Matemática-01-Moderna-Plus-0352-0354

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Casos de semelhança de triângulos
Pela definição de semelhança de triângulos é necessário que sejam obedecidas seis condi-
ções: três congruências e três proporcionalidades. Porém, escolhendo adequadamente algumas 
dentre essas seis condições, percebemos que, se elas forem obedecidas, as outras também o 
serão. Qualquer conjunto formado por uma quantidade mínima de condições capazes de garantir 
a semelhança de dois triângulos é chamado de caso de semelhança (ou critério de semelhança). 
A seguir, apresentamos os casos principais.
Exemplo
Os triângulos ABC e PMN são semelhantes, pois a correspondência que associa os vértices 
A, B e C aos vértices P, M e N, respectivamente, é tal que:
• ângulos de vértices correspondentes são congruentes (têm medidas iguais): A & P, B & M e 
C & N;
• lados correspondentes são proporcionais: 
AB
 ____ 
PM
 5 
BC
 ____ 
MN
 5 
CA
 ___ 
NP
 ] 
20
 ___ 
40
 5 
18
 ___ 
36
 5 
32
 ___ 
64
 .
A razão de semelhança k do triângulo ABC para o triângulo PMN é a razão entre a medida de 
um lado do triângulo ABC e a medida do lado correspondente no triângulo PMN, nessa ordem, 
isto é: 
AB
 ____ 
PM
 5 
BC
 ____ 
MN
 5 
CA
 ___ 
NP
 5 k ] 
20
 ___ 
40
 5 
18
 ___ 
36
 5 
32
 ___ 
64
 5 
1
 __ 
2
 . isso significa que cada lado do triângulo ABC 
mede metade da medida do lado correspondente no triângulo PMN. 
Analogamente, a razão de semelhança do triângulo PMN para o triângulo ABC é dada por
 
40
 ___ 
20
 5 
36
 ___ 
18
 5 
64
 ___ 
32
 5 
2
 __ 
1
 , o que significa que cada lado do triângulo PMN mede o dobro da medida do 
lado correspondente no triângulo ABC.
Caso AA (ângulo-ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois ângulos respectivamente con-
gruentes.
A
C
D
E FB
B & E
C & F
 [ :ABC 8 :DEF
Caso LAL (lado-ângulo-lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois lados, respectivamente, propor-
cionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes.
A
C
D
E FB
 
AB
 ___ 
DE
 5 
BC
 ___ 
EF
 
B & E
 [ :ABC 8 :DEF
Caso LLL (lado-lado-lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm os três lados, respectivamente, pro-
porcionais.
A
C
D
E FB
 
AB
 ___ 
DE
 5 
BC
 ___ 
EF
 5 
AC
 ___ 
DF
 [ :ABC 8 :DEF
B
C
A
35°
32
18
20
32°
113°
M
P N
32° 35°
64
3640
113° EXERCÍCIO REsOlvIdO
EXERCÍCIOs pROpOstOs
340
C
a
p
ít
u
lo
 1
0
 • 
G
e
o
m
e
tr
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n
a
R
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C
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 L
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10
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fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 10.indb 340 03.08.10 13:13:02
10 Determinar a medida do lado AB do triângulo ABC abaixo, sabendo que BAC & DBC.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
 Separando os triângulos ABC e BDC e observando que BAC & DBC e BCA & BCD (C é ângulo comum 
aos dois triângulos), concluímos que :ABC 8 :BDC, pelo caso AA. Marcando os ângulos congruentes 
com o mesmo número de arquinhos, temos os triângulos abaixo.
D 3 cmA
B
C
x 6 cm
4 cm
A
B
D C
B
C
6
4
3
6x
 Fazendo a proporção entre os lados correspondentes, temos:
 x __ 
4
 5 6 __ 
3
 ] x 5 8
 Logo, o lado AB mede 8 cm.
26 No triângulo ABC abaixo, o segmento ED é paralelo 
a BC. Determine as medidas AE e AD.
27 Na figura abaixo, AB/DE. Determine as medidas 
x e y.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 16 e 32 a 34.
A
B
E D
C
6
9
18
12
A B16
y
x8
21 12
D E
C
28 (Unir-RO) Na figura, tem-se DAB & DBC. A medida 
x é:
5
x
D
C B
A
10
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
341
S
e
ç
ã
o
 1
0
.2
 • 
Te
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 T
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u
ra
s
CAP 10.indb 341 03.08.10 13:13:04
 Cálculo da razão de semelhança de dois triângulos
Conforme já definimos, a razão de semelhança entre dois triângulos é a razão entre dois lados 
correspondentes, em determinada ordem. Demonstra-se que essa razão pode ser calculada como 
a razão entre dois segmentos correspondentes quaisquer nos dois triângulos: alturas, medianas, 
bissetrizes etc. A seguir, vamos demonstrar esse fato em relação às alturas correspondentes 
de dois triângulos semelhantes.
demonstração
Consideremos que :ABC 8 :DEF.
A
C
D
E FB
A razão de semelhança do triângulo ABC para DEF é o número k tal que:
k 5 
AB
 ___ 
DE
 5 
BC
 ___ 
EF
 5 
AC
 ___ 
DF
 (i)
Traçando as alturas correspondentes AH e DI, concluímos, pelo caso AA, que os triângulos ABH e 
DEI são semelhantes:
A
C
D
E
IH
FB
logo, temos:
 
AH
 ___ 
DI
 5 
AB
 ___ 
DE
 (ii)
em (i), observamos que 
AB
 ___ 
DE
 5 k; logo, de (ii), podemos concluir que 
AH
 ___ 
DI
 5 k, ou seja, a razão entre
as alturas correspondentes AH e DI é a razão de semelhança entre os triângulos.
De maneira análoga, podemos demonstrar que a razão de semelhança se mantém para dois com-
primentos correspondentes quaisquer: medianas, bissetrizes, perímetros etc.
11 Um projetor, colocado a 9 m de distância de uma 
tela, projeta um retângulo de altura 6 m. A que 
distância da tela deve ser colocado o projetor para 
que o retângulo projetado tenha 2 m de altura?
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
 Sendo d a distância procurada, esquematizamos:
9 m
6 m 2 m
6 2
9
A
B
C
D E
F
G
Hd
 Temos: :ABC 8 :EFG, e a razão de semelhança é 
a razão entre dois comprimentos correspondentes 
quaisquer. Assim:
 BC ___ 
FH
 5 AD ____ 
EG
 ] 6 __ 
2
 5 9 __ 
d
 
} 6d 5 18 ] d 5 3
 Logo, a distância entre o projetor e a tela deve ser 3 m.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
342
C
a
p
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 1
0
 • 
G
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m
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98
.
CAP 10.indb 342 03.08.10 13:13:05