lista25

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista 25 - Prazo de entrega: 19/11/2019
1. Em cada item, calcule o gradiente de f e a derivada direcional de f no ponto ~r0 indicado e
direção ~u indicada.
(a) f(x, y) = y2
x2 , ~r0 = (1, 2), ~u =
(
3
5
, 4
5
)
.
(b) f(x, y, z) = xe2yz, ~r0 = (3, 0, 2), ~u =
(
2
3
,−2
3
, 1
3
)
.
(c) f(x, y, z) = xey + yez + zex, ~r0 = (0, 0, 0), ~u = 1
√
3
(1, 1, 1).
(d) f(x, y, z) =
√
xyz, ~r0 = (2, 2, 1), ~u = 1
√
6
(1, 1, 2).
2. Em cada item, seja ~u = (cosϕ, senϕ). Calcule o ângulo ϕ que maximiza a derivada direcional
de f na direção ~u na posição indicada.
(a) f(x, y) = x4y − x2y3, ~r0 = (1,−1).
(b) f(x, y) = log(3x+ 2y), ~r0 = (1, 1).
(c) f(x, y) = sen(x+ y), ~r0 = (0, π).
(d) f(x, y) = log
(
1 + y
x
)
, ~r0 = (1, 0).
3. Utilize a regra da cadeia para encontrar df
dt
.
(a) f(x, y) = ax2 + bxy + cy2, ~r(t) = (cos(t), sen(t)).
(b) f(x, y) =
√
1 + x2 − y2, ~r(t) = (cosh(t), senh(t)).
(c) f(x, y) = arctan
(
y
x
)
, x(t) = et, y(t) = 1− e−t.
1
4. Pela derivação impĺıcita, calcule a inclinação dy
dx
da curva representada implicitamente pela
função indicada num ponto (x0, y0) qualquer.
(a) cos(xy) = 1 + sen(y).
(b) ey sen(x) = x+ xy.
5. Sejam α e β números reais (constantes) e sejam f e g funções de duas variáveis diferenciáveis.
Demonstre as seguintes propriedades.
(a) Linearidade: ~∇ (αf(x, y) + βg(x, y)) = α~∇f(x, y) + β~∇g(x, y).
(b) Regra do produto: ~∇ (f(x, y) · g(x, y)) = f(x, y) · ~∇g(x, y) + g(x, y) · ~∇f(x, y).
2