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FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Ana Paula de Andrade Janz Elias 
Prof.ª Flavia Sucheck Mateus da Rocha 
Prof.ª Taniele Loss Nesi 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, iniciaremos apresentando os poliedros. Abordaremos os 
poliedros de Platão e a relação de Euler. Estudaremos também as características 
do prisma, da pirâmide, do cilindro, do cone e da esfera. 
TEMA 1 – POLIEDROS 
Um poliedro é um sólido geométrico formado por polígonos. Os polígonos 
são as faces do poliedro. Os segmentos que fazem limites entre os polígonos 
são denominados arestas e a interseção de três ou mais arestas de um poliedro 
é denominada vértice. 
Figura 1 – Face, aresta e vértice 
 
Existem poliedros convexos e poliedros não convexos. Quando tomamos 
dois pontos quaisquer dentro de um poliedro e traçamos um segmento unindo 
esses dois pontos, se esse segmento que une os pontos estiver “fora” do 
poliedro, isso significa que ele é um poliedro não convexo. Vejamos, a seguir, 
um exemplo desse tipo de poliedro. 
Figura 2 – Poliedro não convexo 
 
 
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Contudo, quando tomamos dois pontos quaisquer dentro de um poliedro 
e traçamos um segmento unindo esses dois pontos, se o segmento se encontra 
“dentro” do poliedro, isso significa que ele é convexo. Os poliedros convexos são 
nomeados de acordo com o número de faces que eles possuem, conforme é 
possível observar no Quadro 1 a seguir. 
Quadro 1 – Nomenclatura dos poliedros 
Nome do poliedro Quantidade de faces 
Tetraedro 4 faces 
Pentaedro 5 faces 
Hexaedro 6 faces 
Heptaedro 7 faces 
Octaedro 8 faces 
Decaedro 10 faces 
Dodecaedro 12 faces 
Icosaedro 20 faces 
Na Figura 3, a seguir, é possível identificar diferentes poliedros convexos. 
Figura 3 – Poliedros convexos 
 
Fonte: OpenClipart-Vectors/Pixabay. 
 
 
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1.1 Poliedros de Platão 
Dentre os poliedros convexos, temos cinco que são denominados 
Poliedros de Platão. Um poliedro, para que seja denominado Poliedro de Platão, 
precisa que (1) todas as suas faces possuam o mesmo número de arestas; (2) 
por meio de cada vértice saia o mesmo número de arestas; e (3) a Relação de 
Euler seja válida, ou seja, 𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2 (número de vértices mais número de 
faces menos número de arestas é igual a 2). Vale lembrar que a Relação de 
Euler vale para todo poliedro convexo. 
1.1.1 Exemplo 1 
Vamos avaliar o poliedro a seguir e identificar se ele é um Poliedro de 
Platão. 
Figura 4 – Exemplo 1 
 
Solução: para identificar se o tetraedro é um Poliedro de Platão, podemos 
fazer a planificação dele. 
Figura 5 – Exemplo 1: resolução parte 1 
 
Como é possível perceber, o tetraedro tem 4 faces, 4 arestas e 6 vértices. 
Com base nisso, já podemos identificar que a Relação de Euler é satisfeita, pois: 
 
 
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𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2 
4 + 4 − 6 = 2 
8 − 6 = 2 
2 = 2 
Também conseguimos identificar que cada face do tetraedro possui 3 
arestas, satisfazendo mais uma condição para que ele seja identificado como um 
Poliedro de Platão. 
Figura 6 – Exemplo 1: resolução parte 2 
 
Ainda, por meio de cada vértice do tetraedro “saem” 3 arestas, conforme 
Figura 7 a seguir. 
Figura 7 – Exemplo 1: resolução parte 3 
 
Com isso, todas as condições são satisfeitas para que o tetraedro seja 
considerado um Poliedro de Platão. Além do tetraedro, somente o hexaedro, o 
octaedro, o dodecaedro e o icosaedro são Poliedros de Platão. 
 
 
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TEMA 2 – PRISMA 
Um poliedro convexo que possui duas bases como faces congruentes e 
que possui outras faces formadas por paralelogramos como faces laterais é 
denominado prisma. Vejamos, na Figura 8 a seguir, alguns tipos de prisma. 
Figura 8 – Tipos de prisma 
 
É possível perceber na Figura 8 anterior que os nomes dados aos prismas 
estão relacionados aos números de faces laterais que eles têm. Ou seja, o 
prisma hexagonal tem 6 faces laterais; o prisma pentagonal tem 5 faces laterais; 
o prisma quadrangular tem 4 faces laterais e o prisma triangular tem 3 faces 
laterais. Esses prismas ainda têm duas faces denominadas base. 
As arestas dos prismas são os segmentos de reta que são formados pelos 
encontros de duas faces. Os vértices dos prismas são os pontos formados pelo 
encontro de mais de duas arestas. Existem prismas retos e prismas oblíquos. 
Para calcular a área de um prisma, é preciso calcular a área das bases e 
somá-la com a área das faces laterais. Com isso, é preciso ficar atento ao 
número de lados do prisma dado e também é preciso lembrar que todo prisma 
tem duas bases. Para as figuras dadas anteriormente, podemos escrever: 
𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 2. 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 6. 𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒 
𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 2. 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 5. 𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒 
𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2. 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 4. 𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒 
𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2. 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 3. 𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒 
O volume do prisma é calculado por meio da fórmula a seguir. Considere 
h como sendo a altura do prisma. 
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ 
 
 
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TEMA 3 – PIRÂMIDE 
A pirâmide é um poliedro que tem como base um polígono e um ponto 
externo a ele, no qual todos os vértices do polígono da base são “ligados” e, 
nessa “ligação”, são formadas arestas. Veja exemplos de pirâmides na Figura 8 
a seguir. 
Figura 9 – Tipos de pirâmide 
 
Fonte: Silva, 2019. 
A área da pirâmide tem um cálculo parecido com a área do prisma. Basta 
calcular a área da base e somá-la com a área lateral (ou seja, a soma de todas 
as áreas das faces laterais). Contudo, a pirâmide tem apenas uma base. Assim: 
 
𝐴𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
 
Para calcular o volume da pirâmide, utilizamos a fórmula a seguir, 
lembrando que h é referente à altura da pirâmide. 
 
𝑉 =
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ 
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Na pirâmide, ainda temos um elemento denominado “apótema da 
pirâmide”, que sai do vértice que não pertence à base da pirâmide e vai até o 
ponto médio de uma das arestas da base da pirâmide, conforme podemos 
verificar na Figura 10 a seguir. 
 
 
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Figura 10 – Apótema da pirâmide 
 
Existe ainda o “apótema da base da pirâmide”, dada pelo segmento de 
reta que liga o ponto que está no centro da base da pirâmide e o ponto médio de 
uma das arestas da base da pirâmide. 
Figura 11 – Apótema da base da pirâmide 
 
TEMA 4 – CILINDRO 
Ao tomarmos um retângulo e realizarmos sua rotação, nos deparamos 
com um cilindro. Para calcular a área do cilindro, precisamos planificá-lo, 
conforme a Figura 12 a seguir. 
Figura 12 – Cilindro planificado 
 
 
 
 
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Para calcular a área do cilindro, devemos somar a área da base e sua 
área lateral. Ao fazer esse cálculo, é preciso perceber que o cilindro tem duas 
bases e que elas são círculos. A área do círculo é dada por 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 𝑟
2. 
Assim, a fórmula para calcular a área do cilindro é dada por: 
 
𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2. 𝜋. 𝑟
2 + 2. 𝜋. 𝑟. ℎ 
Para calcular o volume do cilindro, fazemos os cálculos com base na 
seguinte fórmula. 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋. 𝑟
2. ℎ 
TEMA 5 – CONE 
A revolução de um triângulo retângulo resulta em um cone. Tomando um 
círculo em um plano qualquer e um ponto externo a esse círculo, é possível 
formar um cone pro meio da reunião entre toda a extremidade desse círculo e 
do ponto, externo a ele, dado. 
Figura 13 – Cone – revolução de um triângulo retângulo 
 
Fonte: Silva, 2019. 
O círculo é a base do cone. A reta que passa pelo vértice do cone e o 
centro do círculo da base é o eixo do cone. Qualquer segmento de reta que tem 
um ponto no vértice do cone e outro ponto no contorno da circunferência é 
denominado geratriz. A distância entre o vértice e a base é a altura. 
 
 
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Figura 14 – Partes do cone 
 
O cálculo da área do cone é dado pela soma da área de sua base com a 
área de sua face lateral. Como a base do cone é um círculo, já sabemos como 
calcular a área dele. A área da face lateralé dada pela multiplicação do número 
𝛑 com o raio e a geratriz. Assim: 
 
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑒 = 𝜋. 𝑟
2 + 𝜋. 𝑟. 𝑔 
 
Para calcular o volume do cone, utilizamos a seguinte fórmula. 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝜋. 𝑟2. ℎ
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5.1 Esfera 
A esfera é um sólido limitado por uma superfície que tem todos os seus 
pontos equidistantes de um ponto interno, denominado centro. A distância entre 
esses pontos e o centro é denominada raio, e por meio do raio podemos calcular 
a área e o volume da esfera. 
Figura 15 – Partes da esfera 
 
 
 
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Calculamos a área da superfície de uma esfera por meio da fórmula a 
seguir, considerando r = raio. 
𝐴 = 4. 𝜋. 𝑟2 
O volume da esfera é dado por meio de: 
𝑉 =
4. 𝜋. 𝑟3
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NA PRÁTICA 
Sabendo-se que os planetas do Sistema Solar são representados por 
esferas, e sabendo que o raio equatorial da Terra é igual 6.371 km, podemos 
calcular o volume aproximado de nosso planeta. Aproximado porque a Terra não 
é uma esfera perfeita. 
Para realizar esse cálculo, utilizamos a fórmula dada: 𝑉 =
4.𝜋.𝑟3
3
. Assim: 
𝑉 =
4. 𝜋. (6371)3
3
= 
4. 𝜋. 25859602811
3
= 
4 . 33759924707
3
= 
4. 𝜋. 25859602811
3
= 108.206.916.845,75 𝑘𝑚3 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os poliedros de Platão e a relação de Euler. 
Também estudamos as características do prisma, da pirâmide, do cilindro, do 
cone e da esfera. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
SILVA, M. N. P. da. Pirâmides. Brasil Escola. Disponível em: <https:// 
brasilescola.uol.com.br/matematica/piramides.htm>. Acesso em: 7 out. 2019. 
_____. Volume do cone. Mundo educação. Disponível em: <https:// 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-cone.htm>. Acesso em: 7 
out. 2019.