Polinômio Interpolador e Integral

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174 Cálculo Numérico
O polinômio interpolador de f(x) é
P (x) = f(0)
(x− 1
2)(x− 1)
(0− 1
2)(0− 1) + f
(1
2
) (x− 0)(x− 1)
(1
2 − 0)(1
2 − 1) + f(1)
(x− 0)(x− 1
2)
(1− 0)(1− 1
2)(6.46)
= f(0)(2x2 − 3x+ 1) + f
(1
2
)
(−4x2 + 4x) + f(1)(2x2 − x) (6.47)
e a integral de P (x) é:
∫ 1
0
P (x)dx =
[
f(0)
(2
3x
3 − 3
2x
2 + x
)]1
0
+
[
f
(1
2
)(
−4
3x
3 + 2x2
)]1
0
(6.48)
+
[
f(1)
(2
3x
3 − 1
2x
2
)]1
0
(6.49)
= f(0)
(2
3 −
3
2 + 1
)
+ f
(1
2
)(
−4
3 + 2
)
+ f(1)
(2
3 −
1
2
)
(6.50)
= 1
6f(0) + 2
3f
(1
2
)
+ 1
6f(1) (6.51)
Para fazer a estimativa de erro usando o Teorema 6.4.1 e temos∣∣∣∣∫ 1
0
f(x)dx−
∫ 1
0
P (x)dx
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ 1
0
f(x)− P (x)dx
∣∣∣∣ (6.52)
≤
∫ 1
0
|f(x)− P (x)|dx (6.53)
≤ M
6
∫ 1
0
∣∣∣∣x(x− 1
2
)
(x− 1)
∣∣∣∣ dx (6.54)
= M
6
[∫ 1/2
0
x
(
x− 1
2
)
(x− 1)dx (6.55)
−
∫ 1
1/2
x
(
x− 1
2
)
(x− 1)dx
]
(6.56)
= M
6
[ 1
64 −
(
− 1
64
)]
= M
192 . (6.57)
Lembramos que M = maxx∈[0,1] |f ′′′(x)|.
Observação 6.4.1. Existem estimativas melhores para o erro de truncamento
para este esquema de integração numérica. Veremos com mais detalhes tais esque-
mas na teoria de integração numérica.
Exemplo 6.4.3. Use o resultado do exemplo anterior para aproximar o valor das
seguintes integrais:
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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6.5. INTERPOLAÇÃO LINEAR SEGMENTADA 175
a)
∫ 1
0
ln(x+ 1)dx
b)
∫ 1
0
e−x
2
dx
Solução. Usando a fórmula obtida, temos que
∫ 1
0
ln(x+ 1)dx ≈ 0,39± 1
96 (6.58)
∫ 1
0
e−x
2
dx ≈ 0,75± 3,87
192 (6.59)
♦
Exercícios
E 6.4.1. Use as mesmas técnicas usadas o resultado do Exemplo 6.4.2 para
obter uma aproximação do valor de:
∫ 1
0
f(x)dx (6.60)
através do polinômio interpolador que coincide com f(x) nos pontos x = 0 e x = 1.
6.5 Interpolação linear segmentada
Considere o conjunto (xi,yi)nj=1 de n pontos. Assumiremos que xi+1 > xi, ou
seja, as abscissas são distintas e estão em ordem crescente. A função linear que
interpola os pontos xi e xi+1 no intervalo i é dada por
Pi(x) = yi
(xi+1 − x)
(xi+1 − xi)
+ yi+1
(x− xi)
(xi+1 − xi)
(6.61)
O resultado da interpolação linear segmentada é a seguinte função contínua
definida por partes no intervalo [x1,xn]:
f(x) = Pi(x), x ∈ [xi,xi+1] (6.62)
Exemplo 6.5.1. Construa uma função linear por partes que interpola os pontos
(0,0), (1,4), (2,3), (3,0), (4,2), (5,0).
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	Interpolação
	Interpolação linear segmentada