Princípios de Contagem

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ANÁLISE COMBINATÓRIA I
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
INTRODUÇÃO
Frequentemente, no nosso dia a dia, precisamos enumerar 
“eventos” tais como, arrumação de objetos de certa maneira, 
particionar coisas sob uma certa condição, distribuições para certos 
fins etc. Para fazermos isto, antes de tudo, precisamos enunciar dois 
teoremas que são fundamentais em todos os problemas de contagem.
O PRINCÍPIO ADITIVO (AP)
Suponha que existam
n1 maneiras para o evento E1 ocorrer,
n2 maneiras para o evento E2 ocorrer,

nk maneiras para o evento Ek ocorrer, onde k ≥ 1. Se estas maneiras 
para as ocorrências dos eventos distintos forem disjuntas duas a duas 
então o número de maneiras nas quais pelo menos um dos eventos E1, 
E2, ..., ou Ek pode ocorrer é 
n n n nk i
i
k
1 2
1
� � � �
�
�...
Assim, por exemplo, se podemos ir de uma cidade P a uma 
cidade Q por vias aérea, marítima e rodoviária, e supondo que existam 
2 companhias marítimas, 3 companhias aéreas e 2 companhias 
rodoviárias que fazem o trajeto entre P e Q, então pelo AP o número 
total de se fazer o trajeto de P a Q pelo mar, pelo ar ou por rodovia é 
2 + 3 + 2 = 7.
Uma forma equivalente do AP usando a terminologia dos 
conjuntos onde |X| representa o número de elementos do conjunto 
X é o seguinte:
Sejam A1, A2, ..., Ak conjuntos finitos quaisquer onde k ≥ 1. Se os 
conjuntos dados são distintos dois a dois, então
A A A A Ai
i
k
k i
i
k
� �
� � �
1
1 2
1

  ...
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (MP)
Supondo que um evento E possa ser decomposto em r eventos 
ordenados E1, E2, ..., Er e que existam.
n1 maneiras para o evento E1 ocorrer
n2 maneiras para o evento E2 ocorrer

nr maneiras para o evento Er ocorrer
Então o número de maneiras do evento E ocorrer é dado por
n n n nr
i
r
1 2 1
1
� � � �
�
�...
Assim, por exemplo, se para irmos de uma cidade A até uma 
cidade D devemos passar pelas cidades B e C, nesta ordem, e supondo 
que existam duas maneiras distintas de ir de A até B, 5 maneiras 
distintas de se ir de B até C e 3 maneiras distintas de se ir de C até D 
então, pelo MP, o número de maneiras de se ir de A até D passando 
por B e C é dado por 2 × 5 × 3 = 30.
Observação
1. Como afirmações matemáticas, tanto o AP quanto o MP são 
triviais e por esta razão são frequentemente negligenciados por 
aqueles que começam a estudar combinatória o que é uma 
pena pois, na realidade, eles são fundamentais na resolução de 
problemas de contagem. Como veremos, nos exemplos, um dado 
problema de contagem independente de quão complicado seja ele 
pode sempre ser decomposto em alguns mais simples que podem 
ser contados usando AP e/ou MP.
2. As palavras “e” e “ou” indicam geralmente quando um ou outro 
princípio é mais apropriado para a resolução de um problema. A 
palavra “e” sugere o princípio multiplicativo (MP) e a palavra “ou” 
o princípio aditivo (AP).
ARRUMAÇÕES E ESCOLHAS SIMPLES
DEFINIÇÕES
Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento 
ordenado desses n objetos isto é, uma arrumação em ordenação dos 
n objetos.
Uma k-permutação ou uma permutação de classe k dos n 
objetos distintos é uma arrumação utilizando k dos n objetos (uma 
k-permutação é o que os livros tradicionais chamam de “arranjo de 
k coisas dentre n”). Usaremos P (n, k) · A (n, k) ou An
k para denotar o 
número de k-permutações de um conjunto de n objetos.
Do princípio multiplicativo obtemos:
P(n,2) = n · (n – 1); P(n,3) = n · (n – 1) · (n – 2) e P(n,n) = n · (n – 1) 
· (n – 2) ... 3 · 2 · 1.
Consideremos os n objetos x1, x2, x3, ..., xn e as n posições:
___ ___ ___ ... ___
...p p p pn1 2 3
Enumerando todas as permutações dos n objetos x1, x2, x3, ..., 
xn temos que o número de tais permutações é igual ao número de 
modos possíveis de se ocupar com esses n objetos as n posições p1, 
p2, p3, ..., pn. Para a posição p1 existem n escolhas na arrumação. 
Após o preenchimento de p1 existem n – 1 escolhas (os n – 1 objetos 
remanescentes) para a posição p2. Existem n – 2 maneiras diferentes de 
ser preenchida a posição p3 após terem sido preenchidas as posições 
p1 e p2, ..., é finalmente uma escolha para a última posição pn, após 
terem sido preenchidas as posições p1, p2, p3, ..., pn-1. Portanto, pelo 
princípio multiplicativo e utilizando a notação n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 
3) ... 3 · 2 · 1, temos que:
O número de modos de ordenar n objetos distintos é n(n – 1)(n – 
2)(n – 3) ... 3 · 2 · 1 = n!
Assim, temos as fórmulas P(n,n) = n! ou simplesmente Pn = n! e
An
k n n n n k
n
n k
� � � � � �
�
( )( ) ... ( ( ))
!
( )!
1 2 1
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Por extensão, define-se P0 = 0! = 1 e P1 = 1! = 1
Uma k-combinação ou uma combinação de classe k de n objetos 
distintos é uma escolha não ordenada ou um subconjunto de k dos 
o objetos.
Representaremos o número de combinações de n objetos distintos 
de classe k ou tomados k a k por um dos símbolos
C n k ou k
n( , ) � �
É padronizado ler qualquer um dos dois símbolos como “n escolhe 
k”. (Outra notação comumente utilizada é Cn
k.
TEOREMA
Se 0 ≤ k ≤ n, então o número de subconjuntos de k elementos de 
um subconjunto com n elementos ou o número de combinações de n 
objetos distintos e classe k é dado por
k
n n
k n k
� � �
�
!
!( )!
Prova. O conjunto de todas as permutações simples de k 
elementos selecionados de um conjunto com n elementos contém 
n
n k
!
( )!−
 permutações. Entretanto, cada subconjunto de k elementos 
pode ser ordenado de k! maneiras assim, o número de maneiras de 
primeiro escolher um subconjunto e depois ordenar os elementos 
deste subconjunto é pelo princípio multiplicativo igual a
k
n k� � . !
Entretanto, cada uma dessas ordenações é uma diferente 
permutação de k elementos selecionados dentre todos os n elementos 
e cada permutação de k elementos distintos surge da escolha de um 
subconjunto e a seguir, assim
k
n k
n
n k
� � �
�
. !
!
( )!
o que produz
k
n n
k n k
� � �
�
!
!( )!
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (CFT) A quantidade de números de quatro algarismos distintos 
que podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 7 e 9 é
a) 120
b) 140
c) 160
d) 210
02. (CFT) Deseja-se colorir os seis triângulos da figura com cores 
diferentes.
Dispondo-se de sete cores, o número de maneiras diferentes de 
conseguir o que se deseja é
a) 3200
b) 4700
c) 5040
d) 6090
03. (EEAR) As atuais placas de automóveis possuem três letras do 
alfabeto latino (incluindo K, W, Y) e quatro algarismos. O número de 
placas que não repetem nem letras e nem algarismos é
a) 
26!10!
23! 6!
b) 263 · 104
c) 26! 10!
d) 
26!10!
4! 3!
04. (EEAR) O número de anagramas da palavra ESCOLA que começam 
por S e terminam por L, é
a) 720 b) 120 c) 24 d) 12
05. (EEAR) Com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, a quantidade de números 
de três algarismos distintos que se pode formar é
a) 100 b) 80 c) 60 d) 30
06. (EEAR) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repeti-los, podemos 
escrever x números de 4 algarismos, maiores que 2400. O valor de x é
a) 68 b) 72 c) 78 d) 84
07. (EEAR) Se existem k maneiras possíveis de pintar uma parede com 
3 listras verticais, de mesma largura e de cores distintas, dispondo de 
12 cores diferentes, então o valor de k está compreendido entre
a) 1315 e 1330
b) 1330 e 1345
c) 1345 e 1360
d) 1360 e 1375
08. (CFOE) Com os dígitos 1, 2, 3, 6 e 0, podemos formar x números 
de 4 algarismos distintos. Então, x é igual a:
a) 160 b) 96 c) 180 d) 108
09. (ESA) Com as letras da palavra SARGENTO foram escritos todos 
os anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas. 
Quantos são esses anagramas?
a) 120960 
b) 40320 
c) 2160 
d) 720 
e) 120
10. (EFOMM) O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 
1835, é um sistema de representação que utiliza letras, números e 
sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente 
por pulsos elétricos, perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais 
de rádio. Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse 
trabalha comduas letras pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica 
com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras criadas é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (EEAR) Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. Seu professor 
necessita formar comissões de 7 crianças, sendo 4 meninos e 3 
meninas, que incluam obrigatoriamente o melhor aluno dentre os 
meninos e a melhor aluna dentre as meninas. O número possível de 
comissões é
a) igual a 2300
b) maior que 2400
c) menor que 2300
d) igual a 2352
02. (EEAR) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 posso escrever ____ 
números pares de quatro algarismos distintos.
a) 120 
b) 180 
c) 240
d) 360
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03. (EEAR) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. 
Para disputar o campeonato, esses militares podem formar _____ 
duplas diferentes.
a) 34 b) 35 c) 44 d) 45 
04. (EEAR) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A partir deles, 
podem ser criados _____ números pares de quatro algarismos distintos. 
a) 60 b) 120 c) 180 d) 360 
05. (ESPCEX) Um tabuleiro possui 16 casas distribuídas em 4 linhas e 
4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível colocar 4 peças 
iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e cada coluna, seja 
colocada apenas uma peça.
a) 4096
b) 576
c) 256
d) 64
e) 16
06. As antigas placas para automóveis, formadas por duas letras 
seguidas de quatro algarismos, como por exemplo MY – 7406 foram 
substituídas por placas com três letras seguidas de quatro algarismos, 
como por exemplo DWK – 2179. Utilizando um alfabeto de 26 letras e 
supondo que qualquer sequência de letras e algarismos seja permitida 
(na realidade algumas sequências não são permitidas) quantos veículos 
a mais podem ser emplacados?
07. (ESPCEX) Sobre um plano α tomam-se 8 pontos distintos dos 
quais não existem 3 na mesma reta, e fora de α toma-se um ponto A. 
O número de pirâmides de base quadrangular com vértice em A que 
pode se obter a partir desses pontos é
a) 64
b) 70
c) 72
d) 82
e) 96
08. (ESPCEX) Entre duas cidades A e B há dois postos de pedágio, sendo 
o primeiro com 5 cabines e o segundo com 4 cabines. Há também 
10 pontos de abastecimento. Um viajante realizará o percurso entre 
essas duas cidades passando pelos dois pedágios e parando três vezes 
para abastecimento. Entendendo por “formas diferentes de realizar o 
percurso” cada uma das opções de passar pelas cabines de pedágio 
e parar nos postos de abastecimento, o número de formas diferentes 
como ele poderá realizar o percurso da cidade A para a cidade B é
a) 60
b) 600
c) 1200
d) 2400
e) 14400
09. (EFOMM) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis 
pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto 
de sete homens e quatro mulheres?
a) 210 
b) 250 
c) 371 
d) 462 
e) 756 
10. (AFA) Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes 
distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído por 
13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 
valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse 
baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de 
sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e 
a segunda não seja um ás é igual a
a) 612 b) 613 c) 614 d) 615
11. (AFA) Lançando-se 4 dados, sucessivamente, o número de 
maneiras de se obter soma 7 é
a) 20 b) 24 c) 72 d) 216
12. (AFA) A quantidade de números naturais de 4 algarismos 
distintos, formados por 1, 2, 3, 4, 5 e 6, que contém o algarismo 3 
ou o algarismo 4 é
a) 196 b) 286 c) 336 d) 446
13. (AFA) Em quantos números de 7 algarismos significativos, os 
algarismos 5 e 8 aparecem exatamente 2 e 3 vezes, respectivamente?
a) 10270 b) 10280 c) 10290 d) 10300
14. (AFA) Sobre os lados de um triângulo, marcam-se, respectivamente, 
4, 5 e 6 pontos distintos dos vértices. O número total de triângulos 
com vértices nos pontos marcados é:
a) 301 b) 355 c) 421 d) 432
15. (AFA) Se m
m 2A 360+ = , então o valor de 
( )
( )
m 1 ! - m !
m-1 !
−
 é:
a) –1 b) –3 c) –5 d) –7
16. (AFA) A quantidade de pares de retas reversas que contêm as 
arestas de um cubo é
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48
17. (AFA) Colocam-se em ordem crescente todos os números com 5 
algarismos distintos, sem repetição, formados com 2, 4, 5, 7 e 8. A 
posição do número 72584 é
a) 76ª b) 78ª c) 80ª d) 82ª
18. (AFA) Seja An,p o número de arranjos simples de n elementos 
distintos, tomados p a p. A equação An,3 = 6n tem como solução
a) uma raiz nula.
b) uma raiz positiva.
c) duas raízes positivas.
d) uma raiz positiva e outra negativa.
19. (AFA) A palavra que não muda o seu sentido, quer se leia da 
esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é chamada 
palíndromo (Ex. ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). Considerando-se as 
23 letras do nosso alfabeto, quantos anagramas de 6 letras com 
características de um palíndromo, pode-se formar?
a) 236 b) 233 c) 323 d) 623
20. (ESPCEX) Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ..., 15}. 
Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número 
de grupos em que a soma dos termos é ímpar é
a) 168.
b) 196.
c) 224.
d) 227.
e) 231.
21. (ESPCEX) Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus 
clientes, construídas segundo os seguintes métodos: 
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do 
conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre 
as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 4 
algarismos dentre os elementos do conjunto {3,4,5,6,7,8,9}.
Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, 
medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza 
“força da senha”, de forma que, quanto mais senhas puderem ser 
criadas pelo método, mais “forte” será a senha.
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação à 2ª 
instituição, a senha da 1ª instituição é
a) 10% mais fraca.
b) 10% mais forte.
c) De mesma força.
d) 20% mais fraca.
e) 20% mais forte.
22. (ESPCEX) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. 
Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura 
abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 
1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8.
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Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a 
essas restrições?
a) 56 
b) 456 
c) 40.320 
d) 72.072 
e) 8.648.640 
23. (EN) Qual a quantidade de números inteiros de 4 algarismos 
distintos, sendo dois algarismos pares e dois ímpares que podemos 
formar, usando algarismos de 1 a 9?
a) 2400 
b) 2000 
c) 1840 
d) 1440 
e) 1200 
24. (AFA) Com base no conhecimento sobre análise combinatória, é 
correto afirmar que
(01) existem 2160 possibilidades de 8 pessoas ocuparem um veículo 
com 3 lugares voltados para trás e 5 lugares voltados para frente, 
sendo que 2 das pessoas preferem bancos voltados para trás, 3 
delas preferem bancos voltados para frente e as demais não têm 
preferência.
(04) com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, pode-se formar 525 números 
ímpares com 4 algarismos e que não tenham zeros consecutivos.
(08) podem ser formados 330 paralelogramos a partir de 7 retas 
paralelas entre si, interceptadas por outras 4 retas paralelas entre 
si.
A soma das alternativas corretas é
a) 05 b) 09 c) 12 d) 13
25. (AFA) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados 
na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3º 
esquadrão, 9 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão. Os demais 
receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3º esquadrão, 4 do 2º 
esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser 
publicada pela Nascentv em uma rede social.
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção 
honrosa ficaram agachados, sempre numaúnica ordem, sem alteração 
de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os 
alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:
- As duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2º 
esquadrão que receberam medalha;
- Os alunos do 1º esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao 
lado do outro; e
- Os alunos do 3º esquadrão, que receberam medalha, ficaram, 
também, um ao lado do outro.
Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas 
possíveis que poderiam ter sido feitas. 
a) (72) · 9! 
b) (144) · 9! 
c) (288) · 9! 
d) (864) · 9! 
26. (AFA) Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas duas 
malas colocou um cadeado contendo um segredo formado por cinco 
dígitos. Cada dígito é escolhido dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9. Na primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina 
com dígito par e os demais são dígitos consecutivos em ordem 
crescente. Na segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito 
ímpar e apenas o 1° e o 2° dígitos são iguais entre si. Dessa maneira, 
se ela esquecer o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer 
no máximo (52 x 83) tentativas para abri-lo.
e) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo de 
tentativas para abri-lo será de 1.890.
f) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do 
cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no máximo, 
8 tentativas.
g) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala, 
deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo.
27. (FUVEST) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de 
reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca 
são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os 
vértices nos pontos assinalados é
a) 200. 
b) 204. 
c) 208. 
d) 212. 
e) 220. 
28. (AFA) Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, 
dentre dez cartões numerados de 1 a 10, cada um deles contendo 
uma pergunta diferente. Se nessa escolha houver, pelo menos três, 
dos cinco primeiros cartões, ela terá n formas de escolha. Sendo 
assim, pode-se afirmar que n é um número
a) quadrado perfeito.
b) múltiplo de 11.
c) ímpar.
d) primo.
29. (AFA) As senhas de acesso a um determinado arquivo de um 
microcomputador de uma empresa deverão ser formadas apenas 
por 6 dígitos pares, não nulos. Sr. José, um dos funcionários dessa 
empresa, que utiliza esse microcomputador, deverá criar sua única 
senha. Assim, é INCORRETO afirmar que o Sr. José
a) poderá escolher sua senha dentre as 212 possibilidades de formá-
las.
b) terá 4 opções de escolha, se sua senha possuir todos os dígitos 
iguais.
c) poderá escolher dentre 120 possibilidades, se decidir optar por 
uma senha com somente 4 dígitos iguais.
d) terá 480 opções de escolha, se preferir uma senha com apenas 3 
dígitos iguais.
30. (AFA) Para evitar que João acesse sites não recomendados na 
Internet, sua mãe quer colocar uma senha no computador formada 
apenas por m letras A e também m letras B (sendo m par). Tal senha, 
quando lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, 
não deverá se alterar (Ex.: ABBA)
Com essas características, o número máximo de senhas distintas que 
ela poderá criar para depois escolher uma é igual a:
a) 
( )2m !
m!m!
b) 
2
m!
m m
! !
2 2
 
        
    
c) 
( )2m !
m 3m
! !
2 2
   
   
   
d) 
m!
m m
! !
2 2
   
   
   
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ANÁLISE COMBINATÓRIA I
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31. (AFA) Sr. José deseja guardar 4 bolas – uma azul, uma branca, 
uma vermelha e uma preta – em 4 caixas numeradas:
O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 bolas de forma 
que uma mesma caixa NÃO contenha mais do que duas bolas, é igual 
a
a) 24 b) 36 c) 144 d) 204 
32. Calcule a soma de todos os números de cinco algarismos distintos 
formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.
33. (ITA) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto 
de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um 
número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é:
a) 28 – 9
b) 28 – 1
c) 28 – 26
d) 214 – 28
e) 28
34. (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser 
formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O 
número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 
1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma 
vez. Assinale o resultado obtido.
a) 204
b) 206
c) 208
d) 210
e) 212
35. De quantas maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em 
duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia?
a) 2n-1 – 1
b) 2n – 1
c) 2n – 2
d) 2n-1 – 2
e) 2n
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. Dispondo das cores verde, amarelo, azul e branco, de quantos 
modos distintos podemos pintar 7 casas enfileiradas de modo que 
cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam 
pintadas com a mesma cor?
02. Com relação aos anagramas com as letras da palavra VESTIBULAR 
pergunta-se:
a) Quantos começam e terminam por consoante?
b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal?
c) Quantos apresentam as vogais juntas?
d) Quantos apresentam o vocábulo LUTA?
03. (AFA 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três 
barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o 
soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na 
barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar 
na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los 
é igual a:
a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240
04. (EN) Entre os dez melhores alunos que frequentam o grêmio de 
informática da Escola Naval, será escolhido um diretor, um tesoureiro 
e um secretário. O número de maneiras diferentes que podem ser 
feitas as escolhas é:
a) 720
b) 480
c) 360
d) 120
e) 60
05. (AFA 2011) Um colecionador deixou sua casa provido de R$ 5,00, 
disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor 
lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir.
• 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada miniatura;
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$ 1,00 cada miniatura;
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada miniatura.
O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra 
das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é:
a) 15
b) 21
c) 42
d) 90
06. Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 
7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. 
A soma de todos os números assim formados é igual a
a) 1 000 000
b) 1 111 100
c) 6 000 000
d) 6 666 000
e) 6 666 600
07. Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório 
de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento 
consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias 
e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, 
que as substâncias S1, S2 e S3 não devam ser misturadas entre si, pois 
produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, 
o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem 
produzir o gás metano é 
a) 16
b) 24
c) 25
d) 28
e) 56
08. Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina diferente, devem 
ser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros 
de Física, de Química e de Matemática estejam sempre juntos, em 
qualquer ordem. O número de maneiras diferentes em que esses livros 
podem ser posicionados é
a) 720
b) 1440
c) 2160
d) 2880 
e) 5040
09. Para se ter acesso a um arquivo de computador, é necessário que o 
usuário digite uma senha de 5 caracteres, na qual os três primeiros são 
algarismos distintos, escolhidos de 1 a 9, e os dois últimos caracteres 
são duas letras, distintas ou não, escolhidas dentre as 26 do alfabeto. 
Assim, o número de senhas diferentes, possíveis de serem obtidas por 
esse processo, é
a) 327650
b) 340704 
c) 473805
d) 492804 
e) 501870
10. Numdeterminado setor de um hospital, trabalham 4 médicos e 8 
enfermeiras. O número de equipes distintas, constituídas cada uma de 
1 médico e 3 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor é de
a) 60
b) 224 
c) 495
d) 1344
e) 11880
10
ANÁLISE COMBINATÓRIA I
PROMILITARES.COM.BR
DESAFIO PRO
1 (ITA) Determine quantos paralelepípedos retângulos 
diferentes podem ser construídos de tal maneira que a 
medida de cada uma de suas arestas seja um número inteiro 
positivo que não exceda 10.
2 (ITA) Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores 
diferentes, uma para cada face. Considerando que cada 
cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior 
valor possível de N é igual a
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
3 (IME) Um professor dá um teste surpresa para uma turma 
de 9 alunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou 
em grupos de 2 alunos. De quantas formas a turma pode se 
organizar para fazer o teste? (Por exemplo, uma turma de 3 
alunos pode se organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos 
pode se organizar de 10 formas).
4 (ITA) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 
pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com 
os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros 
convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número 
de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então, os 
valores de n e m são, respectivamente, 
a) 2 e 11. 
b) 3 e 10. 
c) 4 e 9. 
d) 5 e 8. 
e) 6 e 7. 
5 (ITA) Quantos pares de números inteiros positivos (A,B) 
existem cujo mínimo múltiplo comum é 126 x 10³? Para 
efeito de contagem, considerar (A,B) ≡ (B,A).
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A
02. C
03. A
04. C
05. C
06. D
07. A
08. B
09. C
10. E
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. B
03. D
04. C
05. B
06. 2916
07. B
08. D
09. C
10. A
11. A
12. C
13. B
14. C
15. B
16. B
17. A
18. B
19. B
20. C
21. A
22. C
23. D
24. A
25. D
26. C
27. D
28. B
29. C
30. B
31. D
32. 3.999.960
33. A
34. E
35. C
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. DISCURSIVA
02. DISCURSIVA
03. B
04. A
05. B
06. E
07. C
08. A
09. B
10. B
DESAFIO PRO
01. 220
02. E
03. 2620
04. E
05. 473
ANOTAÇÕES