Lógica Matemática_Funções (30 04 2020)_v2022

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Lógica Matemática: 
Funções Potência e Exponencial
ACH 4521 Lógica Matemática - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
30.04.2020 
Agenda
1. Função Potência
2. Função Exponencial
3. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
Agenda
1. Função Potência
2. Função Exponencial
3. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
1. Função Potência
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏 , em que 𝑥 é a base e n é o expoente.
• Se n = 0 -> função constante ex: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟎 = 𝟏
• Se n = 1 -> função de 1º grau ex: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟏 = 𝐱
• Se n = 2 -> função de 2º grau ex: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
• Outros casos
1º) n é numero natural ímpar > 1
2º) n é número natural par > 2
3º) n é ímpar negativo
4º) n é par negativo
5º) n = ½
6º) n = 1/3
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
1º caso: n é numero natural ímpar > 1
Exs: 𝑓1 𝑥 = 𝑥3 (𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜)
𝑓2 𝑥 = 𝑥5 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒)
𝑓3 𝑥 = 𝑥7 (...)
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: Todas as funções do 1º caso passam pela origem (0,0). Além disso, elas passam pelos pontos (-1, -1) e 
(1,1).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é crescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
aumenta; quando x diminui => y diminui).
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y < 0
e) Gráfico:
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
2º caso: n é numero natural par ≥ 2
Exs: 𝑓1 𝑥 = 𝑥2 (𝑎𝑧𝑢𝑙)
𝑓2 𝑥 = 𝑥4 (𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜)
𝑓3 𝑥 = 𝑥6 (verde)
(...)
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: Todas as funções do 1º caso passam pela origem (0,0). Além disso, elas passam pelos pontos (-1, -1) e 
(1,1).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: se x > 0 => f(x) é crescente (quando x aumenta => y aumenta; quando 
x diminui => y diminui); se x < 0 => f(x) é decrescente (quando x aumenta => y diminui; quando x diminui => y 
aumenta); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y > 0; ou seja, y > 0 para qualquer valor de x.
e) Gráfico:
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
3º caso: n é ímpar negativo
Exs: 𝑓1 𝑥 = 𝑥−1= 1/x => 0 = 1/x
𝑓2 𝑥 = 𝑥−3
𝑓3 𝑥 = 𝑥−5 (...)
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅∗
b) Interceptos: não há (ver material sobre funções racionais – hipérboles)
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é decrescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
diminui; quando x diminui => y aumenta).
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y < 0.
e) Gráfico:
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
4º caso: n é par negativo
Exs: 𝑓1 𝑥 = 𝑥−2
𝑓2 𝑥 = 𝑥−4
𝑓3 𝑥 = 𝑥−6 (...)
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅∗
b) Interceptos: não há 
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: se x > 0 => f(x) é decrescente (quando x aumenta => y diminui; quando 
x diminui => y aumenta); se x < 0 => f(x) é crescente (quando x aumenta => y aumenta; quando x diminui => y 
diminui); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y > 0; ou seja, y > 0 para qualquer valor de x.
e) Gráfico:
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
5º caso: n = 
1
2
Exs: 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
2 = 𝑥
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅+
b) Interceptos: (0,0)
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é crescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
aumenta; quando x diminui => y diminui); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ou seja, y > 0 para qualquer valor de x.
e) Gráfico:
1. Função Potência (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
• Outros casos
6º caso: n = 
1
3
Exs: 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
3 = 3 𝑥
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: (0,0)
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é crescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
aumenta; quando x diminui => y diminui); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y < 0.
e) Gráfico:
Agenda
1. Função Potência
2. Função Exponencial
3. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
2. Função Exponencial
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝒂𝒙 , em que 𝑎 é uma constante positiva = base e x é o expoente
• Vamos agrupar o estudo da função exponencial em dois casos: 1º) se 𝑎 > 1 ; 2º) se 0 < 𝑎 < 1
• Ex: 1º) 𝑓1 𝑥 = 10. 2𝑥 e 𝑓2 𝑥 = 10. (
1
2
)𝑥
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Toda função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 , 
em que 𝑎 é uma constante positiva = base e x é o expoente
• Vamos agrupar o estudo da função exponencial em dois casos: 1º) se 𝑎 > 1 ; 2º) se 0 < 𝑎 < 1
1º caso: se 𝒂 > 1
Exs: 𝑓 𝑥 = 2𝑥
𝑓 𝑥 = 3𝑥
𝑓 𝑥 = 4𝑥 (...)
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: (0,1)
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é crescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
aumenta; quando x diminui => y diminui); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y > 0, ou seja, y>0 para qualquer valor de x.
e) Gráfico:
Destaque: 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
Em que e = 2,718281...
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
1º caso: se 𝒂 > 1
𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑎𝑧𝑢𝑙
𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒
𝑓 𝑥 = 5𝑥 (𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎)
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
2º caso: se 0 < 𝒂 < 1
Exs: 𝑓 𝑥 = (
1
2
)𝑥
𝑓 𝑥 = (
1
3
)𝑥
𝑓 𝑥 = (
1
4
)𝑥
a) Domínio: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: (0,1)
c) Intervalos de crescimento e decrescimento: f(x) é decrescente para qualquer valor de x (quando x aumenta => y 
aumenta; quando x diminui => y diminui); 
d) Sinal da função: se x > 0 => y > 0 ; se x < 0 => y > 0, ou seja, y>0 para qualquer valor de x.
e) Gráfico:
Destaque: 𝒇 𝒙 = (
𝟏
𝒆
)𝒙
Em que e = 2,718281...
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
Exemplo: dívida bancária 
Suponha que vc fez um empréstimo no valor de R$ 1000
Taxa de juros: 6% ao mês
• Qual será o valor da dívida depois de 1 mês?
1 mês: 1000 + 1000 (0,06) = 1000 (1 + 0,06) = 1000 (1,06) = 1060
• ...depois de 2 meses?
2 meses: 1060 + 1060 (0,06) = 1060 (1 + 0,06) = 1060 (1,06) = 1000 (1,06) (1,06) = 1000 (1,06)2 = 1123,60
• ...depois de 3 meses?
3 meses: 1123,60 + 1123,60 (0,06) = 1123,60 (1 + 0,06) = 1123,60 (1,06) = 1000 (1,06)2 (1,06) = 1000 (1,06)3 = 1191,01
• ...depois de x meses?
x meses: 1000 (1,06)x => 𝒚 = 𝒚𝟎(𝟏 + 𝒌)𝒙
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
Exemplo: epidemiologia: epidemias seguem um padrão matemático chamado função exponencial usado para 
representar fenômenos que se multiplicam rapidamente ao longo do tempo. 
𝑦 = 𝑦0(1 + 𝑘)𝑥
• Vídeo enigma vitória regia: https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
• Na função exponencial temos o crescimento exponencial (quando k >0): o valor inicial vai sendo multiplicado por 
um mesmo número positivo a cada período de tempo: 
• E decrescimentoexponencial quando k <0 : o valor inicial vai sendo multiplicado por um mesmo número negativo a 
cada período de tempo: ex: k = -50%
https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
Exemplo: epidemiologia: epidemias seguem um padrão matemático chamado função exponencial usado para 
representar fenômenos que se multiplicam rapidamente ao longo do tempo. 
• Vídeo enigma vitória regia: https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
• Na função exponencial temos o crescimento exponencial (quando k >0): o valor inicial vai sendo multiplicado por 
um mesmo número positivo a cada período de tempo: 
𝑦 = 𝑦0(1 + 𝑘)𝑥
• E decrescimento exponencial quando k <0 : o valor inicial vai sendo multiplicado por um mesmo número negativo a 
cada período de tempo: ex: k = -50%
Decrescimento 
exponencial
Crescimento 
exponencial
saturação
https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
Exemplo: epidemiologia: epidemias seguem um padrão matemático chamado função exponencial usado para 
representar fenômenos que se multiplicam rapidamente ao longo do tempo. 
• Vídeo enigma vitória regia: https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
• Na função exponencial temos o crescimento exponencial (quando k >0): o valor inicial vai sendo multiplicado por 
um mesmo número positivo a cada período de tempo: 
𝑦 = 𝑦0(1 + 𝑘)𝑥
• E decrescimento exponencial quando k <0 : o valor inicial vai sendo multiplicado por um mesmo número negativo a 
cada período de tempo: ex: k = -50%
https://www.youtube.com/watch?v=AlJ8z8FP-J8
2. Função Exponencial (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
Exemplo: epidemiologia: epidemias seguem um padrão matemático chamado função exponencial usado para 
representar fenômenos que se multiplicam rapidamente ao longo do tempo. 
• OMS – número de casos no mundo
67 dias para atingir 100 mil casos (valor inicial)
+ 11 dias para dobrar = 200 mil casos ⇒ 𝑦 = 𝑦0 (1 + 𝑘)𝑥 ⇒ 200.000 = 100.000 (1 + 𝑘)11⇒ k = 6,5% ao dia
+ 4 dias (ou 15 a partir do valor inicial) = 300 mil casos ⇒ 300.000 = 200.000 (1 + 𝑘)4⇒ k = 10,7% ao dia
+ 2 dias (ou 17 dias a partir do valor inicial) = 400 mil casos ⇒ 400.000 = 300.000 (1 + 𝑘)2⇒ k = 15,5% ao dia
Se calcularmos a taxa de crescimento média no período de 17 dias: 400.000 = 100.000 (1 + 𝑘)17⇒ k = 8,5% ao dia