Velocidade relativa (REQUER CÁLCULO)

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(Bruno Pimentel-FIS)
Um móvel percorre o eixo x com aceleração ax(t) = t(t − µ)2µ, enquanto outro se movimenta ao longo
do eixo y com aceleração ay(t) = t2µ(µ + t). Determine o módulo da velocidade relativa entre eles no
intante t = 3µ, sendo µ uma constante qualquer e admitindo que eles partem do repouso.
Resolução
A velocidade ao longo do eixo x e y é dada pela integral em relação ao tempo das funções que definem
suas respectivas acelerações. Dáı, temos:
vx(t) =
∫
axdt =
∫
t(t− µ)2µdt =
∫
(u+ µ)u2µdu =
∫
(u2µ+1 + µu2µ)du =
u2µ+2
2µ+ 2
+
µu2µ+1
2µ+ 1
vx(t) = u2µ+1
(
u
2µ+ 2
+
µ
2µ+ 1
)
= (t−µ)2µ+1
(
t− µ
2µ+ 2
+
µ
2µ+ 1
)
= (t−µ)2µ+1
(
2µt+ t���−2µ2 − µ+�
�2µ2 + 2µ
(2µ+ 2)(2µ+ 1)
)
vx(t) = (t− µ)2µ+1
(
2µt+ t+ µ
(2µ+ 2)(2µ+ 1)
)
⇒ vx(3µ) = (2µ)2µ+1
(
6µ2 + 3µ+ µ
(2µ+ 2)(2µ+ 1)
)
vx(3µ) =
(2µ)2µ+2(3µ+ 2)
2(µ+ 1)(2µ+ 1)
vy(t) =
∫
aydt =
∫
t2µ(µ+ t)dt =
∫
(t2µµ+ t2µ+1)dt =
t2µ+1µ
2µ+ 1
+
t2µ+2
2µ+ 2
= t2µ+1
(
µ
2µ+ 1
+
t
2µ+ 2
)
vy(3µ) =
(3µ)2µ+1(8µ2 + 5µ+)
2(µ+ 1)(2µ+ 1)
A velocidade relativa é dada pela subtração de dois vetores perpendiculares, dáı basta aplicar
Pitagoras:
vrel =
√
v2x(3µ) + v2y(3µ) =
√[
(2µ)2µ+2(3µ+ 2)
2(µ+ 1)(2µ+ 1)
]2
+
[
(3µ)2µ+1(8µ2 + 5µ+)
2(µ+ 1)(2µ+ 1)
]2
vrel =
√
[(2µ)2µ+2 · (3µ+ 2)]2 + [(3µ)2µ+1 · (8µ2 + 5µ)]2
2(µ+ 1)(2µ+ 1)
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