Séries e Funções Matemáticas

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- Explicação: Séries telescópicas são úteis porque podem ser somadas facilmente 
devido ao cancelamento de muitos termos. 
 
73. Qual é a soma finita da série telescópica \( \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)} \)? 
 - Resposta: A soma é \( 1 - \frac{1}{k+1} \). 
 - Explicação: Muitos termos nesta série se cancelam, deixando apenas \( 1 - 
\frac{1}{k+1} \). 
 
74. O que é uma função periódica? 
 - Resposta: Uma função é periódica se ela se repete em intervalos regulares. 
 - Explicação: Funções periódicas têm um padrão repetitivo ao longo de todo o seu 
domínio. 
 
75. Qual é o período da função \( f(x) = \sin(x) \)? 
 - Resposta: O período é \( 2\pi \). 
 - Explicação: A função seno tem um período de \( 2\pi \), o que significa que ela se 
repete a cada \( 2\pi \) unidades. 
 
76. O que é uma série de Fourier? 
 - Resposta: Uma série de Fourier é uma série infinita que representa uma função 
periódica em termos de senos e cossenos. 
 - Explicação: Séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas de 
maneira eficiente. 
 
77. Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)? 
 - Resposta: As soluções são \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \), onde \( A \) e \( B \) são 
constantes. 
 - Explicação: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. 
 
78. O que é um número irracional? 
 - Resposta: Um número irracional é um número real que não pode ser representado 
como a razão de dois inteiros. 
 - Explicação: Números irracionais têm expansões decimais infinitas e não periódicas.