Resistencia dos Materiais Hibbeler - 12.8 Vigas e eixos estaticamente indeterminados (método dos momentos de área)

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Pl'oblema 12.111 
12.112. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B. EI é constante. 
�------------ L������� 
Problema 12.112 
p 
M 
�-------------------- x 
Reta inclinada 
-PL 
(a) 
IV 
� � � � � � � � � l 
L 
M 
X 
Curva parabólica 
-wL2 
2 (c) 
*1 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 461 
Vigas e eixos estaticamente 
indeterminados - método 
dos momentos de área 
Se o método dos momentos de área for usado 
para determinar as reações redundantes desconhe­
cidas de uma viga ou eixo estaticamente indeter­
minado, então o diagrama MIEI deve ser obtido de 
modo tal que as reações redundantes sejam repre­
sentadas como incógnitas nesse diagrama. Uma vez 
estabelecido o diagrama MIEI, os dois teoremas de 
momentos de área podem ser aplicados para ter­
mos as relações adequadas entre as tangentes sobre 
a linha elástica de modo a cumprir as condições de 
deslocamento e/ou inclinação nos apoios da viga ou 
eixo. Em todos os casos, o número dessas condições 
de compatibilidade será equivalente ao de reações 
redundantes e, dessa forma, obtém-se uma solução 
para as reações redundantes. 
M 
Reta com inclinação nula 
Mo 
r-------------------� x 
(b) 
wo � I 
--------- L --------� 
M 
�-------------------- x 
Curva cúbica 
(d) 
Figura 12.38 
462 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4 kN/m 5 kN 
13 kN I I I I i � t 30 kN·m 
.. · A 2 m� 58 kN·m :--2 m 
1 1 
4 kN/m 
8 kN I I � I l t . A 
8 kN·m '-- 2 m 
+ 
30 kN·m 
' A 
30 kN·m •-2 m ---I 
+ 5 kN 
5 kN i t I 
A 4 m I 20 kN·m 
Superposição de carregamentos 
(a) 
M(kN·m) 
2 4 
x (m) , -10 
-40 
-58 11 
M(kN·m) 
2 4 
x (m) 
-8 
+ 
M(kN·m) 
- JO I 2 
I 
4 
�------+--------+1 - x (m) 
+ 
M(kN·m) 
-m i 
2 
I 
4 r-------�------�1� x (m) 
Superposição de diagramas de momento 
(b) 
Figura 12.39 
Diagrama de momentos construído pelo 
método da superposição. Visto que a apli­
cação dos teoremas dos momentos de área requer o 
cálculo da área sob o diagrama MIEI e da localização 
do centroide dessa área, muitas vezes é conveniente 
usar diagramas MIEI separados para cada uma das 
cargas conhecidas e redundantes, em vez de utilizar o 
diagrama resultante para calcular essas quantidades 
geométricas. Isso se aplica especialmente ao caso em 
que o diagrama de momento resultante apresente uma 
forma complicada. O método para traçar o diagrama 
de momento em partes baseia-se no princípio da su­
perposição. 
A maioria das cargas em vigas ou eixos será uma 
combinação das quatro cargas mostradas na Figura 
12.38. A construção dos diagramas de momento as­
sociados, também mostrada nessa figura, foi discutida 
nos exemplos do Capítulo 6. Com base nesses resul­
tados, mostraremos agora como usar o método da su­
perposição para representar o diagrama de momento 
resultante para a viga em balanço mostrada na Figura 
12.39a por uma série de diagramas de momento sepa­
rados. Para tal, em primeiro lugar substituiremos as 
cargas por um sistema de cargas estaticamente equi­
valentes. Por exemplo, as três vigas em balanço mos-
tradas na Figura 12.39a são estaticamente equivalentes 
à viga resultante, visto que a carga em cada ponto so­
bre a viga resultante é igual à superposição ou adição 
das cargas sobre as três vigas separadas. Na verdade, 
a reação ao cisalhamento na extremidade A é 13 kN 
quando se somam as reações nas vigas separadas. Da 
mesma maneira, o momento interno em qualquer pon­
to sobre a viga resultante é igual à soma dos momentos 
internos em qualquer ponto sobre as vigas separadas. 
Assim, se representarmos os diagramas de momento 
para cada viga separada (Figura 12.39b ) , a superpo­
sição desses diagramas dará o diagrama de momento 
para a viga resultante, mostrado na parte superior da 
figura. Por exemplo, pelos resultados de cada um dos 
diagramas de momento separados, temos que o mo­
mento na extremidade A é MA = -8 kN·m - 30 kN·m 
- 20 kN·m = -58 kN·m, como verificado no diagrama 
de momento na parte superior da figura. Esse exemplo 
demonstra que às vezes é mais fácil construir uma série 
de diagramas de momento estaticamente equivalentes 
separados para a viga, em vez de construir seu diagra­
ma de momento resultante mais complicado. É óbvio 
que a área e a localização do centroide para cada parte 
são mais fáceis de determinar do que as do centroide 
para o diagrama resultante. 
5 kN/m 
20 kN·mi I I I I I I I I I po kN·m 
I �� I 
• J#\4, """'( 
12 m 
1 1 
5 kN/m 
i I I I I I I I I I l 
''\ I ' �JIT\ú/ I "'"( 
12 m 
+ 
20 kN·m 
12 m 
+ 
20 kN·m 
12 m 
Superposição de carregamentos 
(a) 
M(kN·m) 
70 
I 
-20 6 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 463 
12 
x (m 
-20 
Diagrama de momento resultante 
1 1 
M(kN·m) 
90 
I 
x (m 
6 12 
M(kN·m) + 
6 12 
-f-- x (m 
-20 
+ M(kN·m) I 6 12 
I I x (m 
-20 
Superposição de diagramas de momento 
(b) 
Figma 12.40 
De forma semelhante, também podemos represen­
tar o diagrama de momento resultante para uma viga 
simplesmente apoiada utilizando uma superposição 
de diagramas de momento para uma série de vigas 
simplesmente apoiadas. Por exemplo, a carga na viga 
mostrada na parte superior da Figura 12.40a equivale 
à soma das cargas nas vigas mostradas abaixo dela. Por 
consequência, podemos usar a soma dos diagramas de 
momento para cada uma dessas três cargas em vez do 
diagrama de momento resultante mostrado na parte 
superior da Figura 12.40b. Para completo entendimen­
to, esses resultados devem ser verificados. 
Os exemplos a seguir também devem esclarecer al­
guns desses pontos e ilustrar como usar o teorema de 
momentos de área para obter as reações redundantes 
em vigas e eixos estaticamente indeterminados. As so­
luções seguem o procedimento para análise descrito 
na Seção 12.4. 
A viga está sujeita à carga concentrada mostrada na 
Figura 12.41a. Determine as reações nos apoios. EI é cons­
tante. 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. O diagrama de corpo livre é mostrado na 
Figura 12.41b. Usando o método da superposição, os diagra­
mas MIEI separados para a reação redundante BY e para a 
carga lP são mostrados na Figura 12.4lc. 
linha elástica. A curva da linha elástica para a viga é mos­
trada na Figura 12.4ld. As tangentes nos apoios A e B foram 
traçadas. Visto que D.8 = O, temos 
fEIA = 0 
Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema 
2, temos 
464 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A 
E! 
M 
E! 
p 
(a) 
(c) 
By 
(b) 
�� B 
(d) 
p 
tg A 
tg B 
Figura 12.41 
fs;A = GL )[�(��)L J + (�)[ -;I
L (L) ] 
+ GL ) [� ( -:IL ) (L) ] = o 
By = 2,5P Resposta 
Equações de equilíbrio. Utilizando esse resultado, as re­
ações em A no diagrama de corpo livre (Figura 12.41b), são 
determinadas da seguinte maneira: 
� "2-Fx = O; 
+ Í "2-Fy = O; 
A 
B 
A, = O 
-Ay + 2,5P - P = O 
Ay = l,5P 
-MA + 2,5P(L) - P(2L) = O 
MA = 0,5PL 
Resposta 
Resposta 
Resposta 
f----- L --+-- L � 
(a) 
� tA/C 
lA L ts;c C 
�..<>..------ tg C g 
B 
(d) 
(b) 
A viga está sujeita ao momento em sua eÀiremidade C como 
mostra a Figura 12.42a. Determine a reação em B. EI é constante. 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. O diagrama de corpo livre é mostrado na 
Figura 12.42b. Por inspeção, a viga é indeterminada de pri­
meiro grau. Para obter uma solução direta, escolheremos B 
como a redundante. Utilizando superposição, os diagramas M; 
EI para BY e M0, cada um aplicado a uma viga simplesmente 
apoiada, são mostrados na Figura 12.42c. (Observe que para 
tal viga,A,,AY e CY não contribuem com um diagrama MIEI.) 
Linha elástica. A curva da linha elástica para a viga é mos­
trada na Figura 12.42d. As tangentes em A, B e C foram tra­
çadas. Visto que L'. A = L'.8 = L'.c = O, então os desvios tangen­
ciais mostrados devem ser proporcionais; isto é, 
(e) 
M 
E! 
��-----+=-----��2L�
x 
(c) 
L :tT �tc;A 
tg A 
Mo 
2El 
Mo 
El 
Figum 12.42 
Pela Figura 12.42c, temos 
tB;c = GL )[�(:��}L)] + (�L )[�(;�0)(L)J 
+ ( �) [ (;�o) (L) J 
Substituindo na Equação 1 e simplificando, obtemos 
Resposta 
Equações de equilíbrio. Agora as reações em A e C po­
dem ser determinadas pelasequações de equilíbrio (Figura 
12.42b ) . Mostre que Ax = O, Cy = 5M014L e A)' = Mi4L . 
Observe pela Figura 12.42e que esse problema também pode 
ser resolvido em termos dos desvios tangenciais, 
12.113. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B; a seguir, trace os diagramas de força cortante e momento 
fietor. EI é constante. 
A 
1-------- L --------1 
Problema 12.113 
Mo 
12.114. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B; a seguir trace os diagramas de força cortante e momento 
fietor. EI é constante. 
A 
12.115. 
" " 
�-------------�-----, ----�--� 
�-t--+--- � ----+--� � 
Problema 12.114 
B 
Determine as reações nos apoios. EI é constante. 
p p 
Problema 12.115 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 465 
'12.116. Determine as reações nos apoios e trace os dia­
gramas de força cortante e momento fietor. El é constante. 
25 kN 25 kN 
�· · ! B . . . 1 . 1 
f--1,2 m � 1,8 m -::;:;:g:;:::-1----- 1,8 m ---+-1.2 m -j 
Problema 12.116 
12.117. Determine as reações nos apoios e trace os diagra­
mas de força cortante e momento fietor. EI é constante. O 
apoio B é um mancai de encosto. 
A 
1------- L --+--- 1: __J_ 1: I 
2 2 ----1 
Problema 12.117 
12.118. Determine as reações nos apoios. EI é constante. 
Problema 12.118 
12.119. Determine o valor de a para o qual o momento po­
sitivo máximo tem o mesmo valor que o momento negativo 
máximo. EI é constante. 
p 
r--a-i 
L --------
Problema 12.119 
'12.120. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B; a seguir, trace os diagramas de força cortante e momento 
fietor. EI é constante. 
Mo I A B 
L L 
2 2 
Problema 12.120