Distâncias entre Pontos, Retas e Planos

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Entre Pontos: Se P e Q são pontos em ℝ2 ou
ℝ3, então a distância de P a Q, denotada por
𝑑 𝑃, 𝑄 é a norma do vetor 𝑃𝑄. Em símbolos:
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑃𝑄
Exemplo 1: Determine a distância entre os
pontos 𝑃 = 2, 3, −1 e 𝑄 = 1, 0, −1 .
Solução: 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = −1,− 3, 0
𝑑 𝑃, 𝑄 = −1 2 + − 3
2
+ 0 2 = 2 .
Distâncias
De forma geral, sendo A e B pontos, retas
ou planos (ambos em ℝ2 ou em ℝ3 ), a
distância entre A e B é o menor dos números
𝑑 𝑥, 𝑦 quando 𝑥 percorre A e 𝑦 percorre B.
Consequentemente, se A ∩ B ≠ ∅, então a
distância entre A e B é zero. Portanto, a
distância tem um caráter minimalista e
normalmente está associada à ideia de
perpendicularismo. A seguir vamos obter
algumas fórmulas para calcular essas
distâncias, em cada caso.
Distâncias
De Ponto a Reta: Seja P um ponto e 𝑟 uma reta
em ℝ3.
Sendo 𝐴 um ponto e 𝑟 um vetor diretor de 𝑟, a
área do paralelogramo gerado por 𝐴𝑃 e 𝑟 é igual a
𝐴𝑃 × 𝑟 e também é igual a 𝑟 . ℎ . Logo,
𝑟 . ℎ = 𝐴𝑃 × 𝑟 , e como 𝑑 𝑃, 𝑟 = ℎ,
𝑑 𝑃, 𝑟 =
𝐴𝑃 × 𝑟
𝑟
.
Exemplo 2: Determine a distância entre 𝑃 e 𝑟, sendo
𝑃 o ponto 2, 1, 4 e 𝑟 a reta definida pela equação
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1, 2, 3 + 𝑡 2,−1,−2 , 𝑡 ∈ ℝ.
Solução: Vamos tomar 𝑟 = 2, −1,−2 e 𝐴 = −1, 2, 3
para o cálculo. Desta forma, 𝐴𝑃 = 3,−1,1 , 𝑟 = 3,
𝐴𝑃 × 𝑟 =
𝑖 𝑗 𝑘
3 −1 1
2 −1 −2
= 3, 8, −1 e 𝐴𝑃 × 𝑟 = 74
Finalmente,
𝑑 𝑃, 𝑟 =
𝐴𝑃 × 𝑟
𝑟
=
74
3
.
Distâncias
De Ponto a Plano: Seja P um ponto e α um
plano em ℝ3.
Tomando A ∈ α e um vetor 𝑛 normal a α,
𝑑 𝑃, α = 𝑃′𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑛 𝐴𝑃
=
𝑛 . 𝐴𝑃
𝑛 2 𝑛 =
𝑛 . 𝐴𝑃
𝑛
, ou seja,
𝑑 𝑃, α =
𝑛 . 𝐴𝑃
𝑛
.
Exemplo 3: Determine a distância de 𝑃 a π,
sendo 𝑃 o ponto 4, 2, −3 e π o plano cuja
equação geral é 2𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = −3.
Solução: Vamos tomar 𝑛 = 2, 3, −6 e 𝐴 =
0,−1, 0 para o cálculo. Desta forma, 𝐴𝑃 =
4, 3, −3 , 𝑛 . 𝐴𝑃 = 35 e 𝑛 = 7. Logo,
𝑑 𝑃, π =
𝑛 . 𝐴𝑃
𝑛
=
35
7
= 5 .
Distâncias
Entre Duas Retas: Sejam 𝑟 e 𝑠 retas em ℝ3.
 Se 𝑟 e 𝑠 são retas coincidentes, então
𝑑 𝑟, 𝑠 = 0.
 Se 𝑟 e 𝑠 são retas paralelas, então 𝑑 𝑟, 𝑠 é
a distância de qualquer ponto de uma das
retas à outra reta.
 Se 𝑟 e 𝑠 são retas concorrentes, então
𝑑 𝑟, 𝑠 = 0.
Distâncias
 Se 𝑟 e 𝑠 são retas reversas, então sejam 𝑟 e 𝑠
vetores diretores e A e B pontos, de 𝑟 e 𝑠,
respectivamente. Neste caso, existe um único
plano α que contem 𝑟 tal que 𝑟 e 𝑠 são seus
vetores diretores (note que 𝑟 e 𝑠 não são
paralelos porque 𝑟 e 𝑠 são reversas). De
forma análoga, existe um único plano β que
contem 𝑠 tal que 𝑟 e 𝑠 são seus vetores
diretores (observe o esboço no slide
seguinte). Sendo assim, α e β são paralelos e
Distâncias
𝑑 𝑟, 𝑠 = 𝑑 A, β = 𝑑 B, α , ou seja,
𝑑 𝑟, 𝑠 =
𝑟 × 𝑠 . AB
𝑟 × 𝑠
=
𝑟 , 𝑠 , AB
𝑟 × 𝑠
.
Distâncias
Em termos de estratégia para o cálculo
da distância entre duas retas 𝑟 e 𝑠, sugiro
que seja adotada a seguinte: verifique se os
vetores diretores 𝑟 e 𝑠 das retas são
paralelos por meio do produto vetorial.
1) Se 𝑟 × 𝑠 = 0 , então as retas são
coincidentes ou paralelas. Logo, tome um
ponto em uma das retas e calcule a
distância deste ponto à outra reta. O
resultado obtido será a distância entre elas.
Distâncias
2) Se 𝑟 × 𝑠 ≠ 0 , então as retas são
concorrentes ou reversas. Em qualquer
caso, use a fórmula do cálculo da distância
entre retas reversas. O resultado obtido será
a distância entre as retas. (Caso elas sejam
concorrentes, a distância será zero, pois
sendo concorrentes, α = β e os vetores AB, 𝑟
e 𝑠 serão coplanares, o que fará com que o
numerador do membro direito da fórmula se
anule.)
Distâncias
Exemplo 4: Determine a distância entre as
retas 𝑟 e 𝑠 e entre as retas 𝑝 e 𝑞, definidas por
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1, 3, −1 + 𝑡 1,−2,−1 , 𝑡 ∈ ℝ
𝑠: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,−3, 1 + 𝑚 1, 1,−1 ,𝑚 ∈ ℝ
𝑝:
𝑥 − 1
2
=
𝑦 + 4
−3
= 𝑧 − 2
𝑞: ቐ
𝑥 = 3
𝑦 = −7 + 𝑘
𝑧 = 3 − 2𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ .
Distâncias
Solução:
𝑟 × 𝑠 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 −1
1 1 −1
= 3, 0, 3
Sendo A = −1, 3, −1 e B = 0,−3, 1 ,
temos que AB = 1,−6, 2 . Logo,
𝑑 𝑟, 𝑠 =
𝑟 × 𝑠 . AB
𝑟 × 𝑠
=
3.1 + 0. −6 + 3.2
32 + 02 + 32
𝑑 𝑟, 𝑠 =
9
3 2
=
3 2
2
.
𝑝 × 𝑞 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 −3 1
0 1 −2
= 5, 4, 2
Sendo C = 1,−4, 2 e D = 3,−7, 3 , temos
que CD = 2,−3, 1 . Logo,
𝑑 𝑝, 𝑞 =
𝑝 × 𝑞 . CD
𝑝 × 𝑞
=
5.2 + 4. −3 + 2.1
52 + 42 + 22
𝑑 𝑝, 𝑞 =
0
45
= 0 . ( 𝑝 e 𝑞 são concorrentes. )
Distâncias