Calculo 1-90

Prévia do material em texto

41. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(x)}{x} \)? 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Use a regra de L'Hôpital ou transforme em uma forma adequada. 
 
42. Se \( f(x) = \tan^{-1}(x) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 
 - Explicação: A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é \( \frac{1}{1+x^2} \). 
 
43. Resolva a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \). 
 - Resposta: Esta integral não tem uma solução em termos de funções elementares. 
 - Explicação: A integral de \( e^{-x^2} \) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
44. Se \( f(x) = e^{-x} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: \( f'(x) = -e^{-x} \) 
 - Explicação: A derivada de \( e^{-x} \) é \( -e^{-x} \). 
 
45. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)? 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Use a regra de L'Hôpital ou transforme em uma forma adequada. 
 
46. Se \( f(x) = \ln(1+x) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{1+x} \) 
 - Explicação: A derivada de \( \ln(1+x) \) é \( \frac{1}{1+x} \). 
 
47. Resolva a integral \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \arcsin(x) + C \) 
 - Explicação: A integral de \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) é \( \arcsin(x) + C \). 
 
48. Se \( f(x) = \ln|x| \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{x} \)