Matemática - Teórico_VOLUME5

Prévia do material em texto

VIVENCIANDO
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO 
INCIDÊNCIA DO TEMA 
NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁREAS DE 
CONHECiMENTO DO ENEM
TEORIA
MULTiMÍDiA
CONEXÃO ENTRE DiSCiPLiNAS
DiAGRAMA DE iDEiAS
HERLAN FELLiNi
Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclu-
siva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. 
O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. 
O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de 
forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo 
complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. 
A seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidado-
sa seleção de conteúdos multimídia para complementar o reper-
tório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreen-
são, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o apro-
fundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, 
imagens, artigos e até sugestões de aplicativos que facilitam os 
estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades 
de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno.
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreen-
são de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos 
temas para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. 
Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvol-
vida a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há 
uma preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato 
em seu dia a dia.
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resol-
vê-las com tranquilidade.
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em 
suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aqueles 
que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio de 
esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da 
aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos princi-
pais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organização dos 
estudos e até a resolução dos exercícios.
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Mate-
mática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com 
essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do 
dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, 
sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o aluno consegue 
entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz 
parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compila-
dos, deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e co-
mentados, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difí-
cil compreensão torne-se mais acessível e de bom entendimento 
aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, 
a qualquer momento, as explicações dadas em sala de aula.
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2021
Todos os direitos reservados.
Autores
Herlan Fellini
Pedro Tadeu Vader Batista
Vitor Okuhara
Diretor-geral
Herlan Fellini
Diretor editorial
Pedro Tadeu Vader Batista 
Coordenador-geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica
Hexag Sistema de Ensino
Editoração eletrônica
Felipe Lopes Santos
Leticia de Brito Ferreira
Matheus Franco da Silveira
Projeto gráfico e capa
Raphael de Souza Motta
Imagens
Freepik (https://www.freepik.com)
Shutterstock (https://www.shutterstock.com)
ISBN:978-65-88825-70-9
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legis-
lação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do 
qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição para 
o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e 
localizar os titulares dos direitos sobre as imagens publicadas e estamos à disposição 
para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para 
fins didáticos, não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou 
empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2021
Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino.
Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP
CEP: 04043-300
Telefone: (11) 3259-5005
www.hexag.com.br
contato@hexag.com.br
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
GEOMETRIA ESPACIAL E ANALÍTICA
Aulas 35 e 36: Função inversa e paridade 6
Aulas 37 e 38: Noções de sequência e progressão aritmética 12
Aulas 39 e 40: Progressão geométrica e sua interpolação 19
Aulas 41 e 42: Problemas envolvendo PA e PG 28
Aulas 43 e 44: Introdução aos números complexos 38
Aulas 35 e 36: Combinação simples 46
Aulas 37 e 38: Binômio de Newton e triângulo de Pascal 53
Aulas 39 e 40: Probabilidade: adição 61
Aulas 41 e 42: Probabilidade condicional 68
Aulas 43 e 44: Estatística 78
Aulas 35 e 36: Esferas 100
Aulas 37 e 38: Inscrição e circunscrição de sólidos 106
Aulas 39 e 40: Geometria analítica: distância e ponto médio 109
Aulas 41 e 42: Geometria analítica: inclinação da reta e coeficiente angular 118
Aulas 43 e 44: Geometria analítica: posição relativa e perpendicularismo 125
SUMÁRIO
UFMG
Questões sobre função inversa e composta 
aparecem com grande incidência na prova.
A prova apresenta questões de elevado grau 
de dificuldade sobre os temas abordados 
neste livro.
A prova apresenta questõesmuito bem 
elaboradas. O candidato deve unir os conheci-
mentos passados com os conceitos abordados 
neste livro.
O candidato deve esperar uma questão 
contextualizada com elevado grau para pro-
gressões geométricas e aritméticas. Números 
complexos podem aparecer de forma direta 
em suas questões.
A prova apresenta questões elaboradas 
com boa interpretação de texto na parte de 
progressões. O candidato deve se atentar à 
introdução dos números complexos, para unir 
com o conhecimento abordado nas próximas 
aulas.
Esse vestibular procura elaborar questões de 
alto nível para seus candidatos, em todos os 
temas deste livro.
Os temas que mais aparecem na prova são as 
progressões e os números complexos.
A prova do Enem possivelmente apresentará 
questões contextualizadas sobre progressões 
aritméticas e geométricas. Funções inversas e a 
base dos números complexos são temas com 
baixa incidência na prova.
A prova apresenta questões tanto na primeira 
quanto na segunda fase sobre os temas aborda-
dos neste livro. O candidato deverá reconhecer 
diversos campos da Matemática em questões 
de PA e PG.
A prova pode apresentar questões de médio e 
alto graus de dificuldade para seus candidatos, 
em todos os temas deste livro.
Nesse vestibular, o candidato deve estar 
atento às questões de progressão aritmética. 
A prova possui grande objetividade e é muito 
bem elaborada por sua banca.
A prova abordará os temas deste livro com 
questões medianas e fáceis. O candidato deve 
se atentar aos problemas contextualizados de 
progressões.
Podemos encontrar questões com mais de 
um tema neste vestibular. O candidato deve 
relembrar conceitos dos livros antigos e aliar 
aos temas deste caderno.
Números complexos e funções inversas são 
temas com elevado índice de aplicação neste 
vestibular.
A prova exige dos candidatos uma boa inter-
pretação dos problemas. Visto isso, questões 
sobre a soma de progressões aritméticas e 
geométricas são possíveis de aparecer.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS
 6
1. Função inversa
1.1. Definição
É denominada função inversa da função bijetora f: A → B a 
função f –1: B → A, em que os elementos de todos os pares 
ordenados da função f trocam de posição:
f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
f -1 = {(2,1), (4,2), (6,3)}
No exemplo, é possível observar que a função f associa 
cada valor de seu domínio ao seu respectivo dobro no 
contradomínio. Por outro lado, a função f –1 associa cada 
valor de seu domínio à respectiva metade do seu con-
tradomínio.
Observe as funções f e g de domínio real dadas por f(x) = 
3x e g(x) = x __ 
3
 , sendo que g(x) é a função inversa de f(x).
Inicialmente, são dados alguns valores para x e determina-
das suas imagens pela função f, formando pares ordenados 
(x, f(x)):
x f(x)
par ordenado 
(x, f(x))
–5 3 · (–5) = –15 (–5, –15)
0 3 · 0 = 0 (0, 0)
1 3 · 1 = 3 (1, 3)
Em seguida, tomam-se os valores obtidos como ima-
gens pela função f e determinam-se as suas imagens 
pela função g:
x f(x)
par ordenado 
(x, g(x))
–15 − 15 ___ 
3
 = –5 (–15, –5)
0 0 __ 
3
 = 0 (0, 0)
3 3 __ 
3
 = 1 (3, 1)
Nesse caso, afirma-se que g é a função inversa da função f 
e é representada por g(x) = f –1 (x).
Assim, se f(x) = 3x, f –1(x) = x __ 
3
 .
Observe que f –1(x) “desfaz” a transformação feita por f(x). 
Dessa forma, segue que:
f[f –1(x)] = f o f –1 = x
Ou seja, a composta de f em f –1 é sempre x. Observe um 
exemplo:
f(x) = 2x – 1 _____ 
3
 e f –1(x) = 3x + 1 _____ 
2
 
Calculando f[f –1(x)], tem-se:
f[f –1(x)] = 
2 ( 3x + 1 _____ 
2
 ) – 1 
 ___________ 
3
 = 3x + 1 – 1 ________ 
3
 = 3x __ 
3
 = x
Na função f considerada, é possível destacar duas caracte-
rísticas importantes:
 § o contradomínio de f coincide com sua imagem, isto é, 
todo elemento do contradomínio é correspondente de 
algum elemento do domínio (f é sobrejetora);
 § cada elemento do contradomínio de f é imagem de um 
único elemento do domínio (f é injetora);
 § É necessário que a função satisfaça essa duas condi-
ções para que ela seja invertível, ou seja, possua in-
versa. As funções que satisfazem essas duas condições 
são denominadas funções bijetoras. Portanto, ape-
nas as funções bijetoras possuem inversa.
Observe a seguir uma função que não é bijetora.
Seja a função real f(x) = x2 – 2.
FUNÇÃO INVERSA 
E PARIDADE
HABILIDADES: 19, 20 e 21
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 35 e 36
 7
Considere os elementos x = 3 e x = –3 do domínio de f :
x = 3 ⇒ f(3) = 7 (3, 7)
x = –3 ⇒ f(–3) = 7 (–3, 7)
Essa não é uma função bijetora, pois o elemento 7 do con-
tradomínio de f é imagem de dois elementos, 3 e -3, do seu 
domínio. Caso essa função possuísse inversa g, o elemento 
7 possuiria duas imagens (3 e -3), e, como foi visto, para 
uma relação ser função, é necessário que cada elemento 
do domínio tenha uma única imagem.
Assim, a função real f(x) = x2 – 2 não possui inversa.
1.2. Determinando a função inversa
Para se obter a inversa de uma função (caso a função 
admita inversa, isto é, seja bijetora), deve-se proce-
der da seguinte maneira:
 § Troca-se x por y e y por x.
 § Coloca-se o novo y em função do novo x.
Modelos:
1. Obter a lei da função inversa da função f dada por 
y = x + 2.
y = x + 2
↓   ↓
x = y + 2 → trocando y por x e x por y
y = x – 2 → isolando y
Assim, y = x – 2 é a lei da função inversa da função dada 
por y = x + 2.
2. Se g(x) = 2x + 1 e f[g(x)] = 4x² + 1, encontre a função f(x).
Se for calculada g –1(x), é possível utilizá-la para encontrar 
f(x) usando a propriedade g[g –1(x)] = x:
g(x) = y = 2x + 1
Trocando x por y e isolando y, tem-se:
x = 2y + 1 y = x – 1 ____ 
2
 
Assim, g –1(x) = x − 1 _____ 
2
 
Então, utiliza-se g –1(x) em f[g(x)], substituindo x por g –1(x):
f[g(x)] = 4x2 + 1
f [ g ( g–1(x) ) ] = 4 [ g–1(x) ] 2 + 1
 x – 1 ____ 
2
 x
f(x) = 4 ( x – 1 ____ 
2
 ) 
2
 + 1
f(x) = 4 x
2 – 2x + 1 _________ 
4
 + 1 = x2 – 2x + 2
3. Encontre a função inversa f-1(x) sendo f(x) = 3x -1 ____ 
2
 
Também é possível encontrar a função inversa de uma fun-
ção afim montando uma tabela de operações e fazendo 
a inversa de cada operação. Na função f(x) = 3x - 1 _____ 
2
 , se 
for calculado, por exemplo, f(5), a primeira operação será 
a multiplicação por 3; em seguida, deve-se subtrair de 1 
e, por fim, dividir por 2. Para encontrar a inversa, deve-se 
partir da variável x realizando as operações inversas (a ope-
ração inversa da soma é a subtração, e a da multiplicação é 
a divisão) a partir da última operação.
Multiplicação 
por 3
Subtração 
por 1
Divisão 
por 2
x 3x 3x-1 3x - 1 _____ 
2
 
Multiplicação 
por 2
Adição por 1 Divisão 
por 3
x 2x 2x+1 2x + 1 _____ 
3
 
Assim, f -1(x) = 2x + 1 _____ 
3
 .
Se f admite inversa, afirma-se que f é invertível. Nesse caso, 
a função inversa é única.
Observe que o gráfico de f –1 é obtido a partir do gráfico de 
f por simetria em relação à reta y = x (função identidade).
Notas
 § As transformações feitas pela função f são des-
feitas pela função f -1.
 § O contradomínio de f é igual ao domínio de f –1.
 § O domínio de f é igual ao contradomínio de f –1.
Pela simetria do gráfico em relação à reta y = x, é 
possível observar por que uma função não bijetora não 
é invertível.
 8
Observe o gráfico da função f(x) = x² + 2, com f: R → R e 
a figura simétrica em relação à reta y = x:
Note que f(x) não é injetora (pois, para valores diferentes de 
x, associa-se um mesmo valor de f(x), como f(-1) = 3 e 
f(1) = 3). A função f(x) também não é sobrejetora, pois seu 
contradomínio é R, e seu conjunto imagem é {x [ R | x > 2} .
Perceba que a figura formada não representa uma fun-
ção, pois, para um mesmo valor de x > 2, tem-se associa-
dos dois valores distintos de f(x). Observe também que, se 
f possuísse inversa, seu domínio seria R (pois o contrado-
mínio de f é R), o que também não é compatível com a 
definição de função, dado que uma funçãodeve associar 
todos os valores de seu domínio a pelo menos um valor do 
contradomínio – o que não é verdade, pois para x < 2 não 
há valores associados.
2. Função par
Dada uma função f(x), uma função é denominada par se, 
para qualquer x no domínio de f, tem-se f(x) = f(–x).
Como consequência, toda função par apresenta simetria 
em relação ao eixo 0y:
Modelos:
1. f(x) = x² 
Para verificar se uma função é par, deve-se comparar f(x) e f(-x):
f(–x) = (–x)² = x²
Assim, f(–x) = f(x); portanto, a função é par.
Observe o gráfico da função f(x) = x²:
 9
Note que, para todo x, seu oposto –x apresenta a mesma 
imagem f(x):
f(1) = f(-1) = 1
f(2) = f(-2) = 4
f(3) = f(-3) = 9
2. f(x) = x4 – 5x² + 4
Calculando f(-x), tem-se:
f(–x) = (–x)4 – 5(–x)² + 4 = x4 – 5x² + 4
Assim, f(–x) = f(x); portanto, a função é par. O gráfico da 
função é:
3. f(x) = x² + x – 4
Verificando se a função é par:
f(–x) = (–x)² + (-x) – 4
f(–x) = x² – x – 4 
Observe que, nesse caso, f(–x) Þ f(x); portanto, a função 
não é par.
3. Função ímpar
Dada uma função f(x), uma função é denominada ímpar 
se, para qualquer x no domínio de f, tem-se f(–x) = –f(x).
Como consequência, toda função ímpar apresenta sime-
tria em relação à origem:
Modelos:
1. f(x) = x³
Para verificar se a função é ímpar, deve-se comparar f(–x) 
com –f(x):
f(–x) = (–x)³ = –x³
f(–x) = –f(x) = –x³
Como f(-x) = - f(x), a função é ímpar. Observe o gráfico 
da função f(x) = x³:
2. f(x) = 1 __ x 
Calculando f(–x), tem-se:
f(–x) = 1 __ –x = – 1 __ x 
Assim, f(-x) = -f(x); portanto, a função é ímpar. Observe 
o gráfico:
3. f(x) = 3x³ - x
Calculando f(-x) e –f(x), tem-se:
f(–x) = 3(–x)³ – (–x) = –3x³ + x
–f(x) = –(3x³ – x) = –3x³ + x
Como f(-x) = -f(x), a função é ímpar.
 10
DIAGRAMA DE IDEIAS
Aplicação do conteúdo
1. Se f(x) é uma função par e g(x) é uma função ímpar, 
analise a paridade das funções a seguir:
a) h(x) = f(x)g(x)
b) fog(x)
Resolução:
a) Fazendo x = -x, tem-se:
f(-x) = f(x), pois é par
g(-x) = -g(x), pois é ímpar
Assim:
h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -h(x)
Como h(-x) = -h(x), h(x) é ímpar pela definição.
b) fog(x) = f(g(x))
Fazendo x = -x:
g(-x) = -g(x), pois é ímpar
fog(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)), pois f(x) é par
Assim:
fog(-x) = f(g(x)) = fog(x)
Portanto, fog(x) é par.
DETERMINAÇÃO DA 
FUNÇÃO INVERSA
DEFINIÇÃO
FUNÇÃO INVERSA
CARACTERÍSTICAS
CONTRADOMÍNIO DE f É 
IGUAL AO DOMÍNIO DE f -1
O DOMÍNIO DE f É IGUAL AO 
CONTRADOMÍNIO DE f -1
APENAS FUNÇÕES BIJETORAS 
POSSUEM FUNÇÃO INVERSA
TROCA-SE X POR Y E Y POR X
COLOCA-SE O NOVO Y EM 
FUNÇÃO DO NOVO X
CONTRADOMÍNIO DE f CONCIDE COM 
SUA IMAGEM SOBREJETORA
CADA ELEMENTO DO CONTRADOMÍ-
NIO DE f É A IMAGEM DE UM ÚNICO 
ELEMENTO DO DOMÍNIO INJETORA
1 2
f
FUNÇÃO f: A B
FUNÇÃO INVERSA f -1: B A
A B
f
f
f -1
f -1
f -1
2 4
3 6
 11
−x2 −x1 x1 x2
f(x1) = f(–x1)
f(x2) = f(–x2)
TODA FUNÇÃO PAR APRESENTA 
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO 0y
f (x2)
f (−x1) = −f (x1)
f (−x2) = −f (x2)
f (x1)
−x2
−x1
x1 x2
TODA FUNÇÃO ÍMPAR APRESENTA 
SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM
FUNÇÃO ÍMPAR FUNÇÃO PAR
PARA QUALQUER x NO DOMÍNIO 
DE f, TEMOS f (−x) = −f (x)
PARA QUALQUER x NO DOMÍNIO 
DE f, TEMOS f (x) = f (−x)
 12
Por outro lado, a sequência dos números naturais menores 
do que 6 é um conjunto finito:
(0, 1, 2, 3, 4, 5)
Em geral, o primeiro termo de uma sequência é represen-
tado por a1, o segundo, por a2, e assim sucessivamente. 
Quando a sequência possui n termos, tem-se:
(a1, a2, a3, a4, ... , an-2, an-1, an)
Observe que o subscrito representa a posição do termo 
da sequência:
a1 = 1.º termo;
a2 = 2.º termo;
a3 = 3.º termo;
...
an = “n-ésimo” termo.
1.1. Determinação dos termos 
de uma sequência
Com o objetivo de descrever uma sequência, em vez de 
escrevê-la de forma explícita, pode-se utilizar uma lei de 
formação, isto é, uma expressão matemática que permite 
determinar qualquer termo da sequência. Há principalmen-
te duas formas de lei de formação de uma sequência: a 
fórmula em função da posição e a fórmula de re-
corrência.
 § Em função da posição: quando uma fórmula per-
mite calcular qualquer termo an em função de sua 
posição n.
Aplicação do conteúdo
1. Determine os cinco primeiros termos da sequência 
definida pela seguinte fórmula de formação:
an = 2n + 1, n ∈ N*
Resolução:
Observe que “n” representa a posição de um determinado 
termo an da sequência. Ou seja, para determinar o 1.º ter-
mo, deve-se substituir n por 1, e assim por diante:
1.º termo: a1 = 2 · 1 + 1 = 3
2.º termo: a2 = 2 · 2 + 1 = 5
3.º termo: a3 = 2 · 3 + 1 = 7
4.º termo: a4 = 2 · 4 + 1 = 9
5.º termo: a5 = 2 · 5 + 1 = 11
Assim, a sequência pedida é: (3, 5, 7, 9, 11).
NOÇÕES DE 
SEQUÊNCIA E 
PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 37 e 38
1. Noções de sequência e 
progressão aritmética
Um conjunto ordenado de elementos é chamado de 
sequência. No cotidiano ocorrem diversos exemplos de 
sequência:
 § dias da semana: (domingo, segunda-feira, terça-fei-
ra, ... , sábado);
 § meses do ano: (janeiro, fevereiro, março, ... , dezembro);
 § anos bissextos de 2000 a 2020: (2000, 2004, 2008, 
2012, 2016, 2020).
Observe a seguinte sequência que representa os primeiros 
10 números primos ordenados de maneira crescente:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)
É possível notar que o elemento 2 é o primeiro termo 
da sequência, enquanto o 3 é o segundo termo, e assim 
sucessivamente:
1.º termo: 2
2.º termo: 3
3.º termo: 5
...
10.º termo: 29
Uma sequência pode ser finita ou infinita. A sequência 
que representa os números naturais, por exemplo, é um 
conjunto infinito:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... )
 13
2. Dada a sequência definida pela lei de formação 
an = 5n – 7, n ∈ N*, faça o que se pede em cada item:
a) Determine o vigésimo termo da sequência.
Resolução: Pede-se o termo a20 de posição n = 20; 
portanto:
a20 = 5 · 20 – 7 = 93
b) Determine se o número 43 faz parte da sequência.
Resolução: Como n deve ser um número natural, an é 
substituído por 43; em seguida, deve-se analisar:
43 = 5n – 7 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, 43 faz parte da sequência, sendo o décimo termo.
c) Determine se o número 66 faz parte da sequência.
Resolução: De modo semelhante ao item anterior, an é 
substituído por 66:
66 = 5n – 7 ⇒ 5n = 73 ⇒ n = 73 ___ 
5
 
Como 73/5 ∉ N*, o número 66 não pertence à sequência an.
 § Pela fórmula de recorrência: quando se expressa 
um termo an qualquer da sequência em função do termo 
imediatamente anterior an-1, dado o primeiro termo a1.
Aplicação do conteúdo
1. Determine os quatro primeiros termos da sequência 
Resolução: 
Observe que, quando ocorre a fórmula de recorrência, não 
é possível determinar de imediato qualquer termo da se-
quência, diferentemente da lei de formação em função da 
posição. É preciso calcular cada termo na sequência:
1.º termo: a1 = 3
2.º termo: a2 = a1 + 5 = 3 + 5 = 8
3.º termo: a3 = a2 + 5 = 8 + 5 = 13
4.º termo: a4 = a3 + 5 = 13 + 5 = 18
Assim, os quatro primeiros termos são
(3, 8, 13, 18).
2. Uma famosa sequência matemática é definida pela 
sua fórmula de recorrência – a sequência de Fibonacci. 
Ela pode ser definida como se mostra a seguir:
Fn = 
F1 = 1, F2 = 1
Fn = Fn–1 + Fn-2', n ∈ N*
Determine os seis primeiros termos da sequência.
a1 = 3
an = an–1 + 5, onde n ∈ N*
Resolução: 
Observe que a expressão Fn = Fn–1 + Fn–2 indica que um 
termo qualquer Fn da sequência é dado pela soma dos seus 
dois termos imediatamente anteriores, Fn–1 e Fn–2. É preciso 
determinar os termos da expressão:
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3
F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8
Continuando o processo, tem-se:
(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...)
2. Progressão aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é um tipo especial de sequên-
cia, isto é, nem toda sequência é uma PA. 
2.1. Definição
Uma progressão aritmética é uma sequência definida por: 
a1 = k
an = an–1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2,
Em que k ∈ R é o primeiro termoda sequência, e r ∈ R 
é a razão da PA. Essa definição por recorrência determina 
que um termo qualquer an da sequência é igual à soma do 
termo imediatamente anterior com um valor real r.
Da definição, tem-se:
an = an–1 + r ⇒ r = an – an–1
Portanto, em uma PA:
A diferença entre um termo qualquer e seu antecessor 
é sempre constante e igual à razão r.
Observe a sequência a seguir:
Trata-se de uma PA, pois a diferença entre dois termos con-
secutivos é sempre igual:
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 5 – 3 = 2
...
 14
a7 – a6 = 13 – 11 = 2
Assim, a razão r da PA é igual a 2. 
Observe alguns exemplos de PA:
 § (0, 5, 10, 15, 20, 25) a1 = 0 r = 5
 § ( 1 __ 
2
 , 1, 3 ___ 
2
 , 2, 5 ___ 
2
 , 3, 7 ___ 
2
 ) a1 = 1 __ 
2
 r = 1 __ 
2
 
 § (100, 80, 60, 40, 20) a1 = 100 r = –20
 § (7, 7, 7, 7, 7, 7) a1 = 7 r = 0
De acordo com a razão, é possível classificar as progressões 
aritméticas em três tipos:
 § PA crescente: uma PA é crescente quando a razão r é 
positiva e não nula.
Modelo: (1, 4, 7, 10, 13, 16), em que r = 3.
 § PA decrescente: uma PA é decrescente quando a ra-
zão r é negativa e não nula.
Modelo: (15, 13, 11, 9, 7, 5), em que r = –2.
 § PA constante: uma PA é constante quando a razão r 
é igual a zero.
Modelo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), em que r = 0.
 § Observação: se a sequência (a, b, c) é uma PA de 
razão r, ocorre o seguinte:
b – a = r
c – b = r
b – a = c – b ⇒ 2b = a + c
b = a + c ____ 
2
 
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma PA, o se-
gundo termo é igual à média aritmética entre o pri-
meiro e o terceiro.
Aplicação do conteúdo
1. Determine o valor de x para que a sequência 
( x __ 
2
 – 2, x, 2x – 1 ) seja uma PA.
Resolução: 
Dada uma PA de três termos consecutivos, o termo do 
meio é igual à média aritmética dos outros dois:
X = 
( x __ 
2
 – 2) + (2x – 1)
2
Resolvendo a equação:
2x = x __ 
2
 – 2 + 2x – 1 ⇒ 2x = x __ 
2
 + 2x – 3 ⇒ 
⇒ 4x = x + 4x – 6 ⇒ x = 6
2. Se a sequência (2x, x
2
 __ 
2
 , 3) é uma PA crescente, deter-
mine o valor de x.
Resolução: 
Novamente, tem-se a seguinte propriedade em três termos 
consecutivos de uma PA:
 x
2
 __ 
2
 = (2x) +(3) _______ 
2
 
x2 = 2x + 3 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ 
x1 = –1
x2 = 3
Substituindo os valores obtidos de x na sequência:
 § para x = -1:
 ( 2 · (–1), (–1)2
 ____ 
2
 ,3 ) ⇒ ( –2, 1 ___ 
2
 , 3 ) 
r = 3 – 1 __ 
2
 = 5 __ 
2
 
 § para x = 3:
 ( 2 · (3), (3)2
 ___ 
2
 ,3 ) ⇒  ( 6, 9 ___ 
2
 , 3 ) 
r = 9 __ 
2
 – 6 = – 3 __ 
2
 
Observe que ambas as sequências obtidas são progressões 
aritméticas; no entanto, somente para x = –1 a PA é cres-
cente, pois r = 5 __ 
2
 > 0. Portanto: x = –1.
2.2. Representações especiais
Em alguns casos, é adequado representar uma PA em fun-
ção de sua razão. As representações a seguir são especial-
mente úteis caso o valor da soma S de todos os termos 
envolvidos seja conhecido:
 § Três termos consecutivos de uma PA:
(x – r, x, x + r)
S = (x – r) + x+ (x – r) = 3x
 § Cinco termos consecutivos de uma PA:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
S = (x – 2r) + (x – r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5x
 § Quatro termos consecutivos de uma PA:
Nesse caso, é preciso utilizar uma substituição para garan-
tir a representação simétrica da progressão.
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y)
Em que r = 2y
S = (x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = 4x
Aplicação do conteúdo
1. Um triângulo retângulo, de perímetro igual a 12 cm, 
possui o comprimento e seus lados em progressão arit-
mética. Determine os comprimentos dos lados.
 15
Resolução: 
Como há três termos consecutivos de uma PA, é possível 
representá-los da seguinte maneira:
(x – r, x, x + r)
Representando esquematicamente, tem-se:
Observe que foi atribuído à hipotenusa o comprimento x + 
r; assim, define-se que a progressão aritmética será cres-
cente, pois, em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 
sempre o maior lado. Essa representação é especialmente 
útil quando a soma de todos os termos é conhecida; no 
caso, o perímetro do triângulo:
(x – r) + x + (x + r) = 12
3x = 12
x = 4 cm
Assim, obtém-se um dos lados do triângulo. Aplicando o 
Teorema de Pitágoras, tem-se:
(x – r)2 + x2 = (x + r)2
(4 – r)2 + 42 = (4 + r)2
16 – 8r + r2 + 16 = 16 + 8r + r2
16 = 16r
r = 1 cm
Uma vez que a razão e um dos termos da PA são conheci-
dos, devem ser calculados os termos restantes:
(x – r, x, x + r) ⇒ (4 – 1, 4, 4 + 1) ⇒ (3, 4, 5)
Portanto, os lados do triângulo são: 3 cm, 4 cm e 5 cm.
2. Determine quatro números em progressão aritmética 
crescente, sabendo que sua soma é –2 e a soma de seus 
quadrados é 6.
Resolução: 
Utilizando o artifício sugerido, os dois termos centrais serão 
chamados de x – y e x + y; assim, a razão passa a ser:
(x + y) – (x – y) = x + y – x + y = 2y
Logo, r = 2y.
Portanto, a PA é dada por 
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), com as seguintes condições:
(x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = –2
(x – 3y)2 + (x – y)2 + (x + y)2 + (x + 3y)2 = 6
Efetuando os cálculos, tem-se:
4x = –2
4x2 + 20y2 = 6
4x = –2 ⇒ x = – 1 __ 
2
 
4x2 + 20y2 = 6 ⇒ 4 ( – 1 __ 
2
 ) 
2
+ 20y2 = 6 ⇒
⇒ 1 + 20y2 = 6 ⇒ 20y2 = 5 ⇒ y2 = 1 __ 
4
 ⇒
⇒ y = ± 1 __ 
2
 
Como a PA é crescente, então y é positivo.
Assim, x = – 1 __ 
2
 e y = 1 __ 
2
 . Daí, vem:
x – 3y = – 2; x – y = – 1; x + y = 0; x + 3y = 1
Portanto, a PA é dada por (–2 –1, 0, 1) e sua razão é r = 1.
3. Determine a PA decrescente de três termos, de forma 
que sua soma seja 12 e seu produto seja 28.
Resolução: 
Representando os três termos da PA em função do termo 
central e da razão, tem-se:
(x – r, x, x + r)
(x – r) + x + (x + r) = 12 (I)
(x – r) (x) (x + r) = 28 (II)
Da equação (I), tem-se:
(x – r) + x + (x + r) = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
Substituindo na equação (II):
(x – r) (x) (x + r) = 28 ⇒ (4 – r) (4) (4 + r) = 28
(4 – r) (4 + r) = 7
(42 – r2) = 7
16 – r2 = 7
r2 = 9 ⇒ r = ± 3
Como a PA é decrescente, sua razão deve ser negativa, 
portanto, r = –3.
Assim, a PA procurada é:
(4 – (–3), 4, 4 + (–3))
(7, 4, 1)
2.3. Fórmula do termo geral da PA
O primeiro termo e a razão de uma PA são todos os dados 
necessários para encontrar qualquer termo an da progres-
são. O segundo termo a2 é a soma do primeiro termo a1 
com a razão r:
a2 = a1 + r
 16
O terceiro termo é a soma de a2 com a razão r:
a3 = a2 + r
Como já foi visto, a2 = a1 + r; portanto:
a3 = a1 + r + r ⇒ a3 = a1 + 2r
Assim, é possível escrever:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
...
Observe que, para se obter o sexto termo a6, toma-se a soma 
entre o primeiro termo a1 e (6 – 1)r = 5r. De modo geral, 
pode-se dizer que, em uma progressão aritmética, tem-se:
an = a1 + (n – 1)r
Em que:
 § an é o termo de posição n;
 § a1 é o primeiro termo;
 § n é a posição do termo an;
 § r é a razão.
Caso o objetivo seja relacionar dois termos quaisquer an e 
ap da PA, também é possível utilizar diretamente a relação:
an = ap + (n – p)r
an = a1 + (n – 1)r ⇒ an = a1 + nr – r (I)
ap = a1 + (p – 1)r ⇒ ap = a1 + pr – r (II)
Fazendo (I) – (II):
an – ap = nr – pr
an – ap = (n – p)r
an = ap + (n – p)r
Aplicação do conteúdo
1. Dê a fórmula do termo geral da PA (5, 9,...).
Resolução: 
Na PA dada, tem-se a1 = 5 e r = 4.
Daí:
an = a1 + (n – 1)r = 5 + (n – 1) ∙ 4 = 5 + 4n – 4 = 4n + 1
Assim, a fórmula do termo geral é an = 4n + 1.
2. Qual é o 20.º termo da PA (2, 8,...)?
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
r = 6
n = 20
a20 = a1 + 19r = 2 + 19 . 6 = 116
Assim, a20 = 116.
3. Qual é o 1.º termo de uma PA em que a10 = 39 e r = 4?
Resolução:
Dados: 
a10 = 39
r = 4
n = 10
a10 = a1 + 9r ⇒ 39 = a1 + 9 . 4 ⇒ 
⇒ 39 = a1 + 36 ⇒ a1 = 3
Então, a1 = 3 e a PA é (3, 7, 11,...).
4. Numa PA de 14 termos, o 1.º termo é 2 e o último é 28.
Calcule arazão dessa PA.
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
a14 = 28
n = 14
a14 = a1 + 13r ⇒ 28 = 2 + 13r ⇒ 13r = 26 ⇒ 
⇒ r = 2
Portanto, r = 2 e a PA é (2, 4, 6, 8,..., 28).
5. Quantos elementos tem a PA finita (–2, 3,..., 43)?
Resolução:
Dados: 
a1 = –2
an = 43
r = 5
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 43 = – 2 + (n – 1) · 5 ⇒
⇒ 43 = – 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, a PA dada tem 10 elementos.
6. Numa PA, a10 = –3 e a12 = 11. Calcule o 1.º termo a1 e 
a razão r dessa PA.
Resolução:
a12 = a10 + 2r ⇒ 11 = – 3 + 2r ⇒ r = 7
a12 = a1 + 11r ⇒ 11 = a1 + 11 . 7 ⇒ a1 = –66
Então, a1 = – 66, r = 7 e a PA é 
(– 66, – 59, – 52, – 45,...)
7. Numa PA crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Deter-
mine o 1.º termo a1 e a razão r dessa PA.
 17
Resolução:
a2 = a1 + r
a6 = a1 + 5r
a4 = a1 + 3r
a9 = a1 + 8r
⇒ a2 + a6 = (a1 + r) + (a1 + 5r) 
 ⇒ a2 + a6 = 2a1 + 6r
⇒ a4 + a9 = (a1 + 3r) + (a1 + 8r) 
 ⇒ a4 + a9 = 2a1 + 11r
Resolvendo o sistema a partir dos dados do problema:
2a1 + 6r = 20
2a1 + 11r = 35
–2a1 – 6r = –20 (I)
2a1 + 11r = 35 (II)
⇒
Fazendo (I) + (II), tem-se: 5r = 15 ⇒ r = 3.
Substituindo r = 3 na equação (I):
– 2a1 – 6(3) = – 20 ⇒ 2a1 = 20 – 18 ⇒
⇒ a1 = 2 __ 
2
 ⇒ a1 = 1
Assim, a1 = 1 e r = 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13,...).
8. Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1.000?
Resolução:
 § O primeiro número múltiplo de 8 e maior do que 100 
é 104.
 § O último número múltiplo de 8 e menor do que 1.000 
é 992.
Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1.000 
constituem a PA (104, 112,..., 992)
Nessa PA, tem-se: 
a1 = 104
r = 8
an = 992
Deve-se calcular o número n de termos da PA:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 992 = 104 + (n – 1) 8 ⇒
⇒ 992 = 104 + 8n – 8 ⇒ 
⇒ 8n = 992 – 104 + 8 ⇒ 8n = 896 ⇒ n = 112
Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1.000.
9. Determine o valor de x para que os números x2, (x 
+ 2)2 e (x + 3)2 sejam, nessa ordem, os três primeiros 
termos de uma PA.
Resolução:
Pelo problema, tem-se 
a1 = x2
a2 = (x + 2)2
a3 = (x + 3)2
Como a2 = 
a1 + a3 ______ 
2
 , tem-se:
(x + 2)2 = x
2 + (x + 3)2 
 __________ 
2
 (equação em x)
Resolvendo a equação:
x2 + 4x + 4 = x
2 + x2 + 6x + 9 ____________ 
2
 ⇒
⇒ 2x2 + 8x + 8 = x2 + x2 + 6x + 9 ⇒
⇒ 8x – 6x = – 8 + 9 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1 __ 
2
 
Verificação:
 ( 1 __ 
2
 ) 2, ( 1 __ 
2
 + 2 ) 2, ( 1 __ 
2
 + 3 ) 2 ⇒ ( 1 __ 
2
 ) 2, ( 5 __ 
2
 ) 2, ( 7 __ 
2
 ) 2
PA: ( 1 __ 
4
 , 25 ___ 
4
 , 49 ___ 
4
 ) ; razão: 24 ___ 
4
 = 6
Portanto, o valor procurado é x = 1 __ 
2
 .
10. Um corpo caindo livremente (desprezando-se a 
resistência do ar) tem, no final do primeiro segundo, 
velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final 
do segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro 
segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, 
qual será sua velocidade no final do décimo segundo?
Resolução:
É preciso estabelecer a PA (9,8; 19,6; 29,4;...), na qual 
a1 = 9,8 e r = 9,8, e determinar o termo a10:
an = a1 + (n – 1) r ⇒ a10 = 9,8 + 9 . 9,8 
⇒ a10 = 98 m/s
Assim, no final do décimo segundo, sua velocidade será 
de 98 m/s.
 18
DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
(x - r , x , x + r)
S = x - r + x + x + r = 3x
PA CRESCENTE
r > 0
TERMO GERAL
an = a1 + (n - 1)r
RAZÃO
r = an + 1 - an
TERMO GERAL CONHECENDO 
QUALQUER TERMO
an = ap + (n - p)r
PA DECRESCENTE
r < 0
PA CONSTANTE
r = 0
PARA 4 TERMOS
(x - 3y , x - y , x + y , x + 3y)
Onde r = 2y
S = (x - 3y) + (x - y) + (x + y) + (x + 3y) = 4x
PARA 5 TERMOS
(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
S = (x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5x
 19
1. Progressão geométrica (PG)
Enquanto a população humana cresce em progressão 
geométrica, a produção de alimentos cresce em progres-
são aritmética.
Thomas malThus (economisTa briTânico)
1.1. Introdução
A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada 
pela razão entre seu aumento e seu valor inicial. Dessa for-
ma, uma grandeza que passa do valor a para o valor b tem 
taxa de crescimento relativo igual a b – a _____ a .
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma gran-
deza que passa do valor 5 para o valor 8 é igual a 60%, 
pois 8 – 5 ____ 
5
 = 3 __ 
5
 = 60%.
A seguir, serão tratadas as sequências que variam com taxa 
de crescimento relativo constante. Examine, por exemplo, a 
seguinte situação-problema:
Em 2015, uma empresa produziu 200.000 unidades de 
certo produto. Uma vez que o aumento anual de produção 
foi sempre de 10% em relação ao ano anterior, quantas 
unidades a empresa produziu no período de 2015 a 2020?
O problema deve ser esquematizado da seguinte forma:
 § Produção em 2015 = 200.000
 § Produção em 2016 = produção em 2015 · 1,10 = 
200.000 · 1,10 = 220.000
 § Produção em 2017 = produção em 2016 · 1,10 = 
220.000 · 1,10 = 242.000
 § Produção em 2018 = produção em 2017 · 1,10 = 
242.000 · 1,10 = 266.200
 § Produção em 2019 = produção em 2018 · 1,10 = 
266.200 · 1,10 = 292.820
 § Produção em 2020 = produção em 2019 · 1,10 = 
292.820 · 1,10 = 322.102 
Nessas condições, a produção anual no período será re-
presentada pela sequência (200.000, 220.000, 242.000, 
266.200, 292.820, 322.102).
Nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido a 
partir da multiplicação do termo anterior por um número fixo (no 
caso, 1,10), ou seja, a produção anual teve uma taxa de cresci-
mento relativo constante de 10% em relação ao ano anterior.
Sequências com esse tipo de lei de formação são denomi-
nadas progressões geométricas. No exemplo dado, o valor 
1,10 é chamado de razão da progressão geométrica e 
indicado por q (no exemplo, q = 1,10). Afirma-se que os 
termos dessa sequência estão em progressão geométrica.
1.2. Definição
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números 
não nulos na qual é constante o quociente da divisão de 
cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse 
quociente constante é denominado razão (q) da progres-
são. Ou seja, uma progressão geométrica é uma sequência 
na qual a taxa de crescimento relativo de cada termo para 
o seguinte é sempre a mesma.
Modelos:
1. A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, 
em que o 1.º termo é a1 = 2 e a razão é q = 5. Observe que:
 § a1 = 2; a2 = 10 (2 · 5); a3 = 50 (10 . 5);
a4 = 250 (50 · 5)
250 : 50 = 5; 50 : 10 = 5; 10 : 2 = 5 → quociente 
constante = 5 (razão)
 § A taxa de crescimento relativo de a para b é dada 
por b – a ____ a . Nesse exemplo, i = 10 – 2 _____ 
2
 = 8 __ 
2
 = 4 = 400%. 
Assim, q = 1 + i = 1 + 4 = 5.
 § A sequência (6, –12, 24, –48, 96) é uma PG de cinco 
termos, na qual a1 = 6 e q = –2, pois:
a1 = 6
a2 = –12 [–12 = 6(–2), ou seja, a2 = a1 · (–2)]
a3 = 24 [24 = (–12)(–2), ou seja, a3 = a2 · (–2)]
a4 = −48 [−48 = 24(–2), ou seja, a4 = a3 · (–2)]
a5 = 96 [96 = (–48)(–2), ou seja, a5 = a4 · (–2)]
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 39 e 40
PROGRESSÃO 
GEOMÉTRICA E SUA 
INTERPOLAÇÃO
 20
De modo equivalente:
– 12 : 6 = – 2; 24 : (–12) = –2; 
– 48 : 24 = – 2; 96 : (–48) = –2 
(quociente constante = –2 (razão))
 § Taxa de crescimento relativo
i = –12 – 6 ______ 
6
 = – 18 ___ 
6
 = – 3 = – 300%
Assim, q = 1 + i = 1 + (–3) = –2.
2. A sequência (1, 3, 9, 27, 81,...) é uma PG infinita, na 
qual a1 = 1 e q = 3, pois:
a1 = 1
a2 = 3 (3 = 1 .3, ou seja, a2 = a1 . 3)
a3 = 9 (9 = 3 .3, ou seja, a3 = a2 . 3), etc.
Taxa de crescimento relativo: i = 3 – 1 ____ 
1
 = 2 = 200%
Assim, q = 1 + 2 = 3.
3. A sequência (10, 10, 10) é uma PG de três termos, em 
que o 1.º termo é 10 e a razão é 1, pois:
a1 = 10
a2 = 10 (10 = 10 . 1, ou seja, a2 = a1 . 1)
a3 = 10 (10 = 10 . 1, ou seja, a3 = a2 . 1)
Taxa de crescimento relativo: 
i = 10 – 10 ______ 
10
 = 0 ___ 
10
 = 0%. Assim, q = 1 + 0 = 1.
Notas
1. De modo geral, observa-se que uma sequência (a1, 
a2, a3, ..., an, ...) com a1 ≠ 0 é uma PG derazão q ≠ 
0 quando:
a2 = a1 · q ⇒ 
a2 __ a1
 = q
a3 = a2 · q ⇒ 
a3 __ a2
 = q
a4 = a3· q ⇒ 
a4 __ a3
 = q
...
an = an – 1 · q ⇒ 
a2 __ a1
 = q ⇒ 
an ____ an – 1
 = q
Comparando, tem-se:
 
a2 __ a1
 = 
a3 __ a2
 = 
a4 __ a3
 = ... = 
an ____ an – 1
 = q,
com q = 1 + i, sendo que
i = 
an – an – 1 _______ an – 1
 (an – 1 ≠ 0)
é a taxa de crescimento relativo dos termos.
2. Da definição decorre que, se ar, as e ap estão em 
PG, então:
 
as __ ar
 = 
ap
 __ as
 ⇒ a 2 s = ar · ap
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma pro-
gressão geométrica, o termo do meio é a média geo-
métrica dos outros dois.
Aplicação do conteúdo
1. Verifique se a sequência (5, 15, 45, 135, 405) é uma PG. 
Resolução:
 15 ___ 
5
 = 3 45 ___ 
15
 = 3 135 ___ 
45
 = 3 405 ___ 
135
 = 3
Assim, a sequência é uma PG de razão 3.
2. Determine o 8.º termo de uma PG na qual a4 = 12 e 
q = 2.
Resolução:
Assim:
a8 = a4 · q
4 ⇒ a8 = 12(2)4 ⇒ 
a8 = 12 · 16 ⇒ ⇒ a8 = 192
Portanto, o 8.º termo da PG é 192.
3. A população de um país é atualmente igual a P0 e 
cresce 3% ao ano. Qual será a população desse país da-
qui a t anos?
Resolução:
Como a população cresce 3% ao ano, a cada ano a popu-
lação é 103% da população do ano anterior. Assim, a cada 
ano a população é multiplicada por 103% = 1,03.
Depois de t anos, a população será P0 · (1,03)t.
Nesse caso, tem-se a PG:
P0, P0 . (1,03), P0 . (1,03)2, P0 . (1,03)3, ..., 
P0 . (1,03)t, ... de razão 1,03.
4. Determine o 4.º termo da PG (ab, a3b2, ...), com a ≠ 0 
e b ≠ 0.
Resolução:
a1 = ab
a2 = a3b2 q = 
a2 __ a1
 ⇒ q = a
3b2
 ____ 
ab
 ⇒ q = a2b
Então, tem-se:
 21
Portanto:
a4 = a1 · q · q · q ⇒ a4 = a1 · q
3 ⇒ a4 = ab(a2b)3 ⇒ 
⇒ a4 = ab · a6b3 ⇒ a4 = a7b4
Assim, a4 = a7b4.
5. Um tanque tem capacidade C0 de água. Abrindo-se 
um tampão do tanque, antes cheio de água, o volume 
da água decresce 4% por minuto. Qual será o volume 
de água desse tanque depois de t minutos?
Resolução:
Como o volume diminui 4% por minuto, a cada minuto o 
volume equivalerá a 96% do volume do minuto anterior. 
Assim, a cada minuto que passa, o volume é multiplicado 
por 96% = 0,96. Depois de t minutos, o volume da água 
do tanque será de C0 · 0,96t.
Nesse caso, a PG seria C0, C0 · 0,96, C0 · (0,96)2, C0 · (0,96)3, 
..., C0 · (0,96)t, ... de razão 0,96.
6. Nas progressões geométricas a seguir, qual é a taxa 
de crescimento relativo de cada termo para o seguinte?
a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
Resolução:
Nessa PG, a taxa de crescimento relativo de cada termo 
para o seguinte é de 100%, o que faz com que cada termo 
seja igual a 200% do termo anterior:
 ( 2 – 1 ____ 
1
 = 1 → 100% ) 
b) (100, 70, 49, ...)
Resolução:
Cada termo equivale a 70% do termo anterior. A taxa de 
crescimento relativo de cada termo para o seguinte é de: 
–30% = ( 70 – 100 _______ 
100
 = –30 ____ 
100
 → –30% ) 
7. A sequência ( 1 __ 
2
 , 1 __ 
6
 , ... ) é uma PG infinita. Determine a 
razão dessa PG e a taxa de crescimento dos seus termos.
Resolução:
Tem-se a1 = 1 __ 
2
 e a2 = 1 __ 
6
 
Então:
q = 
a2 __ a1
 ⇒ q = 
 1 __ 
6
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 ⇒ q = 1 __ 
6
 · 2 __ 
1
 = 1 __ 
3
 
Assim, q = 1 __ 
3
 .
Taxa de crescimento: 
i = 
 1 __ 
6
 – 1 __ 
2
 
 _____ 
1/2
 = 
1/2
6
1 − 3
= 
3 31
1 22 = = 
= ~=− 0,666... − 66,66%
1.3. Classificação das 
progressões geométricas
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 § Crescente: a PG é crescente quando q > 1 e os ter-
mos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são 
negativos. Por exemplo:
(2, 6, 18, 54, ...) com q = 3
(–40, –20, –10, –5, ...) com q = 1 __ 
2
 
 § Decrescente: a PG é decrescente quando q > 1 e os 
termos são negativos ou quando 0 < q < 1 e os termos 
são positivos. Por exemplo:
(200, 100, 50, 25, ...) em que q = 1 __ 
2
 
(–4, –12, –36, –108, ...) em que q = 3
 § Constante: a PG é constante quando q = 1. 
Por exemplo: 
(10, 10, 10, ...), em que q = 1
(–5, –5, –5, ...), em que q = 1
 § Alternante: a PG é alternante quando q < 0. 
Por exemplo: 
(4, –8, 16, –32, ...) em que q = – 2
(–81, 27, –9, 3, ...), em que q = – 1 __ 
3
 
FonTe: YouTube
Introdução às progressões geométricas
multimídia: vídeo
1.4. Representações especiais
Como foi visto em PA, também é possível recorrer a algu-
mas representações especiais de PG, principalmente se o 
produto dos termos for conhecido.
As principais são:
 § Três termos em PG: ( x __ q , x, xq ) .
 § Quatro termos em PG: ( x __ 
y3 , 
x _ y , xy, xy3 ) .
Nesse caso, tem-se q = y2.
 § Cinco termos em PG: ( x __ 
q2 , 
x __ q , x, xq, xq2 ) .
 22
Aplicação do conteúdo
1. Três números estão em PG de forma que o produto 
deles é 729 e a soma é 39. Calcule os três números.
Resolução:
Nesse tipo de problema sobre PG com três termos consecu-
tivos, é conveniente representar a sequência na forma ( x __ q , x, 
xq ) , em que o termo médio é x e a razão é q. Assim, tem-se 
o seguinte sistema de equações:
 x __ q · x · xq = 729
 x __ q + x + xq = 39
x3 = 729
 x __ q + x + xq = 39
Da 1.ª equação, tem-se:
x3 = 729 ⇒ x = 3 √
____
 729 ⇒ x = 9
Substituindo na outra equação, tem-se:
 9 __ q + 9 + 9q = 39 ⇒ 9 + 9q + 9q2 = 39q ⇒ 
⇒ 9q2 – 30q + 9 = 0 ⇒
⇒ 3q2 – 10q + 3 = 0; 
D = (–10)2 – 4(3)(3) = 64
q = 10 ± 8 ______ 
6
 ⇒ q’ = 3 e q” = 1 __ 
3
 
Então, para x = 9 e q = 3, tem-se:
1.º número: x __ q = 9 __ 
3
 = 3
2.º número: x = 9
3.º número: xq = 9 · 3 = 27
Para x = 9 e q = 1 __ 
3
 , tem-se:
1.º número: x __ q = 9 __ 
 1 __ 
3
 
 = 27
2.º número: x = 9
3.º número: xq = 9 · 1 __ 
3
 = 3 
Assim, os números procurados são 3, 9 e 27.
2. Fórmula do termo 
geral de uma PG
Em uma progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., 
an, ...) de razão q, partindo do 1.º termo, para avançar um 
termo basta multiplicar o 1.º termo pela razão q (a2 = a1q); 
para avançar dois termos, basta multiplicar o 1.º termo pelo 
quadrado da razão q (a3 = a1q
2); para avançar três termos, 
basta multiplicar o 1.º termo pelo cubo da razão q (a4 = 
a1q
3); e assim por diante. Desse modo, encontra-se o termo 
de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por:
an = a1q
n – 1
(ao passar de a1 para an, avançam (n – 1) termos)
Nessa fórmula:
 § an = termo geral;
 § n = número de termos (até an)
 § a1 = 1.º termo
 § q = razão
Notas
1. Observe que a10 = a3q
7, pois, ao passar de a3 para 
a10, avançam 7 termos; a5 = 
a9 __ 
q4
 , pois, ao passar de 
a9 para a5, retrocedem 4 termos; e assim por diante. 
Dessa forma, é possível estender a definição do termo 
geral para:
an = ak . q
n – k 
(ao passar de ak para an, avançam (n – k) termos)
2. Observe a PG finita (a1, a2, a3, a4). Nela, os termos a2 
e a3 são equidistantes dos extremos a1 e a4. Note que:
a2 · a3 = a1q · a3 = a1 · a3q = a1 · a4
De modo geral, afirma-se que, numa PG finita, o pro-
duto de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual ao produto dos extremos.
Generalizando, tem-se que am . an = ak . ap se m + n 
= p + k.
Em consequência, considerando-se três termos consecu-
tivos (..., ak – 1, ak, ak + 1, ...), segue que a 2 k = ak – 1 . ak + 1, 
pois k + k = k – 1 + k + 1.
3. Muitas vezes, é conveniente colocar o 1.º termo 
como a0, e não a1, ficando o termo geral da PG dado por 
an = a0 · q
n . Por exemplo, se o número de sócios de um 
clube é 2.000 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse 
clube terá em 3 anos?
Tem-se uma PG com a0 = 2.000 e razão
q = 1 + i = 1 + 0,05 = 1,05
Depois de 3 anos, o clube terá:
a3 = a0 · q
3 = 2.000 (1,05)3 = 2.315 sócios.
Aplicação do conteúdo
1. Um moeda, ao ser lançada, apresenta dois resultados 
possíveis: cara ou coroa. Se forem lançadas duas mo-
edas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra 
 23
de R$ 0,50, haverá quatro possibilidades: (cara, cara), 
(cara, coroa), (coroa, coroa) ou (coroa, cara).[...] Qual 
será o total de resultados possíveis se forem lançadas 
8 moedas?
Resolução:
Nessa situação, tem-se PG (2, 4, 8, 16, 32, ...) e procura-se 
o 8.º termo:
an = a1 · q
n – 1; a1 = 2; q = 2
a8 = 2 · 28 – 1 = 2 . 27 = 28 = 256
Assim, quando 8 moedas diferentes são lançadas, tem-se 
256 resultados possíveis.
2. Dê a fórmula do termo geral da PG (2, 4, ...).
Resolução:
Na PG dada, tem-se a1 = 2 e q = 2:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ an = 2 · 2n – 1 ⇒ an = 21 + n – 1 ⇒ 
⇒ an = 2n
Assim, o termo geral da PG dada é an = 2n com n [ N*.
3. Qual é o 7.º termo da PG (2, 6, ...)?
Resolução:
Dados 
a1 = 2
q = 3
n = 7 
a7 = a1 · q
6 ⇒ a7 = 2 · 36 ⇒ a7 = 1.458
Assim, a7 = 1.458.
4. Calcule o 1.º termo de uma PG em que a4 = 375 e q = 5.
Resolução:
Dados: 
a4 = 375
q = 5
n = 4
a4 = a1 · q
3 ⇒ 375 = a1 · 5
3 
 125a1 = 375 ⇒ a1 = 3
Assim, a1 = 3.
5. Numa PG crescente, o 1.º termo é 3 e o 5.º termo é 
30.000. Qual é o valor da razão q nessa PG?
Resolução:
Dados: 
a1 = 3
a5 = 30.000
n = 5
a5 = a1 · q
4 ⇒ 30.000 = 3 · q4 ⇒ 
⇒ q4 = 10.000 ⇒ q = ± 
4
 √
_____
 10000 ⇒ q = ± 10
Então, como a PG é crescente, q = 10.
6. Quantos elementos tem a PG (8, 32, ..., 231)?
Resolução:
Dados: 
a1 = 8
an =231
q = 4
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 231 = 8 · 4n – 1 ⇒ 
231 = 23 · 22n – 2 ⇒ 231 = 23 + 2n – 2 ⇒ 231 = 22n + 1 ⇒ 
⇒ 2n + 1 = 31 ⇒ 2n = 30 ⇒ n = 15
Assim, a PG tem 15 termos.
7. Determine o valor de x, de modo que os números 
x + 1, x + 4 e x + 10 formem, nessa ordem, uma PG.
Resolução:
Como os números dados são três termos consecutivos de 
uma PG, pela definição, tem-se:
(x + 4)2 = (x + 1) (x + 10) ⇒ x2 + 8x + 16 = x2 + 11x + 10 
⇒ 8x – 11x = 10 – 16 ⇒ 
⇒ –3x = –6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 
Assim, o valor procurado é x = 2, e os números são 3, 6 
e 12.
8. Numa PG, tem-se a5 = 32 e a8 = 256. Calcule o primei-
ro termo e a razão dessa PG.
Resolução:
a8 = a5 · q
3 ⇒ 256 = 32q3 ⇒ q3 = 256 ___ 
32
 ⇒ 
⇒ q3 = 8 ⇒ q = 
3
 √
__
 8 ⇒ q = 2
Determinando a1:
a5 = a1 · q
4 ⇒ 32 = a1 · 2
4 ⇒ 32 = a1 · 16 ⇒ ⇒ a1 = 2
Então a1 = 2 e q = 2.
9. Numa PG, a soma do 3.º e do 5.º termo é igual a 360, 
e a soma do 4.º e do 6.º termo é igual a 1.080. Determi-
ne a razão e o 1.º termo dessa PG.
Resolução:
a3 = a1 · q
2
a5 = a1 · q
4
 ⇒ a3 + a5 = a1 . q
2 + a1 + q4 ⇒
⇒ a1(q
2 + q4) = 360 (I)
a4 = a1 · q
3
a6 = a1 · q
5
 ⇒ a4 + a6 = a1 · q
3 + a1 · q
5 
= a1 · q(q2 + q4) = 1080 (II)
Dividindo, membro a membro, (I) e (II), tem-se:
 
a1 (q
2 + q4)
 ___________ 
a1 · q(q2 + q4)
 = 360 ____ 
1080
 ⇒ 1 __ q = 1 __ 
3
 ⇒ q = 3
 24
Calculando a1:
a1 (q
2 + q4) = 360 ⇒ a1 (3
2 + 34) = 360 
⇒ a1 · 90 = 360 ⇒ a1 = 4
Assim, na PG dada, a1 = 4 e q = 3.
10. Suponha que o valor de um carro diminui sempre 
30% em relação ao valor do ano anterior. Sendo V o 
valor do carro no primeiro ano, qual será o seu valor no 
oitavo ano?
Resolução:
Valor no 1.º ano = V
Valor no 2.º ano = 70% de V = 0,7V (diminuição de 30%)
Valor no 3.º ano = 70% de (0,7V) = 0,7 (0,7V) = (0,7)2V
Tem-se, então, uma PG na qual a1 = V e q = 0,7.
Deve-se calcular a8.
an = a1 · q
n – 1 ⇒ a8 = a1 · q
7 ⇒ a8 = V(0,7)7
Assim, o valor do carro no 8.º ano será (0,7)7V.
11. Em uma progressão geométrica, o 4.º termo vale 7 
e o 7.º termo vale 189. Quanto vale o 6.º termo dessa 
progressão?
Resolução:
a7 = a4 · q
3, pois, ao passar do 4.º termo para o 7.º, avan-
çamos três termos. Assim:
189 = 7 · q3 ⇒ q3 = 27 ⇒ q = 3
Analogamente:
a6 = a4 · q
2 ⇒ a6 = 7 · 32 ⇒ a6 = 63 ou
a6 = a7 : q ⇒ a6 = 189 : 3 ⇒ a6 = 63
Portanto, o 6.º termo vale 63.
3. Interpretação 
geométrica de uma PG
Já foi visto que o termo geral de uma progressão ge-
ométrica é dado por an = a1 
. qn – 1 ou por an = a0 
. 
qn, quando a enumeração dos termos é iniciada por a0. 
Nesse caso, é possível pensar em uma progressão geo-
métrica como uma função que associa a cada número 
natural n o valor dado por an = a0 
. qn. Essa função é a 
restrição aos números naturais da função exponencial 
a(x) = a0q
x. O gráfico dessa função é formado por uma 
sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma 
exponencial.
Observe o exemplo de an = a0 · q
n, com a0 = 1 __ 
4
 e q = 3 e o 
esboço do gráfico da função correspondente:
PG ( 1 __ 
4
 , 3 __ 
4
 , 9 __ 
4
 , 27 ___ 
4
 , ... ) 
4. Interpolação geométrica
Considere o seguinte problema:
No primeiro semestre de 2019, a produção mensal de 
uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a produção foi 
de 1.500 unidades e, em junho, foi de 48.000 unidades. 
 25
Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, 
março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG 
em que:
a1 (produção em janeiro) = 1.500
a6 (produção em junho) = 48.000
n = 6
Inicialmente, deve-se calcular o valor da razão q:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 48.000 = 1500 · q5 ⇒ 
⇒ q5 = 32 ⇒ q = 5 √
___
 32 ⇒ q = 2
Então, tem-se:
(1.500, 3.000, 6.000, 12.000, 24.000, 48.000)
Daí, pode-se dizer que:
a2 = produção em fevereiro = 3.000 unidades
a3 = produção em março = 6.000 unidades
a4 = produção em abril = 12.000 unidades
a5 = produção em maio = 24.000 unidades
Na realidade, foi realizada a inserção ou interpolação de 
quatro meios geométricos entre 1.500 e 48.000.
Aplicação do conteúdo
1. Insira três meios geométricos entre 3 e 48.
Resolução:
Para inserir três meios geométricos entre 3 e 48, é preciso 
formar a 
PG (3, ____, ____, ____, 48), na qual:
a1 = 3
n = 2 + 3 = 5 
a5 = 48 
a5 = a1 · q
4 ⇒ 48 = 3q4 ⇒ q4 = 16 ⇒ 
⇒ q = ±4 √
___
 16 ⇒ ⇒ q = ± 2
Assim, tem-se:
 § Para q = 2 a PG (3, 6, 12, 24, 48)
 § Para q = −2, a PG (3, –6, 12, –24, 48)
2. Quantos meios geométricos é preciso inserir entre 1 ___ 
16
 
e 64, de modo que a sequência obtida tenha razão 4?
Dados: 
a1 = 1 ___ 
16
 
an = 64
q = 4
Resolução:
Deve-se, então, calcular n:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 64 = 1 ___ 
16
 · 4n – 1 ⇒
⇒ 43 = 4–2 · 4n – 1 ⇒ 43 = 4n – 3 ⇒ n – 3 = 3 ⇒
⇒ n = 6
Assim, a PG deve ter 6 termos, ou seja, é preciso inserir 4 
meios geométricos.
pt.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduc-
tion-to-geometric-sequences/v/geometric-sequences-
-introduction
multimídia: site
 26
HABILIDADE 21
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
MODELO 1
(Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atra-
ções culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no 
evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.
Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é:
a) 3 × 345.
b) (3 + 3 + 3) × 345.
c) 33 × 345.
d) 3 × 4 × 345.
e) 34 × 345.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos 
sobre progressões geométricas para a sua resolução.
Tem-se aqui uma PG de razão 3 e a1 = 345. É preciso desecobrir o a4.
a4 = a1 ∙ q
(n – 1)
a4 = 345 ∙3(4 – 1)
a4 = 345 ∙ 33
RESPOSTA Alternativa C
ÁREAS DO CONHECIMENTO DO ENEM
 27
DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
 x ____ q , x, xq
PG CRESCENTE
q > 1
termos positivos
ou
0 < q < 1
termos negativos
PG DECRESCENTE
q > 1
termos negativos
ou
0 < q < 1
termos positivos
TERMO GERAL
an = = a1·q
n−1
RAZÃO
q = an ______ an-1
 
TERMO GERAL CONHECENDO 
QUALQUER TERMO
an = ak 
. qn - k
PG CONSTANTE
q = 1
PG ALTERNANTE
q < 0
PARA 4 TERMOS
 x ____ y3 
, x ____ y 
,xy, xy3
*q = y2
PARA 5 TERMOS
 x ____ q2 , 
x ____ q , x, xq, xq2
 28
1. Soma dos termos de uma PA finita 
Na tabela a seguir, é possível observar a produção anual de umaempresa num certo período:
Ano 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Produção (em unidades) 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 22.000 24.000
Quantas unidades a empresa produziu de 2012 a 2019?
Pela tabela, no período de 2012 a 2019, a empresa produziu:
10.000 + 12.000 + 14.000 + 16.000 + 18.000 + 20.000 + 22.000 + 24.000 = 136.000 unidades
Observa-se que:
 § As parcelas formam uma PA finita (razão r = 2.000):
(10.000, 12.000, 14.000, 16.000, 18.000, 20.000, 22.000, 24.000)
 § O número 136.000 representa a soma dos termos dessa PA.
1.1. Fórmula da soma dos termos de uma PA finita
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um matemático alemão. Certo dia, quando Gauss era um estudante de aproximada-
mente 7 ou 8 anos de idade, seu professor, querendo manter o silêncio em sala de aula por um bom tempo, pediu que os 
alunos somassem todos os números de 1 a 100, ou seja, 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100. Para surpresa do professor, Gauss 
disse, depois de alguns minutos, que o resultado da soma era 5.050. Observe seu raciocínio:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 (1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101 etc.)
Ou seja, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 = 5.050, pois a soma 101 ocorre 50 vezes na sequência.
1.2. Fórmula
O procedimento utilizado por Gauss no caso da PA (1, 2, 3, 4 ... 99, 100) vale de modo geral.
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 41 e 42
PROBLEMAS 
ENVOLVENDO PA E PG
 29
Considere a PA finita de razão r (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), 
cuja soma dos seus n termos pode ser escrita por:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an –2 + an – 1 + an = ∑ i = 1 
n (ai) 
Assim, Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an).
 n __ 
2
 parcelas iguais a (a1 + an)
Então:
Sn = 
n(a1 + an) ___________ 
2
 
Essa fórmula permite calcular a soma dos n primeiros ter-
mos de uma PA, em que:
 § a1 é o primeiro termo;
 § an é o enésimo termo;
 § n é o número de termos;
 § Sn é o soma dos n termos.
Nota
A fórmula obtida é equivalente a esta:
Sn = 
n(ap + aq)
 ___________ 
2
 , com p + q = n + 1
Aplicação do conteúdo
1. Retome o problema da produção anual de uma em-
presa apresentado no início desta aula. Resolva-o apli-
cando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita.
Resolução:
Sabe-se que a produção anual nesse período é uma PA na 
qual a1 = 10.000, r = 2.000, n = 8 e an = a8 = 24.000.
Aplicando a fórmula:
Sn = 
n(ap + aq) ________ 
2
 = 8(10000 + 24000) ______________ 
2
 = 136.000
Assim, no período de 2012 a 2019, a empresa produziu 
136.000 unidades.
2. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, 
...). Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam 
uma PA finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n = 50.
Resolução:
Deve-se calcular an (ou seja, a50):
an = a50 = a1 + (n – 1)r ⇒ a50 = 2 + 49(4) ⇒ 
⇒ a50 = 2 + 196 ⇒ a50 = 198
Aplicando a fórmula, tem-se:
Sn = 
(a1 + an)n ________ 
2
 ⇒ S50 = (2 + 198) ⋅ 50 ___________ 
2
 ⇒
⇒ S50 = 5.000
A soma procurada é igual a 5.000.
3. A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1.º 
termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que S10 = 200, a1 = 2 e n = 10.
Deve-se calcular a10 aplicando a fórmula da soma:
Sn = 
10(a1 + a10) _________ 
2
 ⇒ 200 = 
10(2 + a10) ______________ 
2
 ⇒
⇒ 20 + 10a10 = 400 ⇒ 10a10 = 380 ⇒ 
⇒ a10 = 38
Calculando r:
a10 = a1 + 9r ⇒ 38 = 2 + 9r = 36 ⇒ r = 4
Assim, a razão procurada é 4.
4. A soma dos cinco números de uma PA é 295. Determi-
ne o termo do meio.
Resolução:
É possível escrever 5 números em PA assim:
x – 2r, x – r, x, x + r e x + 2r
Somando:
x – 2r + x – r + x + x + r + x + 2r = 295 ⇒
⇒ 5x = 295 ⇒ x = 59
Portanto, o termo do meio é 59.
Nota
Outra maneira de resolver seria utilizando a fórmula:
Sn = 
5(x – 2r + x +2r)
 _____________ 
2
 ⇒ 5 · 2x _____ 
2
 = 295 ⇒ x = 59
5. A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é 3n2, 
qualquer que seja n. Calcule o 5.° termo dessa progressão.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que Sn = 3n2. Então:
Para n = 1: S1 = a1 ⇒ 3n2 = a1 ⇒ 
⇒ 3(1)2 = a1 ⇒ a1 = 3
Para n = 2: S2 = a1 + a2 = 3n2 = 3 + a2 ⇒
⇒ 3(2)2 = 3 + a2 ⇒ a2 = 9
É possível, então, determinar o valor da razão:
r = a2 – a1 = 9 – 3 = 6
 30
Determinando o 5.º termo da PA:
a5 = 3 + (5 – 1) · 6 = 27
Assim, o 5.º termo dessa PA é 27.
6. Determine o valor de x na igualdade 
2 + 7 + ... + 2x = 198, sabendo que as parcelas do 1.º 
membro formam uma PA.
Resolução:
Nessa PA, tem-se Sn = 198, a1 = 2, an = 2x e r = 7 – 2 = 5.
Determinando n em função de x:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 2x = 2 + (n – 1)5 ⇒
⇒ 2x = 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 2x + 3 ⇒ n = 2x + 3 _____ 
5
 
Aplicando a fórmula da soma, tem-se:
Sn = 
n(a1 + an) ________ 
2
 ⇒198 = 
 ( 2x + 3 _____ 
5
 ) (2 + 2x) 
 _____________ 
2
 ⇒
⇒ ( 2x + 3 _____ 
5
 ) (2 + 2x) = 396 ⇒
⇒ 4x + 4x2 + 6 + 6x ______________ 
5
 = 396 ⇒
⇒ 4x2 + 10x + 6 = 1.980 ⇒ 2x2 + 5x – 987 = 0
Resolvendo a equação do 2.º grau:
2x2 + 5x – 987 = 0
D = (5)2 – 4(2) (–987) = 25 + 7.896 = 7.921
x = - 5 ± 89 ______ 
4
 ⇒ x’ = 21 e x” = – 47 ___ 
2
 
Como a PA é crescente, segue que x = 21.
7. Determine o valor de:
a) S = ∑ i = 1 
5 (2i) 
Resolução:
O símbolo Σ significa somatório, isto é, deve-se efetuar a 
seguinte soma:
 ∑ i = 1 
5 (2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 
Observe que o símbolo da somatória ∑ i = 1 
5 (2i) significa que 
serão somados os termos 2i com o valor de i indo de 1 
até n = 5.
b) S = ∑ i = 1 
30 (1 + i) 
Resolução:
S = (1 + 1) + (1 + 2) + ... + (1 + 29) 
+ (1 + 30) = 2 + 3 + ... + 31
Assim, tem-se uma PA em que a1 = 2 e a30 = 31.
Aplicando a fórmula, tem-se:
S = (2 + 31) 30 ___ 
2
 = 495
8. Sabendo que em uma PA a12 vale 13 e a5 vale 7, obte-
nha o valor de a8 + a9.
Resolução:
Deve-se escrever a PA:
(7, a6 , a7, a8 , a9, a10 , a11, 13)
Observe que a8 e a9 são equidistantes dos termos a5 e a12, 
portanto, pela propriedade vista na dedução da fórmula da 
soma, segue que: 
a8 + a9 = a5 + a12 = 20.
2. Progressões aritméticas 
de segunda ordem
Da sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35, ...), pode-se formar 
uma progressão aritmética tomando as diferenças.
3, 5, 7, 9, 11, ...
2.1. Definição
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma se-
quência (an) na qual, tomando-se as diferenças (an + 1 – an) 
entre cada termo e o termo anterior, forma-se uma pro-
gressão aritmética não estacionária.
Assim, a sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35,..., n2 – 1, ...).
2.2. Caracterização
É possível provar que toda sequência na qual o termo 
de ordem n é um produto em n do segundo grau é uma 
progressão aritmética de segunda ordem. Da mesma 
forma, se (an) é uma progressão aritmética de segunda 
ordem, então an é um polinômio do segundo grau em n. 
Assim, se o domínio de uma função quadrática for uma PA, 
então sua imagem será uma PA de segunda ordem.
Aplicação do conteúdo
1. Dada a PA de 2.ª ordem, 4, 7, 12 ,19..., determine o 
polinômio de 2.º grau que expressa o termo geral.
Resolução:
Observe que:
a1 = 4
a2 = 7 = 4 + 3
a3 =12 = 4 + 3 + 5
a4 = 19 = 4 + 3 + 5 + 7
soma dos 3
termos Pa (3, 5 e 7)
 a8 = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15
soma dos 7 termos Pa (3, 5, 7, ...)
 31
an = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ...
soma dos n termos Pa (3, 5, 7, 9, ...)
Assim:
bn-1 = 3 + (n – 1 – 1) . 2 = 3 + 2n – 4 = 
= 2n – 1, em que bn é a PA (3, 5, 7, ..., bn)
Então:
3 + 5 + 7 + ... + bn – 1 = (3 + 2n – 1)(n – 1) ______________ 
2
 
 (2 + 2n)(n – 1) ____________ 
2
 = (n + 1)(n – 1) = n2 – 1
Portanto:
an = 4 + n2 – 1 ⇒ an = n2 + 3
3. Fórmula da soma 
dos n primeiros termos 
de uma PG finita
A soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica (an ) de razão q ≠ 1 é Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 .
3.1. Demonstração
Considere a PG finita (a1, a 2, a3, ..., an – 1, an ), sendo Sn a 
soma de seus termos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + a n (I)
Multiplique os dois membros dessa igualdade pela razão 
q, obtendo:
qSn =a1q
a2

+ a2qa3

+ a3q
a4

+...+an–1q
an

+anq
Ou
qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an + anq (II)
Fazendo (I) – (II), obtém-se:
Sn – qSn = a1 − anq
Como an = a1q
n – 1, então anq = a1q
n – 1 q = a1q
n
Portanto: Sn = a1 · 
1–qn
 ____ 
1 – q
 para q ≠ 1.
Aplicação do conteúdo
1. Uma empresa produziu 10.000 unidades de certo 
produto em 2015. A cada ano, ela produziu 20% a mais 
desse produto em relação ao ano anterior. Quantas uni-
dades desse produto a empresa produziu no período de 
2015 a 2019?
Resolução:
1.ª maneira:
Ano
Produção (em 
unidades)
2015 10.000
2016 12.000 120% de 10.000 = 12.000
2017 14.400 120% de 12.000 = 14.400, etc..
2018 17.280
2019 20.736
No período de 2015 a 2019, a empresa produziu:
10.000 + 12.000 + 14.400 + 17.280 + 20.736 = 74.416 unidades
As parcelas formam uma PG finita de razão q = 1,20.
Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74.416.
2.ª maneira:
Usando a fórmula:
Como se trata uma PG na qual a1 = 10.000, q = 1,20 e 
n = 5, tem-se:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S5 = 10.000 · 1 – (1, 20)5
 _________ 
1 – 1,20
 
= 10.000 · –1,48832 ________ 
–0,20
 = 74.416
Assim, no período de 2015 a 2019, a empresa produziu 
74.416 unidades do produto.
2. Determine a soma:
a) dos dez primeiros termos da PG (3, 6, ...).
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: a1 = 3, q = 2 e n = 10.
Aplicando a fórmula:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S10 = 3 · 1 – 210
 ______ 
1 – 2
 
S10 = 3 · 1 – 1024 _______ 
 –1
 = 3.069
A soma pedida é 3.069.
b) dos termos da PG (2, 22, ..., 210):
Resolução:
Nessa PG, tem-se a1 = 2, q = 2 e n = 10.
S10 = 2 · 1 – 210
 ______ 
1 – 2
 = 2 · 1 – 1024 _______ 
 –1
 = 2.046
3. A soma dos termos de uma PG finita é 728. 
Sabendo que an = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo 
dessa sequência.
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: Sn = 728, an = 486 e q = 3.
 32
Aplicando a fórmula Sn = 
an q – a1 _______ 
q – 1
 para calcular a1:
728 = 
486 · 3 – a1 _________ 
3 – 1
 ⇒ 728 = 
1458 – a1 ________ 
 2
 ⇒
 ⇒ 1.458 – a1 = 1.456 ⇒ a1 = 1.458 – 1.456 ⇒
 ⇒ a1 = 2 
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a1 = 2.
4. Calcule o valor de x na igualdade 
10x + 20x + ... + 1.280x = 7.650, sabendo que os termos 
do 1.º membro formam uma PG.
Resolução:
Nesse caso, a1 = 10x, q = 2, an = 1.280x e Sn = 7.650.
Inicialmente, deve-se determinar n:
1.280x = 10x · 2n – 1 ⇒ 27 = 2n – 1 ⇒ n = 8
Sn = 
a1(q
n – 1)
 _______ 
q – 1
 ⇒ 7.650 = 10x(28 – 1) _________ 
2 – 1
 ⇒ 
⇒ 7.650 = 10x · 255 ⇒ 7.650 = 2.550x ⇒  x = 3
Assim, x = 3.
4. Limite da soma dos 
termos de uma PG infinita
Considere a sequência (an) = ( 1 __ n ) com n [ N*, explicitada 
por:
1, 1 __ 
2
 , 1 __ 
3
 , 1 __ 
4
 , 1 __ 
5
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
7
 , 1 __ 
8
 , 1 __ 
9
 , 1 ___ 
10
 , ..., 1 ____ 
1000
 , ... 1 __ n , ...
Ou em representação decimal:
1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142...; 
0,125; 0,11...; 0,1;...;0,001; ...
Observe que, à medida que n cresce indefinidamente (ten-
dendo ao infinito), o termo an = 1 __ n tende a 0 (zero). Indica-
-se assim:
n → ` ⇒ 1 __ n → 0
Ou:
 lim 
n→`
 1 __ n = 0
 ( Lê-se: limite de 1 __ n quando n tende a infinito é igual a 0. ) 
Nas progressões geométricas em que –1 < q < 1, somente 
nessas condições uma PG infinita converge, ou seja, quando 
n tende a infinito, qn tende a 0. Nesse caso, qn
 aproxima-se 
de zero para n suficientemente grande, ou seja, lim 
n→`
 qn = 0. 
Sabe-se que Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 , q ≠ 1.
Assim, lim 
n→`
 Sn = a1 · 
1 – 0 ____ 
1 – q
 , isto é:
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 , – 1 < q < 1
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o limite da soma dos termos da progressão 
geométrica 1 __ 
2
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
8
 + 1 ___ 
16
 + ... + 1 __ 
2n + ..., n [ N*.
Resolução:
Nesse caso, a1 = 1 __ 
2
 , q = 1 __ 
2
 , sendo:
Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 1 __ 
2
 
 _____ 
1 – 1 __ 
2
 
 = 
 1 __ 
2
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 = 1
Assim, lim 
x→`
 Sn = 1. Isso significa que, quanto maior for n, a 
soma 1 __ 
2
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
8
 + 1 ___ 
16
 + ... + 1 __ 
2n + ... será mais próxima de 1.
Observe adiante uma interpretação geométrica consi-
derando a área da região quadrada a seguir igual a 1. 
Inicialmente, deve-se colorir 1 __ 
2
 dela, depois 1 __ 
4
 , depois 1 __ 
8
 , e 
assim por diante; dessa forma, é possível se aproximar da 
área total da região quadrada, que é 1.
2. Mostre que o limite da soma 0,6 + 0,06 + 0,006 + ..., 
quando o número de parcelas tende a infinito, é igual 
a 2 __ 
3
 .
Resolução:
1.ª maneira:
Somando um número muito grande de termos dessa pro-
gressão geométrica, encontra-se, aproximadamente, a 
dízima periódica 0,6666 ... = 6 __ 
9
 = 2 __ 
3
 .
0,6
0,06
0,006 +
0,0006
0,00006 
0,6666...
2.ª maneira: Calculando o limite.
Nesse caso, a 1 = 0,6 e q = 1 ___ 
10
 . Assim:
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 0,6 ______ 
1 – 1 ___ 
10
 
 = 
 6 ___ 
10
 
 ___ 
 9 ___ 
10
 
 = 6 __ 
9
 = 2 __ 
3
 
Portanto, lim 
n→`
 Sn = 2 __ 
3
 .
 33
3. Determine o limite da soma da PG infinita 1 __ 
3
 + 2 __ 
9
 + 4 ___ 
27
 
+ ...
Resolução:
As parcelas formam uma PG infinita, na qual 
a1 = 1 __ 
3
 e q = 
 2 __ 
9
 
 __ 
 1 __ 
3
 
 = 2 __ 
3
 .
Como 2 __ 
3
 < 1, pode-se usar a fórmula lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 :
 lim 
n→`
 Sn = 
 1 __ 
3
 
 _____ 
1 – 2 __ 
3
 
 = 
 1 __ 
3
 
 __ 
 1 __ 
3
 
 = 1
Assim, o valor procurado é 1.
4. Calcule o limite da soma dos termos da
PG ( 1 __ 
3
 , – 1 __ 
9
 , 1 ___ 
27
 , ... ) .
Resolução:
Nessa PG, tem-se a1 = 1 __ 
3
 e q = 
– 1 __ 
9
 
 ___ 
 1 __ 
3
 
 = – 1 __ 
3
 .
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 1 __ 
3
 
 _______ 
1 – ( – 1 __ 
3
 ) 
 = 
 1 __ 
3
 
 _____ 
1 + 1 __ 
3
 
 = 
 1 __ 
3
 
 __ 
 4 __ 
3
 
 = 1 __ 
4
 
Assim, o limite da soma procurada é 1 __ 
4
 .
5. Resolva a equação 5x + 10x ___ 
3
 + 20x ___ 
9
 + .... = 20, na qual 
o primeiro membro é o limite da soma de uma PG in-
finita.
Resolução:
a1 = 5x, q = 
 10x ___ 
3
 
 ___ 
5x
 = 2 __ 
3
 e lim 
n→`
 Sn = 20
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 ⇒ 20 = 5x _____ 
1 – 2 __ 
3
 
 ⇒ 20 = 5x __ 
 1 __ 
3
 
 
⇒ x = 20 ___ 
15
 = 4 __ 
3
 
Assim, x = 4 __ 
3
 .
6. Determine a fração geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
Resolução:
0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... 
= 3 ___ 
10
 + 3 ___ 
100
 + 3 ____ 
1000
 + ...
As parcelas formam a PG infinita:
 ( 3 ___ 
10
 , 3 ___ 
102 , 
3 ___ 
103 , ... ) , na qual a1 = 3 ___ 
10
 e q = 1 ___ 
10
 .
A fração correspondente a 0,333... é o limite da soma des-
sa PG infinita.
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 3 ___ 
10
 
 ______ 
1 – 1 ___ 
10
 
 = 
 3 ___ 
10
 
 ___ 
 9 ___ 
10
 
 = 3 __ 
9
 = 1 __ 
3
 
Assim, a fração procurada é 1 __ 
3
 .
b) da dízima periódica composta 0,52121...
Resolução:
0,52121... = 0,5 + 0,021 + 0,00021 + ...=
= 5 ___ 
10
 + 21 ____ 
1000
 + 21 _______ 
100 000
 + ....
Observa-se que a sequência ( 21 ___ 
103 , 
21 ___ 
105 , 
21 ___ 
107 ,... ) é uma PG 
infinita, na qual a1 = 21 ___ 
103 e q = 1 ___ 
102 .
 lim 
n→`
 Sn = a1
 ____ 
1 – q
 = 
 21 ___ 
103 
 ______ 
1 – 1 ___ 
102 
 = 
 21 ____ 
1000
 
 _______ 
1 – 1 ___ 
100
 
 =
= 
 21 ____ 
1000 
 
 _____ 
 99 ___ 
100
 
 = 21 ____ 
1000
 · 100 ___ 
99
 = 21 ____ 
 990
 = 7 ____ 
 330
 
Calculando:
0,52121... = 5 ___ 
10
 + 7 ___ 
330
 =165 + 7 _______ 
330
 =
= 172 ___ 
330
 = 86 ___ 
165
 
Assim, a fração geratriz é 86 ___ 
165
 .
7. A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. 
Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se 
um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pon-
tos médios dos lados desse novo triângulo equiláte-
ro, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefi-
nidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos 
esses triângulos.
Resolução:
Perímetro do 1.º triângulo = 30
Perímetro do 2.º triângulo = 15
Perímetro do 3.º triângulo = 15 ___ 
2
 
A
Deve-se calcular a soma dos termos da PG infinita ( 30, 
15, 15 ___ 
2
 , ... ) , na qual a1 = 30 e q = 1 __ 
2
 .
 34
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 30 ____ 
1– 1 __ 
2
 
 = 30 ___ 
 1 __ 
2
 
 = 60
Portanto, a soma dos perímetros é 60.
5. Produto dos termos da PG
Considere uma PG (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an, ...).
O produto Pn dos n primeiros termos dessa PG pode ser 
obtido de duas maneiras.
1.ª maneira:
a1 = a1
a2 = a1q
a3 = a1q
2
A
an = a1 q
n –1 
Multiplicando-se membro a membro, encontra-se:
Então:
Pn = a1
n .q1+2+3+...+n-1
soma de PA  
Pn = a1
n.q
(1+n-1)(n-1)
2 Pn =a1
n. q
n(n-1)
2
2.ª maneira:
Pn = a1 · a2 · a3 · ... · an – 2 · an – 1 · an
Pn = an · an – 1 · an – 2 · ... · a3 · a2 · a1
Multiplicando-se membro a membro, encontra-se:
Pn
2 = (a1 · an)(a2 · an –1)(a3 · an – 2) · ... · 
(an – 2 · a3)( an – 1 · a2)(an · a1)
Como (a2 · an – 1) = (a3 · an–2) = ... = (a1 · an), então:
Pn
2 = (a1an)
n ⇒ Pn = ± dXXXXX (a1an)
n (o sinal correto depende das 
condições da PG dada)
Aplicação do conteúdo
1. Determine o produto dos vinte primeiros termos da 
PG (3, 6, 12, ...).
Resolução:
1.ª maneira:
P20 = 320 · 2
 20 ·19 ______ 2 
 = 320 · 2190
2.ª maneira:
a20 = a1 · q
19 ⇒ a20 = 3 · 219
P20 = ± dXXXXXXXXXX (3 · 3 · 219)20 = ± (32 · 219)10 = 
= ±320 · 2190
Como a PG tem apenas termos positivos, então P20 é posi-
tivo. Assim, P20 = 320 · 2190.
2. Determine o produto dos quinze primeiros termos da 
PG alternante (1, –2, 4, –8 ,...).
Resolução:
1.ª maneira:
P15 = 115 · (–2)
 15 · 14 ______ 2 
 = (–2)105 = – 2105
2.ª maneira:
a15 = 1 · (–2)14 = 214
P15 = ± dXXXXXXXX (1 · 214)15 = ± 2105
Como, entre os quinze primeiros termos, 7 termos são ne-
gativos, o produto é negativo. Assim, P15 = –2105.
6. Problemas 
envolvendo PA e PG
Para completar o capítulo sobre progressões, a seguir se-
rão analisados problemas que envolvem simultaneamen-
te PA e PG.
Aplicação do conteúdo
1. São dados quatro números x, y, 6, 4, nessa ordem. 
Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três 
últimos estão em PG, determine x e y.
Resolução:
Se x, y, 6 estão em PA, tem-se y = x + 6 _____ 
 2
 .
Se y, 6, 4 estão em PG, tem-se 62 = 4y.
Deve-se resolver o sistema formado por essas duas 
equações:
y = x +6 __ 
2
 
4y = 36 ⇒ y = 9
9 = x + 6 _____ 
2
 ⇒ x + 6 = 18 ⇒ x = 12
Assim, x = 12 e y = 9.
2. A sequência (a, b, c) é uma PG crescente, e a sequên-
cia (a – 1, b,c) é uma PA. Sabendo que a + b + c = 19, 
determine os valores de a, b e c.
Resolução:
Se (a, b, c) é uma PG, tem-se b2 = ac.
 35
Se (a – 1, b, c) é uma PA, tem-se:
b = a – 1 + c _______ 
2
 ⇒ 2b = a – 1 + c
Deve-se, então, resolver o sistema:
b2 = ac (I)
2b = a – 1 + c (II)
a + b + c =19 (III)
De (II), tem-se:
2b = a – 1 + c ⇒ a + c = 2b + 1 (IV)
De (III), tem-se:
a + b + c =19 ⇒ a + c = 19 – b (V)
Comparando (IV) e (V), tem-se:
2b + 1 = 19 – b ⇒ 2b + b = 19 – 1 ⇒ 3b 
= 18 ⇒ b = 6
Conhecido b = 6, tem-se um novo sistema:
36 = ac
a + c = 13
a + c = 13 ⇒ a = 13 – c
36 = (13 – c) c ⇒ 36 = 13c – c2 ⇒ c2 – 13c + 36 = 0
D = 25
c’ = 9 e c” = 4
 § c = 9 ⇒ a = 13 – 9 = 4
 § c = 4 ⇒ a = 13 – 4 = 9 
Como a PG (a, b, c) é crescente, tem-se a = 4, b = 6 e c = 9.
3. Numa situação em que há empréstimo de dinheiro 
para devolução, depois de certo número de períodos, 
e em que esse empréstimo é baseado no sistema de 
juros simples, os juros correspondentes a cada período 
são constantes e iguais ao valor calculado no fim do 1.º 
período. Dessa forma, no fim do 1.º período, os juros 
são acrescidos ao capital inicial, resultando no montan-
te M1. No fim do 2.º período, os juros são acrescidos ao 
montante M1, resultando no montante M2, e assim por 
diante, até o fim dos períodos contratados, em que o 
capital emprestado terá se transformado no montante 
Mn. Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser 
pago em 6 meses, à taxa de juros simples de 4% a.m. 
No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para a qui-
tação da dívida?
Resolução:
Os 4% de juros simples cobrados por mês significam 
0,04 . 800,00 = R$ 32,00 de acréscimo mensal. Essa 
é uma situação em que os valores devidos evoluem da 
seguinte forma:
Mês 0: 800,00
Mês 1: 800,00 + 32,00
Mês 2: 832,00 + 32,00
Mês 3: ...
Mês 4: ...
É possível representar a sequência de valores devidos por 
uma progressão aritmética usando, como 1.º termo, o valor 
devido após o 1.º período e, como razão, o valor constante 
a ser pago a título de juros simples:
r = juro do 1.º período = 0,04 . 800 = 32
an = a1 + (n – 1)r ⇒ Mn = 832 + (n – 1)32 ⇒ 
⇒ M6 = 832 + (6 – 1)32 = 992,00
É importante destacar que essa progressão poderia ser me-
lhor representada usando-se a0 em vez de a1 no termo geral:
an = a0 + nr ⇒ Mn = 800 + 32n ⇒ 
⇒ M6 = 800 + 32 · 6 = 992,00.
No fim do 6.° mês, o valor a ser pago será R$ 992,00.
4. Numa outra situação, semelhante à anterior, em que 
há empréstimo de dinheiro para devolução depois de 
certo número de períodos, mas em que o empréstimo 
é baseado no sistema de juros compostos, os juros cor-
respondentes a cada período não são constantes e, por 
isso, precisam ser calculados no fim de cada período re-
lativo ao montante atual da dívida. Dessa forma, no fim 
do 1.º período, os juros são acrescidos ao capital inicial, 
resultando no montante M1. No fim do 2.º período, os 
juros são recalculados sobre o montante M1 e somados, 
resultando no montante M2 , e assim por diante, até o 
fim dos períodos contratados, em que o capital empres-
tado terá se transformado no montante Mn.
Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser 
pago em 6 meses, à taxa de juros compostos de 4% 
a.m. No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para 
a quitação da dívida?
Resolução:
Antes de iniciar a montagem da sequência de valores devi-
dos, observe que, quando é preciso aumentar um valor em 
4%, o novo valor é imediatamente obtido ao se multiplicar 
o valor antigo por 1,04, pois:
x1 = x + 0,04x = x (1 + 0,04) = 1,04x
Denomina-se 1,04 de fator de atualização.
Essa é uma situação em que os valores devidos evoluem 
da seguinte forma:
Mês 0 : 800,00
Mês 1: 800 . 1,04 = 832,00
Mês 2: 832 . 1,04 = 800 . (1,04)2 = 865,28
 36
Mês 3: 865,28 . 1,04 = 800 . (1,04)3 = ...
Mês 4: ...
É possível representar a sequência de valores devidos por 
uma progressão geométrica usando, como 1.º termo, o va-
lor devido após o 1.º período e, como razão, o valor do 
fator multiplicativo que permite a atualização do valor:
q = 1 + i = 1 + 0,04 = 1,04
an = a1 · q
n – 1 ⇒ Mn = 832 · (1,04)n – 1 ⇒ 
⇒ M6 = 832 · (1,04)6 – 1 = 1.012,25
Novamente, é importante salientar que essa progressão 
poderia ser melhor representada usando-se a0 em vez de 
a1 no termo geral. Assim, o capital inicial seria representa-
do no termo geral:
an = a0 · q
n ⇒ Mn = 800 · (1,04)n ⇒ 
⇒ M6 = 800 · (1,04)6 = 1.012,25
No fim do 6.º mês, deverão ser pagos R$ 1.012,25.
5. Na matemática financeira, o valor presente (VP) é o 
valor de um bem na data zero, ou seja, no valor de hoje, 
e o valor futuro (VF) é o valor do mesmo bem daqui a n 
períodos. Assim, VP = VF ______ 
(1 + i)n
 , em que i é a taxa de juros 
por período (sistema de juros compostos). No cálculo 
do valor à vista de um bem, conhecidos o valor pago de 
entrada, o valor das parcelas e a taxa de juros cobrada 
no parcelamento, é preciso somar o valor