Lógica Matemática_Sistemas

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Matemática Aplicada I:
Sistemas de equações lineares
ACH 4552 Matemática Aplicada I - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
Agenda
1. Sistemas de equações lineares
Referência: 
Cap 5 e Apêndice A1: 
DEMANA D. F., WAITS K. B., FOLEY D. G. e KENNEDY D. Pré-Cálculo. Editora Person - 2009
Sistemas de equações lineares
• Se considerarmos as equações:
(1) x + y = 5 => possíveis soluções: (5,0) (4,1) (3,2) (-1,6), etc
(2) x – y = 1 => possíveis soluções: (6,5) (3,2) (1,0) (0,-1), etc
 (3,2) é a solução comum
• Para que x e y tenham valores comuns que satisfaçam as duas equações é necessário definir uma relação entre as
equações => sistema de equações
• Exemplo: ቊ
𝑥 + 𝑦 = 120 ⇒ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑡𝑢𝑟𝑚𝑎 = 120, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑒 𝑦 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠
𝑥 − 𝑦 = 8 ⇒ 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑒𝑚𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 8
• Neste exemplo haverá somente um par (x,y) como solução: y = 56 mulheres e x = 64 homens ou S={(64, 56)}
Sistemas de equações lineares
• O sistema linear de m equações e n incógnitas pode ser representado como:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
…
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + …+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
• Neste caso, a solução é n-upla: S = {(𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛) ϵ ℝ}
Classificação de sistemas lineares
• Os sistemas lineares podem ser classificados em:
(1) Sistemas possíveis ou compatíveis – são os que tem solução. São subdivididos em:
(1a) sistemas determinados – são aqueles que tem uma única solução;
Exemplo: ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
=> sistema possível determinado, sendo (3,2) a única solução.
(1b) sistemas indeterminados – são aqueles que tem mais de uma solução ou infinitas soluções;
Exemplo: ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 + 2𝑦 = 10
=> sistema possível indeterminado, possui infinitas soluções: 
qualquer par ordenado (x, y) tal que x + y = 5.
(2) Sistemas impossíveis ou incompatíveis – são os que não tem solução. 
Exemplo: ቊ
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 7
=> não existe par (x,y) que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo. 
Classificação de sistemas lineares
Sistemas de equações lineares
Possíveis ou 
compatíveis
Sistemas 
determinados
Impossíveis ou 
incompatíveis
Sistemas 
indeterminados
Solução única Infinitas soluções
Resolução de sistemas lineares
• Os sistemas lineares podem ser resolvidos através de dois métodos principais:
(1) Método da substituição
(2) Método da diferença (ou da soma)
Método da Substituição
• Exemplo 1: Seja o seguinte sistema linear:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 120 (𝟏)
𝑥 − 𝑦 = 8 (𝟐)
a) Escolha uma das equações e isole uma das incógnitas, por exemplo, isolar o x na equação (1): 
x = 120 – y (3)
b) Substitua (3) na equação (2): 120 − 𝑦 − 𝑦 = 8 e resolva, obtendo o valor de y: −2𝑦 = −112 ⇒ 𝒚 = 𝟓𝟔
c) Substitua o y encontrado em (3): x = 120 – 56 => x = 64
d) Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações: ቊ
64 + 56 = 120 𝑶𝑲
64 − 56 = 8 𝑶𝑲
Método da Substituição
• Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6 (𝟏)
𝑥 − 3𝑦 = −0,4 (𝟐)
a) Escolha uma das equações e isole uma das incógnitas, por exemplo, isolar o x na equação (1): 
x = 6 – y (3)
b) Substitua (3) na equação (2): 6 − 𝑦 − 3𝑦 = −0,4 e resolva, obtendo o valor de y: −4𝑦 = −6,4 ⇒ 𝒚 = 𝟏, 𝟔
c) Substitua o y encontrado em (3): x = 6 – 1,6 => x = 4,4
d) Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações: ቊ
4,4 + 1,6 = 6 𝑶𝑲
4,4 − 3 1,6 = −0,4 𝑶𝑲
Método da Diferença ou da soma
• Exemplo 1: Seja o seguinte sistema linear:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 120 (𝟏)
𝑥 − 𝑦 = 8 (𝟐)
a) Somar as equações (1) e (2) (somar x com x, y com y e número com número) , obtendo: 
2x + 0 = 128 
x = 64 (3)
b) Substitua (3) na equação (1) ou (2) para obter o valor de y: 64 − 𝑦 = 8 ⇒ 𝒚 = 𝟓𝟔
c) Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações: ቊ
64 + 56 = 120 𝑶𝑲
64 − 56 = 8 𝑶𝑲
Método da Diferença ou da soma
• Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6 (𝟏)
𝑥 − 3𝑦 = −0,4 (𝟐)
a) Multiplicar a equação (1) por 3 obtém-se: 3𝑥 + 3𝑦 = 18 (3)
b) Somar as equações (3) e (2) (somar x com x, y com y e número com número) , obtendo: 
4x + 0 = 17,6 
x = 4,4 (4)
b) Substitua (4) na equação (1) ou (2) para obter o valor de y: 4,4 + 𝑦 = 6 ⇒ 𝒚 = 𝟏, 𝟔
c) Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações: ቊ
4,4 + 1,6 = 6 𝑶𝑲
4,4 − 3 1,6 = −0,4 𝑶𝑲
Método da Diferença ou da soma
• Exemplo 3: Seja o seguinte sistema linear:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6 (𝟏)
𝑥 + 2𝑦 = 10 (𝟐)
a) Multiplicar a equação (1) por -2 obtém-se: -2𝑥 − 2𝑦 = −12 (3)
b) Somar as equações (3) e (2) (somar x com x, y com y e número com número) , obtendo: 
-x + 0 = -2
x = 2 (4)
b) Substitua (4) na equação (1) ou (2) para obter o valor de y: 2 + 𝑦 = 6 ⇒ 𝒚 = 𝟒
c) Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações: ቊ
2 + 4 = 6 𝑶𝑲
2 + 2 4 = 10 𝑶𝑲