Livro de Álgebra Linear

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Álgebra Linear I 
 
 
Álgebra Linear I 
Alírio Gomes da S. Júnior 
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Álgebra Linear I 
 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Direção Editorial: Diogo Pereira da Silva e Patrícia Figueiredo Pereira Salgado 
Texto: Alírio Gomes da S. Júnior 
Revisão Ortográfica: Marcus Vinicius da Silva e Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói. 
 
S586a Silva Júnior, Alírio Gomes da. 
Álgebra linear / Alírio Gomes da Silva Júnior ; revisão de Marcus 
Vinicius da Silva e Rafael Dias de Carvalho Moraes. 2. ed.– Niterói, RJ: 
EAD/UNIVERSO, 2017. 
99 p. : il. 
 
 
1. Álgebra linear. 2. Matrizes (Matemática). 3. Sistemas lineares. 4. 
Determinantes. 5. Vetores. I. Silva, Marcus Vinicius da. II. Moraes, 
Rafael Dias de Carvalho. III. Título. 
 
CDD 512.5 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira. 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
Álgebra Linear I 
 
 
 
Palavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo 
momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora.
Álgebra Linear I 
 
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
 
Sumário 
 
Apresentação da Disciplina ............................................................................................... 07 
Plano da Disciplina .............................................................................................................. 09 
Unidade 1 – Matrizes .......................................................................................................... 11 
Unidade 2 – Determinantes de Matrizes ......................................................................... 25 
Unidade 3 – Sistemas Lineares .......................................................................................... 41 
Unidade 4 – Vetores ............................................................................................................ 69 
Considerações Finais .......................................................................................................... 91 
Conhecendo o Autor .......................................................................................................... 93 
Referências ........................................................................................................................... 95 
Anexos ................................................................................................................................. 97 
 
 
 
Álgebra Linear I 
 
6 
 
Álgebra Linear I 
 
7 
Apresentação da Disciplina 
 
Caro aluno , seja bem-vindo a disciplina Álgebra Linear I. 
Esta disciplina possui uma linguagem clara e direta, buscando atender a suas 
necessidades e torná-la agradável e interessante. 
A intenção ao desenvolver este material, não foi de utilizar estruturas 
algébricas mais complexas para demonstrar fórmulas ou conceitos, mas sim 
trabalhar a partir da contextualização e aplicação desses conceitos e fórmulas para 
a correta resolução de problemas. 
Além disso, ao final de cada unidade, há referência de obras mais específicas, 
com tais demonstrações, para atender a quem desejar se aprimorar e aprofundar 
mais no assunto. Espero que esta obra seja útil em sua formação acadêmica e que 
os conteúdos aqui trabalhados sejam devidamente assimilados e possam auxiliá-lo 
a obter sucesso em sua vida profissional. 
 
Bom estudo. 
 
Álgebra Linear I 
 
8 
 
 
Álgebra Linear I 
 
9 
Plano da Disciplina 
 
Esta disciplina tem como objetivo estudar e compreender tópicos 
relacionados à Álgebra Linear, a fim de fornecer subsídios para um estudo de 
disciplinas correlacionadas, as quais necessitem dos conceitos básicos aqui 
apresentados e, mais especificamente, para trabalhar com problemas que 
envolvam pesquisa operacional e sua utilização nas diversas áreas. 
Apresentaremos um resumo das unidades, enfatizando seus objetivos para 
que você tenha um panorama geral do que estudará ao longo desta disciplina. 
 
Unidade 1 - Matrizes 
Nesta unidade, estudaremos seu conceito, suas propriedades, seus tipos 
principais, suas operações e aplicações. 
Objetivo: 
 Conhecer o conceito, as propriedades, os tipos principais, as 
operações e aplicações da Matrizes. 
 
Unidade 2 – Determinantes de Matrizes 
Estudaremos nessa unidade, os determinantes de matrizes, seus processos de 
resolução e aplicações. 
Objetivos: 
 Compreender o que são os Determinantes de Matrizes; 
 Calcular os Determinantes; 
 Conhecer as Propriedades dos Determinantes. 
 
Álgebra Linear I 
 
10 
 
Unidade 3- Sistemas Lineares 
Nesta unidade, você estudará os sistemas lineares, que são sistemas formados 
por equações lineares. 
Objetivos: 
 Identificar uma equação Linear; 
 Classificarum Sistema Linear; 
 Compreender os processos de resolução de Sistemas Lineares. 
 
Unidade 4- Vetores 
E, para finalizar, nesta unidade, faremos a introdução aos vetores, definindo 
suas operações e propriedades. 
Objetivo: 
 Compreender o que são vetores , suas operações e propriedades. 
 
 
Bons Estudos . 
 
 
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11 
Matrizes 1 
Álgebra Linear I 
 
 
12 
 
Caros alunos, 
A cada dia, a minimização de tempo de acesso a informação vem se tornando 
cada vez mais necessária. Com as novas tecnologias, a sociedade busca rapidez e 
praticidade em tudo que faz. Nesse contexto, a utilização das matrizes vem se 
tornando uma ferramenta cada vez mais usual, no que se refere à organização de 
dados em diversas áreas do conhecimento, tais como: Engenharia, Estatística, 
Informática, entre outras. Nesta unidade, estudaremos seu conceito, suas 
propriedades, seus tipos principais, suas operações e aplicações. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Conhecer o conceito, as propriedades, os tipos principais, as 
operações e aplicações da Matrizes. 
 
Plano da Unidade: 
 Conceito de Matriz. 
 Tipos de Matrizes. 
 Operações com Matrizes. 
 
Bons Estudos. 
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
13 
Conceito de Matriz 
 
Caro aluno, você sabe o que é uma matriz? 
Chama-se matriz, um grupo de elementos dispostos em linhas e colunas. As 
linhas são representadas pela letra minúscula i, as colunas representadas pela letra 
minúscula j e a matriz por uma letra maiúscula. Representaremos um elemento 
genérico da matriz por aij. Assim, a representação A (aij)3 x 2 significa uma matriz A 
com 6 elementos, onde i = 3 e j = 2, isto é, 3 linhas e 2 colunas. 
 
Exemplo: A = . Essa matriz é chamada de matriz genérica de 
ordem 3x2. 
 
Chamamos de lei de formação, a sentença matemática que forma a matriz. 
 
Exemplo: Encontre a matriz A(aij)3 x 3 =2 i + j 
 
Resolução: 
Fazendo a Matriz genérica, temos: A = 
Para encontrar cada elemento, fazemos: 
 = 2(1) + 1 = 3 
 = 2(1) + 2 = 4 
 = 2(1) + 3 = 5 
 = 2(2) + 1 = 5 
 = 2(2) + 2 = 6 
Álgebra Linear I 
 
 
14 
 = 2(2) + 3 = 7 
 = 2(3) + 1 = 7 
 = 2(3) + 2 = 8 
 = 2(3) + 3 = 9 
Finalmente, montamos a matriz A = 
3 4 5
5 6 7
7 8 9
 
Agora que você já sabe o que é uma matriz, vamos avançar e conhecer os seus 
tipos. 
 
Tipos de Matrizes 
 
Principais tipos: 
I – Matriz linha 
Chama-se matriz linha a matriz que possui somente uma linha. 
Exemplo: A = 5 8 3 
 
II – Matriz Coluna 
Chame-se matriz coluna a matriz que possui somente uma coluna. 
Exemplo: A = 
7
2
9
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
15 
III – Matriz quadrada 
Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de 
colunas. 
Exemplo: A = 4 6
1 7
 
 
IMPORTANTE: 
Em toda matriz quadrada, há duas diagonais. Chamamos de diagonal 
principal, a diagonal onde todos os elementos genéricos possuem i = j, isto é 
, , 	e assim sucessivamente. A outra diagonal é chamada de diagonal 
secundária. 
 
IV – Matriz diagonal 
Chama-se matriz diagonal toda matriz quadrada onde todos os elementos 
fora da diagonal principal são nulos. 
Exemplo: A = 
5 0 0
0 9 0
0 0 6
 
 
V – Matriz identidade 
Uma matriz é dita identidade quando é diagonal e todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1. 
 
Exemplo: A = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
VI – Matriz nula 
É a matriz de qualquer ordem (tamanho), na qual todos os seus elementos são 
nulos. 
Álgebra Linear I 
 
 
16 
Exemplo: A = 0 0 0
0 0 0
 
 
VII – Matriz transposta 
Considere uma matriz qualquer A = onde seus elementos são, por 
exemplo, iguais a: 
A = 
5 8
4 3
2 9
. Dizemos que At é sua transposta, se At = , 
isto é At = 5 4 2
8 3 9
. 
Note que os elementos da 1ª linha da matriz A correspondem aos elementos 
da 1ª coluna da matriz At. Da mesma forma, os elementos da 2ª linha da matriz A 
correspondem aos elementos da 2ª coluna da matriz At e assim analogamente para 
as demais linhas de A e colunas de At. 
 
VIII – Matriz triangular 
Uma matriz quadrada A é dita triangular, quando todos os elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são nulos. 
Exemplo: 
1 10 20
0 3 14
0 0 18
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
17 
IX – Matriz inversa 
Dizemos que uma matriz quadrada A possui inversa A-1 quando : 
A . A-1 = I e A-1 . A = I 
 
Onde A é uma matriz quadrada qualquer, A-1 é a sua inversa e I é a matriz 
identidade. 
Estudaremos essa matriz de forma mais específica, após estudarmos as 
operações com matrizes. 
 
X – Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando 	= 
Exemplo: A= 
1 10 20
10 3 14
20 14 18
 
 
XI – Matriz antissimétrica 
Dizemos que uma matriz quadrada A é antissimétrica quando 	= e 
todos os elementos da diagonal principal são nulos. 
Exemplo: A= 
0 10 20
10 0 14
20 14 0
 
 
E para finalizar vamos ver como ocorrem as operações com as matrizes. 
 
Álgebra Linear I 
 
 
18 
Operações com as Matrizes 
 
I – Igualdade de matrizes 
Sejam duas matrizes A e B, de mesma ordem. Dizemos que A e B são iguais, 
quando seus elementos de mesma ordem são respectivamente iguais. 
Assim, se A = 4 5
6 7
 e B = . A e B são iguais, se: x=4, y=5, z=6 e w=7 
 
II – Adição de Matrizes 
Dados duas matrizes A e B de mesma ordem, a adição A+B é feita somando-se 
respectivamente os termos de mesma ordem. 
Exemplo: Dado as matrizes A = 4 5
6 7
 e B = 3 1
7 10
, então A+B = 
4 3 5 1
6 7 7 10
 , logo A+B é igual a 7 6
13 17
 
 
IMPORTANTE: 
A subtração de matrizes é feita de modo análogo. 
Na adição de matrizes, vale as propriedades comutativa e associativa, isto é: 
A+B = B+A e A+(B+c) = (A+B)+C 
 
Álgebra Linear I 
 
 
19 
III – Multiplicação de uma matriz por um escalar 
A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita multiplicando-se cada 
elemento da matriz pelo número real dado. 
Exemplo: Seja 3 um número real (escalar) e a matriz A= 4 5
6 7
, então a matriz 
3A = 12 15
18 21
 
 
IV – Produto matricial 
O produto matricial só é possível quando o número de colunas da 1ª matriz é 
igual ao número de linhas da 2ª matriz. Nesse caso, a matriz resultante terá o 
número de linhas da 1ª matriz e o número de colunas da 2ª matriz. 
Devemos proceder conforme o exemplo abaixo: 
Sejam as matrizes A = 5 4 2
8 3 9
 e B = 
10
20
30
 
 
Note que a matriz A é de ordem 2x3 e a matriz B é de ordem 3x1, assim existe 
o produto AB e a matriz resultante será 2x1. 
 
A.B = 5 4 2
8 3 9
 . 
10
20
30
 = 5.10 4.20 2.30
8.10 3.20 9.30
 
A.B = 50 80 60
80 60 270
 
A.B = 190
410
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
20 
IMPORTANTE: 
No produto matricial não existe a propriedade comutativa, isto é, A.B ≠ 
B.A 
 
E assim terminamos nossa primeira unidade, agora você já sabe oque é uma 
Matriz, quais são os seus tipos e como fazer operações com Matrizes. 
Na próxima unidade, você vai estudar os determinantes de matrizes, seus 
processos de resolução e aplicações. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
21 
 
Exercícios da Unidade 1 
 
1) Construa a matriz E = (aij)2x2 tal que aij = i2 – 3j2 + 2 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
2) Considere as matrizes: 
A = (aij)3x4 com aij = 2i + j2 
B = (bij)3x4 com bij = j2 – i 
 
Calcule a soma dos elementos da matriz M = A – 2B t 
 ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
Álgebra Linear I 
 
 
22 
 
3) Calcule o valor dos elementos desconhecidos nas igualdades abaixo : 
 
a) 















12b
c411
dc6b3
201a2
 
 
b) 














3
25
yx
y5x3
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
4) Coloque V nas afirmações verdadeiras e F nas afirmações falsas 
 
( ) Toda matriz diagonal é sempre quadrada, mas nem toda matriz 
quadrada é diagonal 
( ) A matriz identidade é sempre diagonal, mas a matriz diagonal nem 
sempre é identidade 
( ) Só existe matriz transposta em matrizes quadradas 
( ) A matriz anti-simétrica é toda matriz quadrada onde os elementos da 
diagonal principal são diferentes de zero. 
( ) Toda matriz simétrica é sempre quadrada 
( ) A matriz triangular é sempre simétrica 
Álgebra Linear I 
 
 
23 
 
5) Sabe-se que as matrizes A 2x2 = 







33
632
yx
yx
 e B2x2 = 





m
w
16
7
 São 
iguais. 
Calcule o valor da expressão 2x + w – y + m2 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
Álgebra Linear I 
 
 
24 
 
 
Álgebra Linear I 
 
 
25 
Determinantes de Matrizes 2 
Álgebra Linear 
 
 
26 
Caro aluno, 
Estudaremos nessa unidade os determinantes de matrizes, seus processos de 
resolução e aplicações. 
 
Objetivos da Unidade: 
 Compreender o que são os Determinantes de Matrizes; 
 Calcular os Determinantes; 
 Conhecer as Propriedades dos Determinantes. 
 
Plano da Unidade: 
 O que é um determinante de Matrizes? 
 Cálculo dos Determinantes. 
 Propriedade dos Determinantes 
 Exercícios Resolvidos. 
 
Bons Estudos. 
 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
27 
O que é um determinante de Matrizes? 
 
 
Caro aluno, você deve estar se perguntando. O que é um determinante de 
Matrizes? 
Vamos lá! 
O determinante pode ser entendido como um número real ou uma função 
que é associada aos elementos de uma matriz quadrada. Seu cálculo segue 
determinados procedimentos que dependem da ordem da matriz dada e é 
calculado de acordo com regras específicas. 
Seu uso está associado a diversas áreas e suas aplicações são muitas. Dentre 
elas destaco: a verificação da existência de matrizes inversíveis, a condição de 
alinhamento de três pontos, sendo dados seus vértices, a obtenção da área de 
triângulos, dado seus vértices, entre outras. 
 
Cálculo dos Determinantes 
 
 
I – Em matrizes de 2ª ordem (2x2) 
O cálculo do determinante de matrizes de ordem 2 é feito a partir da diferença 
entre o produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos 
da diagonal secundária. 
 
Assim, dado a matriz genérica A = , temos: 
DA= ( . ) – ( . ) 
 
Álgebra Linear 
 
 
28 
 
EXEMPLO: 
Seja a matriz A = 





105
1311
, então DA = (11.10) – (13.5) = 110 – 65 = 45 
II – Em matrizes de 3ª ordem (3x3) 
O determinante de matrizes de ordem 3 é obtido através da utilização da 
Regra de Sarrus. Devemos repetir as duas primeiras colunas à direita do 
determinante e proceder conforme o exemplo abaixo: 
EXEMPLO: Seja a matriz A = 
2 1 10
4 6 1
5 3 0
 
Seu determinante é dado por: 
2 1 10
4 6 1
5 3 0
2 1
4 6
5 3
 
DA = [( 2.6.0 )+( 1.1.5)+(10.4.3)] – [(10.6.5)+(2.1.3)+(1.4.0)] 
DA = [0+5+120] – [300+6+0] 
DA = 125 – 306 
DA = - 181 
III– Teorema de Laplace 
O teorema de Laplace é comumente utilizado em matrizes de ordem superior 
a 3, contudo pode ser utilizado para qualquer tipo de matriz quadrada. 
O determinante de uma matriz de ordem nxn é obtido pelo soma do produto 
dos elementos de uma linha ou coluna pelos seus respectivos COFATORES. 
Para a utilização do Teorema de Laplace, necessitamos obter cofator Caij de 
cada elemento da matriz. 
Assim temos: Caij = (-1)i + j . DA*, onde: 
Caij é o cofator do elemento genérico aij 
DA* é o determinante da matriz A, retirando-se a linha “i” e a coluna “j” 
Álgebra Linear 
 
 
29 
EXEMPLO: Calcule o determinante da matriz A = 
2 1 10
4 6 1
5 3 0
, utilizando o 
Teorema de Laplace. 
Resolução: 
1º passo: 
Inicialmente devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz. Vamos 
escolher, por exemplo a linha 1. 
2º passo: 
Agora, devemos calcular os cofatores de cada elemento da linha ou coluna 
escolhida, no caso, vamos calcular os cofatores da 1ª linha, ou seja: Ca11, Ca12 e Ca13. 
Cálculo do Ca11: 
Ca11 = (-1)1+1 . 
6 1
3 0
 
Note que como estamos calculando Ca11, retiramos a linha 1 e a coluna 1 da 
matriz A. 
Ca11 = (-1)1+1 . [(6.0) – (1.3)] 
Ca11 = (-1)2 . [0 –3] 
Ca11 = 1 . -3 
Ca11 = -3 
Cálculo do Ca12: 
Ca12 = (-1)1+2 . 
4 1
5 0
 
Note que como estamos calculando Ca12, retiramos a linha 1 e a coluna 2 da 
matriz A. 
Ca12 = (-1)1+2 . [(4.0) – (1.5)] 
Ca12 = (-1)3 . [0 –5] 
Ca12 = -1 . -5 
Ca12 = 5 
Álgebra Linear 
 
 
30 
 
Cálculo do Ca13: 
Ca13 = (-1)1+3 . 
4 6
5 3
 
Note que como estamos calculando Ca13, retiramos a linha 1 e a coluna 3 da 
matriz A. 
Ca13 = (-1)1+3 . [(4.3) – (6.5)] 
Ca13 = (-1)4 . [12 –30] 
Ca13 = 1 . -18 
Ca13 = -18 
 
3º passo: Agora que já temos os cofatores dos elementos da linha escolhida, 
vamos calcular o determinante, somando o produto dos elementos da linha pelos 
seus respectivos cofatores. 
DA = [ (a11 . Ca11) + (a12 . Ca12)+ (a13 . Ca13) ] 
DA = [ (2.-3) + (1. 5) + ( 10.-18) ] 
DA = [ (-6) + (5) + (-180) ] 
DA = [ -6+5-180 ] 
DA = -181 
 
Propriedade dos Determinantes 
 
1ª – O determinante de uma matriz quadrada que possui duas filas paralelas 
iguais ou proporcionais é sempre igual a zero. 
 
Álgebra Linear 
 
 
31 
EXEMPLO: 
Calcule o determinante da matriz A = 
1 6 2 7
4 9 8 3
3 2 6 9
2 7 4 0
 
Observe que a 3ª coluna é múltipla da 1ª coluna, logo pela propriedade 1 
podemos garantir que DA=0 
 
2ª – O determinante de uma matriz é sempre igual ao determinante de sua 
transposta. 
EXEMPLO: 
Se A = 
1 10 20
0 3 14
0 0 18
, DA = 54 
Fazendo a transposta de A, temos: 
At = 
1 0 0
10 3 0
20 14 18
 e seu determinante também será igual a 54. 
 
3ª – Ao permutarmos (trocarmos de posição) duas filas paralelas de uma 
matriz, seu determinante muda de sinal. 
EXEMPLO: 
Se A = 
1 10 20
0 3 14
0 0 18
, DA = 54 
Ao trocarmos a 1ª linha pela 3ª linha, temos: 
A = 
20 10 1
14 3 0
18 0 0
, logo DA = - 54 
 
Álgebra Linear 
 
 
32 
4ª – Se multiplicamos todos os elementos de uma fila por um número real, o 
seu determinante fica também multiplicado por esse respectivo número. 
 
EXEMPLO: 
Se A = 
1 10 20
0 3 14
0 0 18
, DA = 54 
Multiplicando, por exemplo, a 1ª linha por 2, temos: 
 A = 
2 20 40
0 3 14
0 0 18
, 
O que resulta que seu determinante também será multiplicado por 2. 
Daí DA = 108 
 
5ª – Em toda matriz triangular, o determinante é dado pelo produto dos 
elementos da diagonal principal.EXEMPLO: 
Seja a matriz A =
1 10 20
0 3 14
0 0 18
. Como ela é triangular, pela propriedade 5, 
temos que seu determinante é dado por: 
DA = (1.3.18) 
DA = 54 
 
6ª – Chamada de “Teorema de Binet” 
O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus 
determinantes. 
 
Álgebra Linear 
 
 
33 
Exercícios Resolvidos 
 
1 ) Verifique se os pontos A(5,3), B(4,1) e C(3,2) são colineares. 
Resolução: 
Três pontos são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta, quando o 
determinante da matriz formada por suas coordenadas é nulo. Dessa forma, 
devemos inicialmente construir uma matriz com as coordenadas dos pontos A, B e 
C. 
Assim, temos: M = 
5 3
4 1
3 2
 
Nesse exercício, como essa matriz não é quadrada, devemos acrescentar nela 
uma coluna com todos os elementos iguais a 1. 
M = 
5 3 1
4 1 1
3 2 1
 
Agora, calculamos o determinante da matriz obtida, utilizando a regra de 
Sarrus. 
5 3 1
4 1 1
3 2 1
5 3
4 1
3 2
 
DM = [ (5.1.1) + (3.1.3) + (1.4.2) ] – [ (1.1.3) + (5.1.2) + (3.4.1) ] 
DM = [ (5) + (9) + (8) ] – [ (3) + (10) + (12) ] 
DM = [ 22 ] – [ 25 ] 
DM = - 3 
 
Como o determinante é diferente de zero, logo os três pontos não são 
colineares. 
 
Álgebra Linear 
 
 
34 
2) Calcule o valor dos elementos desconhecidos, sabendo que as matrizes 
abaixo são iguais. 















12
411
63
2012
b
c
dcb
a 
 
Resolução: 
Como as matrizes são iguais, devemos igualar os termos de mesma ordem, e 
resolver a equação resultante: 
2a – 1 = 11 
2a = 11 + 1 
2a = 12 
a = 12/2 
a = 6 
 
3b – 6 = b + 2 
3b – b = 2 + 6 
2b = 8 
b = 8/2 
b = 4 
 
-20 = 4c 
c = -20/4 
c = -5 
 
c + d = 1 
como c = -5, substituindo temos: 
-5 + d = 1 
d = 1 + 5 
d = 6 
Álgebra Linear 
 
 
35 
 
3) No mapa abaixo, considere o ponto 0 como origem do sistema cartesiano e 
cada graduação com uma unidade de comprimento. Calcule a área da região 
delimitada pelos pontos A, B, C, situados respectivamente nos estados do Ceará, 
Piauí e Bahia, em unidades de área. 
 
 
Resolução : 
Pelo gráfico acima podemos dizer que os estados do Ceará, Piauí e Bahia 
correspondem respectivamente aos pontos A(5,6), B(3,5) e C(4,2). 
A área de um triângulo dado seus vértices é obtida pelo módulo do 
determinante da matriz obtida pelas coordenadas de seus vértices. 
 
Álgebra Linear 
 
 
36 
Assim temos: 
 
M = 
5 6
3 5
4 2
 
Nesse exercício, como essa matriz não é quadrada, devemos acrescentar nela 
uma coluna com todos os elementos iguais a 1. 
5 6 1
3 5 1
4 2 1
5 6
3 5
4 2
 
DM = [ (5.5.1) + (6.1.4) + (1.3.2) ] – [ (1.5.4) + (5.1.2) + (6.3.1) ] 
DM = [ (25) + (24) + (6) ] – [ (20) + (10) + (18) ] 
DM = [ 55 ] – [ 48 ] 
DM = 7 Logo a área procurada é igual a 3,5 
 
Terminamos aqui, nossa segunda unidade, na qual você estudou 
determinantes de matrizes, seus processos de resolução e aplicações. Na nossa 
terceira unidade estudará os sistemas lineares. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Álgebra Linear 
 
 
37 
Exercícios da Unidade 2 
 
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo : 
 
a) M = 










354
231
012
 
 
b) N = 5 2
4 6
 
 
c) P = 
1 3 2 0
4 2 1 3
5 7 6 4
3 9 6 0
 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
2) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um 
grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da 
idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado 
pelo determinante da matriz A, onde 
A = 
1 1 1
3 0
0 2 2/3
 
 
Álgebra Linear 
 
 
38 
 
Com base na fórmula p(x) = detA, determine: 
 
a) o peso médio de uma criança de 5 anos; 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
 
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30kg. 
 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
 
3-As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do 
cubo foi registrada uma matriz A, de ordem 2, com elementos definidos por 
 







Fi
Fi2
 se
se
 ji
ji


 
 
onde F é o valor associado à face correspondente. 
Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5? 
 
Álgebra Linear 
 
 
39 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
 
4) Seja a matriz M3x3 = 








ji
ji
ji
2
2
 se
se
se
 ji
ji
ji



 Calcule o determinante da 
matriz M. 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
 
5) Assinale qual das afirmações abaixo é incorreta. 
a) Se A é uma matriz quadrada, então o determinante de A é igual ao 
determinante de sua transposta. 
b) Se os elementos de uma fila de uma matriz A forem todos iguais a zero, 
então o determinante de A é zero. 
c) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então: det(A.B) = detA . 
detB 
d) O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao próprio elemento. 
e) O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é igual à soma entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária, nessa ordem. 
 
Álgebra Linear 
 
 
40 
 
Álgebra Linear 
 
 
41 
 
Sistemas Lineares 3 
Álgebra Linear 
 
 
42 
Caro aluno, 
Chegamos a nossa terceira unidade de estudos. Nesta unidade, você estudará 
os sistemas lineares, que são sistemas formados por equações lineares. Preparado? 
 
Objetivos da Unidade: 
 Identificar uma equação Linear; 
 Classificar um Sistema Linear; 
 Compreender os processos de resolução de Sistemas Lineares. 
 
Plano da Unidade: 
 O que é uma Equação Linear? 
 Identificação de uma Equação Linear. 
 Classificação de um Sistema Linear. 
 Processos de Resolução de Sistemas Lineares. 
 Discussão de Sistemas Lineares. 
 
 
Bons Estudos. 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
43 
O que é uma Equação Linear? 
 
Uma equação é dita linear, quando todas as suas incógnitas estão elevadas ao 
expoente 1, isto é, quando são equações do 1º grau. 
O uso de sistemas lineares na resulução de problemas diversos é bastante 
eficiente e utilizado em várias áreas. Estudaremos aqui, os diversos tipos de 
sistemas e suas formas de resolução, visando com isso, melhorar a nossa 
capacidade de resolver problemas. 
 
Identificação de uma Equação Linear 
 
Observe as equações abaixo: 
I ) x + 3y – 4z = 1 
II ) x2 – 7x = 19 
III ) x + 4 = 0 
IV ) √ + 2y = 8 
 
Note que na equação (I), de variáveis x, y e z, todaselas estão elevadas ao 
expoente 1, sendo portanto uma equação linear de três variáveis. 
Na equação (II), temos uma equação com uma única variável, mas que não é 
linear, pois encontramos nela uma incógnita elevada ao expoente 2. 
A equação (III) possui uma única variável, e como ela aparece elavada ao 
expoente 1, ela é dita equação linear de uma variável. 
Já na equação (IV), temos as variáveis x e y, porém o termo √ corresponde a 
, que não é do 1º grau. Assim essa equação é dita não linear. 
O número real sem variável é chamado de termo independente. 
 
Álgebra Linear 
 
 
44 
 
Classificação de um Sistema Linear 
 
Um sistema linear pode ser: 
Sistema possível e determinado (SPD) 
Um sistema é dito possível e determinado quando possui uma única solução. 
Exemplo: 
4
2 
 
Note que neste sistema só há um único par (x,y) que tornam as equações 
simultaneamente verdadeiras : x = 3 e y = 1 
Sistema possível e determinado (SPD) 
Sistema possível e indeterminado (SPI) 
 
Um sistema é dito possível e indeterminado quando apresenta várias soluções. 
Exemplo: 
4
2 2 8 
 
Note que neste sistema há vários pares (x,y) que tornam as equações 
simultaneamente verdadeiras. Por exemplo, podemos destacar algumas: 
x = 3 e y = 1 (solução possível) 
x = 0 e y = 4 (solução possível) 
x = 4 e y = 0 (solução possível) 
x = -1 e y = 5 (solução possível ), entre outras. 
Álgebra Linear 
 
 
45 
Sistema Impossível (SI) 
Um sistema é dito impossível quando não apresenta solução. 
Exemplo: 
4
3 3 6 
 
Note que neste sistema não há nenhum par (x,y) que faz com que as equações 
sejam simultaneamente verdadeiras. 
 
Sistema Homogêneo 
Dizemos que um sistema linear é homogêneo, quando apresenta todos os 
termos independentes nulos, isto é, igual a zero. 
Exemplo: 
2 0
2 3 0
0
 
 
IMPORTANTE: 
1. Todo sistema homogêneo apresenta uma solução, chamada 
de solução trivial (0, 0, ........, 0). Assim, no sistema acima, temos uma 
solução possível : 
2. x = 0, y = 0 e z = 0. 
3. Em função da situação descrita no ítem 1 acima, podemos garantir 
que todo sistema homegêneo é possível, podendo se determinado, 
caso só tenha a solução trivial, ou indeterminado, se possuir outra 
solução além da trivial. 
4. Nunca um sistema homogêneo será impossível. 
 
Álgebra Linear 
 
 
46 
A) Sistemas Equivalentes 
Dois sistemas lineares são chamados de equivalentes, quando possuem 
conjuntos soluções iguais. 
EXEMPLO: 
Considere os sistemas 
I ) 
4
2 
II ) 
2 3 9
4 7 
 
Os sistemas acima, apresentam o mesmo conjunto solução, o par (x,y), onde x 
= 3 e y = 1. Nesse caso, podemos dizer que I ~ II, que significa: O sistema I é 
equivalente ao sistema II. 
 
IMPORTANTE: 
Dado um sistema linear (I) 
2 7
2 3 9
3
 
1. Se permutarmos duas equações do sistema (I), o novo sistema (II) 
obtido, será equivalente ao anterior. 
 
EXEMPLO: 
 
I ) 
2 7
2 3 9
3
 
 
Álgebra Linear 
 
 
47 
 
Permutando as duas primeiras linhas, temos: 
 
II ) 
2 3 9
2 7
3
 
 
Os sistemas (I) e (II) são equivalentes : I ~ II 
1. Se multiplicarmos todos os termos de uma equação de um sistema 
(I) por um número real qualquer diferente de zero, obteremos um 
novo sistema (II) equivalente ao anterior. 
 
EXEMPLO : 
 
I ) 
2 7
2 3 9
3
 
 
Multiplicando por exemplo, a terceira linha por 2, temos : 
 
II ) 
2 3 9
2 7
2 2 2 6
 
 
Os sistemas (I) e (II) são equivalentes : I ~ II 
 
Álgebra Linear 
 
 
48 
 
Processos de Resolução de Sistemas Lineares 
 
Estudaremos agora, três processos de resolução de sistemas : 
I ) Resolução de sistemas lineares pelo método da substituição 
II ) Resolução de sistemas pela Regra de Cramer 
III ) Resolução de sistemas lineares por Escalonamento 
 
Faremos a definição de cada processo a seguir : 
 
I ) Resolução de sistemas lineares pelo método da substituição 
 
Este processo consiste em isolarmos uma variável em uma das equações e 
substituí-la em outra equação. Observe os exemplos abaixo : 
 
EXEMPLO 1: 
Dado o sistema 
 
 
2 3 9
4 7 
 
Vamos inicialmente escolher uma das equações, por exemplo a segunda. 
 
x + 4y = 7 
 
Álgebra Linear 
 
 
49 
 
Em seguida, isolamos uma das variáveis, por exemplo, o x. 
 
x = 7 – 4y 
 
Agora, substituímos o resultado x = 7 – 4y na primeira equação : 
 
2x + 3y = 9 
 
2( 7 – 4y ) + 3y = 9 
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos : 
 
14 – 8y + 3y = 9 
 
Agora resolvemos a equação : 
 
-5y = 9 – 14 
 
-5y = -5 
 
y = 
 
y = 1 
Álgebra Linear 
 
 
50 
 
Finalmente, substituímos o valor de y encontrado em x = 7 – 4y, obtendo : 
 
x = 7 – 4(1) 
 
x = 7 – 4 
 
x = 3 
 
Obtendo o par (x,y) que torna as equações simultâneamente verdadeiras : 
x = 3 e y = 1 , logo, temos como conjunto solução S = (3,1) 
 
 
EXEMPLO 2: 
 
Dado o sistema 
 
6
2 3
3 2
 
 
Vamos inicialmente escolher uma das equações, por exemplo a segunda. 
 
2x – y + z = 3 
 
Álgebra Linear 
 
 
51 
Agora, devemos isolar uma das variáveis, por exemplo o z. 
 
z = 3 + y – 2x 
 
Substituímos o valor encontrado : z = 3 + y – 2x, em uma das duas equações 
restantes, por exemplo a primeira. 
 
x + y + z = 6 
 
x + y + 3 + y – 2x = 6 
-x + 2y + 3 = 6 
 
Isolamos uma das duas variáveis, por exemplo o x. 
 
-x = 6 – 2y – 3 
 
-x = 3 – 2y , que multiplicado por (-1) resulta em : 
 
x = - 3 + 2y 
 
Agora, substituímos os valores z = 3 + y – 2x e x = - 3 + 2y na equação que não 
foi utilizada, neste caso a terceira : 
 
3x + y – z = 2 
 
Álgebra Linear 
 
 
52 
Fazendo a substituição de z = 3 + y – 2x, temos 
 
3x + y – (3 + y – 2x) = 2 
 
3x + y – 3 – y + 2x = 2 
 
5x = 2 + 3 
 
5x = 5 
 
Substituíndo por x = - 3 + 2y, obtemos : 
5(- 3 + 2y) = 5 
Aplicando a propriedade distributiva : 
-15 + 10y = 5 
10y = 5 + 15 
10y = 20 
y = 
 
y = 2 
Como x = - 3 + 2y, podemos dizer que : 
 x = -3 + 2(2) 
x = -3 + 4 
x = 1 
 
Álgebra Linear 
 
 
53 
Finalmente, fazendo a substituição de x e y em z = 3 + y – 2x, temos : 
 z = 3 + y – 2x 
 
z = 3 + 2 – 2(1) 
 
z = 3 + 2 – 2 
 
z = 3 
Logo a solução do sistema é S =(1,2,3), isto é : x = 1, y = 2 e z = 3 
 
II ) Resolução de sistemas lineares pela Regra de Cramer 
 
A Regra de Cramer é um método para resolução de sistemas lineares 
utilizando o determinante de matrizes. Ela consiste em: 
 
1. Inicialmente devemos ter o sistema organizado, isto é, em cada 
equação as variáveis devem estar na mesma ordem. Por exemplo : 
 
2 3 9
4 7 
 
Note que neste sistema, em todas as equações, a primeira variável é a do x, a 
segunda é a do y e seus termos independentes estão isolados do outro lado da 
igualdade. Dizemos que assim, o sistema está devidamente organizado. 
 
Álgebra Linear 
 
 
54 
 
1. Agora, retiramos seus coeficientes e formamos uma matriz. 
 
A = 2 3 9
1 4 7
 
 
Observe que na matriz A, temos a 1ª coluna correspondente a variável x, a 2ª 
coluna correspondente a variável y e a 3ª coluna correspondente aos termos 
independentes. 
1) Em seguida, calculamos o determinante da matriz A, que é formado 
excluíndo a coluna referente aos termos independentes. Assim temos : 
 
DA = 
2 3
1 4
 
DA = (2 . 4) – (3. 1) 
DA = 8 – 3 
DA = 5 
 
2) Agora, calculamos o determinante da variável x, que é formado 
substituíndo a coluna referente ao x, pela coluna dos termos independentes. 
Assim temos : 
 
Dx = 
9 3
7 4
 
Dx = (9 . 4) – (3 . 7) 
Dx = 36 – 21 
Dx = 15 
 
Álgebra Linear 
 
 
55 
 
3) Calculamos em seguida o determinante da variável y, que é formado 
substituíndo a coluna referente ao y, pela coluna dos termos independentes. 
Assim temos : 
 
Dy = 
2 9
1 7
 
Dy = (2 . 7) – (9 . 1) 
Dy = 14 – 9 
Dy = 5 
 
4) Finalmente calculamos o valor das incógnitas x e y, dividindo o valor obtido 
pelos seus determinantes Dx e Dy, pelo determinante da matriz DA .x = x = 3 
y = y = 1 
 
Logo, temos como conjunto solução S = (3,1) 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Resolva o Sistema : 
6
2 3
3 2
 
Vamos resolver passo a passo : 
 
Álgebra Linear 
 
 
56 
1) Obtemos a matriz dos coeficientes 
A = 
1 1 1 6
2 1 1 3
3 1 1 2
 
 
2) Cálculo de DA 
1 1 1
2 1 1
3 1 1
 
Utilizando a regra de Sarrus, estudada, temos : 
 
DA = 
1 1 1
2 1 1
3 1 1
1 1
2 1
3 1
 
DA = [ (1.-1.-1) + (1.1.3) + (1.2.1) ] – [ (1.-1.3) + (1.1.1) + (1.2.-1) ] 
DA = [ (1) + (3) + (2) ] – [ (-3) + (1) + (-2) ] 
DA = [ 6 ] – [ -4 ] 
DA = 6 + 4 
DA = 10 
 
1) Cálculo do Dx 
 
Dx = 
6 1 1
3 1 1
2 1 1
6 1
3 1
2 1
 
Dx = [ (6.-1.-1) + (1.1.2) + (1.3.1) ] – [ (1.-1.2) + (6.1.1) + (1.3.-1) ] 
Dx = [ (6) + (2) + (3) ] – [ (-2) + (6) + (-3) ] 
Dx = [ 11 ] – [ 1 ] 
Dx = 10 
Álgebra Linear 
 
 
57 
 
2) Cálculo do Dy 
 
Dy = 
1 6 1
2 3 1
3 2 1
1 6
2 3
3 2
 
Dy = [ (1.3.-1) + (6.1.3) + (1.2.2) ] – [ (1.3.3) + (1.1.2) + (6.2.-1) ] 
Dy = [ (-3) + (18) + (4) ] – [ (9) + (2) + (-12) ] 
Dy = [ 19 ] – [ -1 ] 
Dy = 19 + 1 
Dy = 20 
 
3) Cálculo do Dz 
 
Dz = 
1 1 6
2 1 3
3 1 2
1 1
2 1
3 1
 
Dz = [ (1.-1.2) + (1.3.3) + (6.2.1) ] – [ (6.-1.3) + (1.3.1) + (1.2.2) ] 
Dz = [ (-2) + (9) + (12) ] – [ (-18) + (3) + (4) ] 
Dz= [ 19 ] – [ -11 ] 
Dz = 19 + 11 
DA = 10 
 
Álgebra Linear 
 
 
58 
 
4) Finalmente, calculamos as variáveis: 
x = → x = 1 , y = → y = 2 , z = → z = 
3 
 
Logo, encontramos como conjunto solução S = (1,2,3) 
 
III ) Resolução de sistemas lineares por Escalonamento 
 
Considere um sistema com “m” equações e “m” incógnitas. 
Dizemos que esse sistema está escalonado, quando a quantidade de 
coeficientes nulos das variáveis que iniciam as equações, vai aumentando 
progressivamente, de equação em equação, de modo que tenhamos todos os 
coeficientes não nulos. 
Exemplo de sistema escalonado: 
 
I ) 
2 4 3 6
2 5 3
8 2
 
 
II ) 
5 4 7 6 4
3 8 6
5 3 3
2 8
 
 
Note que os coeficientes nulos vão aumentando, em forma de “escada” da 
baixo pra cima, até que a 1ª equação tenha todos os coeficientes não nulos. 
 
Álgebra Linear 
 
 
59 
 
O escalonamento é feito utilizando somente três operações elementares: 
1ª – Mudar as linhas de posição. 
2ª – Multiplicar ou dividir uma linha por um número real. 
3ª – Somar ou subtrair as linhas. 
 
IMPORTANTE: 
É importante destacar que na 3ª operação, a equação resultante da 
soma de duas ou mais linhas deverá ser colocada em uma delas. Por exemplo: 
L1 + L2 + L3 = L3, Isto é, a soma da linha 1 mais a linha 2 mais a linha 3 será 
colocada na 3ª linha. 
Não podemos efetuar a operação: L1 + L2 = L3, pois a equação resultante da 
soma das linhas 1 e 2 não pode ser colocado em outra linha diferente das utilizadas 
no processo de soma. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO PASSO A PASSO: 
 
Escalonar e resolver o sistema: 
 
6
2 3
3 2
 
 
1º passo: Devemos tornar o coeficiente da variável x da 3ª equação nulo. Para 
isso, vamos multiplicar a 1ª linha por 3. 
 
Álgebra Linear 
 
 
60 
6
2 3
3 2
 isso implica em : 
3 3 3 18
2 3
3 2
 
 
2º passo: Agora vamos realizar a seguinte operação elementar: L1 – L3 = L3 
Isso significa que a equação resultante da diferença entre as linhas 1 e 3 será 
colocada na 3ª linha. Assim, temos: 
 
3 3 3 18 
3 				 	 	2 
0 2 4 16 
Resultando em 
3 3 3 18
2 3
2 4 16
 
 
2º passo: Agora vamos realizar a seguinte operação elementar: 2L1 – 3L2 = L2 
Isso significa multiplicar a 1ª linha por 2 e subtrair da 2ª linha multiplicada por 
3. A equação resultante da operação elementar será colocada na 2ª linha. Assim 
temos: 
6 6 6 36 
6 3 	 3 	 	9 
0 9 3 27 
Resultando em 
3 3 3 18
9 3 27
2 4 16
 
Como os coeficientes estão se tornando muito grande, podemos simplificá-los, 
utilizando a 2ª operação elementar : dividir uma linha por um número real. 
Assim, para simplificar, vamos dividir a 1ª linha por 3 , a 2ª linha por 3 e a 3ª 
linha por 2, resultando em : 
Álgebra Linear 
 
 
61 
6
3 9
2 8
 
Agora, vamos tornar nulo o coeficiente do y na 3º equação. Para isso, devemos 
efetuar a operação elementar : L2 – 3L3 = L3, isso significa que iremos subtrair a 2ª 
linha pela 3ª linha multiplicada por 3, e colocar a equação resultante dessa 
operação na 3ª linha. Assim temos : 
0 3 9 
0 3 	 6 	 	24 
0 0 5 15 
Resultando no sistema perfeitamente escalonado abaixo : 
 
6
3 9
5 15
 
Agora, após escalonado, devemos resolver o sistema, encontrando o valor das 
incógnitas de baixo para cima. 
 
6
3 9
5 15
 
-5z = -15 
 z = → z = 3 
 
Substituíndo na 2ª equação, temos : 
3y + z = 9 
3y + 3 = 9 
3y = 9 – 3 
3y = 6 
y = → y = 2 
Finalmente substituímos z e y na 1ª equação : 
Álgebra Linear 
 
 
62 
x + y + z = 6 
x + 2 + 3 = 6 
x + 5 = 6 
x = 6 – 5 
x = 1 
 
Logo a solução do sistema é S = (1,2,3). 
 
Discussão de Sistemas Lineares 
 
Discutir um sistema linear de “m” equações e “m” incógnitas, é determinar se o 
sistema é impossível, possível determinado ou possível indeterminado. 
Na maioria dos casos, a discussão pode ocorrer de dois modos: 
 
I ) Discussão de um sistema pela Regra de Cramer 
Neste caso, calculamos inicialmente o DA . 
 
A) Se DA≠ 0, podemos afirmar que o sistema é Possível e determinado (SPD) 
 
B) Se DA = 0, devemos calcular os determinantes das variáveis. 
Caso encontremos na divisão de algum determinante de qualquer variável 
pelo determinante da matriz, a fração , podemos dizer que o sistema é possível 
indeterminado (SPI). Caso contrário, o sistema será Impossível (SI). 
 
Álgebra Linear 
 
 
63 
EXEMPLOS: 
 
O sistema 
2 3 9
4 7 é possível e determinado, pois : 
 
DA = 
2 3
1 4
 
DA = (2 . 4) – (3. 1) 
DA = 8 – 3 
DA = 5 ≠ 0 
 
1) O sistema 
3 5
2 6 10 é possível e indeterminado, pois : 
DA = 
1 3
2 6
 
DA = (1 . 6) – (3. 2) 
DA = 6 – 6 
DA = 0 
 
Dx = 5 3
10 6
 
Dx = (5 . 6) – (3. 10) 
Dx = 30 - 30 
Dx = 0 
Logo, ao dividirmos Dx por DA, encontramos a fração . 
 
Álgebra Linear 
 
 
64 
 O sistema 
4
2 2 3 é impossível, pois: 
DA = 
1 1
2 2
 
DA = (1 . 2) – (1. 2) 
DA = 2 – 2 
DA = 0 
 
Dx = 
4 3
3 6
 
Dx = (4 . 6) – (3. 3) 
Dx = 24 - 9 
Dx = 15 
Como, ao dividirmos Dx por DA, encontramos a fração que é impossível, 
pois não existe divisão por zero. 
 
II ) Discussão de um sistema por escalonamento 
A discussão de um sistema por escalonamento pode ser feita do seguinte modo: 
 Após escalonar o sistema, se encontrarmos uma linha com todos os 
coeficientes das variáveis e também o termo independente iguais a zero, o sistema 
será dito possível indeterminado (SPI). Caso encontrarmos todos os coeficientes 
das variáveis nulos e o termo independente diferente de zero, dizemos que o 
sistema é impossível (SI). Em qualquer outra situação, o sistema será possível e 
determinado (SPD). 
EXEMPLOS: 
Considere os sistemas escalonados abaixo: 
I ) 
2 5 3 6
3 4 9
5
 
 Nesse sistema encontramos todos os coeficientes das variáveis nulos e o 
termo independente diferente de zero. O sistema é impossível (SI). 
II ) 
2 6 3 5
3 4 9
0
 
Álgebra Linear 
 
 
65 
 Nesse sistema encontramos todos os coeficientes das variáveis nulos e o 
termo independente também nulo. O sistema é possível indeterminado (SPI). 
 
IMPORTANTE: 
 Existem algumas poucas excessões que podem ocorrer, como por 
exemplo o sistema : 
2 3 1
4 2 6 3
6 3 9 4
 
 Nele, se discutirmos pela Regra de Cramer concluiremos que o sistema é 
possível indeterminado (SPI). Porém, se discutirmos por escalonamento, veremos 
que na verdade ele é impossível (SI). 
 Assim, para que não haja nenhuma dúvida sobre a discussão, recomendo 
que a mesma seja feita da seguinte forma: inicialmente calculamos pela Regra de 
Cramer o DA, isto é, o determinante da matriz formada pelos coeficientes das 
variáveis das equações e se caso o DA seja diferente de zero, o sistema será 
possívele determinado. No caso do DA ser igual a zero, devemos escalonar o 
sistema. 
 
E assim terminamos mais um unidade de estudos, agora você já sabe o que 
são sistemas lineares e que sua utilização na resolução de problemas diversos é 
bastante eficiente. 
Na unidade seguinte, você estudará os estudos do vetores, suas operações e 
propriedades. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Álgebra Linear 
 
 
66 
Exercícios da Unidade 3 
 
1-Resolvendo o sistema 
2 5
2 3 4 podemos dizer que a soma de x + y é igual 
a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
2-O sistema 
3 0
4 2 6 0
5 15 0
 
a) admite infinitas soluções 
b) admite apenas duas soluções 
c) não admite soluções 
d) admite solução única 
e) admite apenas a solução trivial. 
 
3-Resolva os sistemas: 
 
a) 
x	– 	2y	 	z	 	1
	x	 	y	– 	z	 	5
2x	– 	y	– 	4z	 	2
 
 
b) 
x	 	y	 z	 	6
2x	– 	y	 	z	 	3
3x	 	y	– 	z	 	2
 
Álgebra Linear 
 
 
67 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
4-Três pacientes usam, em conjunto, 1830mg por mês de um certo medicamento 
em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de 5mg, o paciente B, de 10mg e o 
paciente C de 12mg. O paciente A toma a metade do número de cápsulas de B e os 
três juntos tomam 180 cápsulas por mês. O paciente C toma um número de 
cápsulas por mês igual a: 
a) 30 
b) 60 
c) 75 
d) 90 
e) 120 
 
5-Três amigos, denominados X, Y e Z utilizam o computador todas as noites. Em 
relação ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se: 
 
 tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2. 
 tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o 
dobro do tempo de Y. 
 tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo 
de Y. 
Álgebra Linear 
 
 
68 
 
Qual a soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, 
em cada noite? 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
69 
 
Vetores 4 
Álgebra Linear 
 
 
70 
Caro aluno, 
Nesta unidade, faremos a introdução aos vetores, definindo suas operações e 
propriedades. 
 
Objetivos da Unidade: 
 Compreender o que são vetores, suas operações e propriedades. 
 
Plano da Unidade: 
 Estudo no Espaço R2. 
 Estudo no Espaço R3. 
 Produto Misto. 
 
Bons Estudos. 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
71 
 
Estudo no Espaço R2 
 
Sabemos que, dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano AxB é o 
cunjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x pertence ao conjunto A e y 
pertence ao conjunto B. 
Cada um desses pares (x,y) são associados a um ponto do plano cartesiano, 
por exemplo: 
Dado o ponto M(xm, ym) temos: 
 
 
1) OPERAÇÕES COM PARES ORDENADOS 
Considere os pares ordenados (xm, ym) e (xp, yp). 
 
A) IGUALDADE : 
Dizemos que os pares acima são iguais, se e somente se : xm = xp e ym = yp 
 EXEMPLO: Encontre o valor de K, de modo que os pares ordenados (5, 
3K+1) e (5, 4) sejam iguais. 
 
Álgebra Linear 
 
 
72 
 
Resolução: 
3K+1 = 4 
3K = 4 -1 
3K = 3 
K = 
K = 1 
 
B) ADIÇÃO: 
Para somar os pares acima, basta encontrar um novo par ordenado, onde: 
( xm + xp , ym + yp ) 
 
EXEMPLO: 
(7, 6) + (1,9) = (7+1, 6+9) = (8,15) 
 
C) PRODUTO POR UM ESCALAR 
 
O produto de um par ordenado (xm, ym) por um número real K, denominado 
escalar, é dado por : 
K. (xm, ym) = (Kxm, Kym) 
EXEMPLO: 
Dado o par ordenado (7, 6) e o escalar 2, calcule o produto do par ordenado 
pelo escalar. 
2.(7,6) = (14,12) 
 
Álgebra Linear 
 
 
73 
 
PROPRIEDADES: 
Sejam os pares ordenados A(xa,ya) , B(xb, yb) e C(xc,yc). 
1ª propriedade : (A+B)+C = A+(B+C) 
2ª propriedade : A+C = C+A 
3ª propriedade : K(A + C) = (KA + KC) 
4ª propriedade : O elemento neutro da adição é o par O = (0,0), 
A + O = O + A = A 
5ª propriedade : O oposto de C = (xc,yc) é -C = ( -xc, -yc ) 
6ª propriedade : 1 . A = A . 1 = A 
 
2) SEGMENTO ORIENTADO 
Sejam dois pontos A e B, numa reta real, conforme a figura. 
 
 
Dizemos que o segmento orientado parte de A até B, da mesma forma o 
segmento orientado , parte de B até A 
Todo segmento orientado possui direção, sentido e módulo. 
Chamamos de módulo, o comprimento do segmento. A direção é dada por 
sua reta suporte e o sentido é indicado pela seta sobre as letras. 
 
IMPORTANTE 
Dizemos que dois segmentos orientados são equipotentes, quando 
possuem módulos iguais, sentidos iguais e a mesma direção. 
 
Álgebra Linear 
 
 
74 
 
3) VETOR 
O vetor de um segmento orientado é o conjunto de todos os seus 
segmentos orientados equipotentes. 
Para calcular os componentes de um vetor v, dado que v = , onde A(xa,ya) e 
B(xb, yb) é dado por : 
v = = B – A = (xb - xa , yb - ya ) 
 
EXEMPLO: 
Dado os pontos M(5,3) e P(7,9), encontre o vetor v = 
 
Resolução: 
v = = P – M = (xp - xm , yp – ym ) 
v = ( 7 – 5, 9 – 3 ) 
v = ( 2,6 ) 
 
4) OPERAÇÕES COM VETORES 
 
A) ADIÇÃO 
Considere dois vetores u e w, podemos dizer que a soma u + w é um par 
ordenado, de modo que: 
 
u + w = (xu + xw , yu + yw ) 
 
Álgebra Linear 
 
 
75 
 
Graficamente: 
 
 
 
B) MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR 
 
Considere um vetor v = (a,b) e um escalar K, dizemos que o produto K.v é dado 
por : 
Kv = (Ka,Kb) 
 
IMPORTANTE: 
As coordenadas do ponto médio de um segmento AB, dado A(xa,ya) e 
B(xb, yb) é obtido pela média aritmética das coordenadas dos extremos. 
EXEMPLO : 
Dado os pontos N(1,3) e P(7,9), o ponto médio MNP é dado por : 
 MNP = 
,
 
MNP = 
,
 
MNP = (4,6) 
 
Álgebra Linear 
 
 
76 
 
1) As coordenadas do barientro de um triângulo de vértices ABC, dado 
A(xa,ya) , B(xb, yb) e C(xc, yc) é obtido pela média aritmética das 
coordenadas dos vértices do triângulo. 
 
EXEMPLO: 
Dado o triângulo MNP, de vértices M(4,3) N(1,3) e P(7,9), o baricentro G do 
triângulo é dado por : 
 G= 
,
 
G= 
,
 
G = (4,5) 
 
Graficamente: 
 
 
 
Onde G é o centro de gravidade do triângulo. Ele consiste no ponto de 
encontro das três medianas do triângulo. 
 
Álgebra Linear 
 
 
77 
 
5) PRODUTO INTERNO NO R2 
Considere dois vetores : u = (a,b) e v = (c,d) 
Dizemos que o produto escalar ou interno dos vetores u e v, indicado por uv, é 
dado por um número real, obtido por : 
u.v = a.c + b.d 
 
EXEMPLO: 
Dado os vetores u =(4,3) e v = (1,3) 
u . v = 4 . 1 + 3 . 3 
u . v = 4 + 9 
u . v = 13 
 
6) MÓDULO DE UM VETOR 
O módulo (comprimento) de um vetor u = (a,b), é dado pela raiz quadrada da 
soma dos quadrados de suas componentes vetoriais. 
 
| | 
EXEMPLO : 
Dado o vetor u =(4,3) 
| | 4 3 
| | √16 9 
| | √25 
| | 5 
 
Álgebra Linear 
 
 
78 
 
IMPORTANTE: 
O módulo de um vetor u é também chamado de norma de u. 
 
7) VETORUNITÁRIO 
Um vetor é dito unitário quando possui módulo igual a 1. 
Seja um vetor u = (a,b). Se |u| 1, então u é um vetor unitário. 
 
8) VERSOR DE UM VETOR 
Seja um vetor v = (c,d) não nulo. Dizemos que o vetor : 
v’ = 
| |
 
é um vetor unitário chamado de versor de v. 
 
EXEMPLO: 
Dado o vetor v = (4,3), encontre o versor do vetor v. 
Resolução: 
v’ = 
| |
 
v’ = 
,
√
 
v’ = 
,
√
 
v’ = 
,
√
 
v’ = 
,
 
v’ = , 
 
Álgebra Linear 
 
 
79 
 
9) CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES 
Considere dois vetores : u = (a,b) e v = (c,d) 
Dizemos que os vetores u e v são paralelos se e somente se : 
 
EXEMPLO : 
Dado os vetores v = (4,3) e w = (8,6), verifique se os vetores v e w são paralelos. 
Resolução : 
4
8
3
6
 
(4.6) = (3.8) 
= 24 Logo v e w são paralelos. 
 
10) CONDIÇÃO DE PERPENDICULARIDADE DE DOIS VETORES 
Dois vetores u = (a,b) e v = (c,d) são ditos ortogonais ou perpendiculares, se e 
somente se : 
a.c + b.d = 0 
ou seja : 
u . v = 0 
 
EXEMPLO: 
Dado os vetores v = (4,3) e w = (2,6), verifique se os vetores v e w são 
ortogonais. 
 
Álgebra Linear 
 
 
80 
 
Resolução: 
( 4 . 2 ) + ( 3 . 6 ) = 
8 + 18 = 
≠ 0, logo os vetores não são perpendiculares 
 
11) ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
 
 
Sejam os vetores u = (a,b) e w = (c,d), o ângulo β formado pelos vetores u e w é 
dado por : 
.
| |. | |
 
 
EXEMPLO : 
Dado os vetores u = (1,3) e w = (-2,4),encontre o ângulo β formado pelos 
vetores u e w. 
 
Resolução : 
cosβ
u. w
|u|. |w|
 
 
Álgebra Linear 
 
 
81 
 
cosβ
1. 2 3.4
√1 3 . 2 4
 
cosβ
10
√10.√20
 
cosβ
10
√200
 
cosβ
10
√2.100
 
cosβ
10
10√2
 
cosβ
1
√2
 
 
Racionalizando, temos: 
cosβ
√2
2
 
Sabendo que 0° ≤ β ≤ 180°, logo temos : 
 45° 
Logo, o ângulo entre os vetores u e w é igual a 45° 
 
Estudo no Espaço R3 
 
No espaço, utilizaremos um sistema com três eixos coordenados : x, y e z. 
Assim, um ponto P pertencente a R3, terá como coordenadas P = (xp, yp, zp) 
 
Álgebra Linear 
 
 
82 
 
 
 
De modo análogo ao espaço R2, temos : 
 
1) OPERAÇÕES COM TERNAS ORDENADAS 
Considere as ternas ordenadas (xm, ym, zm) e (xp, yp, zp). 
 
A) IGUALDADE: 
Dizemos que ternas ordenadas acima são iguais, se e somente se : 
xm = xp , ym = yp , zm = zp 
 
B) ADIÇÃO : 
Para somar as ternas ordenadas acima, basta encontrar um novo par 
ordenado, onde : 
( xm + xp , ym + yp , zm + zp ) 
 
Álgebra Linear 
 
 
83 
 
C) PRODUTO POR UM ESCALAR 
O produto de uma terna ordenada (xm, ym, zm) por um número real K, 
denominado escalar, é dado por : 
K. (xm, ym, zm) = (Kxm, Kym. Kzm) 
 
2) VETOR NO R3 
O vetor de um segmento orientado é o conjunto de todos os seus 
segmentos orientados equipotentes. 
Para calcular os componentes de um vetor v, dado que v = , onde A(xa,ya,za) 
e B(xb, yb, zb) é dado por : 
v = = B – A = (xb - xa , yb - ya , zb - za ) 
 
3) OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO R3 
 
A) ADIÇÃO 
Considere dois vetores u e w, podemos dizer que a soma u + w é um par 
ordenado, de modo que : 
u + w = (xu + xw , yu + yw , zu + zw ) 
 
B) MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR 
 
Considere um vetor v = (a,b,c) e um escalar K, dizemos que o produto K.v é 
dado por : 
Kv = (Ka,Kb,Kc) 
 
Álgebra Linear 
 
 
84 
 
IMPORTANTE : 
As coordenadas do ponto médio de um segmento AB, dado A(xa,ya,za) 
e B(xb, yb,zb) é obtido pela média aritmética das coordenadas dos extremos. 
As coordenadas do barientro de um triângulo de vértices ABC, dado : 
A(xa,ya,za) , B(xb, yb,zb) e C(xc, yc,zc) 
é obtido pela média aritmética das coordenadas dos vértices do triângulo. 
 
 
4) PRODUTO INTERNO NO R2 
Considere dois vetores : u = (a,b,c) e v = (d,e,f) 
Dizemos que o produto escalar ou interno dos vetores u e v, indicado por uv, é 
dado por um número real, obtido por : 
u.v = a.d + b.e + c.f 
 
5) NORMA DE UM VETOR NO R3 
O módulo (comprimento) de um vetor u = (a,b,c), é dado pela raiz quadrada da 
soma dos quadrados de suas componentes vetoriais. 
| | 
 
6) VETOR UNITÁRIO 
Um vetor é dito unitário quando possui módulo igual a 1. 
 Seja um vetor u = (a,b,c). Se |u| 1, então u é um vetor unitário. 
 
Álgebra Linear 
 
 
85 
 
7) VERSOR DE UM VETOR 
Seja um vetor v = (c,d,e) não nulo. Dizemos que o vetor : 
v’ = 
| |
 
é um vetor unitário chamado de versor de v. 
 
8) CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES NO R3 
Considere dois vetores : u = (a,b,e) e v = (c,d,f) 
Dizemos que os vetores u e v são paralelos se e somente se : 
 
 
9) CONDIÇÃO DE PERPENDICULARIDADE DE DOIS VETORES NO R3 
Dois vetores u = (a,b,e) e v = (c,d,f) são ditos ortogonais ou perpendiculares, se 
e somente se : 
a.c + b.d + e.f = 0 
ou seja : 
u . v = 0 
 
10) ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES NO R3 
Sejam os vetores u = (a,b,e) e w = (c,d,f), o ângulo β formado pelos vetores u e 
w é dado por : 
.
| |. | |
 
 
Álgebra Linear 
 
 
86 
 
Produto Misto 
 
Sejam os vetores do R3 dados por : w = (a,b,c) , v = (d,e,f) e u = (g,h,i) 
Definimos como produto misto entre os vetores w,v e u, e representamos por 
, , 
o determinante . 
Aplicação geométrica do produto misto 
 
1ª – O volume de um paralelepípedo gerado por três vetores não coplanares é 
igual ao módulo do produto misto desses vetores. 
EXEMPLO : 
Dados os vetores w = (2,0,1) , v = (1,0,1) e u = (1,2,2), determine o volume do 
paralelepípedo por eles gerado, em unidades de volume. 
Resolução : 
, , = 
2 1 0
1 0 1
1 2 2
 
2 1 0
1 0 1
1 2 2
2 1
1 0
1 2
 
= [ (2.0.2) + (1.1.1) + (0.1.2) ] – [ (0.0.1) + (2.1.2) + (1.1.2) ] 
= [ 0 + 1 + 0 ] – [ 0 + 4 + 2 ] 
= 1 – 6 
= -5 
Como o volume é o módulo do produto misto, temos que o volume é igual a : 
5 unidades de área 
Álgebra Linear 
 
 
87 
2ª – O volume de um tetraedro definido por três vetores não coplanares 
aplicados em um mesmo ponto é igual a ao módulo do produto misto desses 
vetores dividido por 6. 
 
EXEMPLO : 
Dados os vetores w = (2,0,1) , v = (1,0,1) e u = (1,2,2), determine o volume do 
tetraedro por eles gerado, em unidades de volume. 
 
 
 
 
 
 
Como já calculamos no exemplo anterior o produto misto dos três vetores, 
temos que o volume do tetraédro é igual a unidades de área. 
 
Finalizamos aqui nossa última unidade de estudos, agora você já sabe o que 
são vetores. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
Álgebra Linear 
 
 
88 
 
Exercícios – Unidade 4 
 
1) Dados os pontos A(5,4,3) e B(1,6,2), calcule : 
 
a) A - B 
b) 3A + 2B 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
 
2) Calcule os valores de x , y e z de modo que os pontos A(3x-4,6, z+1) e B(8, 
2y+2, 7) sejam iguais. 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
3) Considere os pontos A(5,3,4), B(1,2,5) e C(6,1,2) 
Encontre as coordenadas dos vetores : 
a) u = 
b) w = 
c) v = 
 
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 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________4) Sabendo que w = , sendo A = (3,5,7) e B = (6,8,2), encontre o vetor 2w 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
5) Dados os pontos A(7,1,5), B(2,3,6) e C(6,2,5), calcule : 
 
 ponto médio de AC 
 O ponto Médio de CB 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
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Considerações Finais 
 
Caro aluno, 
Ao longo das quatro unidades desta disciplina, você estudou as estruturas 
algébricas, as fórmulas e os conceitos. Nosso estudo começou o conceito de 
Matrizes e Determinantes, definindo seus vários tipos e aplicando suas operações 
na resolução de problemas. Em seguida, abordo a discussão e resolução de 
Sistemas Lineares, utilizando dos fundamentos matriciais já estudados e 
posteriormente agrego esses conteúdos ao estudo dos Vetores, definindo suas 
operações e aplicações nos espaços R2 e R3. 
Esperamos que você enriqueça seu repertório para então se tornar um 
profissional competentes, e que esta disciplina contribua para essa formação. 
 
 
Equipe - Universo EAD 
 
 
 
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Conhecendo o Autor 
 
Alírio Gomes da S. Júnior 
O professor Alírio Gomes Jr. é graduado em Matemática pela Universidade do 
Estado do Rio de Janeiro (UERJ), mestrando em Economia Empresarial, Especialista 
em Docência do Ensino Superior e em Administração e Supervisão Escolar. Possui 
larga experiência no ensino superior, atuando como docente em universidades e 
desenvolvendo palestras em congressos e seminários. Atualmente é professor da 
Universidade Salgado de Oliveira, tendo lecionado diversas disciplinas, entre elas: 
Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Matemática Básica, Estatística, 
Economia, Engenharia da Qualidade e Geometria Analítica. Atua também como 
consultor, prestando serviços a empresas, escolas e universidades. 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
94 
 
 
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95 
Referências 
 
ANTON, Howard; RORRES, Chris; DOERING, Claus Ivo (Tradutor). Álgebra linear 
com aplicações. 8.ed. reimp. Porto Alegre: Bookman, 2004. 
CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. Álgebra Linear e Aplicações. ed. atual, São Paulo, 
1990. 
LIPSCHUTZ, S .Álgebra Linear . Coleção Schaum. 2.ed . São Paulo : McGraw-Hill, 
1987. 
LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc Lars; ALVES, Laurito Miranda (Tradutor). Teoria 
e problemas de algebra linear. 3ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. 
POOLE, David; MONTEIRO, Martha Salerno (Tradutor). Algebra linear. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2004. 
STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Álgebra Linear . 2.ed. São Paulo:McGraw- Hill , 
1987. 
WINTERLE,Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo : Makron Books, 2000. 
 
 
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nexos A 
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Gabaritos 
 
Unidade 1 
 
1- 
2- A soma não pode ser feita, pois para isso, as metrizes devem ter a mesma 
ordem. No caso, a matriz A é de ordem 3x4 e a metriz transposta de B é de 
ordem 4x3, logo não se pode calcular a matriz M. 
 
3- Ìtem A) a = 6 ; b = 4 ; c = -5 ; d = 6 
 
Ítem B) x = 5 ; y = 2 
 
4- V, V, F, F, V, F 
5- 24 
Unidade 2 
 
1. Ítem A) 3 
 Ìtem B) 22 
Ítem C) 0 
2. Ítem A) 18 Kg 
 Ìtem B) 11 anos 
3- 51 
4- Determinante = 38 
5- V, V, V, V, F 
 
Unidade 3 
 
1- C 
2- A 
3- ítem A) x =4 ; y = 2 ; z = 1 
Ítem B) x = 1 ; y = 2 ; z = 3 
4- D 
5- 6 horas 
 
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Unidade 4 
 
1. ítem A)(4,-2,1) 
 Ítem B) (17,24,13) 
2- X = 4 ; y = 2 ; z = 6 
3- ítem A)(-4,-1,1) 
 Ítem B) (1,-2,-2) 
 ítem C)(4,-2,1) 
 
4- (6,6,-10) 
5- ítem A)(13/2, 3/2, 5) 
 Ítem B) (4, 5/2, 11/2)