O mistério e o poder do mundo não-arquimendeano

Prévia do material em texto

1/4
O mistério e o poder do mundo “não-arquimendeano”
Matemática Tony Yue Yu
Embora contar seja a primeira habilidade que uma criança aprende em matemática, também é algo estudado nos
mais altos níveis da disciplina, embora de uma maneira mais emocionante.
A pesquisa do novo professor de matemática Tony Yue Yu envolve a contagem de curvas em um espaço
geométrico, que coloca seu trabalho no campo da geometria enumerativa. Um dos primeiros exemplos de geometria
enumerativa é o Problema de Apolônio, em homenagem a um matemático na Grécia antiga. Neste problema, um
conta o número de círculos que são tangentes a três círculos dados em um plano (preto na ilustração). Há, em geral,
oito desses círculos tangentes; um é mostrado em rosa.
O problema de
ApolloniusCrédito: Wikipedia
2/4
Tais questões não são apenas intuitivamente atraentes, mas também praticamente importantes, porque a contagem
de objetos geométricos com certas restrições é o mesmo tipo de problema que contar o número de soluções para
um sistema de equações.
Yu está desenvolvendo uma nova teoria da contagem de curvas através do que é chamado de geometria não-
arquimediana. Normalmente, quando você toma dois números, como 1 e 100, em que um número é menor que o
outro, você pode adicionar o menor número a si mesmo de novo e de novo para eventualmente superar o maior
número (100). Este conceito decorre do trabalho de Arquimedes, um matemático grego antigo. No entanto, na
geometria não-arquimediana, você pode continuar a aumentar números menores, mas você nunca vai superar o
número maior. Yu explica que esses números “exóticos e não intuitivos” estão no centro de seu trabalho.
Yu, que cresceu em Ningbo, China, completou seus estudos de graduação em matemática na Universidade de
Pequim em 2010, e mais tarde completou seus estudos de pós-graduação na Ecole normale supérieure em Paris.
Foi pesquisador permanente do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica até ingressar no corpo docente da
Caltech em 2021.
Nós nos encontramos com Yu over Zoom para aprender mais sobre sua pesquisa e como ela se relaciona com um
conceito familiar para os físicos conhecidos como simetria espelhada.
Quando você se interessou pela matemática?
Sou fascinado pela matemática e pela ciência desde a infância. Crescendo em Ningbo, havia muitas atividades
científicas e competições para crianças, e eu gostei de todas elas. Fui para a Universidade de Pequim, com
especialização em matemática, porque no ensino médio eu era capaz de ler livros didáticos universitários sobre
muitos outros assuntos de ciências, mas não conseguia entender muito dos livros de matemática. Fiquei muito
curioso com a matemática moderna.
Então fui para a Ecole normale supérieure em Paris para a pós-graduação. Paris é o berço da geometria algébrica
moderna, fundada por Alexander Grothendieck na década de 1960. As pessoas gostam de dizer que Paris é o
centro do mundo da moda, mas também é um centro de pesquisa matemática em muitas áreas. Uma vez em Paris,
cercado por tantos matemáticos, era natural para mim prosseguir a pesquisa matemática.
Você pode nos contar mais sobre geometria não-arquimediana?
A propriedade Archimedean diz que, dados quaisquer dois números positivos A - B, se adicionarmos A a si mesmo o
suficiente muitas vezes, a soma A + - +A acabará excedendo B.
A propriedade de ArquimedesCrédito:
Wikipedia
Você dirá que isso é óbvio porque é assim que se comporta em nossa vida diária. No entanto, na matemática
moderna, há um grande interesse em estudar quantidades e espaços geométricos onde a propriedade dos
3/4
Arquimedes falha. Nós os chamamos de números não-arquimeados e espaços não-arquimeados. Neste reino, os
números não caem em uma linha numérica nem representam qualquer noção de distância. Eles são exóticos e não
combinam com a nossa intuição.
A geometria não-arquimediana é um ramo da geometria algébrica, onde estudamos formas geométricas definidas
sobre os números não-arquimedanos. Como não vivemos em um mundo não-arquimede, é difícil estudar espaços
não-arquimerenos, e muitos matemáticos de pesquisa consideraram que é um campo difícil e abstrato.
Eu me interessei pelo campo enquanto eu era um estudante de pós-graduação em Paris. Um dia perguntei ao meu
conselheiro o que é um espaço não-arquimereano. Ele respondeu que é um espaço muito “peludo”. Eu costumava
pensar em objetos matemáticos como auste e solene, e eu não podia acreditar como um espaço geométrico pode
ser peludo como um animal! Fiquei fascinado com o assunto depois.
Você pode nos dizer mais sobre geometria enumerativa?
Geometria enumerativa é sobre a contagem de objetos geométricos, como o Problema de Apolônio, em que se
conta círculos em um plano. Embora seja divertido e importante contar e calcular os números precisos, a emoção do
campo é descobrir relações estruturais mais profundas por trás desses números. Uma das relações mais misteriosas
é descrita pela chamada simetria do espelho, que é uma dualidade de formas descobertas pela primeira vez por
físicos teóricos que estudam a teoria das cordas, uma teoria matemática que visa descrever as partículas e forças
fundamentais na natureza.
Independentemente de a teoria das cordas pode ser comprovada por experimentos, ela causou um grande impacto
na pesquisa matemática. Na simetria do espelho, o número de curvas em um espaço pode estar relacionado a
soluções de equações diferenciais no espaço do espelho. A extensão total deste fenômeno, bem como o seu
mecanismo matemático subjacente, ainda são em grande parte desconhecidos.
Em que problemas está a trabalhar?
Iniciei o estudo da geometria enumerativa usando métodos não-arquimeados, em particular com o objetivo de
resolver conjecturas no campo da simetria do espelho. De fato, os espaços não-arquimedenos aparecem
naturalmente no estudo da simetria do espelho através de um processo conhecido como degeneração dos espaços.
Pode-se pensar na degeneração como bater um grande espaço complicado em pedaços menores e mais simples. O
parâmetro para a degeneração torna-se um número não-arquimedeano, e o processo de degeneração dá origem a
um espaço não-arquimede. No entanto, a maioria dos pesquisadores não estava interessada em aplicar métodos
não-arquimerenos para curvar problemas de contagem porque a geometria não-arquimediana era considerada
exótica e difícil. Minha pesquisa tem explorado essa direção nos últimos anos, e acabou sendo uma experiência
gratificante.
Contando curvas não-arquimedianas
em simetria de espelhoCrédito: Tony
Yue Yue
4/4
Eu pretendo desenvolver ainda mais essa abordagem não-arquimediana e espero fazer novas contribuições para a
base matemática da simetria espelhada. Também é importante comparar este trabalho com métodos estudados por
outros pesquisadores. Enquanto a simetria do espelho revolucionou completamente o campo da geometria
enumerativa, também estou ansioso para explorar aplicações de simetria de espelho para áreas mais amplas da
geometria algébrica, como a teoria dos módulos e a geometria birracional. Ambos dizem respeito à classificação dos
espaços, e a classificação sempre foi um tema central em diferentes áreas da matemática.
Há mais alguma coisa que você gostaria de acrescentar?
Além de ser a ferramenta indispensável para a ciência e tecnologia, a matemática também é uma arte. Algumas
vezes você ouve uma música e gosta. Math tem muitas surpresas, mas requer anos de treinamento para apreciar
plenamente.
ESCRITE DE PORTA
Guia de viagem de Whitney Clavin
CONTATO
Guia de viagem de Whitney Clavin
(626) 395o-1944
de um
https://undefined/mailto:wclavin@caltech.edu