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10 Pré-cálculo
A×B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 3),
(3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
Figura 1.1: Produto cartesiano dos conjuntos A e B.
1.2 Cardinalidade de conjuntos
A cardinalidade de um conjunto A qualquer é o número de elementos deste
conjunto, e pode ser denotada por n(A), |A| ou #A.
Note que: n(∅) = #∅ = 0.
É importante observar que, dados quaisquer conjuntos A e B:
A cardinalidade da união de A e B é dada por:
#(A ∪B) = #A+ #B −#(A ∩B). (1.4)
Esta fórmula irá nos ajudar a resolver muitos problemas de teoria de conjuntos.
1.3 Conjunto das partes
Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, denotado por P(A), é o
conjunto de todos os subconjuntos de A, ou seja,
P(A) = {X | X é um subconjunto de A} . (1.5)
Dado um conjunto A qualquer, precisamos �car atentos a duas coisas:
Licença CC BY-SA-4.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
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1.3. CONJUNTO DAS PARTES 11
� O conjunto ∅ sempre está no conjunto das partes de A, pois ∅ ⊂ A;
� O conjunto A sempre está no conjunto das partes de A, pois A ⊂ A.
Portanto, ∅ ∈P(A) e A ∈P(A).
Exemplo 1.3.1. Se considerarmos o conjunto A = {a, b, c}, teremos pela de�nição
acima que o conjuntos das partes de A é:
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} . (1.6)
E como sabemos se este conjunto acima contém, de fato, todos os subconjun-
tos do conjunto A? Podemos veri�car isso utilizando a seguinte propriedade do
conjunto das partes:
Proposição 1.3.1. Se o conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2n ele-
mentos. Ou seja:
#A = n ⇒ #P(A) = 2n . (1.7)
Demonstração: Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental
da contagem para contar quantos subconjuntos um conjunto A com n elementos
tem.
Para começar, considere um subconjunto B qualquer de A. Observe que para
cada um dos n elementos de A, só existem duas possibilidades:
� Ou o elemento pertence ao subconjunto B;
� Ou o elemento não pertence ao subconjunto B.
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto
B de
2 · 2 · 2 · · · 2︸ ︷︷ ︸
nvezes
= 2n (1.8)
maneiras diferentes.
Portanto, há 2n subconjuntos de A em P(A).
No Exemplo 1.3.1, temos que #A = 3. Logo, aplicando esta propriedade,
obtemos que #P(A) = 23 = 8, que é exatamente a quantidade de elementos que
listamos no conjunto P(A). Podemos com isso concluir que estes são todos os
subconjuntos do conjunto A que existem, isto é, o conjunto P(A) está completo.
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12 Pré-cálculo
1.4 Propriedades das operações entre conjuntos
Dada uma família A de conjuntos, ou seja, dado um conjunto A de conjuntos,
temos:
� União de todos os conjuntos que são elementos de A :⋃
A∈A
A = {x | x ∈ A para algum A ∈ A } (1.9)
� Interseção de todos os conjuntos que são elementos de A :⋂
A∈A
A = {x | x ∈ A para todo A ∈ A } (1.10)
Proposição 1.4.1. Sejam A, B e C conjunto arbitrários, temos que:
� ∅ ⊂ A
� A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅
� A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
� A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (A ∪ C)
� A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C) (lei de De Morgan)
� A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C) (lei de De Morgan)
�
⋂
α∈J(Aα ∩B) = (
⋂
α∈J Aα) ∩B
(A1 ∩B) ∩ · · · ∩ (An ∩B) = (A1 ∩ · · · ∩ An) ∩B (1.11)
�
⋃
α∈J(Aα ∩B) = (
⋃
α∈J Aα) ∩B
(A1 ∩B) ∪ · · · ∪ (An ∩B) = (A1 ∪ · · · ∪ An) ∩B (1.12)
� (U × V ) ∩ (A×B) = (U ∩ A)× (V ∩B)
� X −
⋂
α∈J Aα =
⋃
α∈J(X − Aα)
� X −
⋃n
i=1Ai =
⋂n
i=1(X − Ai)
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