Calculo 1-4

Prévia do material em texto

- **Resposta:** A integral é \( -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{3/2} + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 
138. **Questão:** Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)? 
 - **Resposta:** A derivada é \( f'(x) = \frac{x\sin(x)}{(1 - x^2)^{3/2}} \). 
 
139. **Questão:** Encontre as soluções da equação \( \sin^2(x) - \cos^2(x) = 1 \). 
 - **Resposta:** Não há solução para esta equação. 
 
140. **Questão:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x\sqrt{1 + \ln^2(x)}} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( \arcsinh(\ln(x)) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 
141. **Questão:** Calcule a derivada de \( y = \arctan(\ln(x) + 1) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(1 + (\ln(x) + 1)^2)} \). 
 
142. **Questão:** Resolva a equação \( \sin^2(x) - \cos^2(x) = 0 \). 
 - **Resposta:** As soluções são \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n \) e \( x = \frac{3\pi}{4} + 
\frac{\pi}{2}n \), onde \( n \) é um inteiro. 
 
143. **Questão:** Determine a integral \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{8}(1 + x^2)^{3/2} - \frac{1}{2}x^2\sqrt{1 + x^2} + C 
\), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
144. **Questão:** Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)? 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{x\cos(x)}{(1 - x^2)^{3/2}} \). 
 
145. **Questão:** Encontre as soluções da equação \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). 
 - **Resposta:** Não há solução para esta equação. 
 
146. **Questão:** Determine a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{2}(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2} - \frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{1 + 
x^2}| + C \), onde \( C \) é a constante de integração.