Matemática Financeira

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Matemática Financeira - Unidades 1 & 2 Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva 
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Matemática financeira
Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva
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Referências
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática 
financeira. 5. ed.. São Paulo: Saraiva, 2005.
SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira. 
Londrina: Editora e Distribuidora S.A., 2016. (livro 
institucional)
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 
7. ed.. São Paulo: Atlas, 2000.
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Dica 1
• Quem quiser e puder, recomenda-se a compra de uma boa calculadora. 
Duas boas sugestões para alunos de Administração, Contábeis e afins: 
– Calculadora financeira HP-17BII+ 
– Calculadora cientifica Casio FX-991ex Classwiz
• Observação: O curso é de Matemática Financeira e não de como 
aprender a mexer na calculadora A, B ou C. Para isso, cada aluno deverá 
verificar o manual da calculado que possui, procurar vídeos tutoriais no 
Youtube, ou cursos específicos.
3
Dica 2
A chave do sucesso é dada pela equação: 
+ + × =
Onde
– Querer: Vontade, persistência
– Saber: Adquirir conhecimento
– Acreditar: Confiar que com trabalho duro resultados irão aparecer
– Praticar: Treinar e exercitar tudo o que aprendeu
– Realizar: Colocar em prática o resultado adquirido
Obs.: A disciplina / professor irão apresentar uma série de conteúdos, teorias, 
explicações básicas, além de compartilhar seus conhecimentos... O resultado de 
cada aluno e como ele irá aproveitar e aplicar o conteúdo depende 
inteiramente dele.
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Unidade 1
Juros e parcelamentos:
Conceitos básicos
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Seção 1.1
Juros simples e taxa equivalente
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Matemática financeira
• Ramo da matemática que busca entender e analisar
– Evolução e variação do dinheiro ao longo do tempo
– Alternativas de investimentos
– De financiamentos
– Aplicações
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Capital
• Valor aplicado em alguma operação financeira
• Conhecido também como
– Principal
– Valor atual
– Valor presente
– Valor aplicado
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Juros
• Remuneração do capital
• Pode se dar segundo dois regimes
– Juros simples
– Juros compostos
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Taxa de juros
• Taxa que indica a remuneração pelo o qual o capital foi 
aplicado
• A taxa é expressa em períodos
– 50% a.a. (ao ano)
– 30% a.s. (ao semestre)
– 20% a.q. (ao quadrimestre)
– 15% a.t. (ao trimestre)
– 5% a.m. (ao mês)
– 0,05% a.d. (ao dia)
– Etc.
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Montante
• Resultado futuro de uma operação financeira
• Também conhecido como valor futuro
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Fatores
• Toda operação financeira depende de uma série de 
aspetos. Os principais são:
– Riscos: Probabilidade de operação não se concretizar
– Despesas operacionais: Custos contratuais e tributários 
para formalizar operação
– Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda
– Ganho: Lucro que pessoa deseja auferir
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Capitalização simples
Fórmulas:
= ∗ ∗
= +
= + ∗ ∗
= ∗ 1 + ∗
Legendas
= valor do juros
= valor do capital ou principal
= taxa de juros
= prazo da operação
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Revisão básica
• Perceba através do exemplo que:
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Exemplo 1
Qual o valor do juros correspondentes a um empréstimo de 
R$ 10.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa 
cobrada é de 3% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000).
Dados
= 10.000
= 5 meses
 = 3% a.m. ou 0,03
= ?
Resolução
= ∗ ∗
= 10.000 ∗ 0,03 ∗ 5
= $ . ,
15
Exemplo 2
Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende 
juros de R$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente. 
(VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000).
Dados
= 25.000
= 7 meses
= 7.875
= ?
Resolução
= ∗ ∗
7.875 = 25.000 ∗ ∗ 7
=
7.875
25.000 ∗ 7
= 0,045 ou 4,5% a. m.
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Exemplo 3
Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a 
aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se 
que se calcule o prazo. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).
Dados
= 7.500
= 6.000
= 8% a.t. ou 0,08
= ?
Resolução
= ∗ ∗
6.000 = 7.500 ∗ 0,08 ∗
=
6.000
7.500 ∗ 0,08
= 10
17
Exemplo 4
Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 
29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de 
juros. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).
Dados
= 23.000
= 29.200
= 152 dias
% a.m. = ?
Resolução
M= +
29.200 = 23.000 +
= 6.200
= ∗ ∗
6.200 = 23.000 ∗ ∗ 152
= 0,001773 . .
Para taxa mensal, 
multiplicar por 30...
= , ∗
= , % . . 18
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Taxa equivalente em juros simples
• Dado períodos em unidades distintas (mensal e 
anual por exemplo), duas taxas e são ditas 
equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital 
produzem exatamente o mesmo montante... 
• Observação: Juros Comercial ... (Juros Exato)
Ano = 360 dias ... (365 dias e 366 em anos bissextos)
Mês = 30 dias ... (número exato de dias do mês em questão)
19
Taxa equivalente em juros simples
,
... ......
0 1 período1 1 ... ...... 1
Taxa e taxa são equivalentes, dessa forma temos:
= ∗
∗ = ∗ ∗
= ∗
Legendas
: taxa de juros (período maior)
: taxa de juros (período menor)
: período de 
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Tabela para conversão de tempo
(juros comercial – ano com 360 dias)
Dia Mês Bimestre
Tri
mestre
Quadri
mestre
Semestre Ano
1 1/30 1/60 1/90 1/120 1/180 1/360
30 1 30/60 30/90 30/120 30/180 30/360
60 2 1 60/90 60/120 60/180 60/360
90 3 90/60 1 90/120 90/180 90/360
120 4 2 120/90 1 120/180 120/360
180 6 3 2 180/120 1 180/360
360 12 6 4 3 2 1
21
Exemplo 5
• Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 15% 
a.a.? 
Dados
= 15% a.a.
= ? % a.t.
1 ano = 4 trimestres
Resolução
= ∗
15 = ∗ 4
=
15
4
= 3,75% . .
22
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Exemplo 6
• Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% a.t.? 
Dados
= ?% a.a.
= 2% a.t.
1 ano = 4 trimestres
Resolução
= ∗
= 2 ∗ 4 = 8% . .
23
Exemplo 7
Uma pessoa realiza uma compra de um bem, cujo valor à vista 
é de R$ 1.500,00. Ela dá uma entrada de R$ 400,00 e financia 
o restante em 2 meses. Sob uma taxa de juros simples de 24% 
a.a., pede-se para determinar o montante de juros pago na 
operação.
Dados
= − = 1.100,00
= 2 
= 24% . .
1 ano = 12 meses
=?
Resolução
= ∗ ∗
= 1100 ∗
24%
12
∗ 2 = $ 44,00
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Fórmulas de juros simples
Juros = Período =
− 1
Montante
= +
= 1 +
Taxa =
− 1
Capital =
1 +
Taxa equivalente = ∗
25
Exercícios (VieiraSobrinho, 2000, p. 30-31)
1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% 
ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).
2. Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 
11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).
3. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da 
aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ 
31.271,48).
4. Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera 
um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.).
5. Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304,77 a 
uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).
6. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 
dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 400.00,00) 26
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Resolução exercício 1
Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à 
taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).
= ∗ ∗
= 60.000 ∗
0,24
12
∗ 7
J = R$ 8.400,00
27
Resolução exercício 2
Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu 
juros de $ 11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).
= ∗ ∗
11.200 = 28.000 ∗
12
∗ 8
= 0,6 ou 60% a. a.
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Resolução do exercício 3
Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, 
resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 
meses? (R: $ 31.271,48).
= −
=
1 +
= 100.000 −
100.000
1 +
0,42
12 ∗ 13
≅ $ 31.271,48
29
Resolução exercício 4
Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 
0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 
8,333 meses.).
= (1 + ∗ )
=
1.000
800 − 1
0,001
= 250 
30
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Resolução exercício 5
Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 
62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).
= ∗ ∗
=
62.304,77
270.420 ∗
0,054
30
= 128 
31
Resolução exercício 6
Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao 
mês, por 174 dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 
400.00,00)
= (1 + )
=
543.840
1 +
0,062
30 ∗ 174
= $ 400.000,00
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Seção 1.2
Séries de juros simples
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Por que é importante...
• Compras com ou sem entrada
• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas 
periódicas iguais
• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?
• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.
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Fórmula básica
=
1 +
= −
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Exemplo 1
Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática 
financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob 
uma taxa de juros simples de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor 
das parcelas.
Resolução
− =
1 +
360 =
1 + 0,025 ∗ 1
+
1 + 0,025 ∗ 2
+
1 + 0,025 ∗ 3
360 =
1
1,025
+
1
1,05
+
1
1,075
≅ 125,95, , 3 $ 125,95.
Dados
= 360
= 0,025 . .
= 3
=?
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Exemplo 2
Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi 
quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na 
transação foi praticada taxa de juros simples de 60% a.a., qual o valor do 
produto à vista? Resolução
− =
1 +
− 100 =
250
1 + 0,05 ∗ 1
+
250
1 + 0,05 ∗ 2
A =
250
1,05
+
250
1,1
+ 100
≅ $ 565,37.
Dados
= +
=
0,6 . .
12
= 0,05 . .
= 2
= 250,00
= 100,00
=?
37
Exercícios
1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o 
restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de 
R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de 
juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? 
(R: R$ 635,48).
2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 
1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de 
juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o 
valor das parcelas. (R: R$ 529,72).
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Exercício 1 - Resolução
Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi 
quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na 
transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do 
produto à vista? (R: R$ 635,48) Resolução
− =
1 +
− 150 =
250
1 + 0,02 ∗ 1
+
250
1 + 0,02 ∗ 2
A =
250
1,02
+
250
1,04
+ 150
≅ $ 635,48.
Dados
= +
= 0,02 . .
= 2 
= 250,00
= 150,00
=?
39
Exercício 2 - Resolução
Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O 
parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., 
durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72).
Resolução
− =
1 +
1500 =
1 + 0,03 ∗ 1
+
1 + 0,03 ∗ 2
+
1 + 0,03 ∗ 3
1500 =
1
1,03
+
1
1,06
+
1
1,09
≅ 529,72, , 3 $ 529,72.
Dados
= 1.500,00
= 0,03 . .
= 3
=?
40
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Seção 1.3
Juros compostos e taxa equivalente
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Por que é importante
• Regime de capitalização composta ou exponencial é 
o mais usado nas operações financeiras...
• Neste regime os juros são incorporados ao principal 
em cada período considerado...
• Conhecido como juros sobre juros
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Fórmulas básicas
Fórmulas
= −
= 1 +
= 1 + ⁄ − 1
Legendas
= Capital
= Valor à vista
= Entrada
= Montante
= Taxa de juros
= Período
= Taxa que eu quero
= Taxa que eu tenho
= Período que eu quero
= Período que eu tenho
43
Exemplo 1
Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 
30.000,00, pelo prazo de 5 meses, à uma taxa de juros de 5% 
a.m..
44
Resolução
= 1 +
= 30000 1 + 0,05
= $ 38.288,45
Dados
= 30.000,00
= 0,05 . .
= 5
=?
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Exemplo 2
No final de 3 anos, um empréstimo gera um pagamento de R$ 
150.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi 
2,5% a.m., pergunta-se: Qual foi o valor emprestado?
Resolução
= 1 +
150000 = 1 + 0,025
=
150000
1,025
= $ 61.664,06
Dados
=?
= 0,025 . .
= 3 = 36 
= 150.000,00
45
Exemplo 3
Uma calculadora, cujo preço à vista é R$ 750,00, foi financiada sem 
entrada e seu pagamento foi realizado no final do 6 mês em uma única 
prestação de R$ 875,36. Qual foi a taxa cobrada pela loja?
Resolução
= 1 +
875,36 = 750,00 1 +
875,36
750,00
= 1 +
Dados
= 750,00
=? % . .
= 6 
= 875,36
875,36
750,00
= 1 +
875,36
750,00
= 1 +
=
875,36
750,00
− 1
= 0,0261 2,61% . . 46
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Exemplo 4
Um capital C é aplicado a uma taxa de juros composto de 4% 
a.m.. Qual o prazo necessário para que o investidor dobre o 
seu capital?
Resolução
= 1 +
2 = 1 + 0,04
Dados
=
= 4% . .
=?
= 2
2
= 1,04
2= 1,04
ln 2 = ln 1,04
=
ln 2
ln 1,04
= 17,67 
47
Quandonão sabemos o valor do 
período, resolvemos por logaritmo 
• Porque: = ⇔ log =
• E que mudança de base é dado por (maioria das calculadoras 
fazem logaritmo neperiano e/ou logaritmo de base 10)...
• Independente de qual base usar, desde que seja a mesma para 
os dois valores, o resultado é o mesmo...
=
ln
ln
48
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Exemplo 5
Determinar:
a. Taxa anual equivalente a 3% a.m.. 
(3% a.m. = 0,03 a.m., a.a. = ?)
b. Taxa diária equivalente a 60% a.a.. 
(60% a.a. = 0,6 a.a., a.d. = ?)
Resolução (a)
= 1 + − 1
= 1 + 0,03 − 1
= 0,4258 42,58% . .
Resolução (b)
= 1 + − 1
= 1 + 0,6 − 1
= 0,001306 0,1306% . .
49
Exemplo 6
Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 
52.000,00 para ser quitada por R$ 82.000,00 no prazo de 252 
dias?
Resolução
Primeira, precisamos descobrir 
a taxa do período...
=
82000
52000
− 1
Observação no slide seguinte...
Depois, achar a taxa equivalente
= 1 + − 1
= 1 +
82000
52000
− 1 − 1
= 0,05572 5,572% . .
50
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Observação
• A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos e o capital 
inicialmente aplicado. Matematicamente:
=
• Como o = − , também podemos achar a taxa como 
segue:
=
−
= − = − 1
51
Exemplo 7
Foi feita uma aplicação de R$ 18.000,00 num título de renda 
fixa com vencimento em 82 dias, a uma taxa de juros de 68% 
a.a.. Qual o valor a ser resgatado?
Dados
= 68% . . = 0,68 . .
= 18.000,00
= 82 
=?
Resolução
= 1 +
= 18000 1 + 0,68
= $ 20.257,83
52
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Exercícios
1. Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de 
um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ 162.799,60).
2. Uma aplicação de R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% 
a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de quanto tempo? (R: 
23,32 meses).
3. Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz 
um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).
4. Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá 
receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias).
53
Exercício 1 - resolução
Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da 
aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% 
a.m.. (R: R$ 162.799,60).
= 1 +
= 100000 1 + 0,0382
= $ 162.799,60
54
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Exercício 2 - resolução
Uma aplicação de 0R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros 
de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de 
quanto tempo? (R: 23,32 meses).
= 1 +
34455 = 20000 1 + 0,0236
34455
20000
= 1,0236
=
ln
34455
20000
ln 1,0236
= 23,32 
55
Exercício 3 - resolução
Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 
dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).
= 1 +
5400 = 1 + 0,14
5400
1,14
=
= $ 4.118,99
56
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Exercício 4 - resolução
Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um 
investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 
dias).
57
= 1 +
2 = 1 + 0,00125
2
= 1,00125
ln 2 = ln 1,00125
=
ln 2
ln 1,00125
= 554,86 
Seção 1.4
Séries de juros compostos
58
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Por que é importante...
• Compras com ou sem entrada
• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas 
periódicas iguais
• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?
• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.
59
Fórmula básica
=
1 +
= −
60
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Exemplo 1
Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática 
financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado 
sob uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m., durante 3 meses. 
Determine o valor das parcelas.
Resolução
− =
1 +
360 =
1 + 0,025
+
1 + 0,025
+
1 + 0,025
360 =
1
1,025
+
1
1,050625
+
1
1,076890625
≅ 126,05, , 3 $ 126,05.
Dados
= 360
= 0,025 . .
= 3
=?
61
Exemplo 2
Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi 
quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na 
transação foi praticada taxa de juros compostos de 60% a.a., qual o valor 
do produto à vista?
Dados
= +
= 1 + 0,6 − 1
= 0,0399 3,99% . .
= 2
= 250,00
= 100,00
=? 62
Resolução
− =
1 +
− 100 =
250
1 + 0,0399
+
250
1 + 0,0399
=
250
1,0399
+
250
1,0814
+ 100
≅ $ 571,59.
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Exemplo 3
Pedro comprou uma impressora de R$ 1.300,00, pagou uma entrada de 
R$ 300,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais nos valores de 
R$ 650,00 e R$ 450,00, respectivamente. O contrato foi celebrado sob 
regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros.
63
Resolução
− =
1 +
1.300 − 300 =
650
1 +
+
450
1 +
1.000 =
650 1 + + 450
1 +
1.000 1 + = 650 + 650i + 450
1.000 1 + 2 + = 1.100 + 650
1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.100 − 650 = 0
−100 + 1.350 + 1.000 = 0
Δ = 1.350 − 4 1.000 −100 = 2.222.500
=
−1.350 + 2.222.500
2 ∗ 1.000
= 0,0704 7,04% . .
Exercícios
1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi 
quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na 
transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do 
produto à vista? (R: R$ 635,39).
2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O 
parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., 
durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30).
3. Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 
e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 
650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. 
Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)
64
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Exercício 1 - resolução
Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado 
em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi 
praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? 
(R: R$ 635,39).
Resolução
− =
1 +
− 150 =
250
1 + 0,02
+
250
1 + 0,02
=
250
1 + 0,02
+
250
1 + 0,02
+ 150 = R$ 635,39
65
Exercício 2 - resolução
Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O 
parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., 
durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30).
66
Resolução
− =
1 +
1500 =
1 + 0,03
+
1 + 0,03
+
1 + 0,03
1500 =
1
1,03
+
1
1,0609
+
1
1,092727
=
1500
1
1,03 +
1
1,0609 +
1
1,092727
= $ 530,30
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Exercício 3 - resolução
Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 
500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor 
de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. 
Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)
67
Resolução− =
1 +
1.500 − 500 =
650
1 +
+
650
1 +
1.000 =
650 1 + + 650
1 +
1.000 1 + = 650 + 650i + 650
1.000 1 + 2 + = 1.300 + 650
1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.300 − 650 = 0
−300 + 1.350 + 1.000 = 0
Δ = 1.350 − 4 1.000 −300 = 3.022.500
=
−1.350 + 3.022.500
2 ∗ 1.000
= 0,1943 19,43% . .
Unidade 2
Aplicações dos conceitos básicos
68
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Seção 2.1
Capital de giro – desconto bancário
69
Contexto
• Em muitas situações, para conseguirem liquidez, 
pessoas e empresas podem antecipar recebimento de 
ativos financeiros.
• Capital de giro: recurso que garante condições para 
uma empresa dar continuidade às suas ações
• Desconto bancário: antecipação de recebimento de 
um título
70
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São considerados títulos
• No caso de empresas (pessoas jurídicas)
– Promissórias
– Duplicatas
– Boletos
– Cheques
– Faturas de cartão de crédito
• No caso de pessoas físicas
– 13º salário
– Restituição do IR
71
Desconto simples
Também conhecido como desconto bancário ou comercial
Matematicamente
=
= −
= −
= (1 − )
Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos 
diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples: 
= ∗
72
Legenda:
= Desconto bancário ou comercial
= Valor nominal do título a ser descontado
= Taxa de desconto
= Prazo
= Valor descontado (valor recebido)
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Taxa do período
73
N-D
N
0 n
C
M
0 n
= − 1
=
−
− 1
Exemplo 1
1. Qual o valor do desconto simples de um título de 
R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa 
de desconto comercial de 3% ao mês? 
2. Qual o valor recebido na operação?
74
Resolução:
(1)
=
= 3000 ∗ 0,03 ∗ 3 = $ 270,00
(2)
= −
= 3000 − 270 = $ 2.730,00
Dados:
=3000
= 0,03 a.m.
= 90 dias ou 3 meses
= ?
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Exemplo 2
Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa 
operação de 120 dias, cujo o valor de resgate é de R$ 
1.500,00 e o valor atual é de R$ 900,00?
75
Resolução:
= 1 −
900 = 1500 1 − 4
900
1500
= 1 − 4
0,6 − 1 = −4
Dados:
=1500
= 900
= 120 dias ou 4 meses
= ?
Resolução (continuação):
−0,4 = −4 ∗ −1
0,4 = 4
=
0,4
4
= 0,1 10% . .
Exemplo 3
Um título de R$ 10.000,00 foi descontado num banco 42 dias antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.. Pergunta-se: 
(a) Qual o valor do desconto? (b) Qual o valor líquido recebido, 
sabendo-se que o banco cobra uma taxa de serviço de 0,5% do valor do 
título, pago no dia que a empresa a descontou?
76
(b)
 ç = 0,005 ∗ 10000 = 50
 = 10000 − 280 − 50
 = $ 9.670,00
(a)
=
= 10000 ∗
0,02
30
∗ 42
= $ 280
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Exemplo 4
Uma empresa descontou dois títulos, um com valor de R$ 1.500,00 
vencendo em 85 dias e outro com valor de R$ 2.700,00 vencendo em 10 
dias. A taxa de desconto comercial é de 13,2% a.m.. Qual o valor 
resgatado pela empresa?
77
Título vencendo em 85 dias
=
= 1500 ∗
0,132
30
∗ 85
= $ 561,00
= −
= 1500 − 561 = $ 939,00
Título vencendo em 10 dias
=
= 2700 ∗
0,132
30
∗ 10
= $ 118,80
= −
= 2700 − 118,80 = $ 2.581,20
Valor resgatado é 939 + 2581,20 = R$ 3.520,20.
Relação entre taxa de desconto 
e taxa de juros simples
78
=
−
− 1
− −
−
=
−
=
1 −
=
1 −
=
1 −
Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for 
de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma 
duplicata for 3 meses, qual a taxa mensal de 
juros simples da operação? (HAZZAN; 
POMPEO, 2005, p.22).
Resolução: : = 4% e = 3.
=
0,04
1 − 0,04 3
= 0,04545455 4,54545455 % . .
V P 1 0 0 , 0 0R $ 
d 4 , 0 0 % V F 1 1 3 , 6 4R $ 
n 3
i 4 , 5 5 %
N 1 1 3 , 6 4R $ 
V d 1 0 0 , 0 0R $ 
V d = N ( 1 - d n )
i = d / ( 1 - d n )
V F = V P ( 1 + i n )
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Exemplo 5
• Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontado 
num banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros efetiva de juros 
igual a 3% a.m.. Qual a taxa de desconto utilizada? (HAZZAN; 
POMPEO, 2005, p.20).
79
=
1 −
0,03 =
1 − 2
0,03 1 − 2 =
0,03 − 0,06 =
− − 0,06 = −0,03
−1,06 = −0,03
=
0,03
1,06
= 0,283 2,83% . .
Exercícios (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.23)
1. Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num 
banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:
a. O desconto comercial (R: $ 360,00)
b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00)
c. A taxa de juros no período (R: 4,17%)
d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)
2. Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.000,00 um título 
governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo 
do vencimento do título era de 49 dias, calcule:
a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)
b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)
80
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Exercício 1 - resolução
Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num 
banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:
a. O desconto comercial (R: $ 360,00)
b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00)
c. A taxa efetiva de juros no período (R: 4,17%)
d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)
81
(a)
=
= 9000 ∗ 0,02 ∗ 2
= $ 360,00
(b)
= −
= 9000 − 360
= $ 8.640,00
(c)
= − 1
=
9000
8460
− 1
= 0,0417 4,17%
(d)
= ∗
4,17 = ∗ 2
=
4,17
2
= 2,08% . .
Exercício 2 - resolução
Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um título 
governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o 
prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule:
a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)
b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)
82
Dados:
= 50.000
− = 48.800
= 49 
= ? % . .
= ? % . .
Resolução (a):
=
−
− 1 =
50000
48800
− 1 = 0,0246 2,46% . .
Resolução (b):
= ∗
2,46% = ∗
49
30
= 1,51% . .
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Seção 2.2
Desconto bancário com IOF
83
Contexto
• Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e 
empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros.
• Capital de giro: recurso que garante condições para uma 
empresa dar continuidade às suas ações
• Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título
• Parecido com seção 2.1, porém agora com a inclusão do IOF
84
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IOF
• Imposto sobre Operações Financeiras
• É usado pelas instituições financeiras em:
– Operações de câmbio
– Crédito
– Seguros
– Títulos
– Valores imobiliários
85
Desconto simples com IOF
Matematicamente
= +NIOFn
= +
= −
= − +
= 1 − +
Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos 
diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples: 
= ∗
86
Legenda:
= Desconto bancário ou comercial
= Valor nominal do título a ser descontado
= Taxa de desconto
= Prazo
= Valor descontado (valorrecebido)
IOF = Imposto sobre operações financeiras
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Exemplo 1
• Qual o valor do desconto simples de um título de 
R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa 
de desconto comercial de 3% ao mês e IOF de 
0,017% a.d.?
87
Resolução:
= +
= 3000 0,03 + 0,0051 ∗ 3
= $ 315,90
Dados:
=3000
= 0,03 a.m.
= 90 dias ou 3 meses
= ?
= 0,017% . . ou
0,017 ∗ 30 = 0,51% a. m.
Exemplo 2
Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 
120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.500,00, o IOF é 
0,02% a.d. e cujo valor atual é de R$ 900,00?
88
Resolução:
= ∗ 1 − + ∗ 
900 = 1500 ∗ 1 − + 0,006 ∗ 4
900
1500
= 1 − + 0,006 ∗ 4
0,6 − 1 = − + 0,006 ∗ 4
−0,4
4
= − − 0,006
−0,1 + 0,006 = − ∗ −1
= 0,094 9,40% . .
Dados:
=1.500
= 900
= 120 dias ou 4 meses
= 0,02% . .
0,02 * 30 = 0,6% a.m.
= ?
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Exercícios
1. (SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de 
seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas 
duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com 
vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a 
transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal 
de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o 
fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)
2. (SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 
12.600,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ 10.830,96, é 
sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa 
nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)
89
Exercício 1 - resolução
(SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com 
o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 
36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a 
transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF 
de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)
90
Resolução: = ∗ 1 − + ∗ 
í 1: = 23460 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗
6
360
= $ 23.344,58
í 2: = 36780 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗
19
360
= $ 36.206,97
23.344,58 + 36.206,97 = $ 59.551,55
OBS: Dia dividido por 360 pelo fato da taxa ser em ano...
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Exercício 2 - resolução
(SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 12.600,00 em 27 dias 
resultou num resgate de R$ 10.830,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d.
Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)
91
Resolução: = ∗ 1 − + ∗ 
10.830,96 = 12.600,00 ∗ 1 − + 0,0008 ∗ 27 = 0,0044 . . 0,44% . .
Seção 2.3
Taxa efetiva e nominal
92
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Observação
• Ao fazer leitura da seção 1.3, perceber que a 
mesma se encontra com erro...
• Para referência correta, sugere-se:
– HAZZAN; POMPEO (2005) – p. 51-54
– VIERA SOBRINHO (2000) – p. 184-185
– MOTTA; CALÔBA ( 2002) – p. 45-46
93
Taxa nominal versus efetiva
• Taxa nominal e taxa efetiva costumam confundir muitas 
pessoas. 
• Imagine que você emprestou ou aplicou determinado 
capital. Essa contrato, no final de um período, irá 
render uma quantia de juros a ser paga ou recebida.
• Agora imagine a seguinte situação. Você vai ao banco 
pegar um empréstimo, e taxa informada pelo banco é 
de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a. / 
mês). O que será isso? Como entender essa situação? 
94
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TAXA
NOMINAL
Taxa nominal versus efetiva - exemplo
95
100
0 1n 2n 3n
10% a.m./m 10% a.m./m 10% a.m./m
110 121 133,10
30% a.t. / mês
33,1% a.t./t
TAXA
EFETIVA
Taxa nominal versus efetiva - exemplo
Temos que a taxa nominal é
30% a.t. / m
Achando a taxa equivalente 
( = ∗ ) achamos 
=
%
= 10% a.m./mês, 
o que corresponde a nossa 
taxa efetiva
Agora, e a taxa efetiva trimestral? Por 
taxa equivalente em juros compostos 
( = 1 + − 1) achamos 
= 1 + 0,1 ⁄ − 1 = 0,331 ou 
33,10% a.t./t
Sendo assim, você descobre 
que na realidade você esta 
pagando 33,10% a.t., o que 
é maior do que 30% a.t.
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Aplicação
• Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 12% a.a., 
durante 1 ano, com capitalização mensal. Determinar o 
valor do montante. 
=
=
12%
12
= 0,01
= 1.000 1 + 0,01 = $ 1.126,83
97
Perceba: Capital de R$ 1.000,00, aplicado à 
taxa de 12% a.a., durante 1 ano:
Com 
Capitalização
Taxa efetiva Montante
Anual 12% . . = 1000 1,12 = 1.120
Semestral 12%
2
 . = 1000 1 +
0,12
2
= 1.123,60
Trimestral 12%
4
 . . = 1000 1 +
0,12
4
= 1.125,51
Bimestral 12%
6
 . . = 1000 1 +
0,12
6
= 1.126,16
Mensal 12%
12
 . . = 1000 1 +
0,12
12
= 1.127,47
Diária 12%
360
 . . = 1000 1 +
0,12
360
= 1.127,47
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Exercício 1
• Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado à uma taxa de 
24% a.a., durante 2 anos, com capitalização 
trimestral. Determinar o montante da operação.
=
24%
4
= 6% . .
= 1.000 1 + 0,06 = $ 3.187,70
99
Exercício 2
• Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado à uma taxa de 
24% a.a., com capitalização trimestral. Determinar 
o tempo necessário para triplicar o capital investido. 
=
24%
4
= 6% . .
7.500 = 2.500 1 + 0,06 = 18,85 
100
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Seção 2.4
NEGOCIAÇÃO COM JUROS SIMPLES 
E COMPOSTOS
101
Para simplificar
• Vamos supor duas situações e comparar os:
– capitais da situação A com a situação B, e o 
– valor a vista da situação A com a situação B
102
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Supondo
• Capital de R$ 1.000,00 foi emprestado a uma taxa 
de juros de 4% a.m., a ser devolvido (supor)
103
n Juros simples Juros compostos
0 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
5 dias R$ 1.006,67 R$ 1.006,56
15 dias R$ 1.020,00 R$ 1.019,80
1 mês R$ 1.040,00 R$ 1.040,00
5 meses R$ 1.200,00 R$ 1.216,65
12 meses R$ 1.480,00 R$ 1.601,03
Perceba
• Curto prazo – período de até 30 dias
– Valor do juros simples é maior
• Valor igual – 1 mês 
– cruzamento entre juros simples e juros compostos
• Longo prazo – período acima de 30 dias
– Valor do juros compostos é maior
– Perceba que pagar em juros simples depois de 30 dias é sempre 
melhor...
104
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Negociação – exemplo 1
• Produto tem sua venda anunciada em duas parcelas 
mensais e iguais a R$ 600,00, sob o regime de juros 
compostos de 1,8% a.m.. Um comprador 
interessado no produto propõe pagá-lo nas seguintes 
condições: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 
meses, sob taxa e regime compostos de 2% a.m.. 
Determinar o valor das parcelas propostas.
105
Resolução – exemplo 1
=
600
1 + 0,018
+
600
1 + 0,018
=
1 + 0,02
+
1 + 0,02
+
1 + 0,02
600
1,018
+
600
1,018
=
1
1,02
+
1
1,02
+
1
1,02
= $ 415,90
106
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http://diegofernandes.weebly.com 54Negociação – exemplo 2
• Produto está com sua venda anunciada em uma 
parcela de R$ 540,00 com pagamento para 30 dias, 
sob regime de juros compostos, a uma taxa nominal 
de 18% a.a./m.. Um comprador propõe pagar em 
duas parcelas mensais e iguais, sob uma taxa de juros 
compostos de 2,2% a.m. e entrada de R$ 200,00. 
Determinar o valor da parcela.
107
Resolução – exemplo 2
=
18%
12
 . . = 1,5% . .
 = 
540
1 + 0,015
= 200 +
1 + 0,022
+
1 + 0,022
540
1,015
− 200 =
1
1,022
+
1
1,022
= 171,81
108