Lista 03 - Variável Aleatoria Continua - Gabarito

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Lista de Exerćıcios - Variável Aleatória cont́ınua
Valdinei Freire
10 de Maio de 2023
1. Suponha que X e Y são V.A. independentes, sendo que X tem a distri-
buição uniforme discreta nos inteiros 1, 2, 3, 4, 5, e que Y tem a dis-
tribuição uniforme cont́ınua no intervalo [0; 5]. Seja Z uma V.A. tal que
Z = X com probabilidade 1/2 e Z = Y com probabilidade 1/2.
(a) Desenhe a c.d.f. de Z.
(b) Desenhe a c.d.f. de X + Y .
2. Suponha que a V.A. X tem uma distribuição cont́ınua com a seguinte
p.d.f.:
f(x) =
1
2
e−|x| para −∞ < x <∞.
Determine o valor x0 tal que F (x0) = 0.9, onde F (x) é a c.d.f. de X.
F (x0) =
1
2
∫ x0
x=−∞
e−|x|dx = 0.9
1
2
∫ x0
x=0
e−xdx = 0.4
−e−x0 + e0 = 0.8
e−x0 = 0.2
x0 = − log 0.2
3. Suponha que um sistema eletrônico seja composto por quatro componen-
tes, e seja Xj o tempo até o componente j falhar (j = 1, 2, 3, 4). Suponha
que Xi sejam V.A. i.i.d. com c.d.f. F (x). Suponha que o sistema conti-
nua operando desde que o componente 1 e pelo menos um dos outros três
componentes estejam operando. Determine a c.d.f. do tempo até que o
sistema falhe.
Pr(X < x) = Pr(X1 < x ∪ (X2 < x ∩X3 < x ∩X4 < x))
= Pr(X1 < x) + Pr(X2 < x ∩X3 < x ∩X4 < x)− Pr(X1 < x ∩X2 < x ∩X3 < x ∩X4 < x)
= F (x) + F (x)3 − F (x)4
1
4. Suponha que o raio X de um ćırculo é uma V.A. que apresenta a seguinte
p.d.f.:
f(x) =
{
1
8 (3x+ 1) para 0 < x < 2
0 caso contrário
(a) Esboce o gráfico de f(x).
(b) Calcule as seguintes probabilidades: Pr(0.0 < X < 0.5), Pr(0.5 ≤
X < 1.0), Pr(1.0 < X ≤ 1.5), e Pr(1.5 ≤ X ≤ 2.0).
Pr(0.0 < X < 0.5) = 0.1094
Pr(0.5 ≤ X < 1.0) = 0.2031
Pr(1.0 < X ≤ 1.5) = 0.2969
Pr(1.5 ≤ X ≤ 2.0) = 0.3906
(c) Determine a c.d.f. para X.
F (x) =

1
8
(
3x2
2 + x
)
para 0 < x < 2
0 para x ≤ 0
1 para x ≥ 2
(d) Considere uma variável aleatória Y que represente a área do ćırculo.
Calcule as seguintes probabilidades: Pr(0.0 < Y < π), Pr(0.0 ≤ Y <
2π), e Pr(π < Y ≤ 16).
Pr(0.0 < Y < π) = 0.3125
Pr(0.0 ≤ Y < 2π) = 0.5518
Pr(π < Y ≤ 16) = 0.6875
(e) Determine a c.d.f. FY (y) para Y .
FY (y) =

1
8
(
3y
2π +
√
y
π
)
para 0 < y < 4π
0 para y ≤ 0
1 para y ≥ 4π
(f) Determine a p.d.f. fY (y) para Y .
fY (y) =
{
1
8
(
3
2π + 1
2
√
yπ
)
para 0 < A < 4π
0 caso contrário
(g) Esboce o gráfico de fY (y).
2
5. Suponha que a V.A. X tem a seguinte p.d.f.:
f(x) =
{
2e−2x para x > 0
0 caso contrário
(a) Esboce a p.d.f. de X.
(b) Determine a c.d.f. de X.
F (x) =
{
1− e−2x para x > 0
0 para x ≤ 0
(c) Encontre valores de x tal que Pr(X ≤ x) = 0.2, Pr(X ≤ x) = 0.4,
Pr(X ≤ x) = 0.6, e Pr(X ≤ x) = 0.8.
x = − log(1− P )
2
Pr(X ≤ x) = 0.2⇒ x = 0.1116
Pr(X ≤ x) = 0.4⇒ x = 0.2554
Pr(X ≤ x) = 0.6⇒ x = 0.4581
Pr(X ≤ x) = 0.8⇒ x = 0.8047
(d) Considere uma V.A. Y que tem a distribuição uniforme no intervalo
[0; 5]. Esboce a p.d.f. de Y .
(e) Determine a c.d.f. de Y .
FY (y) =

x
5 para 0 < y < 5
0 para y ≤ 0
1 para y ≥ 5
(f) Encontre valores de y tal que Pr(Y ≤ y) = 0.2, Pr(Y ≤ y) = 0.4,
Pr(Y ≤ y) = 0.6, e Pr(Y ≤ y) = 0.8.
x = 5P
Pr(X ≤ x) = 0.2⇒ x = 1
Pr(X ≤ x) = 0.4⇒ x = 2
Pr(X ≤ x) = 0.6⇒ x = 3
Pr(X ≤ x) = 0.8⇒ x = 4
(g) Construa uma V.A. Y = r(X) que tem a distribuição uniforme no
intervalo [0; 5].
3
F (x) = 1− e−2x
FY (y) =
y
5
F (x) = FY (y)⇒ 1− e−2x =
y
5
⇒ Y = r(X) = 5− 5e−2X
6. Suponha que 12 V.A. X1, . . . , X12 sejam i.i.d. com distribuição uniforme
no intervalo [0; 20]. Para j = 0, 1, . . . , 19, deixe Ij denotar o intervalo
(j, j + 1). Determine a probabilidade de que nenhum dos 20 intervalos
disjuntos Ij conterá mais do que uma das V.A. X1, . . . , X12.
20!
8!
1
2012
7. Suponha que X1, . . . , Xn formam uma amostra aleatória de tamanho n de
uma distribuição cont́ınua com a seguinte p.d.f.:
f(x) =
{
2x para 0 < x < 1,
0 caso contrário
Seja Yn = max{X1, . . . , Xn}. Calcule E(Yn).
FYn
(y) = Pr(Yn ≤ y) = Pr(max{X1, . . . , Xn} ≤ y) = Pr
(
n⋂
i=1
(Xi ≤ y)
)
=
n∏
i=1
Pr(Xi ≤ y) = y2n
fyn(y) =
dFYn
(y)
dy
= 2ny2n−1
E(Yn) =
∫ 1
0
y × 2ny2n−1dy =
2n
2n+ 1
8. Suponha que X1, . . . , Xn sejam V.A. i.i.d., sendo que cada uma possui
distribuição cont́ınua com mediana m. Seja Yn = max{X1, . . . , Xn}. De-
termine o valor de Pr(Yn > m).
Pr(Yn > m) = 1− Pr(Yn ≤ m) = 1−
(
1
2
)n
9. Suponha que você vai vender refrigerante em jogo de futebol e deve decidir
quantos litros levar. Suponha que a demanda por refrigerante no jogo,
em litros, possui uma distribuição cont́ınua com p.d.f. f(x). Suponha
que você lucre g reais em cada litro vendido, mas sofra uma perda de c
reais em cada litro levado, mas não vendido. Considerando que f(x) é a
4
distribuição uniforme entre 0 e 100, quantos litros você deve levar para
maximizar seu lucro?
Considere L a quantidade de litros a ser levada, então:
Lucro(x, L) =
{
Lg para x ≥ L,
xg − (L− x)c caso contrário
E[Lucro(X,L)] =
∫ ∞
−∞
Lucro(x, L)f(x)dx =
1
100
∫ 100
0
Lucro(x, L)dx
=
1
100
∫ L
0
xg − (L− x)cdx+
1
100
∫ 100
L
Lgdx
= Lg − L2(g + c)
200
dE[Lucro(X,L)]
dL
= g − L(g + c)
100
⇒ L = 100
g
g + c
10. Suponha que o número de horas X para o qual uma máquina funcionará
antes de falhar seja uma distribuição exponencial com parâmetro λ falhas
por hora. Suponha que quando a máquina começa a operar, você deve
decidir de quanto em quanto tempo você retornará para inspecionar a
máquina e gasta b reais em cada inspeção. Se você retornar depois que a
máquina falhar, você perde c reais por hora que a máquina fica parada.
(a) Qual é o custo esperado por hora em função de T?
Considere T o peŕıodo entre os retornos. Além disso, lembre-se que
a distribuição exponencial é sem memória. Então podemos calcular
o custo por peŕıodo T como:
Custo(x, T ) =
{
b para x ≥ T,
b+ (T − x)c caso contrário
e
f(x) =
{
λe−λx para x ≥ 0,
0 caso contrário
E[Custo(X,T )] =
∫ ∞
−∞
Custo(x, T )f(x)dx = b+
∫ T
0
(T − x)cλe−λxdx
= b+
c
λ
e−λT + Tc− c
λ
= be−T
c
b + Tc
Então, o custo esperado é:
be−T
c
b + Tc
T
5
(b) Qual a quantidade ótima de horas entre inspeções para minimizar o
custo esperado se λ = c
b?
dE[Custo(X,T )]
T
dT
= −cTe−T c
b − be−T c
b = 0⇒ T = −b
c
Como o único ponto de máximo é negativo, então devemos estudar
o custo esperado por tempo nos extremos quando T → 0 e T →∞.
lim
T→0
be−T
c
b + Tc
T
=∞
lim
T→∞
be−T
c
b + Tc
T
= c
Logo, quanto maior T , melhor.
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