Álgebra - Caderno 12

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MateMática álgebra
12
547081
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0800 772 0028
professor
O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da atualidade. 
Pensando nisso, apresentamos, no Ensino Médio, capas com animais da fauna brasileira em 
extinção. Esperamos que as imagens e as informações fornecidas motivem os estudantes a 
agir em favor da preservação do meio ambiente.
A onça-parda ou suçuarana (Puma concolor) é a segunda maior espécie de felino das 
Américas e a quarta maior do mundo: um macho adulto pode pesar aproximadamente 70 kg 
e chegar a 1,6 m de comprimento. Em virtude de sua capacidade de adaptação a diferentes 
ambientes, pode ser encontrada em todo tipo de floresta, além de áreas montanhosas, 
pântanos, regiões áridas e frias. Contudo, a caça a que foi submetida desde a colonização 
europeia, os atropelamentos e o desflorestamento causaram a extinção dessa espécie nos 
Estados Unidos. No Brasil, a degradação ambiental, as queimadas, a expansão da fronteira 
agropecuária e da ação humana têm reduzido os hábitats e a distribuição dessa espécie, razão 
pela qual ela foi categorizada como “vulnerável à extinção”.
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Estatística, limites e derivadas
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MATEMÁTICA çLGEBRA
Luiz Roberto Dante
 ESTATÍSTICA, LIMITES E DERIVADAS
1 Noções básicas de Estatística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Termos de uma pesquisa estatística . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Gráfico de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Gráfico de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Média aritmética (MA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Média aritmética ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Moda (Mo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mediana (Me) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Média aritmética, moda e mediana a partir 
das tabelas de frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Medidas de dispersão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Estatística e probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Introdução aos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A ideia intuitiva de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Limites de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Limites de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Propriedades dos limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Um limite muito importante: 
o limite fundamental trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . 64
Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Outro limite muito importante: 
o limite fundamental exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Introdução às derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Explorando a ideia de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . 78
Função derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Derivadas de algumas funções elementares . . . . . . . . . 82
Propriedades operatórias das derivadas . . . . . . . . . . . . 85
Derivada da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Derivadas de outras funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Estudo do comportamento de funções . . . . . . . . . . . . . 94
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
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Foto de uma rodovia durante a noite.
MîDULO
Estatística, limites e 
derivadas
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REfLEtiNdo soBRE A iMAGEM
Segundo estatísticas da Companhia de Enge-
nharia de Tráfego de São Paulo (CET-SP), 45% 
dos acidentes de trânsito fatais ocorridos no 
município em 2014 foram causados por atrope-
lamentos e 28,3%, por colisões entre veículos. 
Diversos estudos baseados em dados estatís-
ticos mostram que o excesso de velocidade é 
uma das principais causas de acidentes em es-
tradas e rodovias.
Você sabe como é feita uma pesquisa estatísti-
ca e quais são os termos que a definem? Sabia 
que conceitos de limite e derivada permitem o 
cálculo da velocidade instantânea de uma par-
tícula em movimento?
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4 Estatística, limites e derivadas
CAPÍTULO
1 Noções básicas de Estatística
Objetivos:
c Conhecer os termos 
de uma pesquisa 
estatística.
c Entender o conceito 
de amostragem e 
trabalhar com gráficos.
c Conhecer as medidas 
de tendência central e 
calculá-las.
c Conhecer as medidas de 
dispersão e calculá-las.
c Estimar a probabilidade 
de ocorrência de um 
evento.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha da amostra, a coleta e 
organização dos dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a inter-
pretação dos resultados.
A parte da Matemática que trata desses assuntos é a Estatística. Neste capítulo, vamos estudar 
noções de Estatística, como a construção e a interpretação de gráficos como os que seguem.
 Candidato A
 Candidato B
 Não sabe
Inten•‹o de voto por escolaridade do eleitor (em %)
abr.
37
Analfabetos funcionais: 25%
32
33
22
26
25 25
16
17
18
17
37
maio jun. jul. abr.
35
37
35
45
25
7
6 6 6
27
32 28
Fundamental completo: 11%
maio jun. jul.
abr.
38
31
33
38
32
31
29
24
4
7
4 4
N’vel superior: 8%
maio jun. jul.
O uso da pesquisa é bastante comum em várias atividades humanas.
Exemplos:
1o) As indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores antes do lançamento de 
um novo produto no mercado.
2o) As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha.
3o) A pesquisa do desempenho dos atletas, ou das equipes em uma partida, ou em um cam-
peonato, interfere no planejamento dos treinamentos.
4o) Emissoras de televisão utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para 
organizar sua programação.
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 tERMos dE UMA PEsQUisA EstAtÍsticA
População e amostra
Se quisermos saber, por exemplo, qual é a matéria favorita entre os alunos de uma classe, po-
demos consultar todos os alunos da classe.
No entanto, isso não é possível quando queremos pesquisar a intenção de voto dos eleitores do 
estado de São Paulo, por exemplo, pois não podemos consultar todos os eleitores que constituem a 
população ou o universo estatístico.
Recorremos, então, ao que se chama de amostra, ou seja, um grupo de eleitores que, consulta-
dos, permitem que se chegue ao resultado mais próximo possível da realidade.
É comum aparecer na publicação das pesquisas quantos eleitores foram consultados, pois a 
escolha da amostra (quantos e quais eleitores) é fundamental para o resultado.
Chamando de U o universo estatístico e de A uma amostra, temos:
A , U
indivíduo ou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto. No exemplo da intenção 
de voto, os indivíduos da pesquisa são pessoas. Quando se consideram algumas marcas de lâmpada 
para testar a durabilidade, cada marca é um objeto da pesquisa.Variável
Uma indústria automobilística que pretende lançar um novo modelo de carro faz uma pesquisa 
para sondar a preferência dos consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, potência 
do motor, preço, cor, tamanho, etc. Cada uma dessas características é uma variável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível” , a escolha pode ser, por exemplo, entre álcool e gasolina. 
Dizemos que esses são valores ou realizações da variável “tipo de combustível” .
Variável qualitativa
Em uma pesquisa que envolve pessoas, por exemplo, as variáveis consideradas podem ser sexo, 
cor de cabelo, esporte favorito e grau de instrução. Nesse caso dizemos que as variáveis são qualitati-
vas, pois apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivíduos pesquisados.
Além disso, dizemos que as variáveis qualitativas podem ser ordinais, quando existe uma ordem 
nos seus valores, ou nominais, quando isso não ocorre.
Exemplo:
“Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, já que seus valores podem ser orde-
nados (fundamental, médio, superior, etc.).
Variável quantitativa
Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo, altura, peso, idade em anos e número 
de irmãos, dizemos que elas são quantitativas, pois seus possíveis valores são números.
As variáveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (números intei-
ros), ou contínuas, quando se trata de medida (números reais).
Exemplos:
1o) “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2, etc.).
2o) “Altura” é uma variável quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (1,55 m, 
1,80 m, 1,73 m, etc.).
tipos de variável de uma pesquisa:
{
{






Variável
qualitativa
ordinal
nominal
quantitativa
discreta
contínua
PARA
REfLEtiR
Em que situação temos A 5 U?
PARA
REfLEtiR
“Esporte favorito” é uma variável 
qualitativa nominal. Justifique.
PARA
REfLEtiR
A idade em anos exatos pode ser 
considerada variável quantitativa 
discreta (8, 10, 17, etc.).
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6 Estatística, limites e derivadas
frequência absoluta e frequência relativa
Suponha que entre um grupo de turistas, participantes de uma excursão, tenha sido feita uma 
pesquisa sobre a nacionalidade de cada um e que o resultado dela tenha sido o seguinte:
Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ramón: espanhol; Laura: espanhola; Cláudia: brasileira; Sérgio: 
brasileiro; Raúl: argentino; Nélson: brasileiro; Sílvia: brasileira; Pablo: espanhol.
O número de vezes que um valor da variável é citado representa a frequência absoluta 
daquele valor.
Nesse exemplo, a variável é “nacionalidade” e a frequência absoluta de cada um de seus valores 
é: brasileira, 6; espanhola, 3; e argentina, 1.
Existe também a frequência relativa, que registra a frequência absoluta em relação ao total 
de citações.
Nesse exemplo, temos:
 frequência relativa da nacionalidade brasileira:
 6 em 10 ou 
6
10
 ou 3
5
 ou 0,6 ou 60%;
 frequência relativa da nacionalidade espanhola:
 3 em 10 ou 
3
10
 ou 0,3 ou 30%;
 frequência relativa da nacionalidade argentina:
 1 em 10 ou 
1
10
 ou 0,1 ou 10%.
Podemos associar a frequência relativa de um evento à probabilidade de que ele ocorra. Se o 
número total de citações for suficientemente grande, a frequência relativa se estabiliza em torno de 
um número que expressa a probabilidade de ocorrência desse evento.
tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) 
e relativa (FR), é chamada de tabela de frequências.
Assim, usando o mesmo exemplo, temos:
Nacionalidade FA FR
Brasileira 6 60%
Espanhola 3 30%
Argentina 1 10%
Total 10 100%
tabelas de frequências das variáveis quantitativas
Já sabemos que a variável quantitativa tem seus possíveis valores indicados por números. Vere-
mos agora que, na elaboração de suas tabelas de frequências, podemos deparar com duas situações.
Para isso, vamos tomar como exemplo um grupo de alunos dos quais foram registrados a idade 
(em anos), a massa (em quilogramas) e a altura (em metros).
Alberto: 14 a, 49,0 kg e 1,73 m;
Alexandre: 14 a, 46,5 kg e 1,66 m;
Carlos: 16 a, 53,0 kg e 1,78 m;
Cláudio: 15 a, 50,0 kg e 1,75 m;
Eduardo: 14 a, 51,0 kg e 1,68 m;
Flávio: 15 a, 49,0 kg e 1,70 m;
Geraldo: 14 a, 44,0 kg e 1,62 m;
Gilberto: 15 a, 51,0 kg e 1,76 m;
Hélio: 14 a, 48,3 kg e 1,68 m;
José Carlos: 16 a, 52,0 kg e 1,79 m; 
José Luís: 14 a, 49,0 kg e 1,74 m;
Lúcio: 14 a, 46,5 kg e 1,65 m;
Marcos: 15 a, 48,0 kg e 1,63 m;
Mário: 14 a, 48,5 kg e 1,69 m;
Maurício: 16 a, 50,0 kg e 1,70 m;
Mílton: 14 a, 52,0 kg e 1,75 m;
Renato: 14 a, 46,0 kg e 1,72 m;
Roberto: 15 a, 47,0 kg e 1,69 m;
Saul: 14 a, 51,0 kg e 1,73 m;
Sérgio: 14 a, 49,0 kg e 1,66 m.
PARA
REfLEtiR
A frequência relativa pode ser 
expressa em fração, decimal ou 
porcentagem.
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Primeira situação:
Ao elaborar a tabela de frequências da variável “idade”, notamos que aparecem como possíveis 
valores 14 anos, 15 anos e 16 anos:
Idade (anos) Contagem FA FR (fração) FR (%)
14 12
12
20
3
5
5 60
15 5
5
20
1
4
5 25
16 3
3
20
15
Total 20 1 100
Segunda situação:
Para a variável “altura” aparecem muitos valores diferentes, o que torna inviável colocar na tabela 
uma linha para cada valor. Em casos como esse, agrupamos os valores em intervalos (ou classes), 
como veremos a seguir:
1o) Calculamos a diferença entre a maior e a menor altura registrada, obtendo a amplitude total 
(1,79 m 2 1,62 m 5 0,17 m).
2o) Escolhemos o número de intervalos (geralmente superior a quatro), consideramos um nú-
mero conveniente (um pouco acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada 
intervalo (classe). No exemplo, para 6 intervalos, fazemos 0,18 m : 6 5 0,03 m.
3o) Elaboramos a tabela de frequências:
Altura (em classes) Contagem FA FR (decimal) FR (%)
1,62 1,65 m 2 0,10 10
1,65 1,68 m 3 0,15 15
1,68 1,71 m 6 0,30 30
1,71 1,74 m 3 0,15 15
1,74 1,77 m 4 0,20 20
1,77 1,80 m 2 0,10 10
Total 20 1 100
Observações:
1a) As classes (intervalos) foram obtidas, a partir de 1,62 m, fazendo a adição de 0,03 (1,62 1
1 0,03 5 1,65; 1,65 1 0,03 5 1,68; e assim por diante).
2a) O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Assim, a altura 1,68 m 
não foi registrada em 1,65 1,68 m, mas no intervalo 1,68 1,71 m.
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8 Estatística, limites e derivadas
Retomando os termos de Estat’stica
Vamos agora retomar os termos de Estatística vistos até aqui, por meio da seguinte situação:
Em uma escola com 5 classes de 3a série do Ensino Médio, cada uma com 45 alunos, foi feita 
uma pesquisa para traçar o perfil da 3a série. Para tanto, foram selecionados 5 alunos de cada classe, 
que responderam a um questionário, a partir do qual foi elaborada a seguinte tabela: 
Nome Sexo
Idade
(anos/meses)
Altura
(cm)
Peso
(kg)
Número de 
irmãos
Cor de
cabelo
Hobby
Número de
sapato
Manequim
Desempenho em
Matemática
Antônio M 15 a 4 m 156 49 2 Castanho Esporte 36 38 Ótimo
Artur M 14 a 7 m 166 48 0 Castanho Esporte 39 38 Bom
Áurea F 15 a 2 m 165 66 1 Castanho Música 36 42 Insuficiente
Bruno M 14 a 8 m 175 63 0 Castanho Patinação 40 42 Regular
Carla F 14 a 5 m 165 57 2 Loiro Música 36 40 Regular
Cláudia F 15 a 3 m 164 50 2 Loiro Dança 36 38 Bom
Domingos M 14 a 6 m 163 51 1 Castanho Esporte 36 38 Bom
Edite F 14 a 7 m 160 60 3 Castanho Música 36 40 Ótimo
Flávia F 14 a 7 m 175 65 1 Castanho Esporte 37 42 Bom
Fúlvio M 14 a 5 m 150 38 1 Ruivo Esporte 34 36 Insuficiente
Geraldo M 15 a 11 m 146 38 0 Castanho Aeromo-delismo 34 36 Regular
José M 14 a 10 m 165 52 1 Castanho Dança 38 38 Regular
Laura F 14 a 0 m 165 53 2 Castanho Dança 36 38 Bom
Lúcia F 14 a 8 m 167 65 2 Castanho Música 37 42 Bom
MárioM 15 a 4 m 165 50 3 Loiro Patinação 36 38 Insuficiente
Mauro M 14 a 11 m 163 54 4 Castanho Esporte 38 40 Ótimo
Nívea F 15 a 2 m 164 63 1 Loiro Esporte 38 42 Bom
Orlando M 14 a 8 m 159 64 2 Castanho Música 37 42 Regular
Patrícia F 15 a 1 m 158 43 1 Loiro Dança 36 36 Insuficiente
Paula F 14 a 11 m 163 53 1 Castanho Dança 36 38 Bom
Renata F 14 a 3 m 162 52 1 Castanho Dança 36 38 Ótimo
Roberto M 14 a 2 m 167 53 0 Castanho Esporte 40 38 Ótimo
Sandra F 14 a 10 m 167 58 1 Loiro Dança 40 40 Ótimo
Teresa F 15 a 9 m 155 49 0 Castanho Patinação 35 36 Ótimo
Vânia F 15 a 2 m 152 41 3 Castanho Música 34 36 Bom
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Estatística, limites e derivadas
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A partir da tabela dada, podemos afirmar:
1o) O universo estatístico é constituído de 225 alunos.
2o) A amostra dessa pesquisa é constituída de 25 alunos.
3o) “Cor de cabelo” é uma variável qualitativa nominal.
4o) “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta.
5o) “Desempenho em Matemática” é uma variável qualitativa ordinal.
6o) “Altura” é uma variável quantitativa contínua.
7o) “Dança” é um valor da variável “hobby”, cuja frequência absoluta é 7 e cuja frequência 
relativa é 7
25
 ou 0,28 ou 28%.
8o) A tabela de frequências da variável “número de irmãos” é a seguinte:
Número de irmãos Contagem FA FR FR (%)
0 5
5
25
0,25 20
1 10
10
25
0,45 40
2 6
6
25
0,245 24
3 3
3
25
0,125 12
4 1
1
25
0,045 4
Total 25 1 100
9o) A tabela de frequências da variável “peso” (em quilogramas), com os valores em classes, é 
a seguinte:
Amplitude total: 66 2 38 5 28
Número de intervalos: 5
Amplitude relativa: 30 : 5 5 6
Peso Contagem FA FR (%)
38 44 4 16
44 50 3 12
50 56 9 36
56 62 3 12
62 68 6 24
Total 25 100
PARA coNstRUiR
1 Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3 500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferência de compra em relação 
a “cor” (branco, vermelho ou azul), “preço”, “número de portas” (duas ou quatro) e “estado de conservação” (novo ou usado). Foram 
consultados 210 clientes. Diante dessas informações, responda:
a) Qual é o universo estatístico e qual é a amostra dessa pesquisa?
Universo estatístico: conjunto formado pela totalidade dos clientes, ou seja, 3 500 clientes. Amostra: conjunto formado pelos clientes 
consultados, ou seja, 210 clientes.
En
em
C-7
H-2
9
As competências e habilidades do 
Enem estão indicadas em questões 
diversas ao longo do módulo. Se ne-
cessário, explique aos alunos que a uti-
lidade deste “selo” é indicar o número 
da(s) competência(s) e habilidade(s) 
abordada(s) na questão, cuja área de co-
nhecimento está diferenciada por cores 
(Linguagens: laranja; Ciências da Nature-
za: verde; Ciências Humanas: rosa; Ma-
temática: azul). A tabela para a consulta 
da Matriz de Referência do Enem está 
disponível no portal.
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10 Estatística, limites e derivadas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1
b) Quais são as variáveis e qual é o tipo de cada uma?
Cor: qualitativa nominal; preço: quantitativa contínua; número de
portas: quantitativa discreta; estado de conservação: qualitativa
ordinal.
c) Quais são os possíveis valores da variável “cor” nessa 
pesquisa?
Branco, vermelho e azul.
2 Um grupo de alunos foi consultado sobre o time paulis-
ta de sua preferência, e os votos foram registrados assim: 
Santos: , Palmeiras: , Corinthians: , São Paulo: . 
Construa a tabela de frequências correspondente a essa pesquisa.
Time FA FR (%)
Santos 2 10
Palmeiras 4 20
Corinthians 8 40
São Paulo 6 30
Total 20 100
3 Usando os dados da mesma pesquisa analisada no item 
"Tabelas de frequências das variáveis quantitativas", elabore 
a tabela de frequências da variável “massa” com seus valores 
agrupados em 5 classes.
Massa (classes) Contagem FA FR (decimal) FR (%)
44 46 kg 1 0,05 5
46 48 kg 4 0,20 20
48 50 kg 7 0,35 35
50 52 kg 5 0,25 25
52 54 kg 3 0,15 15
Total 20 1,00 100
Para os exercícios 4, 5 e 6, utilize a tabela da pesquisa do perfil 
da 3a série do Ensino Médio.
4 Responda:
a) Das variáveis da tabela, quais são qualitativas nominais?
Sexo, cor de cabelo, hobby.
b) Quais são os valores da variável “sexo”?
M (masculino) e F (feminino).
c) Qual é a frequência absoluta do valor 38 da variável 
“manequim”? E a frequência relativa (em fração, decimal e 
porcentagem)?
FA 5 10;
FR: 10
25
, 0,4 ou 40%
d) Qual é o valor da variável “cor de cabelo”, cuja frequência 
relativa é 72%?
Castanho.
5 Elabore a tabela de frequências da variável “desempenho em 
Matemática”.
Desempenho em 
Matemática
Contagem FA FR (%)
Ótimo 7 28
Bom 9 36
Regular 5 20
Insuficiente 4 16
Total 25 100
6 Construa a tabela de frequências da variável “altura” (em cen-
tímetros), com os valores em 6 intervalos (classes).
Altura (cm) Contagem FA FR (%)
146 151 2 8
151 156 2 8
156 161 4 16
161 166 11 44
166 171 4 16
171 176 2 8
Total 25 100
7 A tabela a seguir é resultante de uma pesquisa sobre os “gê-
neros musicais” mais vendidos em uma loja de CDs durante 
um dia. Complete os espaços.
Gênero musical FA FR FR FR (%)
Sertanejo 15
3
10
0,30 30
MPB 12
6
25
0,24 24
Rock 16
8
25
0,32 32
Clássico 7
7
50
0,14 14
Total 50
50
50
1,00 100
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 10 6/1/16 8:52 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
 REPREsENtAÇÃo GRáficA
A representação gráfica fornece uma visão de conjunto mais rápida que a observação direta 
dos dados numéricos. Por isso, os meios de comunicação com frequência oferecem a informação 
estatística por meio de gráficos.
Consideremos uma situação em que, na votação para representante e vice-representante da 
3a série do Ensino Médio, um aluno anota os votos com um “X” ao lado do nome do candidato, 
enquanto seus colegas votam. Ao terminar a votação, podemos observar o “desenho”:
Não precisamos contar os votos para saber quem foi eleito. Pelos “xis”, notamos que Adriano 
foi o escolhido para representante e Luciana, para vice.
Com uma simples olhada, obtemos a informação de que necessitamos. Essa é uma característica 
importante dos gráficos estatísticos.
 GRáfico dE sEGMENtos
A tabela a seguir mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de deter-
minado ano.
Meses do segundo semestre Número de livros vendidos
Julho 350
Agosto 300
Setembro 400
Outubro 400
Novembro 450
Dezembro 500
A situação do exemplo estabelece uma correspondência que pode ser expressa por pares orde-
nados (julho, 350), (agosto, 300), etc. Usando eixos cartesianos, localizamos os seis pares ordenados 
e construímos um gráfico de segmentos.
Número de livros vendidos
Meses
jul.
100
200
300
400
500
ago. set. out. nov. dez.
Os gráficos de segmentos são chamados também de gráficos de linhas e são utilizados prin-
cipalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores de uma variável durante certo 
período.
 Adriano X X X X X X X X X X X X X
 Letícia X X X X X X X
 Luciana X X X X X X X X X X
 Marino X X X X X X
 Magda X X X X
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 11 6/1/16 8:52 AM
12 Estatística, limites e derivadas
A posição de cada segmento indica crescimento, decréscimo ou estabilidade. Já a inclinação do 
segmento sinaliza a intensidade do crescimento ou do decréscimo.
Pelo gráfico anterior, vemos que:
 de julho para agosto as vendas caíram;
 de setembro para outubro as vendas permaneceram estáveis;
 o crescimento de agosto para setembro foi maior que o de outubro para novembro;
 o mês com maior número de vendas foi dezembro;
 no mês de outubro foram vendidos 400 livros.
PARA coNstRUiR
8 Um aluno apresentou durante o ano letivo o seguinte aproveitamento: primeiro bimestre 2 nota 7; segundo bimestre 2 nota 6; 
terceiro bimestre 2 nota 8; equarto bimestre 2 nota 8. Construa um gráfico de segmentos correspondente a essa situação e, a 
partir dele, tire algumas conclusões.
En
em
C-7
H-2
8
Nota
Bimestre
8
4
5
6
7
2
1
3
1o 2o 3o 4o
Conclusões:
 houve uma queda de rendimento do 1o 
para o 2o bimestre;
 houve uma melhora de rendimento do 2o 
para o 3o bimestre;
 houve uma conservação no rendimento 
do 3o para o 4o bimestre.
Exemplos:
1o) Crescimento da população brasileira de 1940 a 2000
Em milhões de habitantes
Ano
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
20
40
60
80
100
120
140
160
180
2o) Saldo da balança comercial brasileira em 2006
Em US$ milhões
2 500
3 000
3 500
4 000
4 500
5 000
5 500
6 000
jan. mar. maio jul. set. dez.
5 052
Fonte: Secex/MDIC.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 12 6/1/16 8:52 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
 GRÁFICO DE BARRAS
A partir do “desempenho em Química” demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor 
elaborou a seguinte tabela:
Desempenho em Química FA FR (%)
Insuficiente 6 15
Regular 10 25
Bom 14 35
Ótimo 10 25
Total 40 100
Com os dados da tabela, é possível construir o gráfico de barras:
Porcentagem
Desempenho
em Química
Ins. Reg. Bom Ótimo
15%
25%
35%
25%
10
20
30
40
50 Desempenho em Química
Porcentagem
10 20 30 40 50
Insuficiente
Regular
Bom
Ótimo 25%
35%
25%
15%
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 2 e 3 Para aprimorar: 1
9 (UFRGS-RS) O gráfico abaixo apresenta a evolução da emis-
são de dióxido de carbono ao longo dos anos.
40
35
131211080705 0690
30
25
20
15
10
60
Em bilhões de toneladas de CO
2
70 80
9,3
14,7
19,3
Emissões por queima de combustível fóssil
Veja a evolução das emissões globais de dióxido
de carbono ao longo dos anos
22,3
24,6
29,4
30,4
31,1
31,9
31,8
33,3
34,4
35,1
36,3
00 09 10
Fonte: CDIAC.
Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/meio-ambiente/ultimas-noticias/
redacao/2013/12/27/em-busca-de-forca-emissoes-recorde-de-co2.html>. 
Acesso em: 25 set. 2014.
Com base nos dados do gráfico, assinale a alternativa correta. e
a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de carbono 
apresentou crescimento constante.
b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresentaram emissão 
de dióxido de carbono 30% maior.
c) O ano de 2009 apresentou menor valor de emissão de 
dióxido de carbono da primeira década do século XXI.
d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual de 11,7% 
na emissão de dióxido de carbono.
e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresentou emissão de 
dióxido de carbono aproximadamente 50% maior.
10 Uma professora anotou o número de faltas dos alunos, du-
rante um semestre, de acordo com os dias da semana. Ob-
serve as anotações, construa o gráfico de segmentos e tire 
conclusões: segunda-feira – 64 faltas; terça-feira – 32; quarta-
-feira – 32; quinta-feira – 48; sexta-feira – 60.
48
32
50
20
30
40
10
60
70
64
Faltas
Dias da semana
2a 3a 4a 5a 6a
Conclusões:
 O maior índice de faltas é registrado na segunda-feira.
 O menor índice de faltas é registrado na terça e na quarta-feira.
 Na quinta e na sexta-feira, o índice de faltas volta a subir.
En
em
C-6
H-2
6
En
em
C-7
H-2
8
9. a) Falsa, pois houve um decrescimento no período de 2008 a 2009.
 b) Falsa, pois 22,3 2 19,3 não representa 30% de 19,3.
 c) Falsa, pois a maior emissão ocorreu em 2005.
 d) Falsa, pois 36,3 2 24,6 5 11,7, aproximadamente 50%.
 e) Verdadeira, pois 36,3 2 24,6 5 11,7, aproximadamente 50% de 24,6. 
PARA
REFLETIR
O gráfico de barras poderia ter 
relacionado desempenho com 
frequência absoluta. Elabore esse 
gráfico.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 13 6/10/16 1:13 PM
14 Estatística, limites e derivadas
Exemplos:
1o) Consumo de energia elétrica em uma residência (em 2006):
kWh
480 467
496
445 459
516
493
442
507
484 474
494
jan. fev.mar. abr.maio jun. jul. ago. set. out.nov. dez.
2o) Inflação acumulada de alguns países em 2006:
Brasil
China
Coreia do Sul
Chile
Venezuela
Argentina
Índia
Japão
21,6%
10,3%
6,2%
3,1%
2,5%
2,5%
2,2%
0,3%
PARA coNstRUiR
11 (Uema) Analise o quadro seguinte, que apresenta o saldo 
da balança comercial brasileira em 2009. Os dados estão em 
US$ milhões.
Meses Valores em US$ milh›es
Janeiro 530
Fevereiro 1 761
Março 1 757
Abril 3 695
Maio 2 626
Junho 4 604
Julho 2 913
Agosto 3 065
Setembro 1 313
Outubro 1 329
Novembro 613
Dezembro 2 177
Fonte: BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio 
Exterior. Disponível em: <www.mdic.org.br>. 
Acesso em: 21 ago. 2013. Adaptado.
O gráfico que representa a análise da balança comercial no 
segundo trimestre de 2009, de acordo com os dados apre-
sentados, no quadro, é e
a) 
1 400
1 200
Setembro
1 313
Variação trimestral da balança comercial
1 329
613
Outubro Novembro
1 000
800
600
400
200
0
En
em
C-6
H-2
6
En
em
C-6
H-2
5
O segundo trimestre de 2009 corresponde aos meses de abril, maio e junho. Por conseguinte, só pode ser a alternativa e.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 14 6/1/16 8:52 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
15
b) 
Julho
2 913
Variação trimestral da balança comercial
3 065
1 313
Agosto Setembro
4 000
3 000
2 000
1 000
0
c) 
Janeiro
530
Variação trimestral da balança comercial
1 757 1 757
Fevereiro Março
2 000
1 500
1 000
500
0
d) 
Outubro
1 329
Variação trimestral da balança comercial
613
2 177
Novembro Dezembro
2 500
2 000
1 500
1 000
500
0
e) 
Abril
3 695
Variação trimestral da balança comercial
2 626
4 604
Maio Junho
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
12 As áreas das superfícies dos estados da região Sudeste do Brasil são, em valores aproximados: São Paulo, 250 000 km2; Espírito San-
to, 46 000 km2; Rio de Janeiro, 44 000 km2; Minas Gerais, 590 000 km2. Construa um gráfico de barras registrando essa distribuição 
em porcentagem.
Área (em 1 000 km2)
Estados
590
250
46
44
SP
26,9%
63,5%
4,9%
4,7%
ES RJ MG
13 (Vunesp) Em uma dissertação de mestrado, a autora investigou a possível influência do descarte de óleo de cozinha na água. Diariamente, 
o nível de oxigênio dissolvido na água de 4 aquários, que continham plantas aquáticas submersas, foi monitorado.
I II III IV
Cada aquário continha diferentes composições do volume ocupado pela água e pelo óleo de cozinha, conforme consta na tabela.
Percentual do volume I II III IV
Óleo 0 10 20 30
Água 100 90 80 70
Como resultado da pesquisa, foi obtido o gráfico, que registra o nível de concentração de oxigênio dissolvido na água (C), em 
partes por milhão (ppm), ao longo dos oito dias de experimento (T).
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-6
H-2
6
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 15 6/1/16 8:52 AM
16 Estatística, limites e derivadas
 GRáfico dE sEtoREs
Em um shopping center há três salas de cinema, e o número de espectadores em cada uma delas 
em determinado dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C.
Veja essa situação representada em uma tabela de frequências e em gráficos de setores:
Sala FA FR
A 300 300
1 000
 5 
3
10
30%
B 200 2
10
 5 
1
5
20%
C 500 5
10
 5 
1
2
50%
Quanto mais óleo houver no aquário, menor será a concen-
tração de oxigênio dissolvido na água ao longo do tempo. 
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 4 e 5 Para aprimorar: 2 a 4
12
C (ppm)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2
0
8 T (dias)763 4 5
Aquário I Aquário II Aquário III Aquário IV
Tomando por base os dados e os resultados apresentados, é cor-
reto afirmar que, no período e nas condições do experimento, b
a) não há dados suficientes para se estabelecer o nível de 
influência da quantidade de óleo na água sobre o nível de 
concentração de oxigênio nela dissolvido.
b) quanto maior a quantidade de óleo na água, maior a sua 
influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela 
dissolvido.
c) quanto menor a quantidade de óleona água, maior a sua 
influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela 
dissolvido.
d) quanto maior a quantidade de óleo na água, menor a sua 
influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela 
dissolvido.
e) não houve influência da quantidade de óleo na água so-
bre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido.
14 Durante uma hora foram anotados os tipos de veículos que 
passaram pela rua onde está situada uma escola e foram ob-
tidos os seguintes dados: T, T, T, M, A, T, T, M, T, B, B, T, T, A, T, T, 
C, T, M, T, T, T, C, B, T, T, T, T, T, A, T, T, T, M, C, T, T, T, T, B, T, T, M, B, 
A (M: motocicleta; C: caminhão; B: bicicleta; A: ambulância; T: 
carro). Construa um gráfico de barras que corresponda a essa 
pesquisa.
Fazemos uma tabela de frequências:
Tipo de veículo FA FR (%)
Motocicleta 5 11,1
Caminhão 3 6,7
Bicicleta 5 11,1
Ambulância 4 8,9
Carro 28 62,2
Total 45 100
6,7
8,9
11,1
62,2
Porcentagem
Tipo de veículo
5
3
5
4
28
M C B A T 
M: motocicleta B: bicicleta T: carro
C: caminhão A: ambulância
A
(30%)
B
(20%)
C
(50%)
A
(300)
B
(200)
C
(500)
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Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
17
Em cada gráfico de setores o círculo todo indica o total (1 000 espectadores ou 100%), e cada 
setor indica a ocupação de uma sala. Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo 
correspondente a cada setor por regra de três. Veja como exemplo o da sala A:
Usando a frequência absoluta:
300
1000
 5 
x
360°
 # 1 000x 5 108 000 # x 5 108°
Usando a frequência relativa (em %), temos:
30
100
 5 
x
360°
 # 100x 5 10 800 # x 5 108°
Exemplos:
1o) Leitores de um jornal avaliam a manchete do dia anterior:
77%
Adequada
17%
Sensacionalista
2%
Mais ou menos
4%
N‹o sabem
2o) Número de cheques compensados e de cartões de crédito (1991-2006):
2000
Cart›es de crŽdito
1991
2006
71% 26%
3%
43%
1991
Cheques compensados
2000 2006
22%35%
Fonte: O Estado de S. Paulo, 10 jun. 2007.
3o) Remuneração média em maio de 2007 por ramo de atividade:
51%
Indústria
Comércio
Construção
Saúde
Serviços
9%
10%
10%
20%
Fonte: O Estado de S. Paulo, 10 jun. 2007.
PARA
REfLEtiR
Verifique quais são os ângulos 
dos setores das salas B e C. Use 
um transferidor e constate na fi-
gura da página anterior os ângu-
los de A, B e C.
PARA coNstRUiR
15 Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, 
apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A 2 
50 votos; B 2 80 votos; C 2 60 votos; brancos e nulos (BN) 
2 10 votos.
A partir desses dados, construa:
a) a tabela de frequências dessa variável;
Candidatos FA FR (%)
A 50 25
B 80 40
C 60 30
BN 10 5
Total 200 100
En
em
C-7
H-2
8
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 17 6/1/16 8:53 AM
18 Estatística, limites e derivadas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 6 e 7
b) o gráfico de barras, relacionando os valores da variável 
com as respectivas frequências absolutas;
FA
Candidatos
80
40
50
60
70
20
10
30
A B C BN
c) o gráfico de setores, relacionando os valores da variá vel 
com suas porcentagens.
30%
5%
40%
25%
BN
A
B
C
PARA
REfLEtiR
Neste exercício a variável é quantitativa discreta. 
16 (Enem) Uma revista publicará os dados, apresentados no grá-
fico, sobre como os tipos sanguíneos estão distribuídos entre 
a população brasileira. Contudo, o editor dessa revista solici-
tou que esse gráfico seja publicado na forma de setores, em 
que cada grupo esteja representado por um setor circular.
%
 d
a
 p
o
p
u
la
ç
ã
o
 b
ra
s
ile
ir
a
40
35
30
25
20
15
10
5
Grupo A
Tipos sangu’neos
0
Grupo OGrupo AB
36
6
3
8
34
2 2
9
Rh positivo
Grupo B
Rh negativo
O ângulo do maior desses setores medirá, em graus, e
a) 108,0
b) 122,4
c) 129,6
d) 151,2
e) 154,8
17 Os 40 alunos de uma classe optaram pelo estudo de uma lín-
gua estrangeira, entre espanhol, francês, inglês ou italiano. Veja 
o gráfico de barras abaixo, que registra a escolha e, a partir dele, 
construa a tabela de frequências e o gráfico de setores.
Frequência (%)
Idiomas
Esp. Fr. Ingl. It.
10
20
30
40
Língua estrangeira FA FR (%)
Espanhol 12 30
Francês 8 20
Inglês 16 40
Italiano 4 10
40%
Francês
Inglês
Italiano
Espanhol
30%
20%
10%
18 (Enem 2 Adaptada) Considere que as médias finais dos alu-
nos de um curso foram representadas no gráfico a seguir.
2 alunos
4 alunos
10 alunos
18 alunos
16 alunos
Nota 4
Nota 5
Nota 6
Nota 7
Nota 8
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior 
ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados? e
a) 18%
b) 21%
c) 36%
d) 50%
e) 72%
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-6
H-2
6
De acordo com o gráfico, 42% pertence ao 
Grupo A, 5% pertence ao Grupo AB, 10% 
pertence ao Grupo B e 43% pertence ao 
Grupo O. Portanto, o ângulo do maior setor 
medirá ? 50,43 360 154,8°. 
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
8
18. Para encontrar o número total de alunos, devemos analisar o gráfico: 4 alunos obtiveram média 4,0; 10 alunos obtiveram a média 5,0; 18 alunos, a média 6,0; 16 
alunos, a média 7,0 e 2 alunos, a média 8,0. Assim, temos um total de 50 alunos, ou seja, 4 1 10 1 18 1 16 1 2 5 50. Logo, 50 alunos correspondem a 100%.*
** 50 alunos — 100%
 36 alunos — x%
 x 5 
?36 100%
50
 ⇒ x 5 72%
* O problema diz que, nesse curso, a média de aprovação é maior ou igual a 6,0. Analisando o gráfico, tem-se que: 18 alunos possuem média 6,0; 16 alunos, 
média 7,0 e 2 alunos possuem média 8,0, totalizando 36 alunos com média maior ou igual a 6,0. Por meio de uma regra de três simples, tem-se que:**
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 18 6/1/16 8:53 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
19
 HistoGRAMAs
Quando uma variável tem seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de 
um tipo de gráfico conhecido por histograma.
Exemplo:
Consideremos a “altura” (em centímetros) dos alunos de uma classe, agrupada em intervalos, e 
os histogramas correspondentes às frequências absolutas e relativas a seguir:
Altura (cm) FA FR (%)
140 150 6 15
150 160 10 25
160 170 12 30
170 180 8 20
180 190 4 10
 histograma com as classes (intervalos) relacionadas às frequências absolutas:
FA
Altura (cm)
140 150 160 170 180 190
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 histograma com as classes relacionadas às frequências relativas (em porcentagem):
FR (%)
Altura (cm)
140 150 160 170 180 190
5
10
15
20
25
30
35
Às vezes usamos como representante de cada classe o valor médio correspondente (por exem-
plo, 155 representa a classe 150 160).
Os segmentos que ligam em sequência os pontos médios das bases superiores formam um 
gráfico de segmentos conhecido como polígono do histograma, que será usado em assuntos pos-
teriores.
PARA
REfLEtiR
Qual é o número corresponden-
te ao valor médio em cada uma 
das classes?
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 19 6/1/16 8:53 AM
20 Estatística, limites e derivadas
FR (%)
30
25
20
15
10
5
140 150
0
Altura (cm)190160 170 180
145 155 165 175 185
Exemplo:
Gols marcados em vários momentos de uma partida, nas quatro primeiras rodadas de um 
campeonato brasileiro de futebol.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
1o tempo (min) 2o tempo (min)
39% 61%11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Gols
Vimos os vários tipos de gráficos utilizados para representar e interpretar dados estatísticos. É 
importante que se escolha sempre qual deles é o mais adequado à situação analisada.
É comum, em publicações como revistas e jornais, ilustrar os vários tipos de gráficos com fi-
guras relacionadas ao assunto, tornando-os mais atraentes. Esses são os gráficos pictóricos (ou 
pictogramas).
Exemplos:
1o) Gasolina nas alturas
2002
Fonte: ANP.
2003 2004 2005 2006 2007
1,54
2,09
1,92
2,18
2,37 2,40
Preço médio do litro de gasolinacomum no estado de São Paulo
– em R$ (mês de janeiro)
2o) 
Os direitos de TV
* PrŽ-contrato assinado em 1994.
Fonte: OTI (Organização da 
Televisão Ibero-Americana).
50
milhões
75
milhões
200
milhões
2,1
bilhões
3,5*
bilhões
Quanto a Fifa recebeu
pela transmissão dos
jogos desde a Copa de
1990, na Itália – em US$
19941990
200620021998
3o) 
* considerando o consumo proporcional à renda
 Fonte: IBPT
Dias úteis trabalhados por ano
Classe baixa
(renda familiar
inferior a R$ 3000)
Classe média
(renda familiar entre
R$ 3000 e R$ 10000)
Classe alta
(renda familiar
acima de R$ 10000)
Brasileiro trabalha, em média, sete dias úteis por ano
só para pagar a contribuição*
O CUSTO DA CPMF
5
8 6
.
Extraído de: Folha de S.Paulo, 12 jun. 2007.
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Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
21
1 Construa a tabela de frequências e os gráficos de barras e de 
setores para a variável hobby da tabela do tópico Retoman-
do os termos de Estat’stica.
REsoLUÇÃo:
Hobby Contagem FA FR
Esporte (E) 8 
8
25
 5 0,32 32%
Música (M) 6
6
25
 5 0,24 24%
Patinação (P) 3 3
25
 5 0,12 12%
Dança (D) 7
7
25
 5 0,28 28%
Aeromodelismo (A) 1 
1
25
 5 0,04 4%
Total 25 1 100%
FR (%)
Hobby
E M P D A
4
8
12
16
20
24
28
32
4
100
 5 
x
360
 # 100x 5 1 440° # x 5 14,4°
A cada 4% corresponde um setor de 14,4°.
E: 32% (8 ? 4%) # 8 ? 14,4° 5 115,2°
M: 24% (6 ? 4%) # 6 ? 14,4° 5 86,4°
P: 12% (3 ? 4%) # 3 ? 14,4° 5 43,2°
D: 28% (7 ? 4%) # 7 ? 14,4° 5 100,8°
A: 4% # 14,4°
E
M
P
D
A
2 Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada 
aluno gastou para concluí-la (em minutos): 56; 51; 57; 49; 51; 
51; 46; 50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 54; 
52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. A partir desses dados, construa:
a) a tabela de frequências com os valores em 5 classes;
b) o histograma relacionando as classes e suas fre quências 
absolutas.
REsoLUÇÃo:
a) Subtraindo o menor valor do maior valor, a amplitude to-
tal será:
 57 2 43 5 14
 Sabendo que são 5 classes e escolhendo o número 15, a 
amplitude de cada classe será:
 15 : 5 5 3
Tempo (min) Contagem FA FR (%)
43 46 3 10
46 49 6 20
49 52 12 40
52 55 3 10
55 58 6 20
Total 30 100
b) FA
Tempo (min)
43 46 49 52 55 58
3
6
9
12
EXERcÍcios REsoLVidos
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 21 6/1/16 8:53 AM
22 Estatística, limites e derivadas
PARA coNstRUiR
19 Fazendo o levantamento dos salários dos 20 funcionários de 
um escritório, foram obtidos os seguintes valores em reais: 650, 
800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 680, 
640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, construa:
a) a tabela de frequências com 5 classes;
Salário (R$) FA FR (%)
600 650 4 20
650 700 5 25
700 750 5 25
750 800 4 20
800 850 2 10
Total 20 100
b) o histograma correspondente relacionando faixa salarial 
e frequência absoluta.
FA
Salário
600 650 700 750 800 850
1
2
3
4
5
20 A temperatura máxima do dia em uma cidade foi anotada 
durante vinte dias e apresentou os seguintes dados:
30 °C; 32 °C; 31 °C; 31 °C; 33 °C; 28,5 °C; 33,5 °C; 27 °C; 30 °C; 
34 °C; 30,5 °C; 28 °C; 30,5 °C; 29,5 °C; 26 °C; 31 °C; 31 °C; 29 °C; 
32 °C; 31,5 °C.
Construa o histograma correspondente com os valores da 
variável em 5 intervalos.
FA
Temperatura (°C)
8
9
4
5
6
7
2
1
3
26 28 30 32 34 36
21 Entre um grupo de funcionários de uma empresa foi feita 
uma pesquisa sobre salários, tomando como referência o sa-
lário mínimo. Veja os dados obtidos: 5,1; 2,5; 7; 4,3; 3,1; 6; 3,3; 
5,5; 4; 6,5; 5; 2,8; 5,7; 4,5; 2; 5; 5,5; 2,9; 5; 1,7; 7; 3; 5,6; 4,2; 3,9.
Elabore a tabela de frequências considerando a variável “salá-
rio” com seus valores em seis classes (intervalos).
Cálculos da frequência total: 7,0 2 1,7 5 5,3
Vamos considerar 6 classes. Logo, cada classe terá 
5,4
6
 5 0,9 de 
amplitude.
Salário FA FR FR (%)
1,7 2,6 3
3
25
12
2,6 3,5 5
5
25
20
3,5 4,4 4
4
25
16
4,4 5,3 5
5
25
20
5,3 6,2 5
5
25
20
6,2 7,1 3
3
25
12
Total 25
25
25
100
22 Em um grupo de pessoas foi pesquisada a variável “década de 
nascimento”. Os dados obtidos foram: 1960, 1970, 1970, 1970, 
1960, 1980, 1970, 1970, 1960, 1970, 1980, 1970, 1970, 1980, 1970.
a) Qual é o tipo da variável?
Quantitativa discreta.
b) Qual é o número de indivíduos na pesquisa?
15 indivíduos.
c) Quantos e quais são os valores (realizações) da variável?
3 valores (1960, 1970 ou 1980).
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
5,5; 4; 6,5; 5; 2,8; 5,7; 4,5; 2; 5; 5,5; 2,9; 5; 1,7; 7; 3; 5,6; 4,2; 3,9.
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
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Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
23
 MEdidAs dE tENdÊNciA cENtRAL
A partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que carac-
teriza o grupo todo.
Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar 
uma só temperatura que fornece uma ideia aproximada de todo o período.
Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com 
apenas uma nota seu aproveitamento no bimestre.
Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários nú-
meros usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além 
dela, vamos estudar também a mediana e a moda.
 MÉdiA ARitMÉticA (MA)
Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:
MA 5 
1 1 1 122 20 21 24 20
5
 5 
107
5
 5 21,4
Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos.
Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14 °C às 6h, 
15 °C às 7h, 15 °C às 8h, 18 °C às 9h, 20 °C às 10h e 23 °C às 11h, observamos que:
MA 5 
1 1 1 1 114 15 15 18 20 23
6
 5 
105
6
 5 17,5
Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi 17,5 °C.
No caso de um aluno que realizou diversos trabalhos durante o bimestre e obteve as notas 7,5; 
8,5; 10,0 e 7,0, observamos que:
MA 5 
1 1 17,5 8,5 10,0 7,0
4
 5 
33
4
 5 8,25
Dizemos, então, que nesse bimestre o aluno teve média igual a 8,25.
Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores x
1
, x
2
, x
3
, É, x
n
 de uma variável, 
a média aritmética é o número obtido da seguinte forma:
MA 5 
x x x x
n
1 2 3 n…1 1 1 1
 5 
∑
5
x
n
i
i 1
n
d) Construa a tabela de frequências, o gráfico de barras e o de setores correspondentes à pesquisa.
Tabela de frequências:
Década de nascimento FA FR FR (%)
1960 3
3
15
20
1970 9
9
15
60
1980 3
3
15
20
Total 15
15
15
100
Gráfico de barras:
1960 1970
3
6
1980 Década de
nascimento
9
FA
20% 20%
1970
1960 1980
60%
Cálculo do ângulo central de 
cada valor da variável:
Década de nascimento:
1960: 20% de 360° 5 72°
1970: 60% de 360° 5 216°
1980: 20% de 360° 5 72°
PARA
REfLEtiR
O uso da média, da moda ou da 
mediana é mais ou menos con-
veniente conforme a situação.
PARA
REfLEtiR
O símbolo 
xi
i 1
n
∑
5
 significa a so-
matória dos números x
i
, sabendo 
que i varia de 1 a n.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 23 6/1/16 8:53 AM
24 Estatística, limites e derivadas
 MÉdiA ARitMÉticA PoNdERAdA
Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, 
com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 
7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, 
que nesse caso é chamada média aritmética ponderada, será:
MP 5 
? 1 ? 1 ? 1 ?
1 1 1
2 6,5 3 7,0 1 6,0 2 7,0
2 3 1 2
 5 
1 1 113 21 6 14
8
 5 
54
8
 5 6,75
Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa 
maneira, para obter a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9,9, 11 e 11, observamos que:
MA 5 
? 1 ? 1 ?
1 1
3 7 5 9 2 11
3 5 2
 5 
1 121 45 22
10
 5 
88
10
 5 8,8
Dizemos, então, que 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11, com frequências 3, 5 e 2, 
respectivamente.
Observe que esse também é um exemplo de média ponderada, com os pesos sendo as fre-
quências 3, 5 e 2.
A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por 
meio de um único número, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No 
entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem 
menor que os demais faz com que a média aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.
Consideremos, por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média 
de idade, que é de 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em 
casos como esse são usadas outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 Para aprimorar: 5 e 6
23 Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 2, 2 a 1 e 1 a 0. Sabendo que o time 
não perdeu nenhuma partida, calcule a média aritmética dos gols:
a) marcados;
2 gols.
b) sofridos.
1 gol.
24 (UFPR) O gráfico abaixo representa a quantidade aproximada de animais adotados ao longo de cinco anos em determinada 
cidade.
2008 2009
300
350
400
450
500
Quantidade
de animais
2010 2011 2012 Ano
Qual foi a média anual de animais adotados, ao longo dos cinco anos nessa cidade? d
a) 350. b) 380. c) 390. d) 410. e) 440.
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-6
H-2
6
1 1 1 1
5
300 400 400 450 500
5
410
PARA coNstRUiR
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 24 6/1/16 8:53 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
25
 ModA (Mo)
Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de 
um grupo de valores observados.
No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo 5 2) e 
demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo que a média aritmética.
Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14 °C, 15 °C, 
15 °C, 18 °C, 20 °C e 25 °C, então dizemos que nesse período a moda foi 15 °C, ou seja, Mo 5 15 °C.
No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua 
casa à escola e cujos registros foram 15 min, 14 min, 18 min, 15 min, 14 min, 25 min, 16 min, 15 min, 
15 min e 16 min, a moda é 15 min, ou seja, Mo 5 15 min.
Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e 
que a distribuição é bimodal.
Observação: Quando não há repetição de números, como, por exemplo, para os números 7, 
9, 4, 5 e 8, não há moda.
 MEdiANA (Me)
A mediana é outra medida de tendência central.
Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:
 o número que ocupar a posição central se n for ímpar;
 a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias:
3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7.
Em ordem crescente, temos:
1 24 34
0,0,1,2 ,2 ,2 ,3,
7 valores
↓
3,
Me
3,4,4 ,5,5,7 ,7
7 valores
Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8o.
Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me 5 3.
As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.
Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente (ou 
decrescente):
12, 12, 13, {14,16,
As duas posições centrais
16, 16, 17
Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, 
que são o 4o e o 5o termos.
Logo, a mediana é dada por:
Me 5 
114 16
2
 5 15
Simbolicamente, Me 5 15 anos.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 9 e 10 Para aprimorar: 7 e 8
25 Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas 
de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pessoas de 16 anos?
MA 5 
? 1 ? 1 ?6 14 9 20 5 16
20
 5 17,2
26 Calcule a média aritmética ponderada de um aluno que obteve 
no bimestre 8,0 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 
no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2).
MP 5 
? 1 ? 1 ? 1 ?8,0 2 7,0 3 9,0 1 5,0 2
8
5 7,0
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-7
H-2
7
PARA coNstRUiR
PARA
REfLEtiR
Como é uma distribuição trimo-
dal de números?
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 25 6/1/16 8:53 AM
26 Estatística, limites e derivadas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11
27 (Fuvest-SP) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de 
notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa 
prova. 
Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do 
que a mediana. d
a) 5, 5, 7, 8, 9, 10
b) 4, 5, 6, 7, 8, 8
c) 4, 5, 6, 7, 8, 9
d) 5, 5, 5, 7, 7, 9
e) 5, 5, 10, 10, 10, 10
Na alternativa a tem-se:
.5
1 1 1 1 1
5
1
5MA
5 5 7 8 9 10
6
7,3 e Me
7 8
2
7,5
Na alternativa b:
.5
1 1 1 1 1
5
1
5MA
4 5 6 7 8 8
6
6,3 e Me
6 7
2
6,5
Na alternativa c:
5
1 1 1 1 1
5 5
1
5MA
4 5 6 7 8 9
6
6,5 e Me
6 7
2
6,5
Na alternativa d:
.5
1 1 1 1 1
5
1
5MA
5 5 5 7 7 9
6
6,3 e Me
5 7
2
6
Por fim, na alternativa e:
.5
1 1 1 1 1
5
1
5MA
5 5 10 10 10 10
6
8,3 e Me
10 10
2
10
Portanto, a única lista na qual a média das notas é maior do que a 
mediana é a que aparece na alternativa d. 
28 (UFSM-RS) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos am-
bientais, tais como a redução da emissão de gases do efeito 
estufa e a diminuição da poluição atmosférica.
O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de li-
tros) em uma usina, durante o período de um ano.
Jan.
5
8
10
12
10
6
12
10
8
10
5
6
Fev.
P
ro
d
u
ç
ã
o
 (
m
ilh
õ
e
s
 d
e
 l
it
ro
s
)
Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Mês
De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em 
milhões de litros) são, respectivamente, iguais a d
a) 8,5; 10 e 9.
b) 8; 9 e 10.
c) 8; 9,5 e 8.
d) 8,5; 9 e 10.
e) 8,5; 9,5 e 10.
Rol: 5, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 12, 12
5
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
5MA
2 5 2 6 2 8 4 10 2 12
12
8,5
5
1
5Me
8 10
2
9
Mo 5 10
29 (UEM-PR) Considerando conceitos de Estatística e que uma 
amostra S, extraída de uma dada população, é:
0, 1, 5, 3, 7, 5, 8, 7, 4, 6, 7, 4, 9, 5, 2 
assinale o que for correto.
(01) A moda de S é 5.
(02) Para se estudarem comportamentos coletivos de uma 
determinada população, toma-se um subconjunto des-
ta população, denominado universo estatístico.
(04) Se A é uma população a ser pesquisada, um subconjun-
to B de A pode ser uma amostra.
(08) A mediana de S é 7.
(16) A média aritmética simples de S é, aproximadamente, 5,2.
Primeiramente, escreveremos os elementos da amostra em ordem 
crescente ou decrescente:
0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
(01) Falsa. Temos duas modas 5 e 7.
(02) Falsa. O termo correto seria amostra.
(04) Verdadeira. Subconjunto de uma população.
(08) Falsa. Mediana é termo central do rol, que neste caso é 5.
(16) Falsa. A média aritmética é 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 9
15
, ou seja, 
aproximadamente 4,9.
En
em
C-7
H-2
8
 
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-6
H-2
6
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-7
H-2
8
PARA coNstRUiR
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 26 6/1/16 8:53 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
 MÉdiA ARitMÉticA, ModA E MEdiANA A PARtiR 
dAs tABELAs dE fREQUÊNciAs
Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequências absolutas das tabelas de frequên-
cias das variáveis quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e a Me de seus valores.
Exemplos:
1o) Pesquisa sobre “número de irmãos” de cada aluno de uma classe:
Número de irmãos FA
0 8
1 15
2 12
3 5
Total 40
Média aritmética:
MA 5 
8 0 15 1 12 2 5 3
40
0 15 24 15
40
54
40
? 1 ? 1 ? 1 ?
5
1 1 1
55 1,7 irmão
Observação: Embora 1,7 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor desse tipo, 
assim como 3,5 gols por partida, 7,2 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética é uma 
medida de tendência.
Moda:
A maior frequência é 15, que corresponde ao valor 1 irmão. Logo, Mo 5 1 irmão.
Mediana:
Como o total de frequências é 40 (número par), os valores centrais são o 20o e o 21o



5 1 5
40
2
20 e 20 1 21 .
Se colocados na ordem crescente, virão os 8 valores correspondentes a 0 irmão, seguidos dos 
15 valores de 1 irmão, e assim por diante. Então, o 20o e o 21o valores serão, ambos, 1 irmão. Logo, 
Me 5 
11 1
2
 5 1 irmão.
2o) Pesquisa sobre massa (em quilogramas) de um grupo de pessoas:
Massa (kg) FA
40 44 1
44 48 3
48 52 7
52 56 6
56 60 3
Total 20
A partir da tabela, em que as massas estão agrupadas em classes, consideramos, em cada classe, 
o seu valor médio (VM) e anexamos uma nova coluna à tabela. Assim, temos:
44 2 40 5 48 2 44 5 52 2 48 5 56 2 52 5 60 2 56 5 4
4
2
 5 2
PARA
REfLEtiR
O cálculo da média de números 
inteiros inclui uma divisão que 
pode não ser exata.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 27 6/1/16 8:53 AM
28 Estatística, limites e derivadas
40 1 2 5 42 (frequência 1)
44 1 2 5 46 (frequência 3)
48 1 2 5 50 (frequência 7)
52 1 2 5 54 (frequência 6)
56 1 2 5 58 (frequência 3)
Massa (kg) FA VM
40 44 1 42
44 48 3 46
48 52 7 50
52 56 6 54
56 60 3 58
Total 20
Agora, podemos calcular MA, Mo e Me usando valores médios e suas frequências.
Média aritmética:
MA 5 
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1 42 3 46 7 50 6 54 3 58
20
 5 
1 1 1 142 138 350 324 174
20
 5 
1028
20
 5 51,4 kg
Moda:
A frequência maior, 7, indica o intervalo 48 52, representado por 50, que é o ponto 
médio.
Logo, Mo 5 50 kg.
Mediana:
Como o total das frequências é 20 (número par), os dois valores centrais são o 10o e o 11o. Co-
locados os valores médios em ordem crescente e de acordo com suas frequências, o 10o é 50 kg e o 
11o também. Logo, Me 5 
150 50
2
 5 50 kg.
PARA coNstRUiR
30 O histograma mostra a distribuição salarial (em reais) dos 
funcionários de uma empresa.
Número de funcionários
Salários (R$)
500 600 700 800 900 1000
1
2
3
4
5
6
7
Usando os valores médios dos intervalos, construa o polígo-
no do histograma e, depois, calcule a MA, a Mo e a Me.
Número de funcionários
Salários (R$)
500 600 700 800 900 1
 
000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
MA 5 745; Mo 5 850; Me 5 750
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-6
H-2
6
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 28 6/1/16 8:53 AM
Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 12 a 14
31 Determine a MA, a Mo e a Me a partir das tabelas de frequências.
a) “Idade” (em anos) em um grupo de 10 pessoas:
Idade (em anos) FA
13 3
14 2
15 4
16 1
MA 5 
? 1 ? 1 ? 1 ?
1 1 1
3 13 2 14 4 15 1 16
3 2 4 1
 5 
1 1 139 28 60 16
10
 5 
143
10
 5 14,3
Mo 5 15 (sua frequência, 4, é a maior da tabela)
Como a distribuição é 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, então 
consideramos a média aritmética entre o 5o e o 6o termos:
Me 5 
114 15
2
 5 14,5
b) “Altura” (em metros) em um grupo de 21 pessoas:
Altura (m) FA
1,61 1,65 3
1,65 1,69 6
1,69 1,73 5
1,73 1,77 4
1,77 1,81 3
 A partir da tabela dada, calculamos o VM (valor médio) de cada 
classe:
Altura (m) FA VM
1,61 1,65 3 1,63
1,65 1,69 6 1,67
1,69 1,73 5 1,71
1,73 1,77 4 1,75
1,77 1,81 3 1,79
32 Uma prova com 5 testes foi aplicada em uma classe. O levanta-
mento estatístico dos acertos foi registrado no seguinte gráfico:
 
Número de alunos
Número de
acertos
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Determine a partir do gráfico:
a) o número de alunos da classe;
40 alunos.
b) a porcentagem da classe que acertou os 5 testes;
12,5%
c) a porcentagem da classe que acertou 3 ou mais testes;
72,5%
d) a MA, a Mo e a Me de acertos por pessoa.
MA 5 3,15; Mo 5 3; Me 5 3
33 (UFRJ – Adaptada) A tabela a seguir mostra a distribuição de 
uma prova de matemática:
Notas 3 4 5 7 8 10
Número de alunos 6 2 9 8 4 2
Determine:
a) a moda dessas notas.
O valor mais frequente é 5. Portanto, a moda é Mo 5 5.
b) a mediana dessas notas.
Como o total de alunos é 31 (número ímpar), o termo médio é o 
16o. Colocando as notas em ordem crescente, virão os 6 valores 
correspondentes à nota 3, seguidos dos 2 valores de nota 4 e, 
em seguida, os 9 valores de nota 5. Assim, a mediana é Me 5 5.
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
7
MA 5 
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
1 1 1 1
3 1,63 6 1,67 5 1,71 4 1,75 3 1,79
3 6 5 4 3
 5 
5 
1 1 1 14,89 10,02 8,55 7,00 5,37
21
 5 
35,83
21
 5 1,71
Observando a tabela de frequência, vemos que a maior 
frequência é 6.
Logo, Mo 5 1,67.
Como o total das frequências é 21 (número ímpar), o valor 
central é o da 11a posição.
Colocando os valores médios em ordem crescente e de acor-
do com suas frequências, temos Me 5 1,71.
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 29 6/1/16 8:53 AM
30 Estatística, limites e derivadas
 MEdidAs dE disPERsÃo
Já estudamos as medidas de tendência central mais usadas, como a média aritmética, a moda 
e a mediana. Elas têm como objetivo concentrar em um único número os diversos valores de uma 
variável quantitativa.
Neste item estudaremos casos em que elas são insuficientes.
Vejamos a seguinte situação: o critério de aprovação em um concurso estabelece que o can-
didato deve realizar 3 provas e obter, com suas notas, média igual ou maior que 6,0. Nesse caso, a 
informação de que o candidato obteve média 7,5 é suficiente para concluir que ele está aprovado.
Consideremos agora outra situação: uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer 
para um grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do grupo é 20 anos. 
Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para planejar as atividades, pois podemos 
ter grupos com média de idade de 20 anos e características totalmente diferentes.
Observemos alguns grupos possíveis:
 Grupo A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos.
MA 5 
1 1 1 1 120 20 20 20 20 20
6
 5 
120
6
 5 20 anos
 Grupo B: 22 anos; 23 anos; 18 anos; 19 anos; 20 anos; 18 anos.
MA 5 
1 1 1 1 122 23 18 19 20 18
6
 5 
120
6
 5 20 anos
 Grupo C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 anos; 1 ano.
MA 5 
6 62 39 4 8 1
6
1 1 1 1 1
 5 
120
6
 5 20 anos
Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é conveniente 
utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. As mais usadas são 
a variância e o desvio padrão.
Variância (V)
A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores x
i
 em relação à média aritmética 
(x
i
 2 MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da média). Uma opção possível, 
então, é considerar o total dos quadrados dos desvios ∑ 2
5
(x MA)i
2
i 1
n
 e expressar a variância (V) como a 
média dos quadrados dos desvios, ou seja:
Exemplo:
Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C, citados anteriormente:
 Grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)
MA 5 20
Desvios: 20 2 20 5 0; todos iguais a 0.
V 5 0
Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão e, por isso, a variância é 0.
 Grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)
MA 5 20
Desvios: 22 2 20 5 2; 23 2 20 5 3; 18 2 20 5 22; 19 2 20 5 21; 20 2 20 5 0; 18 2 20 5 22
V 5 
1 1 2 1 2 1 1 22 3 ( 2) ( 1) 0 ( 2)
6
2 2 2 2 2 2
 5 
1 1 1 1 14 9 4 1 0 4
6
 5 
22
6
 . 3,6
V 5 
∑
5
(x – MA)
n
i
2
i 1
n
PARA
REfLEtiR
 No grupo A não houve dispersão.
 A dispersão no grupo B é menor 
que no grupo C.
 Dizemos que o grupo B é mais 
homogêneo que o C ou que o 
grupo C é mais heterogêneo 
que o B.
PARA
REfLEtiR
Por que (x MA)i
i 1
n
2
5
∑ 5 0?
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 30 6/1/16 8:53 AM
Estatística, limites e derivadasM
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
 Grupo C (6; 62; 39; 4; 8; 1)
MA 5 20
Desvios: 6 2 20 5 214; 62 2 20 5 42; 39 2 20 5 19; 4 2 20 5 216; 8 2 20 5 212; 1 2 20 5 219
V 5 
( 14) 42 19 ( 16) ( 12) ( 19)
6
2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 2 1 2 1 2
 5 
1 1 1 1 1196 1764 361 256 144 361
6
 5 
5 
3 082
6
 . 513,6
A variância é suficiente para diferenciar a dispersão dos grupos: o grupo A não tem dispersão 
(V 5 0) e o grupo C tem uma dispersão maior que a do grupo B (513,6 . 3,6).
Porém, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma vez que 
os desvios são elevados ao quadrado. Então, definiu-se a medida de dispersão chamada desvio padrão. 
desvio padrão (dP)
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, pois 
é expresso na mesma unidade dos valores observados (do conjunto de dados).
No exemplo que estamos analisando, temos:
 Grupo A: DP 5 0 5 0 ano
 Grupo B: DP 5 3,6 . 1,9 ano
 Grupo C: DP 5 513,6 . 22,6 anos
Resumindo, se x
1
, x
2
, x
3
, É, x
n
 são os n valores de uma variável quantitativa x, temos:
 a média aritmética dos valores de x: MA 5 ∑
5i 1
n
x
i
 a variância de x: V 5 ∑
2
5
(x MA)
n
i
2
i 1
n
 o desvio padrão de x: DP 5 V
Observações:
1a) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0.
2a) Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores 
da variável.
3a) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
PARA
REfLEtiR
A variância e o desvio padrão são 
números positivos ou nulos.
EXERcÍcios REsoLVidos
3 Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 
4 saltos cada um. Veja as marcas obtidas por três atletas e 
responda:
 atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm;
 atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm;
 atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm.
a) Qual deles obteve melhor média?
b) Qual deles foi o mais regular?
REsoLUÇÃo:
a) Calculando a média de cada atleta, obtemos:
 Atleta A:
 MA 5 
148 170 155 131
4
1 1 1
 5 
604
4
 5 151 cm
 Atleta B:
 MA 5 
145 151 150 152
4
1 1 1
 5 
598
4
 5 149,5 cm
 Atleta C:
 MA 5 
146 151 143 160
4
1 1 1
 5 
600
4
 5 150 cm
 Logo, o atleta A obteve a maior média, 151 cm.
b) A maior regularidade será verificada a partir do desvio pa-
drão. Assim, temos:
 Atleta A:
V 5 
(148 151) (170 –151) (155 151) (131 151)
4
2 2 2 2
2 1 1 2 1 2
 5 
5 
9 361 16 400
4
1 1 1
 5 
786
4
 5 196,5
 DP 5 196,5 . 14 cm
 Atleta B:
 V 5 
( 4,5) (1,5) (0,5) (2,5)
4
2 2 2 2
2 1 1 1
 5 
 5 
20,25 2,25 0,25 6,25
4
1 1 1
 5 
29
4
 5 7,25
 DP 5 725 . 2,7 cm
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 31 6/1/16 8:53 AM
32 Estatística, limites e derivadas
Atleta C:
V 5 
( 4) 1 ( 7) 10
4
2 2 2 2
2 1 1 2 1
 5 
16 1 49 100
4
1 1 1
 5 
166
4
 5
 5 41,5
DP 5 41,5 . 6,4 cm
Logo, o atleta B foi o mais regular, pois seu desvio padrão é o 
menor, aproximadamente 2,7 cm.
4 O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre al-
tura (em centímetros) entre os alunos de uma classe. Calcule 
o desvio padrão dessa variável.
Número de alunos
Altura (cm)
153 159 165 171 177 183
1
2
3
4
5
6
7
8
9
REsoLUÇÃo:
No histograma, os valores da variável são intervalos e, por 
isso, vamos usar os seus pontos médios:
153 159
156
(Frequência 2)
159 165
162
(Frequência 5)
165 171
168
(Frequência 8)
171 177
174
(Frequência 6)
177 183
180
(Frequência 4)
Média aritmética:
MA 5 
2 156 5 162 8 168 6 174 4 180
2 5 8 6 4
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
1 1 1 1
 5 
5 
312 810 1344 1044 720
25
1 1 1 1
 5 
4 230
25
 5 169,2 cm
Desvios (x
i
 2 MA):
156 2 169,2 5 213,2 162 2 169,2 5 27,2
168 2 169,2 5 21,2 174 2 169,2 5 4,8
180 2 169,2 5 10,8
Variância:
V 5 
2( 13,2) 5( 7,2) 8( 1,2) 6(4,8) 4(10,8)
25
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1
 5
5 
348,48 259,2 11,52 138,24 466,56
25
1 1 1 1
 5 
1224
25
 5 48,96
Desvio padrão:
DP 5 48,96 . 6,99 cm
No cálculo da variância foram usa-
das as frequências.
PARA
REfLEtiR
PARA coNstRUiR
34 (UPE) Numa competição esportiva, cinco atletas estão dispu-
tando as três primeiras colocações da prova de salto em dis-
tância. A classificação será pela ordem decrescente da média 
aritmética de pontos obtidos por eles, após três saltos con-
secutivos na prova. Em caso de empate, o critério adotado 
será a ordem crescente do valor da variância. A pontuação 
de cada atleta está apresentada na tabela a seguir:
Atleta
Pontuação –
 1o salto
Pontuação – 
2o salto
Pontuação – 
3o salto
A 6 6 6
B 7 3 8
C 5 7 6
D 4 6 8
E 5 8 5
Com base nas informações apresentadas, o primeiro, o se-
gundo e o terceiro lugares dessa prova foram ocupados, res-
pectivamente, pelos atletas a
a) A; C; E.
b) B; D; E.
c) E; D; B.
d) B; D; C.
e) A; B; D.
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-6
H-2
6 Calculando a média aritmética e a variância dos pontos obtidos por cada 
atleta nos três saltos, obtemos:
 Atleta A:
MA
6 6 6
3
6
V
(6 6) (6 6) (6 6)
3
0
A
A
2 2 2
5
1 1
5
5
2 1 2 1 2
5
 Atleta B:
.
.
MA
7 3 8
3
6
V
(7 6) (3 6) (8 6)
3
4,67
B
B
2 2 2
5
1 1
5
5
2 1 2 1 2
 Atleta C:
.
.
MA
5 7 6
3
6
V
(5 6) (7 6) (6 6)
3
0,67
C
C
2 2 2
5
1 1
5
5
2 1 2 1 2
 Atleta D:
.
.
MA
4 6 8
3
6
V
(4 6) (6 6) (8 6)
3
2,67
D
D
2 2 2
5
1 1
5
5
2 1 2 1 2
 Atleta E:
=
+ +
=
=
− + − + −
=
MA
5 8 5
3
6
V
(5 6) (8 6) (5 6)
3
2
E
E
2 2 2
Portanto, como 
< < < <V V V V V ,A C E D B segue-se 
que o primeiro, o segundo e o 
terceiro lugares dessa prova foram 
ocupados, respectivamente, pelos 
atletas A, C e E.
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Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
33
 TAREFA PARA CASA: Para aprimorar: 9
35 (Fuvest-SP) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:
Salário (em R$) Número de funcionários
500,00 10
1 000,00 5
1 500,00 1
2 000,00 10
5 000,00 4
10 500,00 1
Total 31
b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$ 2 000,00 cada. A variância da nova distribuição de 
salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?
A variância será a mesma, pois R$ 2 000,00 é exatamente o valor da média aritmética, e sua participação no cálculo da variância será zero.
36 (UPE) O quadro abaixo mostra o número de gols marcados em cada uma das partidas do grupo do Brasil na primeira fase da Copa 
do Mundo de 2014.
Partida Gols marcados
Brasil 3 Croácia 4
México 3 Camarões 1
Brasil 3 México 0
Croácia 3 Camarões 4
Camarões 3 Brasil 5
Croácia 3 México 4
O desvio médio de gols marcados por partida nos jogos desse grupo foi de, aproximadamente, c
a) 3,0.
b) 2,0.
c) 1,7.
d) 1,5.
e) 1,2.
Considere a tabela:
Partida x
i
2x x
i
Brasil 3 Croácia 4 1
México 3 Camarões 1 2
Brasil 3 México 0 3
Croácia 3 Camarões 4 1
Camarões 3 Brasil 5 2
Croácia 3 México 4 1
∑x 18i
1
6
5 ∑ x x 10i
1
6
2 5
A média de gols marcados nas 6 partidas foi de:
∑
MA
x
6
18
6
3
i
1
6
5 5 5
Portanto, o desvio médio de gols marcados por partida nos jogos des-
se grupo foi:
∑
.D
| x x |
6
10
6
1,7m
i
1
6
5
2
5
 
En
em
C-7
H-2
7
En
em
C-6
H-2
5 a) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa?
MA 5 
10 500 5 1000 1500 10 2 000 4 5 000 105 000
31
? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1
 5 
62 000
31
 5 2 000
A mediana é o 16o termo da sequência de salários em ordem crescente. Portanto, 
Me 5 1 500.
En
em
C-6
H-2
6
En
em
C-6
H-2
5
SER_ALG_CAD12_001a042_cap1.indd 33 6/1/16 8:53 AM
34 Estatística, limites e derivadas
 EstAtÍsticA E PRoBABiLidAdE
A estatística também é usada para estimar a probabilidade de ocorrência de um evento, princi-
palmente quando ela não pode ser calculada teoricamente pela razão p 5 
evento
espaço amostral
. Quando 
se diz que a probabilidade de um avião cair é de uma em um milhão, é porque a frequência relativa 
de ocorrência de acidentes é de um acidente a cada ummilhão de decolagens. Ao longo dos anos, 
ocorrerão mais decolagens, e essa probabilidade pode mudar. Dos anos 1960 para cá, a frequência 
relativa de acidentes aéreos no mundo diminuiu cerca de 15 vezes. Isso significa que a probabilidade 
de ocorrer um acidente nos anos 1960 era 15 vezes maior do que agora.
Quanto maior for a quantidade de experimentos, melhor será a estimativa da probabilidade 
usando-se a frequência relativa. Ao jogar uma moeda duas vezes, é possível que ocorra duas vezes 
cara. Seria absurdo afirmar que a probabilidade de ocorrer cara é de 100%, pois a quantidade de ex-
perimentos é muito pequena e não pode ser utilizada para tal afirmação. Entretanto, ao jogar uma 
moeda 200 vezes, é possível observar algo como 94 caras e 106 coroas; jogando 2 000 vezes, 1 034 
caras e 966 coroas; 20 000 vezes, 10 091 caras e 9 909 coroas.
Número de jogadas FA (cara) FR (cara)
2 2 100%
200 94 47%
2 000 1 034 51,7%
20 000 10 091 50,45%
Pela tabela, portanto, percebe-se que a frequência relativa tende ao valor teórico de 50% para a 
probabilidade de ocorrer cara ou coroa. Isso é chamado de lei dos grandes números.
Previsões do tempo, resultados eleitorais, mortalidade causada por doenças, entre outras, são 
probabilidades calculadas usando-se frequências relativas de pesquisas estatísticas. Nesses casos, 
quanto maior for o histórico de dados a ser analisado, melhor será a previsão.
EXERcÍcios REsoLVidos
5 O gráfico abaixo mostra a distribuição da população brasilei-
ra por regiões de acordo com o Pnad 2007.
Considerando que a população total do Brasil registrada foi 
de aproximadamente 184 milhões de habitantes e que no 
gráfico o ângulo da região Centro-Oeste é de 25°, calcule a 
população da região Centro-Oeste em porcentagem e em 
número de habitantes.
SE
S
CO NE
N
REsoLUÇÃo:
360° 2 100%
25° 2 x
x . 7%
7% de 184 000 000 5 13 000 000
Logo, a população da região Centro-Oeste para 2007 corres-
ponde a aproximadamente 7% da população do Brasil, ou 
seja, 13 000 000 de habitantes.
6 Um dado foi lançado 1 200 vezes, obtendo-se o seguinte re-
sultado:
Face Número de vezes
1 248
2 355
3 175
4 180
5 126
6 116
a) Faça uma tabela de frequências relativas expressando os 
resultados em porcentagem.
b) Com base no experimento anterior, na sua opinião, o 
dado jogado é honesto? Justifique.
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Estatística, limites e derivadas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
35
REsoLUÇÃo:
a) 
b) Aparentemente há uma tendência maior em sair as faces 
“1” e “2” do que as outras faces. Como 1 200 é um número 
razoavelmente grande, a frequência relativa deveria ser apro-
ximadamente igual ao valor teórico da probabilidade (que é 
de 16,6%). Com 1 200 jogadas o resultado teórico esperado 
seria o de sair cerca de 200 vezes cada face. Assim, podemos 
afirmar que o dado aparenta não ser honesto.
7 “O número de acidentes aéreos no Brasil, entre 1979 e 1998, 
caiu muito. Foram registrados 403 acidentes em 1979 contra 
71 em 1998. No mesmo período, o número de voos aumen-
tou cinco vezes. ” Segundo essa afirmação, se a probabilidade 
de ocorrer um acidente aéreo em 1998 era p, qual era essa 
probabilidade em 1979?
REsoLUÇÃo: 
Suponha que o número de voos em 1979 seja x. Então:
p 5 
71
5x
 ⇒ x 5 
71
5p
Em 1979, a probabilidade era: p
2
 5 
403
x
 ⇒ x 5 
403
p2
Logo: 
71
5p
 5 
403
p2
 ⇒ p
2
 5 
403 5p
71
?
 5 28,4p
(Cerca de 28 vezes maior.)
8 Em uma garrafa opaca fechada existem 20 bolinhas – nas 
cores preta, vermelha e amarela. Não é possível ver as bo-
linhas dentro da garrafa, exceto se virarmos a garrafa de 
ponta-cabeça, quando uma das bolinhas vai para o gargalo 
e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, a operação 
de chacoalhar e tombar a garrafa para então anotar a cor da 
bolinha que aparecia no gargalo foi repetida 2 000 vezes. Os 
resultados obtidos foram os seguintes:
Cor da bolinha Número de vezes
Preta 396
Vermelha 910
Amarela 694
Qual deve ser a quantidade de cada bolinha dentro da garrafa?
REsoLUÇÃo:
Como a quantidade de experimentos é grande, podemos es-
perar que a frequência relativa seja aproximadamente igual 
à probabilidade teórica. A tabela de frequências relativas é:
Cor da bolinha Número de vezes Frequência relativa
Preta 396 0,198
Vermelha 910 0,455
Amarela 694 0,347
Assim, se tivermos x bolinhas pretas, y bolinhas vermelhas e 
z bolinhas amarelas, as probabilidades teóricas serão:
p(preta) 5 
x
20
p(vermelha) 5 
y
20
p(amarela) 5 
z
20
Igualando-se as probabilidades teóricas com as respectivas 
frequências relativas, temos:
x
20
 5 0,198 ⇒ x 5 3,96
y
20
 5 0,455 ⇒ y 5 9,10
z
20
 5 0,347 ⇒ z 5 6,94
Como as quantidades x, y e z de bolinhas são números intei-
ros, então x 5 4, y 5 9 e z 5 7.
9 Observe a pesquisa (enquete) abaixo, encontrada em um site 
de esportes em 12 de junho de 2007, sobre a expectativa dos 
internautas a respeito da ausência de alguns jogadores na 
Copa América:
Qual jogador vai fazer mais falta 
à seleção na copa América?*
Kaká
Total de votos: 17633
Nenhum dos dois vai fazer falta
Ronaldinho
(60,87%)
(28,38%)
(10,75%)
* Atenção: o resultado desta enquete promovida por UOL Esporte
refere-se a frequentadores do site e não tem valor científico.
Por que existe o aviso de que o resultado da enquete não 
tem valor científico?
REsoLUÇÃo:
Porque a pesquisa não foi feita com um universo estatístico 
(população) que possa ser generalizado, de modo que seu 
resultado é muito específico. Ela só se refere à população de 
usuários da internet, frequentadores do site. Seria inadequa-
do dizer que aproximadamente 61% da população brasileira 
acredita que Kaká fará muita falta na Copa América, sabendo 
que o perfil da população brasileira é diferente do perfil dos 
usuários da internet.
Face Número de vezes Frequência relativa
1 248 20,7%
2 355 29,6%
3 175 14,6%
4 180 15,0%
5 126 10,5%
6 116 9,7%
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36 Estatística, limites e derivadas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 e 16
37 Um dado foi lançado 1 000 vezes, obtendo-se o seguinte 
resultado:
Face Número de vezes
1 157
2 171
3 160
4 166
5 171
6 175
a) Faça uma tabela de frequências relativas expressando os 
resultados em porcentagem.
Face Número de vezes Frequência relativa (%)
1 157 15,7
2 171 17,1
3 160 16,0
4 166 16,6
5 171 17,1
6 175 17,5
b) Na sua opinião, o dado jogado é honesto? Justifique.
As frequências relativas são parecidas e com valores em torno 
do resultado teórico (16,6%). Assim, podemos afirmar que o 
dado aparenta ser honesto.
38 O Brasil tem um dos menores índices de acidentes aéreos. 
Aqui a frequência é de 0,85 acidente por milhão de decola-
gens. Essa média é mais baixa que a de outros países latinos 
(5,7), asiáticos (3,8) e africanos (13).
A Europa (0,5) e a Oceania (0,2) têm os menores percentuais.
Baseado no texto, calcule a probabilidade de ocorrência de 
um acidente aéreo no Brasil.
0,000085%
39 Em uma garrafa opaca fechada existem 10 bolinhas, distri-
buídas entre as cores azul e branca. Não é possível ver as bo-
linhas dentro da garrafa, exceto se virarmos a garrafa de pon-
ta-cabeça, quando uma delas vai para o gargalo e é possível 
ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiu-se 2 000 vezes 
a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa 
para então anotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo. 
Os resultados obtidos foram os seguintes:
Cor da bolinha Número de vezes
Azul 624
Branca 1 376
Na próxima vez em que for repetida essa operação, qual é a 
probabilidade de que a cor da bolinha do gargalo seja azul?
30%
En
em
C-7
H-2
9
En
em
C-6
H-2
6
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
9
PARA coNstRUiR
PARA PRATICARPARA PRAticAR
1 Foi feito o levantamento dos “salários” dos funcionários de 
uma empresa e, em seguida, foi elaborada a tabela de fre-
quências, com