Limites - Exercícios - USTM

Prévia do material em texto

1 
 
Indeterminação 
 
 
1º Caso 2º Caso 3º Caso 
lim
𝑥→∞
𝐿 𝐺
𝐾 𝐺
=
𝐿
𝐾
 lim
𝑥→∞
𝐿 𝑔
𝐾 𝐺
= 0 lim
𝑥→∞
𝐿 𝐺
𝐾 𝑔
= ∞ 
 
 
Exemplos: 
1º Caso 
lim
𝑥→∞
2𝑛 + 1
5𝑛 + 3
= |
∞
∞
| = lim
𝑥→∞
𝑛 (2 +
1
𝑛
)
𝑛 (5 +
3
𝑛
)
= lim
𝑥→∞
2 +
1
𝑛
5 +
3
𝑛
= lim
𝑥→∞
2
5
=
2
5
 
 
1º Caso 
lim
𝑥→∞
5𝑛2 + 4𝑛 − 5
4𝑛2 + 3𝑛 + 2
= |
∞
∞
| = lim
𝑥→∞
𝑛2 (5 +
4𝑛
𝑛2 −
5
𝑛2)
𝑛2 (4 +
3𝑛
𝑛2 +
2
𝑛2)
= lim
𝑥→∞
5 +
4
𝑛 −
5
𝑛2
4 +
3
𝑛
+
2
𝑛2
= lim
𝑥→∞
5
4
=
5
4
 
 
 
2º Caso 
lim
𝑥→∞
8𝑛2 + 𝑛 + 1
5𝑛3 + 2𝑛 + 3
= |
∞
∞
| = lim
𝑥→∞
𝑛2 (8 +
𝑛
𝑛2 +
1
𝑛2)
𝑛3 (5 +
2𝑛
𝑛3 +
3
𝑛3)
= lim
𝑥→∞
8 +
1
𝑛 +
1
𝑛2
𝑛 (5 +
2
𝑛2 +
3
𝑛3)
= lim
𝑥→∞
8
5𝑛
= lim
𝑥→∞
8
∞
= 0 
 
 
3º Caso 
lim
𝑥→∞
2𝑛3 + 4𝑛2 + 𝑛
4𝑛2 + 2𝑛 + 3
= |
∞
∞
| = lim
𝑥→∞
𝑛3 (2 +
4𝑛2
𝑛3 +
𝑛
𝑛3)
𝑛2 (4 +
2𝑛
𝑛2 +
3
𝑛2)
= lim
𝑥→∞
𝑛 (2 +
4
𝑛
+
1
𝑛2)
4 +
2
𝑛 +
3
𝑛2
= lim
𝑥→∞
2𝑛
4
= lim
𝑥→∞
∞
4
= ∞ 
 
 
Indeterminação |∞ − ∞| 
 
lim
𝑛→∞
√𝑛2 + 8𝑛 − √𝑛2 + 2𝑛 = |∞ − ∞| = lim
𝑛→∞
(√𝑛2 + 8𝑛 − √𝑛2 + 2𝑛) ∙ (√𝑛2 + 8𝑛 + √𝑛2 + 2𝑛)
√𝑛2 + 8𝑛 + √𝑛2 + 2𝑛
 
= lim
𝑛→∞
(√𝑛2 + 8𝑛)
2
− (√𝑛2 + 2𝑛)
2
√𝑛2 (1 +
8𝑛
𝑛2) + √𝑛2 (1 +
2𝑛
𝑛2)
= lim
𝑛→∞
𝑛2 + 8𝑛 − (𝑛2 + 2𝑛)
√𝑛2 (1 +
8
𝑛) + √𝑛2 (1 +
2
𝑛)
 
= lim
𝑛→∞
𝑛2 + 8𝑛 − 𝑛2 − 2𝑛
√𝑛2 + √𝑛2
= lim
𝑛→∞
8𝑛 − 2𝑛
𝑛 + 𝑛
= lim
𝑛→∞
6𝑛
2𝑛
= 3 
 
 
 
 
|
∞
∞
| 
0 
0 
0 0 
0 0 
2 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[
.
.
𝒇(𝒙)]
𝒈(𝒙)
= |𝟏∞| =
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[
.
.
𝒇(𝒙) − 𝟏] ∙ 𝒈(𝒙)
𝒆 
 
 
 
Número de Neper 
 
lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒 lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 
 
 
 
lim
𝑛→∞
(1 −
3
𝑛 + 2
)
𝑛+1
= |1∞| =
 lim
𝑛→∞
(1 −
3
𝑛 + 2
− 1) (𝑛 + 1)
𝑒 
 lim
𝑛→∞
(−
3
𝑛 + 2
) (𝑛 + 1)
= 𝑒 
 
 
 lim
𝑛→∞
(−
3𝑛 + 1
𝑛 + 2
)
= 𝑒 
 
.
.
= 𝑒−3 
 
 
 
 
lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1
𝑛 + 2
)
3𝑛+2
= |1∞| =
 lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1
𝑛 + 2
− 1) (3𝑛 + 2)
𝑒 
 lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1 − 1(𝑛 + 2)
𝑛 + 2
) (3𝑛 + 2)
= 𝑒 
 
 
 lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1 − 𝑛 − 2
𝑛 + 2
) (3𝑛 + 2)
= 𝑒 
 lim
𝑛→∞
(
−1
𝑛 + 2
) (3𝑛 + 2)
= 𝑒 
 lim
𝑛→∞
(
−3𝑛 − 2
𝑛 + 2
)
= 𝑒 
 
.
.
= 𝑒−3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Ficha de Exercícios 
 
Exercício 1. 
1.1) lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
 1.2) lim
𝑛→∞
2𝑛 + 1
3𝑛 + 2
 1.3) lim
𝑛→∞
𝑛2 + 2𝑛 + 3
5𝑛2 + 6𝑛 + 7
 
1.4) lim
𝑛→∞
√25𝑛2 + 4
6𝑛 + 2
 1.5) lim
𝑛→∞
10𝑛 + 1
√4𝑛2 + 3𝑛 − 2
 1.6) lim
𝑛→∞
5𝑛 + 2
4𝑛2 + 3𝑛 + 5
 
1.7) lim
𝑛→∞
7𝑛2 + 6𝑛 + 1
8𝑛2 + 4𝑛 + 2
 1.8) lim
𝑛→∞
6𝑛2 + 5𝑛 + 3
2𝑛 + 3
 1.9) lim
𝑛→∞
𝑛3 + 2𝑛 + 1
4𝑛2 + 3𝑛 + 6
 
2.0) lim
𝑛→∞
2𝑛3 + 5𝑛 + 4
𝑛4 + 6𝑛3 + 3
 2.1) lim
𝑛→∞
(2𝑛 + 1)3
2𝑛3 + 6𝑛 + 1
 2.2) lim
𝑛→∞
(2𝑛 + 2)3(2𝑛 + 1)2
7𝑛5 + 4𝑛3 + 8𝑛
 
2.3) lim
𝑛→∞
2𝑛4 + 5𝑛3 + 5
(4𝑛3 + 2𝑛)2
 2.4) lim
𝑛→∞
√𝑛2 + 10𝑛 − 𝑛 2.5) lim
𝑛→∞
√𝑛2 + 8𝑛 − √𝑛2 + 2𝑛 
2.6) lim
𝑛→∞
√𝑛2 + 5𝑛 − √𝑛2 − 4𝑛 2.7) lim
𝑛→∞
√𝑛2 − 3𝑛 − √𝑛2 − 21 2.8) lim
𝑛→∞
√𝑛2 + 6𝑛 − √𝑛2 − 10𝑛 
 
 
 
Exercício 2 
1.1) lim
𝑛→∞
(1 +
2
𝑛
)
𝑛
 1.2) lim
𝑛→∞
(1 −
3
𝑛 + 2
)
𝑛+1
 1.3) lim
𝑛→∞
(1 +
𝑘
𝑛
)
𝑛+2
 
1.4) lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1
𝑛 + 2
)
𝑛
 1.5) lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 3
𝑛 − 1
)
𝑛+1
 1.6) lim
𝑛→∞
(
2𝑛 + 3
2𝑛 − 1
)
𝑛
 
1.7) lim
𝑛→∞
(
𝑛2 + 3
𝑛2 − 1
)
2𝑛2
 1.8) lim
𝑛→∞
(1 −
2
𝑛 + 1
)
𝑛
 1.9) lim
𝑛→∞
(
𝑛 − 2
𝑛 − 1
)
𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
MÉTODO DE RUFINI 
Nota Bem: Todos os exercícios anteriores podem ser resolvidos pelo método de Ruffini como 
vamos ver, a seguir 
 
1) lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
= |
0
0
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
= |
0
0
| = lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 + 3 = lim
𝑥→3
3 + 3 = 6 
 
 
 
2) lim
𝑥→2
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑥2 + 𝑥 − 6
= |
0
0
| 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→2
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑥2 + 𝑥 − 6
= |
0
0
| = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
= lim
𝑥→2
𝑥 + 4
𝑥 + 3
= lim
𝑥→2
2 + 4
2 + 3
=
6
5
 
 
 
 
 
 
3) lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
= |
0
0
| 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
= |
0
0
| = lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥2 + 3𝑥 + 9) = lim
𝑥→3
9 + 9 + 9 = 27 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 2 −8 
2 2 8 
 1 4 0 
 
 (𝑥 − 2)(𝑥 + 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 1 −6 
2 2 6 
 1 3 0 
 
 (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 0 −9 
3 3 9 
 1 3 0 
 
 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 0 0 −27 
3 3 9 27 
 1 3 9 0 
 
 (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
4) lim
𝑥→1
𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥3 − 7𝑥 + 6
= |
0
0
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→1
𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥3 − 7𝑥 + 6
= |
0
0
| = lim
𝑥→3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 5𝑥 + 6)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 6)
= lim
𝑥→3
𝑥2 + 5𝑥 + 6
𝑥2 + 𝑥 − 6
= lim
𝑥→3
9 + 15 + 6
9 + 3 − 6
=
30
6
= 5 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
1.1) lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
 1.2) lim
𝑥→6
𝑥2 − 36
𝑥 − 6
 1.3) lim
𝑥→4
𝑥2 − 16
𝑥 − 4
 1.4) lim
𝑥→5
𝑥2 − 25
𝑥 − 5
 
1.5) lim
𝑥→8
𝑥2 − 64
𝑥 − 8
 1.6) lim
𝑥→7
𝑥2 − 49
𝑥 − 7
 1.7) lim
𝑥→4
𝑥 − 4
𝑥2 − 16
 1.8) lim
𝑥→3
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
 
1.9) lim
𝑥→5
𝑥 − 5
𝑥2 − 25
 2.0) lim
𝑥→6
𝑥 − 6
𝑥2 − 36
 2.1) lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 − 1
 2.2) lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥2 − 4
 
2.3) lim
𝑥→3
3 − 𝑥
𝑥2 − 9
 2.4) lim
𝑥→4
4 − 𝑥
𝑥2 − 16
 2.5) lim
𝑥→5
5 − 𝑥
𝑥2 − 25
 2.6) lim
𝑥→6
6 − 𝑥
𝑥2 − 36
 
 
 
2.7) lim
𝑥→2
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑥2 + 𝑥 − 6
 2.8) lim
𝑥→5
𝑥2 − 4𝑥 − 5
𝑥2 − 3𝑥 − 10
 2.9) lim
𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥2 − 4𝑥 + 3
 3.0) lim
𝑥→1
𝑥2 + 3𝑥 − 4
𝑥2 + 2𝑥 − 3
 
3.1) lim
𝑥→2
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2 + 3𝑥 − 10
 3.2) lim
𝑥→9
𝑥2 − 5𝑥 − 36
𝑥2 − 3𝑥 − 54
 3.3) lim
𝑥→3
𝑥2 + 5𝑥 − 24
𝑥2 − 𝑥 − 6
 3.4) lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
3.5) lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
−𝑥2 − 2𝑥 + 8
 3.6) lim
𝑥→3
−𝑥2 − 2𝑥 + 15
𝑥2 − 2𝑥 − 3
 3.7) lim
𝑥→5
𝑥3 − 125
𝑥2 − 25
 3.8) lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
 
3.9) lim
𝑥→4
𝑥3 − 64
16 − 𝑥2
 4.0) lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
 4.1) lim
𝑥→5
𝑥 − 5
𝑥3 − 125
 4.2) lim
𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
 
 
 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 4 1 −6 
1 1 5 6 
 1 5 6 0 
 
 (𝑥 − 1)(𝑥2 + 5𝑥 + 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 
 1 0 −7 6 
1 1 1 −6 
 1 1 −6 0 
 
 (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
MÉTODO DE RUFINI 
1.1) lim
𝑥→2
𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4
𝑥3 − 7𝑥 + 6
 1.2) lim
𝑥→1
𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥3 − 7𝑥 + 6
 1.3) lim
𝑥→3
𝑥3 − 11𝑥 + 6
𝑥3 + 2𝑥2 − 11𝑥 − 12
 
 
 
Exercício 4 
1.1) lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
 1.2) lim
𝑥→9
√𝑥 − 3
𝑥 − 9
 1.3) lim
𝑥→25
𝑥 − 25
√𝑥 − 5
 1.4) lim
𝑥→4
2 − √𝑥
𝑥 − 4
 
1.5) lim
𝑥→8
√𝑥
3
− 2
𝑥 − 8
 1.6) lim
𝑥→27
√𝑥
3
− 3
𝑥 − 27
 1.7) lim
𝑥→1
𝑥 − 1
√𝑥
3
− 1
 1.8) lim
𝑥→1
1 − 𝑥
√𝑥
3
− 1
 
1.9) lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥2 − 16
 2.0) lim
𝑥→9
√𝑥 − 3
𝑥2 − 81
 2.1) lim
𝑥→1
1 − √𝑥
𝑥2 − 1
 2.2) lim
𝑥→8
√𝑥
3
− 2
𝑥2 − 64
 
2.3) lim
𝑥→1
√𝑥
3
− 1
√𝑥 − 1
 2.4) lim
𝑥→27
√𝑥
3
− 3
27 − 𝑥
 2.5) lim
𝑥→1
√𝑥
3
− 1
𝑥2 − 1
 2.6) lim
𝑥→4
4 − √𝑥
𝑥2 − 5𝑥 + 4
 
 
 
Exercício 5 
1.1) lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥2 + 3𝑥 − 4
 1.2) lim
𝑥→8
√𝑥
3
− 2
𝑥2 − 6𝑥 − 16
 1.3) lim
𝑥→5
√𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 5
 1.4) lim
𝑥→7√𝑥 + 2 − 3
𝑥 − 7
 
1.5) lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
√𝑥 + 3 − 2
 1.6) lim
𝑥→10
√𝑥 − 1 − 3
10 − 𝑥
 1.7) lim
𝑥→2
√𝑥 + 6
3
− 2
𝑥2 − 4
 1.8) lim
𝑥→1
√𝑥 + 6
3
− 2
𝑥3 − 8
 
 
 
Outros métodos 
 
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
√𝑥 − 2
= |
0
0
| = lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)
(√𝑥 − 2)
∙
(√𝑥 + 2)
(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
(√𝑥)
2
− 22
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
𝑥 − 4
 
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
(𝑥 − 4)
= lim
𝑥→4
(√𝑥 + 2) = lim
𝑥→4
(√4 + 2) = 2 + 2 = 4 
 
 
lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
= |
0
0
| = lim
𝑥→4
(√𝑥 − 2)
(𝑥 − 4)
∙
(√𝑥 + 2)
(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
(√𝑥)
2
− 22
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
 
= lim
𝑥→4
1
√𝑥 + 2
= lim
𝑥→4
1
√4 + 2
= lim
𝑥→4
1
2 + 2
=
1
4