, p. 17). A tensão é considerada o valor limite da força por 
unidade de área, quando essa área irá tender a zero; assim, nesse ponto, 
o material será considerado contínuo e coeso. O tipo de carga que atua sobre 
o corpo e a orientação em que esse elemento se encontra no ponto serão de-
terminantes para o valor das componentes da tensão. No entanto, tratando-se 
deum material homogêneo e isotrópico, ao sujeitar uma barra prismática a 
um força axial, esta irá agir no centroide da área da seção transversal. Assim, 
o material no interior da barra estará sujeito apenas à tensão normal, que
será considerada uniforme ou média (HIBBELER, 2010).
Tensão: forças 15
não dá 
para 
entender!
copiou do Hibbeler sem contextualizar, desorganizadamente.
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Compreender a atuação das forças e reações é essencial para avaliar as 
tensões nas quais as estruturas estão sujeitas. Dessa maneira, podemos 
desenvolver estruturas mais condizentes com as necessidades da edificação, 
garantindo a segurança dos usuários. A seguir, vamos conferir alguns exemplos.
Exemplo 1
Uma barra de alumínio com 12,7 mm de diâmetro foi submetida a uma força de 
11.120 N. Calcule a tensão axial na barra, em Pa (SMITH; HASHEMI, 2012, p. 158).
Solução
Equação 5
=
força
área da seção inicial
=
0
=
11.120 N
( /4)(12,7 mm)2
= 12,700 N/mm2 
Exemplo 2
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B 
do cano mostrado na Figura 18a. A massa do cano é 2 kg/m, e ele está sujeito 
a uma força vertical de 50 N e a um momento de 70 Nm em sua extremidade A. 
O tubo está preso a uma parede em C.
Figura 18. Cargas resultantes.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 8).
Tensão: forças16
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Solução
O problema pode ser resolvido considerando o segmento AB, que não envolve 
as reações do apoio em C. Os eixos x, y, z são definidos em B, e o diagrama 
de corpo livre do segmento AB é mostrado na Figura 18b. Consideramos que 
as componentes da força resultante e do momento na seção agem nas dire-
ções positivas das coordenadas e passam pelo centroide da área da seção 
transversal em B. O peso de cada segmento do tubo é calculado conforme 
as Equações 6 e 7.
Equação 6
WBD = (2 kg/m)(0,5 m)(9,81 N/kg) = 9,81 N
Equação 7
WAD = (2 kg/m)(1,25 m)(9,81 N/kg) = 24,525 N
Essas forças agem no centro de gravidade de cada segmento.
Equações de equilíbrio
Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio, temos:
Equação 8
∑ = 0 ( ) = 0
Equação 9
∑ = 0 ( ) = 0
Equação 10
∑ = 0 ( ) − 9,81 N − 24,525 N − 50 N = 0 ( ) = 84,3 N 
Tensão: forças 17
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Equação 11
∑( ) = 0
( ) + 70 Nm − 50 N(0,5 m) − 24,525 (0,5 m) − 9,81 N(0,25 m) =
0( ) = −30,3 Nm
Equação 12
∑ ( ) = 0
( ) + 24,525 N (0,625 m) + 50 N (1,25 m) = 0
( ) = −77,8 Nm
Equação 13
∑ ( ) = 0 ( ) = 0
O que os sinais negativos para (MB)x e (MB)y indicam? Observe que a 
força normal é NB = (FB)y = 0, ao passo que a força de cisalhamento é 
VB = (0)2 + (84,3)2 = 84,3 N. Além disso, o momento de torção é TB = (MB)y = 77,8Nm, 
e o momento fletor é MB = (30,3)2 + (0) = 30,3 Nm.
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2021.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2010.
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 20. ed. São Paulo: Érica, 2018.
NELSON, E. W. et al. Engenharia mecânica: estática. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum).
SMITH, W. F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais. 5. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
Tensão: forças18
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Dica do professor
Os esforços em um corpo sólido são classificados basicamente de acordo com a sua localização, 
podendo ser externos ou internos. Os externos podem ser de dois tipos distintos: ativo (cargas 
aplicadas) e reativo (reações nos apoios). Os internos se subdividem em resultantes e tensões. As 
tensões são as forças internas no corpo subdivididas por todo o seu volume e existem apenas 
quando o corpo está sendo solicitado por algum esforço externo, seja uma carga ou uma reação. 
Nesta Dica do Professor você verá, na forma de exemplos práticos, que a tensão é a medida das 
forças internas de um corpo deformável, por unidade de área em uma superfície deste corpo onde 
existam forças internas.
Confira!
_1.2_
elm = resolve o caso da fig.12 do Conteúdo do livro (copiado do Beer) 
considerando barras circulares e calcula as tensões nas barras.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
d741008b5f13365aafc893a4b5d2d7cb
6 min
Até aqui, Ax e Cx 
conhecidos, mas 
Ay e Cy não.
Então vamos 
isolar barra AB 
para determiná-
los.
elm = ver pergunta após slides
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Cy da equação do 
slide anterior.
elm = Pergunta. Texto da dica (não é sobre o vídeo).
- O que significa "Esforços internos se subdividem em resultantes e tensões"? 
Em particular, o que seriam "resultantes"?
Obs.: entendo que esforços internos, numa seção de uma viga por exemplo, 
podem ser representados pelas forças e momentos atuantes na seção (N V Mf Mt) 
OU pelas tensões (normais cisalhantes) atuantes na seção. Isso consiste em 
formas alternativas de representar os esforços internos, sendo inadequado 
falar que isso seja uma subdivisão de esforços internos.
Exercícios
1) Sabe-se que o perfil I, apresentado a seguir, possui uma tensão normal igual a 400 kPa, quando
submetido a duas forças de 1500 N. Determine, portanto, qual deverá ser a altura H da seção
transversal deste perfil para que estas condições sejam atendidas.
A) H = 150 mm
B) H = 155 mm
C) H = 160 mm
D) H = 170 mm
E) H = 175 mm
_1.2_
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2) Um medidor de deformação localizado na barra AB indica que a tensão normal nesta barra é de
3,80 MPa, quando a mesma está submetida a duas forças de 1,2 kN, conforme mostra a figura.
Supondo que a seção transversal da barra seja vazada e sabendo que seu diâmetro externo é de 25
mm, determine o diâmetro interno d da seção transversal.
A)
B)
C)
D)
E)
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3) Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia, AB e BC, são soldadas uma à outra em B e
submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão normal não pode
exceder 200 MPa na barra AB e 150 MPa na barra BC, determine os menores valores admissíveis
de d1 e d2.
A)
B)
C)
D)
E)
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Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à outra em B e 
submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e d2 = 30 mm, 
calcule a tensão normal no ponto médio da barra AB e barra BC.
4)
A)
B)
C)
D)
E)
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5) Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine a tensão normal na barra AB:
A)
B)
C)
D)
E)
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Pencil
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Oval
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Oval
Na prática
Vamos agora ver um exemplo prático de utilização do conceito de tensão.
O estudo das tensões atuantes sobre as estruturas proporciona ao engenheiro projetista meios 
para analisar e dimensionar diversos tipos de máquinas e estruturas portadoras de cargas. Dessa 
forma, é possível definir a seção transversal e o tipo de material a ser utilizado nos elementos, de 
modo que as condições de resistência às tensões atuantes sejam verificadas.
Como exemplo de aplicação do conceito de tensão, podemos citar os guindastes utilizados na