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1a Prova de Cálculo I, 30/04/2019 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 TOTAL Nome: RA: 1. Considere a função f(x) = cos (πx 4 ) − log2 x. (a) Mostre que f(1) > 0 e que f(2) < 0. (b) Justifique que f é uma função cont́ınua. (c) Use o Teorema do valor intermediário para concluir que existe c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0. Solução: (0.5 pts)(a) Vamos calcular os valores de f(1) e f(2). f(1) = cos ( π 4 ) − log2 1 = √ 2 2 − 0 = √ 2 2 , e f(2) = cos ( 2π 4 ) − log2 2 = cos ( π 2 ) − 1 = 0 − 1 = −1. Portanto, f(1) > 0 e f(2) < 0. (0.5 pts)(b) Para vermos que f é uma função cont́ınua, observe que as funções cos e log são funções cont́ınuas. Além disso, sendo h(x) = πx 4 , segue que h também é uma função cont́ınua, pois é uma função polinomial. Dessa forma, como composta de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que cos ( πx 4 ) é cont́ınua. Por fim, como subtração de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que f é uma função cont́ınua. (1.0 pt)(c) Do item (b), sabemos que f é uma função cont́ınua no intervalo [1, 2]. Além disso, pelo item (a), obtemos que f(2) < 0 < f(1). Assim, pelo Teorema do Valor Inter- mediário, existe ao menos um c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0. 2. (a) Calcule o limite lim x→0 x2 cos ( 2 x ) . (b) A função f definida por f(x) = { x2 cos ( 2 x ) se x 6= 0 0, se x = 0 é cont́ınua? Justifique a resposta. Solução: (1.0 pt)(a) Sabemos que −1 6 cos( 2 x ) 6 1, ∀x ∈ R∗. Assim, como x2 > 0, ∀x ∈ R, temos −x2 6 x2 cos ( 2 x ) 6 x2. Assim, como lim x→0 −x2 = 0 = lim x→0 x2, pelo Teorema do Confronto, segue que lim x→0 x2 cos ( 2 x ) = 0. (1.0 pt)(b) Primeiramente, observe que, para x 6= 0 a função f é cont́ınua. De fato, as funções h(x) = 2 x , g(x) = x2 e cos(x) são funções cont́ınuas. Mais ainda, como composição de funções continuas é uma função cont́ınua e produto de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que f é cont́ınua. Portanto, para x 6= 0 a função f é cont́ınua. Assim, basta verificar se f é cont́ınua no ponto x = 0, isto é, lim x→0 f(x) existe e lim x→0 f(x) = f(0). Pelo item (a) acima, sabemos que lim x→0 f(x) = lim x→0 x2 cos ( 2 x ) = 0 = f(0). Logo, f é cont́ınua em x = 0. Portanto f é uma função cont́ınua. 3. Calcule os limites abaixo e justifique as passagens indicando as propriedades do limite que foram utilizadas. (a) lim x→−2 (3x4 + 2x2 − x+ 1) (b) lim x→0 ( 1 x √ 1 + x − 1 x ) (c) limx→3 x2 − 9 x2 + x− 12 (d) lim x→0 tan(x) 7x Solução: Para a resolução dos limites, vamos utilizar as seguintes propriedades de limite. Sejam f e g funções tais que lim x→a f(x) e lim x→a g(x) existem e k ∈ R, então: P1 : lim x→a [f(x)± g(x)] = lim x→a f(x)± lim x→a g(x); P2 : lim x→a k · f(x) = k · lim x→a f(x); P3 : lim x→a [f(x) · g(x)] = lim x→a f(x) · lim x→a g(x); P4 : lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) , desde que lim x→a g(x) 6= 0; P5 : lim x→a k = k; P6 : lim x→0 sen x x = 1. (0.75 pts)(a) lim x→−2 (3x4 + 2x2 − x + 1) = 3(−2)4 + 2(−2)2 − (−2) + 1 = 48 + 8 + 2 + 1 = 59. Utilizamos as propriedades P1 e P2. (0.75 pts)(b) lim x→0 ( 1 x √ 1 + x − 1 x ) = lim x→0 1 − √ 1 + x x √ 1 + x = lim x→0 (1 − √ 1 + x)(1 + √ 1 + x) (x √ 1 + x)(1 + √ 1 + x) = lim x→0 12 − ( √ 1 + x)2 x √ 1 + x+ x( √ 1 + x)2 = lim x→0 1 − (1 + x) x[ √ 1 + x+ 1 + x] = lim x→0 −x x[ √ 1 + x+ 1 + x] = lim x→0 −1√ 1 + x+ (1 + x) = −1√ 1 + 0 + 1 + 0 = − 1 2 . Uti- lizamos as propriedades P1 e P4. (0.75 pts)(c) lim x→3 x2 − 9 x2 + x− 12 = lim x→3 (x− 3)(x+ 3) (x− 3)(x+ 4) = lim x→3 x+ 3 x+ 4 = 3 + 3 3 + 4 = 6 7 . Utilizamos as propriedades P1 e P4. (0.75 pts)(d) lim x→0 tan(x) 7x = lim x→0 senx cosx 7x = lim x→0 sen x 7x cos x = lim x→0 [ 1 7 ( sen x x )( 1 cos x )] = 1 7 . Utiliza- mos as propriedades P2, P3, P4 e P6. 4. Considere a função definida por f(x) = 2x− 1 se x 6 1 x+ 1, se 1 < x 6 2 x2 + 2x− 8 2x− 4 , se 2 < x (a) Faça o gráfico de f no domı́nio [−1, 4] sobre figura quadriculada abaixo. (b) Determine se f é cont́ınua nos pontos x = 1 e x = 2. Justifique a sua resposta. Solução: (1.0 pt)(a) Precisamos analisar separadamente o gráfico de f nos intervalos [−1, 1], (1, 2] e (2, 4]. (i) Para x ∈ [−1, 1], f(x) = 2x − 1, ou seja, nesse intervalo o gráfico de f é um segmento de reta. Vamos encontrar dois pontos para determinar este segmento. Temos f(−1) = 2(−1) − 1 = −3, e f(1) = 2 · 1 − 1 = 1 Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (−1, f(−1)) = (−1,−3) e (1, f(1)) = (1, 1). (ii) Para x ∈ (1, 2], f(x) = x + 1, que também é um segmento de reta. Vamos encontrar dois pontos para determinar este segmento. f(1) = 1 + 1 = 2, e f(2) = 2 + 1 = 3. Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (1, 2) e (2, 3). Note que, para x = 1 a expressão de f não é f(x) = x+ 1 e sim f(x) = 2x− 1. Logo, o ponto (1, 2) não pertence ao gráfico de f. (iii) Para x ∈ (2, 4], f(x) = x 2 + 2x− 8 2x− 4 . Fazendo uma fatoração, obtemos f(x) = x2 + 2x− 8 2x− 4 = (x− 2)(x+ 4) 2(x− 2) = (x+ 4) 2 = x 2 + 2, que também é um segmento de reta. Vamos encontrar dois pontos para determinar o segmento. f(2) = 2 2 + 2 = 3, e f(4) = 4 2 + 2 = 2 + 2 = 4. Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (2, 3) e (4, 4). Note que o ponto x = 2 não está no domı́nio da função x2 + 2x− 8 2x− 4 , mas o ponto (2, 3) pertence ao gráfico de f pelo item anterior. Portanto, o gráfico de f é y x • ◦ −1 1 2 4 −1 2 3 4 (2.0 pts)(b) Primeiramente, vamos verificar se f é cont́ınua no ponto x = 1, isto é, lim x→1 f(x) existe e lim x→1 f(x) = f(1). Observe que lim x→1+ f(x) = lim x→1+ x+ 1 = 1 + 1 = 2, e lim x→1− f(x) = lim x→1− 2x− 1 = 2.1 − 1 = 1. Como lim x→1+ f(x) 6= lim x→1− f(x), temos que lim x→1 f(x) não existe. Portanto f não é cont́ınua em x = 1. Agora, verifiquemos se f é cont́ınua no ponto x = 2, isto é, lim x→2 f(x) existe e lim x→2 f(x) = f(2). Note que lim x→2+ f(x) = lim x→2+ x2 + 2x− 8 2x− 4 = lim x→2+ (x+ 4)(x− 2) 2(x− 2) = lim x→2+ (x+ 4) 2 = 2 + 4 2 = 3, lim x→2− f(x) = lim x→2− x+ 1 = 2 + 1 = 3, e f(2) = 2 + 1 = 3. Como, lim x→2+ f(x) = lim x→2− f(x), temos que lim x→2 f(x) existe, mais ainda, lim x→2 f(x) = 3 = f(2). Portanto, f é cont́ınua em x = 2.
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