Rodrigo Sanchez Macedo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO 
PUC/SP 
 
 
RODRIGO SANCHEZ MACEDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO 
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2008 
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO 
PUC/SP 
 
 
RODRIGO SANCHEZ MACEDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO 
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA 
 
 
 
 
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da 
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como 
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM 
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa. 
Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2008 
ERRATA 
 
Página Linha Onde se lê Leia-se 
8 14 ...em dissertações teses... ...em dissertações, teses... 
9 6 ...foundation History Education... ...foundation of History of 
Education... 
9 10 ...contributes the concept... �contributes with the concept... 
9 12 �and Theory of� �and the Theory of� 
24 10 ...Choppin (2000)... ...Choppin (2000 apud Marques, 
2005)... 
30 16 ...1955 ocorrei... ...1955 ocorreu... 
32 3 ...Stanford... ...Stanford, nos EUA... 
35 1 ...no Brasil nas incluiu... ...no Brasil incluiu... 
45 10 n - n2 n - n2 ... 
52 17 ...que tratavam dos... ...que tratam dos... 
58 12 ...de �slogan� do... ...de slogan do... 
73 1 ... �Matemática: Curso Moderno�, 
volume 2, 3ª edição de 1966 e 
�Matemática: Curso Moderno�, 
volume 4, de 1967, cuja edição não 
é citada. 
... e �Matemática: Curso Moderno�, 
volume 4, de 1967, cuja edição 
não é citada. 
77 15 ...Diagramas de Venn... ...Diagramas de Euler/Venn... 
89 15 ...funções, ele aparecem... ...funções, eles aparecem... 
92 12 ...figura 21... ...figura 22... 
 
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Banca Examinadora 
 
 
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta 
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. 
 
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________ 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 À Roberta, 
Companheira em todos os momentos e 
razão do meu viver. 
 
AGRADECIMENTO 
 
 
À Deus que me deu a vida e me dá força todos os 
dias. 
À minha esposa, Roberta, que sempre me apoiou 
em todos os momentos, mesmo nos mais difíceis e 
sem a qual esse trabalho não existiria. 
Aos meus pais, que me proporcionaram uma visão 
do mundo e me fizeram ser quem sou hoje. 
À Rafael e Heloísa, irmãos que são, sobretudo 
amigos. 
Aos colegas da PUC-SP, especialmente os 
participantes do GHEMAT. 
Ao professor Dr. Wagner Rodrigues Valente, que 
contribuiu de grande forma como orientador desse 
trabalho. 
À professora Dra. Cileda de Queiroz e Silva 
Coutinho, que me aceitou como orientando e 
contribuiu excelentemente na concretização dessa 
pesquisa. 
Aos professores Dr. Saddo Ag Almouloud, Dra. 
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Dr. Wagner 
Rodrigues Valente, Dra. Ana Paula Jahn, Dra. 
Lulu Healy, Dra. Sônia Camargo Igliori e Dra. 
Silvia Dias Alcântara Machado, que ministraram 
disciplinas que formaram a base concreta do 
conhecimento que hoje tenho em Educação 
Matemática. 
Ao professores Dra. Maria Inez Rodrigues Miguel 
e Dr. Antonio Carlos Brolezzi pelas preciosas 
contribuições na qualificação. 
Aos meus familiares que me apoiaram em minhas 
idéias e convicções. 
À todos os que torceram para que esse projeto se 
tornasse realidade. 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 Essa pesquisa apresenta uma análise de livros didáticos que Osvaldo 
Sangiorgi publicou no período do Movimento da Matemática Moderna. Essa análise 
foi centralizada na Teoria dos Conjuntos, que antes do Movimento fazia parte 
apenas do Ensino Superior e durante o Movimento foi inserida nos livros didáticos, 
especialmente nos de Sangiorgi, protagonista do Movimento no Brasil. Para esta 
análise são utilizados os fundamentos teóricos comuns à História da Educação. O 
estudo de Le Goff (1992) sobre Monumento/Documento e o estudo de 
Juliá (2001) fundamentam respectivamente o tratamento que deve ser dado às 
fontes de pesquisa e a História das Práticas. Chartier e Hébrard (1981) tratam das 
estratégias, táticas e apropriação e Chervel (1990) contribui com o conceito de 
disciplinarização, que são utilizados na análise de como o autor inseriu os 
conteúdos em seus livros didáticos. Precedendo essa análise, é apresentado o 
Movimento da Matemática Moderna no Brasil e a Teoria dos Conjuntos inserida 
nesse Movimento, apresentação esta baseada em dissertações, teses e artigos que 
tratam do tema. Também precedendo a análise, são apresentados um panorama 
histórico do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos e livros sobre a Teoria dos 
Conjuntos publicados durante o período do Movimento da Matemática Moderna no 
Brasil. Os resultados obtidos na análise mostram como alguns elementos inseridos 
nos livros didáticos de Osvaldo Sangiorgi surgiram a partir das tensões existentes 
na cultura escolar, não se limitando apenas a uma adequação dos conteúdos antes 
abordados apenas no Ensino Superior. 
 
Palavras-Chave: Livros didáticos, Teoria dos Conjuntos, Movimento da Matemática Moderna, 
Osvaldo Sangiorgi, cultura escolar. 
 
 
 
ABSTRACT 
 
This research provides an analysis of textbooks that Osvaldo Sangiorgi 
published in the period of the Movement of Modern Mathematics. This analysis was 
centered in the Theory of Sets, which before the move was part only of Higher 
Education, and during the Movement was inserted in textbooks, especially in the 
Sangiorgi, protagonist of the Movement in Brazil. For this analysis are used to the 
common theoretical foundation of History of Education. The study by Le Goff (1992) 
on Monument/Document and the study of Juliá (2001) respectively based treatment 
that should be given to sources of research and the History of Practice. Chartier and 
Hébrard (1981) deal with the strategies, tactics and ownership and Chervel (1990) 
contributes with the concept of disciplinarization, which are used in the analysis of 
how the author entered the contents of their textbooks. Preceding this analysis, it 
presented the Movement of Modern Mathematics in Brazil and the Theory of Sets 
included within this movement, this presentation based on dissertations, theses and 
articles dealing with the issue. Also preceding the analysis, are given an overview of 
the historical development of the theory of sets, and books on the Theory of Sets 
published during the period of the Movement of Modern Mathematics in Brazil. The 
results obtained in the analysis shows how some elements included in textbooks of 
Osvaldo Sangiorgi emerged from the tensions in the school culture, not limited only 
to a adequacy of the contents before addressed only in Higher Education. 
 
Keywords: Text Books, Theory of Sets, Movement of Modern Mathematics, Osvaldo Sangiorgi, 
school culture. 
 
LISTA DE FIGURAS 
Esquema 1: Organograma de teorias que fundamentam a pesquisa. ..................... 28 
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos. ......................................... 43 
Figura 3: Seqüência de números Racionais propostapor Cantor. ........................... 45 
Figura 4: União de conjuntos representada pelos diagramas. ................................. 55 
Figura 5: Diferença de conjuntos representada pelos diagramas. ........................... 55 
Figura 6: Complementar de conjuntos representado pelos diagramas. ................... 56 
Figura 7: Reunião de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci 
(1967). ................................................................................................................ 63 
Figura 8: Intersecção de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci 
(1967). ................................................................................................................ 64 
Figura 9: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967). 65 
Figura 10: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967).
........................................................................................................................... 65 
Figura 11: Diferença de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci 
(1967). ................................................................................................................ 66 
Figura 12: Conjunto complementar representado pelos diagramas no livro de 
Castrucci (1967). ................................................................................................ 67 
Figura 13: Introdução aos conjuntos com utilização de diagramas no livro de 
Sangiorgi (1963). ................................................................................................ 76 
Figura 14: Diagramas com formato irregular no livro de Castrucci (1967). .............. 76 
Figura 15: Números e numerais no livro de Sangiorgi (1963). ................................. 78 
Figura 16: Símbolos das relações no livro de Sangiorgi (1968). .............................. 80 
Figura 17: Exercícios sobre sistema de numeração no livro de Sangiorgi (1963).... 81 
Figura 18: Adição e subtração representadas por conjuntos no livro de Sangiorgi 
(1963). ................................................................................................................ 83 
Figura 19: Multiplicação e divisão no livro de Sangiorgi (1963)................................ 84 
Figura 20: Diagramas representando função na contracapa do livro de Sangiorgi 
(1967). ................................................................................................................ 90 
Figura 21: Diagramas representando função no início do capítulo 2 do livro de 
Sangiorgi (1967). ................................................................................................ 90 
Figura 22: Diagramas representando função no capítulo 2 do livro de Sangiorgi 
(1967). ................................................................................................................ 91 
 11 
Figura 23: Diagramas associados à geometria no livro de Sangiorgi (1967). .......... 94 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 14 
CAPÍTULO 1 CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS ......................... 19 
CAPÍTULO 2 O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL .......... 29 
2.1. A TEORIA DOS CONJUNTOS NO MMM OCORRIDO NO BRASIL .............. 35 
CAPÍTULO 3 TEORIA DOS CONJUNTOS: UM PANORAMA HISTÓRICO........... 41 
3.1. ANÁLISE DOS LIVROS SOBRE TEORIA DOS CONJUNTOS...................... 47 
3.1.1. TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS � PAUL R. HALMOS ............... 48 
3.1.2. TEORIA DOS CONJUNTOS � EDISON FARAH..................................... 53 
3.1.3. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS � BENEDITO 
CASTRUCCI ...................................................................................................... 58 
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS................................................ 70 
4.1. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 1........................................ 74 
4.2. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 4........................................ 88 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 95 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................ 99 
ANEXOS ................................................................................................................ 104 
ANEXO I CAPA DO LIVRO �TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS� DE PAUL R. HALMOS.
............................................................................................................................ 105 
ANEXO II CONTRACAPA DO LIVRO �TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS� DE PAUL R. 
HALMOS. .............................................................................................................. 106 
ANEXO III CAPA DO LIVRO �TEORIA DOS CONJUNTOS� DE EDISON FARAH. ............ 107 
ANEXO IV CAPA DO LIVRO �ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO 
CASTRUCCI. .......................................................................................................... 108 
ANEXO V CONTRACAPA DO LIVRO �ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE 
BENEDITO CASTRUCCI. .......................................................................................... 109 
 13 
ANEXO VI EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS 
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 110 
ANEXO VII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS 
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 111 
ANEXO VIII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS 
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 112 
ANEXO IX INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO �MATEMÁTICA: 
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS � VOLUME 1� DE OSVALDO SANGIORGI.
............................................................................................................................ 113 
ANEXO X INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO �MATEMÁTICA: 
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS � VOLUME 1� DE OSVALDO SANGIORGI.
............................................................................................................................ 114 
 
 14 
INTRODUÇÃO 
 15 
No presente trabalho apresentamos uma pesquisa desenvolvida no campo do 
estudo de Educação Matemática. Apresentamos os fatores que favoreceram a 
escolha do problema de pesquisa e o próprio problema, as considerações teórico-
metodológicas em que a investigação se fundamenta, uma caracterização de um 
movimento ocorrido no Brasil sobre o ensino de Matemática e um estudo de como a 
Teoria dos Conjuntos era apresentada em uma coleção de livros didáticos de 
Matemática na época. 
 O tema de nossa pesquisa está relacionado ao desenvolvimento histórico de 
diversas áreas do conhecimento, que nos motivou a pesquisar sobre a História do 
Ensino da Matemática. Durante a escolha do tema, levávamos em consideração 
uma idéia que é tida pelo senso comum de que a História da Matemática é apenas 
uma ferramenta, onde o uso de fatos históricos serve como um recurso didático no 
Ensino de Matemática, gerando um maior interesse e compreensão por parte dos 
alunos. Nossa idéia não era diferente com História do Ensino da Matemática, onde 
entendíamos que esse estudo levava a comunidade científica a compreender de 
maneira mais clara a forma como a Matemática é ensinada hoje e quais fatores 
favoreceram a sua organização, ou seja, procurar entender os erros e acertos 
realizados no passado e suas conseqüências. 
 Um fator que influenciou a escolha do estudo em História do Ensino da 
Matemática foi um curso do qual participamos durante a graduação sobre História 
da Matemática, que nos levou a utilizá-la como recurso em variados temas em salade aula no Ensino Fundamental e Médio, onde percebemos um maior interesse e 
compreensão por parte dos alunos como citado anteriormente. 
Algumas leituras que serviram de base para o desenvolvimento inicial da 
pesquisa foram: Latour (2000), que deu uma ampla visão sobre pesquisa científica, 
modificando a idéia do senso comum que acredita que a ciência é feita de 
descoberta da verdade absoluta, sendo que é influenciada por diversos fatores 
�humanos�. Pelo fato das influências serem de ordem �humana�, Geertz (1989) nos 
proporcionou uma visão antropológica sobre o estudo das culturas, pois ao estudar 
a Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos fazemos uma análise de como essa 
teoria foi apresentada. Esses livros eram divulgados e utilizados no contexto escolar 
(que representa uma cultura) do período do Movimento da Matemática Moderna no 
Brasil. 
 16 
O tema central do nosso projeto está especificado na investigação sobre a 
inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos no Ensino Secundário
1 no 
período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, compreendido 
principalmente nas décadas de 1960 e 1970, com o objetivo de entender como esse 
saber matemático passou a fazer parte dos livros didáticos, considerando 
especificamente as obras que veicularam a Teoria dos Conjuntos no Brasil. A 
coleção �Matemática: Curso moderno para os cursos ginasiais� de Osvaldo 
Sangiorgi2, que teve seu primeiro volume lançado em 1963, pela Companhia Editora 
Nacional de São Paulo, é a coleção que teremos como foco de análise, já que foi 
uma das principais, nas quais se apresentaram os conteúdos da Matemática 
Moderna, incluindo a Teoria dos Conjuntos. 
Para o desenvolvimento dessa pesquisa, apresentamos as nossas 
considerações teórico-metodológicas no capítulo 1, que nos dão subsídios para o 
desenvolvimento da pesquisa do ponto de vista histórico e também nos subsidia 
para a análise dos livros didáticos que realizamos no capítulo 4. 
A apresentação desse movimento, denominado: Movimento da Matemática 
Moderna (MMM) se baseou em dissertações, teses e artigos que tratam do tema e 
que podemos ver no capítulo 2. Nessa apresentação mostramos a falta de ênfase 
que os autores dessas dissertações, teses e artigos deram ao assunto que 
abordamos: a Teoria dos Conjuntos. 
Os poucos relatos que os autores trazem sobre a Teoria dos Conjuntos, que 
podemos ver ainda no capítulo 2, apresentam a idéia de que essa Teoria era 
utilizada como linguagem para o ensino de todo o conteúdo Matemático do Ensino 
Secundário. Nosso estudo intenta mostrar como se deu a apresentação desse 
conteúdo nos livros da coleção �Matemática: Curso moderno para os cursos 
ginasiais�, e se realmente a Teoria era utilizada como linguagem ou se era utilizada 
como um capítulo isolado, pressuposto de críticas do Movimento. 
No capítulo 3 apresentamos um panorama histórico sobre a Teoria dos 
Conjuntos, tema que foi enfatizado no MMM, e como essa teoria se apresentava em 
 
1 O Ensino Secundário na época do Movimento da Matemática Moderna se refere às sete séries escolares de 
crianças na faixa etária de 11 a 17 anos, atualmente denominados Ensino Fundamental II e Ensino Médio. 
2 Osvaldo Sangiorgi era autor de livros didáticos de Matemática anteriores ao MMM e lançou, durante o 
movimento, uma coleção que trazia os assuntos do ideário do MMM. Também foi o presidente do GEEM 
(Grupo de Estudos do Ensino de Matemática) que divulgou o MMM no Brasil. 
 17 
alguns dos livros dedicados ao Ensino Superior e à formação de professores na 
época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. 
Por fim, no capítulo 4, com base nas teorias e metodologias apresentadas no 
capítulo 1, analisamos dois volumes dos livros didáticos �Matemática: Curso 
Moderno� de autoria de Osvaldo Sangiorgi. Os volumes escolhidos são o primeiro e 
o quarto. 
Os volumes que não analisamos, como o segundo e o terceiro possuem 
elementos da Teoria dos Conjuntos de forma muito semelhante ao primeiro, e nosso 
objetivo não era simplesmente apresentar o conteúdo que cada volume possuía, 
mas apresentar alguns elementos da Teoria dos Conjuntos que são característicos 
da cultura escolar. Sendo assim mostramos que a Teoria não é simplesmente 
absorvida do Ensino Superior ao Ensino Secundário, mas também desenvolvida em 
sua própria cultura, a escola. 
Nessa análise, também mostramos que o desenvolvimento de alguns 
elementos da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos do Ensino Secundário 
influenciou um livro destinado à formação de professores, onde podemos ver que a 
Teoria não vem somente do Ensino Superior para o Secundário, mas também pode 
�percorrer� o caminho oposto. 
Na intenção de apresentar como um estudo de História pode ser absorvido 
pelos leitores, fazemos uma analogia, utilizando uma idéia que Brolezzi (2000) traz 
em seu estudo. Esse autor ressalta o uso didático da História da Matemática e 
entendemos que exista uma relação análoga com a História da Educação 
Matemática. 
O caminho pedagógico que defendemos parece advir da consideração 
da Matemática em sua fase de construção científica, e não da 
Matemática pronta e sistematizada de acordo com a lógica formal. A 
visão da Matemática em construção é, precisamente, a que obtemos 
pelo estudo da História da Matemática, a qual surge, assim, como a 
grande fonte para apreensão da organização lógica mais adequada ao 
ensino da Matemática, principalmente no nível elementar, em que os 
padrões lógico-formais estão ainda mais distantes dos alunos. A forte 
relação da lógica com o ensino constitui, portanto, um componente 
decisivo para a avaliação do uso da história da Matemática como 
recurso pedagógico, revelando com muita profundidade seu valor 
didático. (BROLEZZI, 2000, p. 44-45) 
 
Brolezzi (2000) trata do uso da História da Matemática no Ensino, mas 
também vemos o valor da História da Educação Matemática, que se situa na 
compreensão da construção das teorias sobre Educação Matemática e que o 
 18 
professor de Matemática pode ter contato. Essas teorias poderiam, de uma forma 
simplista, ter analisado apenas seu curso cronológico com levantamento de 
biografias, porém, acreditamos que assim como no uso didático da História da 
Matemática, na História da Educação Matemática �é necessária uma abordagem na 
qual o próprio conteúdo seja influenciado.� (BROLEZZI, 2000, p. 47) 
Nesse sentido abordaremos o Movimento da Matemática Moderna, 
realizando uma construção de fatos históricos, no que diz respeito à forma que se 
inseriu um conteúdo nos livros didáticos do Movimento, a Teoria dos Conjuntos. 
Essa construção partirá dos traços deixados pelo passado (VALENTE, 2005, 
p.4), sem assumirmos uma postura onde julgaremos as ações, dizendo que essas 
foram fracassadas ou sucedidas, mas levantaremos as informações e as 
analisaremos, procurando construir a História dos acontecimentos e suas 
conseqüências. 
 19 
CAPÍTULO 1 
CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS 
 20 
O presente trabalho tem como temática ampla a História da Educação 
Matemática, que é campo de estudo do GHEMAT (Grupo de Pesquisa de História 
da Educação Matemática). Durante nossa participação em suas atividades, tivemos 
contato com as teorias que apresentaremos e que nos subsidiarão nessa pesquisa. 
Em nosso trabalho, analisamos a coleção de livros didáticos �Matemática: 
Curso moderno para os cursos ginasiais� de Osvaldo Sangiorgi, que era utilizada no 
período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Temos, com essa análise, 
a intenção de verificar como foi inserida, por Osvaldo Sangiorgi, a Teoria dos 
Conjuntos. 
Com esse objetivo delineado, entendemos que o estudo da obra de Jacques 
Le Goff será fundamental para nossa análise. Le Goff (1992) estuda os conceitos de 
Monumento e Documento. Esses conceitos são os representantes dos materiais 
que se aplicamà forma científica da memória coletiva: a História. 
Le Goff (1992) retoma, em uma citação que faz de Febvre (1949), o que é 
possível considerar como elemento nuclear do trabalho do historiador: 
 
Toda uma parte, e sem dúvida a mais apaixonante do nosso trabalho de 
historiadores, não consistirá em um esforço constante para fazer falar as 
coisas mudas, para fazê-las dizer o que elas por si próprias não dizem 
sobre os homens, sobre as sociedades que as produziram, e para 
constituir, finalmente, entre elas, aquela vasta rede de solidariedade e de 
entreajuda que supre a ausência do documento escrito? (FEBVRE apud LE 
GOFF, 1992, p. 530). 
 
Essa citação nos mostra o que, efetivamente, um historiador deve buscar em 
sua pesquisa, ou seja, os materiais que utilizamos na pesquisa em história não 
�falam� por si só, devemos, portanto, �fazer falar as coisas mudas� com o olhar 
analítico que teremos no contato com esses materiais. 
Quanto ao ofício de historiador, Valente (2005) salienta que o trabalho 
histórico está entre dois grupos de profissionais: os professores e os pesquisadores 
(ou historiadores), onde os professores utilizam os fatos históricos construídos pelos 
historiadores. Portanto, não realizaremos uma pesquisa visando uma contribuição 
imediata para a sala de aula, mas �estaremos construindo fatos históricos a partir de 
traços, de rastros deixados no presente pelo passado�, afirma Valente (2005, p. 4). 
Nosso trabalho será construir esses fatos históricos por meio da análise de alguns 
livros didáticos do período do MMM, com enfoque nas condições em que foi inserida 
 21 
a Teoria dos Conjuntos, para que posteriormente o segundo grupo descrito por 
Valente (2005), o dos professores, utilizem esses fatos históricos. 
Entendemos que os rastros deixados pelo passado ao presente são tomados 
como documentos, mas a partir do momento em que o historiador os toma para 
análise e construção de questionamentos e hipóteses, deve tê-los como 
monumentos, pois os documentos são fabricados com uma �roupagem� que o 
historiador deve desmontar. Os materiais que utilizaremos para análise, como os 
livros didáticos, são reconhecidos pelo senso comum como documentos à priori, 
mas Le Goff (1992) alerta para que os tomemos como monumentos: 
 
[...] O documento não é qualquer coisa que fica por conta do passado, é um 
produto da sociedade que o fabricou segundo as relações de forças que aí 
detinham o poder. Só a análise do documento enquanto monumento 
permite à memória coletiva recuperá-lo e ao historiador usá-lo 
cientificamente [...] (LE GOFF, 1992, p. 536). 
 
Portanto esses materiais de nossa pesquisa, que são os livros didáticos, 
serão tomados como monumentos, e a partir de nossos questionamentos e 
investigações se tornarão fontes de pesquisa e procurando respondê-las estaremos 
construindo os documentos, que é a própria análise dos livros didáticos. Esses 
documentos que construiremos a partir de questionamentos e da busca por 
respondê-los serão os materiais que, após a aceitação pela comunidade científica, 
constituirão os fatos históricos estabelecidos em nossa pesquisa. 
 A análise dos livros didáticos se realizará com a crítica aos documentos, e 
Valente (2005) fala sobre os procedimentos de trabalho com as fontes de pesquisa, 
que são os vestígios ou traços acompanhados dos questionamentos que 
levantaremos. Esse autor descreve os tipos de crítica se baseando em um curso de 
História do professor e historiador Antoine Proust, que foi transformado em livro em 
1996, denominado Douze leçons sur l�histoire. Segundo Valente (2005), a crítica 
que um historiador deve fazer às suas fontes se resume em dois tipos: a crítica 
externa e a crítica interna. 
 
A crítica externa incide sobre as características materiais do documento: 
seu papel, sua tinta, sua escrita, os selos que o acompanham; a crítica 
interna está ligada a coerência do texto, por exemplo sobre a 
compatibilidade entre a data que ele porta e os fatos a que ele faz 
referência. (VALENTE, 2005, p.6, grifo nosso) 
 
 22 
A crítica é uma busca de respostas aos questionamentos como: a 
identificação do autor, a origem do documento, a conservação e como foi a 
divulgação do documento, a existência da possibilidade de ter ocorrido distorções 
nos testemunhos e sua confiabilidade. Para isso analisaremos as características 
materiais e a coerência do texto dos livros didáticos em relação aos outros materiais 
com os quais iremos confrontá-lo, como os livros sobre a Teoria dos Conjuntos. 
A análise de livros didáticos será realizada partindo-se também dos conceitos 
de estratégias, táticas e apropriação que estão presentes nos estudos do historiador 
Michel De Certeau (1994). Anne-Marie Chartier e Jean Hébrard (1981) fazem uma 
leitura/análise do trabalho de De Certeau (1994) em seu artigo: �A invenção do 
Cotidiano: uma leitura, usos.� A análise realizada por Chartier e Hébrard (1981) é 
uma maneira de nos aproximar da obra complexa de De Certeau (1994), onde os 
próprios autores a definem como �não-conclusiva e não definida em um gênero�. 
Os conceitos de estratégia e tática têm como referência as práticas. 
Estratégia é uma prática que tem um lugar próprio, definido e é estabelecida pelos 
poderosos3, se enquadrando em um espaço social simbólico como: textos oficiais, 
livros, cursos, etc. A tática é a especificidade de práticas cotidianas como: falar, ler, 
cozinhar, comprar, etc., onde o indivíduo não-poderoso faz uso da estratégia pré-
estabelecida. 
A apropriação é um conceito definido pelo consumo cultural que o indivíduo 
faz de uma estratégia para desenvolver sua tática. Segundo Chartier e Hébrard 
existem apropriações materiais e intelectuais: 
 
Essa multiplicação dos objetos para ler tem como conseqüência a 
multiplicidade de formas de apropriação incontroladas, incontroláveis. 
Primeiramente apropriações materiais: empréstimos ou compras, 
organizações e conservação, apresentação e uso colocadas no quadro de 
sociabilidades restritas ao foro privado. Em seguida, apropriação intelectual 
por meio desses processos de leitura, em que coexistem e interferem-se 
mútua e constantemente as leituras normatizadas pelos guardiões da 
ortodoxia e as leituras pessoais, sejam as trocadas entre grupos restritos, 
mas socialmente definidos, ou leituras solitárias. (CHARTIER e HÉBRARD, 
1981, p. 36) 
 
Essas apropriações que os autores destacam serão percebidas no tipo de 
crítica que faremos aos livros didáticos em nosso estudo. A crítica externa, que 
 
3 Os termos �poderosos� e �não-poderosos� são utilizados por Chartier e Hébrard para diferenciar, em um nível 
hierárquico, os autores que realizam as práticas culturais. 
 23 
incide sobre as propriedades materiais do documento, avalia a apropriação material 
que o autor do livro didático realizou, onde também é verificada a existência do 
fenômeno da vulgata
4, pois um determinado autor, por exemplo, pode começar a 
utilizar cores e figuras em um livro e levará assim (caso ocorra a vulgata) outros 
autores a utilizá-la, tornando-se um padrão. 
A crítica interna nos mostrará a apropriação intelectual que o autor realizou, 
sendo essa a de maior interesse em nossa pesquisa, já que estamos investigando a 
inserção da Teoria dos Conjuntos em livros didáticos. Isso deverá permitir que se 
realize uma crítica aos livros visando entender como se deu a apropriação 
intelectual do ideário do Movimento da Matemática Moderna nos livros didáticos. 
A crítica é um olhar do pesquisador para a fonte de pesquisa, e as 
apropriações são as realizações do consumidor cultural, como exemplo o autor de 
livros didáticos. Temos a crítica como um auxiliador na compreensão das 
apropriações. 
Podemos ilustrar os conceitos de tática, estratégia e apropriação com o 
exemplo da escrita de um livro didático: o autor do livro didático, que descrevemosanteriormente como �não-poderoso�, se envolve com diversos fatores como a 
legislação e/ou parâmetros curriculares e até mesmo com cursos em que participou. 
O autor faz uma �leitura� dessas determinações curriculares, que foram escritas por 
�poderosos� (nesse caso os autores dessas determinações) e, portanto, são 
estratégias, possuindo assim um lugar próprio. Essa leitura é descrita por Chartier e 
Hébrard (1981) como um consumo cultural: 
 
Em primeiro lugar, a leitura, esse símbolo privilegiado do consumo cultural 
contemporâneo. Para Michel de Certeau ela não é recepção imposta de um 
conteúdo objetivo, sujeição ao texto, passividade. Fazendo da leitura uma 
arte da caça ilegal, ele a designa como uma ação que quase não deixa 
traços visíveis, nem garantias contra a usura do tempo, mas ação produtora 
que em cada um de seus encaminhamentos e de fazeres, ao mesmo tempo 
alteram e conferem existência ao texto: formas singulares de habitar o 
escrito. A leitura é uma apropriação. (CHARTIER e HÉBRARD, 1981, p. 32) 
 
Na escrita do livro didático, o autor desenvolve sua tática, fazendo uma 
apropriação dessas determinações curriculares, pois escreverá seu livro baseado na 
leitura que ele realizou, que depende de sua interpretação. Quando nos referimos à 
 
4 O fenômeno da vulgata é um conceito do trabalho de André Chervel (1990), onde o autor o descreve como 
uma padronização dos livros didáticos a partir de um �manual inovador� em uma dada época. 
 24 
leitura, não falamos da simples decodificação do escrito, mas de uma adequação 
que o autor faz daquelas determinações curriculares para a escrita de seu livro 
didático. 
O texto escrito pelo autor do livro didático pode se tornar uma estratégia se o 
tomarmos como base para o preparo da aula de um professor. Nesse caso, o autor 
do livro didático passa a ser o �poderoso� e o professor, que desenvolverá sua 
tática, utilizando esse livro para o preparo de sua aula será o �não-poderoso�. Mas 
nosso objetivo é analisar os livros didáticos como tática baseada na estratégia do 
ideário do Movimento de Matemática Moderna. 
Com relação à análise de livro didático teremos também como base teórica o 
trabalho de Alain Choppin (2000 apud Marques, 2005) do qual encontramos pontos 
principais na dissertação de Marques (2005) e que fala sobre a importância do 
manual didático
5 como fonte de pesquisa: 
 
[...] O manual didático se apresenta como suporte, o depositário dos 
conhecimentos e das técnicas que a juventude deve adquirir para 
perpetuação de seus valores. Os programas oficiais, quando existem, 
constituem a estrutura sobre a qual os manuais devem conformar-se 
estritamente. São vetores, meios de comunicação muito potentes cuja 
eficácia repousa sobre a importância de sua difusão e sobre a 
uniformidade do discurso que transmitem. (CHOPPIN, 2000 apud 
MARQUES, 2005, p. 15) 
 
 Outro estudo fundamental para nossa pesquisa é o artigo �História das 
disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa� de André Chervel
6 
(1990). Nele, o autor fala sobre a definição e como se constitui uma disciplina 
escolar e define a importância do livro didático como fonte de pesquisa histórica. 
 O conceito de disciplinarização que Chervel (1990) apresenta, se refere à 
estruturação que é dada aos conteúdos para que possam ser ensinados, ou seja, os 
conteúdos científicos, em outro momento ensinados apenas no Ensino Superior, 
precisam passar por modificações e adequações para que sejam ensinados no 
Ensino Secundário. Essas modificações não surgem apenas da iniciativa dos 
organizadores curriculares, mas também das resistências aos novos conteúdos, que 
surgem por parte dos professores, alunos e outros elementos da cultura escolar. 
 
5 No estudo de Allain Choppin a terminologia utilizada para se referir a livro didático é manual didático, não 
havendo assim diferença. 
6 André Chervel era pesquisador do Service d�histoire de l�education � Institut National de Recherche 
Pédagogique, Paris, França. 
 25 
 Chervel (1990) se contrapõe à afirmação de que o saber produzido 
cientificamente sofre pequenas alterações por parte de grupos de pessoas 
interessadas em adequar esses conteúdos, para que possam ser ensinados e 
aceitos no Ensino Secundário. Chervel (1990) afirma a importância da cultura 
escolar nas alterações sofridas pelos conteúdos do saber científico
7. 
 Um conteúdo só é disciplinarizado quando tem um núcleo curricular, ou seja, 
há um consenso geral, que pode ser regulado por normas como parâmetros 
curriculares, onde quase que a totalidade das instituições ministra esse conteúdo de 
uma mesma forma. Essa mesma forma constitui o que Chervel (1990) denomina 
núcleo curricular. 
O saber científico precisou ser disciplinarizado para que pudesse ser 
ensinado no âmbito da cultura geral pois, para Chervel (1990), o Ensino Secundário 
possui uma cultura geral, enquanto o Ensino Primário e o Ensino Superior possuem 
culturas específicas. 
 Chervel (1990) explicita que as funções do Ensino Primário
8 e do Ensino 
Superior têm uma definição mais clara que a função do Ensino Secundário. No 
Ensino Primário existem objetivos, dentre outros, em que o aluno aprenda a ler, 
escrever e contar. No Ensino Superior, o estudante aprenderá uma profissão, mas 
no Ensino Secundário há uma obscuridade quanto à definição de seu objetivo. 
Segundo Chervel (1990), os livros didáticos de uma determinada época 
retratam o que era esperado do ensino naquela época. O estudo histórico que 
faremos com a análise dos livros didáticos é uma busca pela compreensão das 
práticas escolares da época que pretendemos estudar, tendo em vista os conteúdos 
que faziam parte dessas práticas. Dentro desse foco investigamos como esses 
conteúdos, ora ministrados apenas no Ensino Superior, sofreram modificações, 
influências e inserção de novos elementos próprios da cultura escolar, para que 
pudessem ser ensinados no Ensino Secundário. Sendo assim, analisamos como se 
deu o processo de disciplinarização de conteúdos como a Teoria dos Conjuntos. 
 
7 Conteúdos da Matemática desenvolvidos no âmbito da pesquisa e no Ensino Superior. 
8 O Ensino Primário na época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil se refere às quatro séries 
escolares das crianças com idades entre sete e dez anos. Atualmente esse nível de escolaridade é denominado 
Ensino Fundamental I. 
 26 
Outro importante teórico que nos dá base para o estudo da história das 
práticas escolares é Dominique Juliá
9 (2001) em seu artigo �A Cultura Escolar como 
Objeto Histórico� 
10. 
Para Juliá (2001), a cultura escolar é um conjunto de normas, que são regras, 
conhecimentos e condutas a ensinar e práticas escolares, que permitem a 
incorporação e transmissão dessas normas. As normas e práticas mudam no passar 
do tempo e, portanto, a cultura escolar também muda com o tempo. Existem 
tentativas de coordenar as normas e práticas, para que as condutas e 
conhecimentos que se pretende ensinar ocorram efetivamente. As finalidades 
dessas tentativas de coordenação, segundo Juliá (2001), podem ser de ordem 
religiosa, sócio-política ou de socialização. 
Outro conceito importante a destacar no estudo desse autor é a diferenciação 
que ele faz da História das Práticas e da História das Idéias. Na História das 
Práticas há uma preocupação com as resistências e tensões, com a prática na sala 
de aula e também existe uma limitação quanto às fontes de pesquisa. Já na História 
da Idéias, a pesquisa é realizada sobre textos normativos, onde há um poder 
absoluto sobre os projetos e a cultura escolar é tida como um isolamento, não 
havendo assim, uma preocupação com as resistências e tensões que um conteúdo 
pode sofrer para que seja inserido no currículo.Nossa pesquisa busca se enquadrar, dentro do possível, na História das 
Práticas, que apesar de realizarmos um trabalho com livros e livros didáticos (que a 
princípio parecem mais normas do que práticas), procuraremos encontrar vestígios 
que nos levem a entender como se deu a prática do ensino da Teoria dos Conjuntos 
no Ensino Secundário durante o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Os 
livros didáticos analisados de maneira comparativa com os livros sobre Teoria dos 
Conjuntos nos mostrarão quais foram as resistências e tensões que esse conteúdo 
sofreu para ser disciplinarizado no currículo de Matemática durante o MMM. 
Segundo Juliá (2001), a principal dificuldade da pesquisa no âmbito da 
História das Práticas e, mais precisamente na pesquisa histórica da cultura escolar, 
é a obtenção de fontes de pesquisa. As fontes são escassas, muitas vezes por falta 
 
9 Dominique Juliá era diretor de pesquisas do CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique), e foi 
professor do Instituto Universitário Europeu (Florença), e especialista em história religiosa e história da 
educação na época moderna. 
 27 
de espaço físico, destruição dos materiais ou mesmo sua ausência, pois o que é 
evidente em um dado momento, nem sempre necessita que seja dito ou escrito. 
O estudo das práticas não tem base só nas ações visíveis, mas também em 
quais concepções estão em oculto, ou seja, se as normas não se aproximam das 
práticas, é preciso utilizar a capacidade de relacionar as ligações entre os dados 
que foram obtidos com as fontes, mesmo que elas se refiram às normas. 
Sem dúvida, não devemos exagerar o silêncio dos arquivos escolares. 
O historiador sabe fazer flechas com qualquer madeira: quanto ao 
século XIX, por pouco que procure e que se esforce em reuni-los, os 
cadernos de notas tomadas pelos alunos (mesmo sendo grande o risco 
de se verem conservados apenas os mais bonitos deles) e os cadernos 
de preparações dos educadores não são escassos e, na falta destes, 
pode-se tentar reconstituir, indiretamente, as práticas escolares a partir 
das normas ditadas nos programas oficiais ou nos artigos das revistas 
pedagógicas. (JULIA, 2001, p.17, grifo nosso). 
 
 Entendemos que em nossa pesquisa, as práticas escolares são 
reconstituídas indiretamente, analisando os livros didáticos. 
 A teoria desenvolvida por Le Goff (1992) sobre os conceitos 
Monumento/Documento e a teoria desenvolvida por Juliá (2001) sobre as Práticas 
escolares fundamentam o tipo de pesquisa que realizamos: a pesquisa histórica. 
Os conceitos de estratégia, tática e apropriação absorvidos do texto de 
Chartier e Hébrard (1981) fundamentam tanto a apresentação dos livros sobre a 
Teoria dos Conjuntos, do ponto de vista das estratégias, quanto a análise da 
inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos, do ponto de vista das táticas. 
O conceito de disciplinarização de Chervel (1990) é utilizado em nossa 
pesquisa a partir da análise de elementos que surgiram na cultura escolar e foram 
inseridos nos livros didáticos de Sangiorgi. O esquema 1 apresenta um 
organograma de como as teorias apresentadas nesse capítulo fundamentam a 
pesquisa. 
 
10 O texto referido é uma tradução do artigo de Julia: �Lá culture scolaire comme objet historique�, feita por 
Gizele de Souza, professora do setor de Educação da Universidade Federal do Paraná e doutoranda no Programa 
de Pós-graduação em Educação: História, Política e Sociedade. 
 28 
 
Esquema 1: Organograma de teorias que fundamentam a pesquisa. 
 29 
CAPÍTULO 2 
O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL 
 30 
Apresentaremos uma caracterização do Movimento da Matemática Moderna 
(MMM) no Brasil a partir da leitura e análise de dissertações, teses e artigos que 
têm como tema o Movimento. 
O Movimento da Matemática Moderna no Brasil foi um movimento de grandes 
mudanças curriculares e metodológicas no ensino de matemática entre os anos 60 
e 70. Durante esse movimento foi fundado o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino 
da Matemática) em 31 de outubro de 1961 em São Paulo, que divulgou, com seus 
cursos, o ensino da chamada �Matemática Moderna�. O término das atividades do 
Grupo foi marcado em 1976 com um último curso, quando surgiram algumas 
publicações de críticas ao Movimento e após a divisão de opiniões dos próprios 
integrantes do GEEM (BÚRIGO, 1989, p. 201-203). 
As considerações de fundação e término do GEEM têm apenas a finalidade 
de nos situar sobre quais décadas realizaremos nosso estudo, não querendo limitar 
o Movimento ao período mencionado. 
Nos anos antecedentes às décadas de vigência do Movimento aconteceram 
os primeiros Congressos Nacionais de Ensino de Matemática. Em 1955 ocorreu o 
primeiro deles, em Salvador, Bahia, tendo a participação de 94 congressistas e 
entre eles Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Manoel Jairo Bezerra e Ana 
Averbuch. Segundo Silva (2006), nesse congresso não há evidências da introdução 
de tópicos da Matemática Moderna, mas tratava dos conteúdos programáticos do 
Ensino Secundário e da necessidade de reorganizá-lo para que ocorresse uma 
melhora na aprendizagem. 
A dissertação de Marques (2005) traz uma perspectiva desse período que 
antecedeu o Movimento, fazendo menção às Reformas Campos e Capanema, 1931 
e 1942 respectivamente, e apresenta o período intitulado de pré-moderno, que 
aconteceu nos anos 1950 e uma breve análise de livros didáticos do período. 
Marques conclui que no período referente aos anos 1950 não existiam 
discussões acaloradas sobre mudanças curriculares de grande relevância e que os 
professores �não clamavam� por mudanças que hipoteticamente teriam suscitado o 
Movimento da Matemática Moderna que se sucederia: 
 
[...] começamos a perceber que a matemática escolar dos tempos pré-
modernos não estava passando por momentos de turbulência, o que se 
confirma pela análise dos livros didáticos desse período: seus 
programas eram praticamente iguais aos oficiais, com pequenas 
variações, e a forma com que os mesmos eram abordados também, 
 31 
com a idéia de exemplos e aplicações dominando a organização desses 
manuais. (MARQUES, 2005, p. 101) 
 
Com isso, somos levados a acreditar que as influências para a inserção do 
Movimento de Matemática Moderna no Brasil foi motivada por fatores externos, dos 
quais apresentaremos indícios a seguir. 
Em 4 de outubro de 1957, no Cosmódromo de Baikonur (base de lançamento 
de foguetes da então URSS), em Tyuratam, Cazaquistão, foi lançado o foguete 
soviético SPUTNIK, que mostrava aos EUA a potência espacial soviética e iniciava 
a corrida espacial que levou a uma preocupação com a formação de cientistas e 
engenheiros. 
Segundo Guimarães (2007, p. 21), a idéia de que o Movimento de 
Matemática Moderna tenha surgido nos EUA, em tentativa de competir com a URRS 
na corrida espacial, é muito simplista e não pode se sustentar por fatos. Guimarães 
relata que em 1959 a OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica), 
interessada na modernização do currículo de Matemática decidiu realizar uma 
investigação de como estava se realizando o ensino de Matemática e, então, 
promoveu o Cercle Culturel de Royaumont, que ficou conhecido como Sessão de 
Royaumont. Segundo Guimarães, é a realização mais emblemática de todo o 
movimento reformador. 
Entretanto, levando-se em consideração que a Sessão de Royaumont na 
Europa aconteceu em 1959 e que em 1958 foi fundado um grupo de estudos de 
Matemática nos EUA, tudo leva a crer que o Movimento não surgiu simplesmente 
em um país e foi levado aos outros, mas acreditamos que as dinâmicas próprias de 
desenvolvimento de cada país, cada um sofrendo influências dos mais variados 
tipos, oslevou a se engajarem no Movimento renovador com muitas características 
próprias, específicas a cada grupo ou país, e outras comuns. 
Segundo Búrigo (1989, p.70), no ano de 1958 foi fundado nos EUA o SMSG 
(School Mathematics Study Group), grupo que tinha o objetivo de desenvolver um 
melhor ensino de Matemática, dado que a baixa qualidade do Ensino Secundário 
promovia uma escassez de pesquisadores e cientistas matemáticos. 
O grupo teve assistência do National Council of Teachers of Mathematics 
(NCTM), da Mathematical Association of America e da American Mathematical 
Society (BÚRIGO, 1989, p.70). 
 32 
Além do SMSG, que produziu diversos textos sobre novos conteúdos para o 
ensino elementar e secundário, textos para professores e alunos �mais bem 
dotados�, houve outro programa de destaque na Universidade de Stanford, nos 
EUA, em 1958, que foi o pioneiro na introdução de Teoria dos Conjuntos no ensino 
de matemática para crianças. O programa, coordenado pelo professor Suppes, era 
baseado na premissa de que as crianças podiam aprender muito mais Matemática 
do que o que se considerava possível até então (BÚRIGO, 1989, p. 70). 
Em 1957, aconteceu o II Congresso Nacional de Ensino de Matemática que 
se realizou em Porto Alegre, Rio Grande do Sul com a presença de 400 
congressistas. Segundo Búrigo, esse Congresso teve seu temário ampliado e surgiu 
o tema, em algumas teses, sobre a Matemática Moderna. 
 
A tese do professor Sangiorgi, iniciando com a questão �Matemática 
clássica ou matemática moderna na elaboração dos programas do 
ensino secundário?� era cautelosa e defendia a necessidade de que 
�ambas� fossem levadas em conta, de que a �modelação aos tempos 
novos� fosse gradativa, a �fim de serem evitados os malefícios 
decorrentes de transformações radicais�. (BÚRIGO, 1989, p. 46) 
 
Osvaldo Sangiorgi, que seria posteriormente o principal protagonista do 
Movimento, ainda não defendia de maneira acentuada o ensino da Matemática 
Moderna, foi cauteloso em sua tese nesse Congresso. Já o Major Professor Jorge 
Emanuel Barbosa foi o mais ousado defendendo uma �modernização� do ensino da 
Matemática. Entre seus argumentos estavam a necessidade de atualizar o ensino 
para a formação de cientistas, principalmente matemáticos, destacando um 
argumento que se apoiava na psicologia da aprendizagem: 
 
[...] O segundo argumento era o de que a matemática moderna, pela 
ênfase nas generalizações e na explicitação das conexões entre as 
diversas partes da matemática, favorecia o que se denominava em 
psicologia da aprendizagem. [...] (BÚRIGO, 1989, p. 47). 
 
 Apenas no III Congresso Nacional do Ensino da Matemática, que se realizou 
em 1959 no Rio de Janeiro, foi notável uma acentuação da discussão sobre o 
ensino da Matemática Moderna. Com a presença de cerca de 500 professores, 
entre os quais podemos citar Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Ary Quintela, entre 
outros, o Congresso começou uma discussão sobre a �aceleração da aprendizagem 
 33 
científica�, sendo aprovadas três resoluções de relevância sobre a Matemática 
Moderna: 
 
[...] uma, recomendando cursos de aperfeiçoamento para professores 
registrados do ensino médio, de �preparação à Matemática Moderna�, a 
segunda, recomendando a introdução do �espírito� da MM nas 
Faculdades de Filosofia, e, finalmente, uma resolução que propunha a 
realização de experiências no secundário com introdução de �noções de 
MM, a serem relatadas no IV Congresso�. (SILVA, 2006, p. 54-55) 
 
 As influências para o desenvolvimento do Movimento de Matemática 
Moderna no Brasil foram variadas, porém é de importante destaque um curso 
realizado nos EUA, no qual professores do Brasil e da América Latina foram 
convidados a participar. 
Esse seminário de verão aconteceu na Universidade do Kansas, em 1960, 
onde, entre professores brasileiros e latino-americanos, participou o professor 
Osvaldo Sanigiorgi, que ficou nos EUA por quatro meses. Segundo Búrigo (1989, 
p.104), Sangiorgi, em depoimento oral, destaca que percebeu a preocupação do 
governo norte-americano em �reciclar� os professores. 
Temos esse fato como um forte indício de que o Movimento norte-americano 
influenciou o Movimento no Brasil, pois Sangiorgi, em 31 de outubro de 1961, um 
ano após voltar dos EUA, fundou o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino de 
Matemática), que realizava cursos de formação de professores de maneira muito 
semelhante ao SMSG, divulgando assim o Movimento renovador no Brasil. 
O GEEM foi um grupo pioneiro e influenciou outros grupos como o NEDEM 
(Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática), criado em 1962 e 
coordenado pelo professor Osny Antônio Dacól e o GEEMPA (Grupo de Estudos 
sobre o Ensino da Matemática em Porto Alegre), criado em 1971, e coordenado por 
Esther Pillar Grosi. Ambos tiveram objetivos muito semelhantes aos do GEEM, ou 
seja, desenvolver e divulgar o MMM no Brasil. 
Muitos integrantes do GEEM, como o seu próprio presidente, Osvaldo 
Sangiorgi, e outros como Benedito Castrucci, tiveram fundamental importância na 
difusão do MMM no Brasil devido à autoria de livros didáticos. Vale destacar o livro 
didático inovador editado em 1963 para a primeira série ginasial denominado: 
�Matemática Moderna� de Osvaldo Sangiorgi. 
 34 
Segundo Choppin (2000, p.109), os manuais didáticos são meios de 
comunicação muito potentes cuja eficácia repousa sobre a importância de sua 
difusão e sobre a uniformidade do discurso que transmitem. E realmente 
percebemos essa potência de difusão que um livro didático pode possuir no 
desenvolvimento de um Movimento, pois o grande número de exemplares vendidos, 
desse livro didático de Sangiorgi, demonstra a maneira poderosa de como um livro 
pôde influenciar e engajar professores de um país tão grande como o Brasil em um 
Movimento Renovador como o da Matemática Moderna. 
Em relação à potência dos livros didáticos como meio de difusão, Valente 
destaca: 
A dependência de um curso de matemática aos livros didáticos, 
portanto, é algo que ocorreu desde as primeiras aulas que deram 
origem à matemática hoje ensinada na escola básica. Fica assim, para a 
matemática escolar, desde os seus primórdios, caracterizada a ligação 
direta entre os compêndios didáticos e desenvolvimento de seu ensino 
no Brasil. Talvez seja possível dizer que a matemática constitui-se na 
disciplina que mais tenha a sua trajetória histórica atrelada aos livros 
didáticos. (VALENTE, 2005, p.14). 
 
Valente apresenta um forte argumento de que o estudo da história do ensino 
da matemática no Brasil pode se aproximar daquilo que Juliá descreve como 
práticas escolares, a partir da análise de livros didáticos, que atrelam em si a 
trajetória da disciplina matemática. 
 35 
2.1. A TEORIA DOS CONJUNTOS NO MMM OCORRIDO NO BRASIL 
 
O Movimento de Matemática Moderna no Brasil incluiu novos conteúdos no 
ensino de Matemática da escola secundária. 
Esses conteúdos são: Teoria dos Conjuntos; conceitos de Grupo, Anel e 
Corpo; Matrizes, Determinantes e Espaços Vetoriais; Álgebra de Boole, noções de 
Cálculo Diferencial e Integral. Esses conteúdos até então apenas faziam parte do 
currículo do Ensino Superior. 
Investigamos principalmente a inserção da Teoria dos Conjuntos, pois esse 
era um tema central do Movimento. Era pretendido que a Teoria dos Conjuntos 
fosse linguagem para toda a Matemática e em todos os níveis de escolaridade 
visando unificar a disciplina: 
 
A ênfase nos conjuntos era fundamentada no fato de ser um conceito 
básico da Matemática, além de uma poderosa ferramenta para a 
unificação da disciplina, que no século XIX era considerada como �as 
Matemáticas�. (SOARES, 2001, p.48, itálicos do autor) 
 
A Teoria dos Conjuntos foi um dos conteúdos novos inseridos nos livros 
didáticos do Movimento da Matemática Moderna e é nosso objeto de estudo. Para 
realizarmos uma análise das condições da inserção desse conteúdo noslivros 
faremos um breve panorama das principais intenções dos movimentos renovadores 
do ensino de Matemática, que nos propiciará a uma maior compreensão da 
motivação para a análise da Teoria dos Conjuntos. 
As principais buscas de mudanças no ensino de Matemática giravam em 
torno de uma tentativa de aproximar a Matemática do Ensino Secundário à 
Matemática do Ensino Superior, ou seja, as mudanças visavam um preparo dos 
alunos para dar prosseguimento nos seus estudos. 
 
[...] reclama-se para a Matemática, em termos das finalidades do seu 
ensino, um triplo papel. Um papel formativo que, apesar de ser 
enunciado de um modo genérico, podemos dizer que é visto como um 
meio de desenvolver as capacidades mentais e intelectuais do aluno, 
um papel de preparação dos alunos tendo em vista o prosseguimento 
dos seus estudos, e um papel instrumental no que se refere à sua 
inserção na vida quotidiana e profissional. No entanto, a encerrar as 
conclusões do relatório, quando é enunciado o propósito com que os 
trabalhos de reforma são encarados, a primeira das finalidades 
anteriormente apresentadas não aparece, mantendo-se apenas as 
outras duas que visavam a preparação dos alunos para a vida 
 36 
quotidiana e para a continuação dos seus estudos. (GUIMARÃES, 
2006, p.29, grifo nosso) 
 
Essas tentativas de aproximação não se verificaram apenas no período do 
Movimento da Matemática Moderna, mas também nas Reformas que o precederam: 
Reforma Francisco Campos em 1931 e Reforma Gustavo Capanema em 1942 no 
Brasil. 
Essas Reformas ocorridas no Brasil foram fundamentais para a unificação 
das �Matemáticas�, que antes desse período constituíam três áreas distintas: 
Geometria, Álgebra e Aritmética. A unificação deveria se realizar, segundo Braga 
(2003), com o conceito de função. Braga realiza uma análise de livros didáticos do 
período das Reformas e constata que fora realizada uma introdução do Cálculo no 
Ensino Secundário, que utilizava o conceito de função, também abordado pela 
Teoria dos Conjuntos, unificaria as �Matemáticas�. 
Um dos autores que Braga (2003) analisa foi Euclides Roxo, que lançou uma 
coleção inovadora intitulada �Curso de Matemática Elementar�, onde interpretou as 
concepções do movimento modernizador internacional, norteado por Felix Klein. 
Segundo Braga (2006), o movimento internacional de renovação do Ensino 
Secundário ocorrido no início do século XX em países como Alemanha, Inglaterra, 
França e Estados Unidos teve como nome de destaque o matemático prussiano-
alemão Christian Felix Klein (1849-1925), que exerceu uma liderança no que diz 
respeito à autoridade nas concepções inovadoras. 
O ideário do movimento internacional de renovação tem como uma de suas 
bases a preocupação já mencionada, com o Ensino Superior: 
 
Aliás, Klein, em diversos momentos da referida obra, deixa claro a sua 
grande preocupação com o ensino superior, chegando a afirmar que se 
preocupam muito pouco no ensino secundário de como pode o ensino 
superior seguir construindo sobre a base que ele proporciona, e que no 
mais das vezes se conformam com definições que no momento bastam, 
porém que nada significa frente ao acúmulo de necessidades do ensino 
superior. (BRAGA, 2006, p. 43 - 44) 
 
Observamos esse mesmo foco no Ensino Superior no Movimento da 
Matemática Moderna, pois a preocupação em preparar os estudantes norteou as 
reformas e a introdução dos tópicos da Matemática Moderna, como relata Soares: 
 
 37 
Um dos principais motivos que levaram a uma preocupação com o 
ensino da Matemática foi o baixo conhecimento matemático dos 
estudantes ao entrar na universidade. (SOARES, 2001, p.45) 
 
Os protagonistas do Movimento se apoiaram nos trabalhos do grupo dos 
Bourbaki para desenvolver uma �modernização curricular� e inserir em livros 
didáticos, entre outros conteúdos, a Teoria dos Conjuntos. 
Nicholas Bourbaki era um pseudônimo utilizado por integrantes de um grupo 
de matemáticos que desenvolveram trabalhos voltados a revolucionar a Matemática 
por meio do estudo das estruturas. O método utilizado pelo grupo era axiomático e 
de uma linguagem extremamente formal e rigorosa. O grupo Bourbaki desenvolveu 
seu trabalho baseado em três tipos de estruturas que fundamentam a matemática: 
estruturas algébricas, estruturas de ordem e estruturas topológicas. Qualquer outro 
tipo de estrutura na Matemática, segundo o grupo, pode ser gerida por meio dessas 
três estruturas fundamentais. 
Os protagonistas do Movimento utilizaram um ideário que acreditamos que 
tendia para as idéias �Bourbakistas�, justamente enfatizar o ensino da Teoria dos 
Conjuntos em todas as séries do Secundário, porém, não utilizando todo o trabalho 
dos Bourbaki, dado que era focado no desenvolvimento da Matemática Superior, e 
não no Ensino Elementar e Secundário. 
É notável perceber em estudos de dissertações e teses a tática utilizada 
pelos participantes do Movimento onde justificam a inserção curricular da 
Matemática Moderna apoiados na teoria psicogenética de Piaget. Segundo 
Pavanello (2002) essas justificativas surgiram de uma interpretação que os 
participantes do Movimento fizeram da Teoria Piagetiana. 
 
Assim é que, nos anos 60, o forte interesse demonstrado em várias 
oportunidades por Piaget pela teoria bourbakiana das estruturas 
matemáticas como paradigma explicativo das estruturas operacionais da 
inteligência em desenvolvimento, acabou sendo utilizados pelos 
matemáticos para dar sustentação psicológica a um movimento que 
ficou conhecido como �matemática moderna�. Cumpre observar que 
esse movimento foi iniciado no âmbito da matemática e visava a 
introduzir no ensino os resultados mais recentes da pesquisa nessa 
área do conhecimento, a conexão com a teoria genética sendo feita 
posteriormente. (PAVANELLO, 2002, p.50) 
 
Piaget estudou as estruturas lógico-matemáticas pois acreditava que essas 
estruturas pudessem modelar a organização dos processos cognitivos do estudante. 
 38 
Partindo dessas teorias entendemos que a base da Matemática Moderna se situava 
nos trabalhos dos Bourbaki, priorizando a inserção da Teoria dos Conjuntos nos 
programas e se apoiava em Piaget, com o objetivo de entrelaçar a matemática 
rigorosa e baseada em estruturas matemáticas com a teoria psicológica, também 
fundamentada em estruturas, nesse caso, estruturas mentais. (SOARES, 2001, 
p.11) 
Jean Piaget descreve os estágios do desenvolvimento em quatro grandes 
categorias: 
 Sensório motor (de 0 a 24 meses) � onde o conhecimento começa a se 
desenvolver a partir do contato físico tendo o objeto como principal fonte. 
 Pré-operacional (de 2 a 6 anos) � o ato de pensar baseia-se em ações 
concretas e na visualização e a criança não tem a capacidade de realizar 
comparações baseadas na imaginação. 
 Concreto (de 7 a 12 anos) � se iniciam as operações denominadas lógico-
concretas, onde as respostas estão em função da observação do mundo e 
no conhecimento adquirido, sendo esta a fase da �escolarização� onde os 
primeiros textos e as primeiras operações matemáticas são aprendidas. 
 Operações formais (acima de 12 anos) � nessa fase desenvolvem-se as 
operações formais e proposicionais com raciocínio sustentado no 
conhecimento físico e em hipóteses lógicas. 
Há um comparativo feito desde a época do Movimento da Matemática 
Moderna e ainda constatamos hoje em dissertações como SOARES (2001), 
relacionando a Teoria de Jean Piaget com a Teoria de Bourbaki. 
 
No estágio das operações concretas, que se inicia na faixa dos 7 anos 
de idade, Piaget constata que as primeiras operações das quais se 
serve a criança em seu desenvolvimento, e que derivam diretamente 
das coordenações gerais de suas ações sobre os objetos, podem se 
repartir em três categorias gerais que equivalem às estruturas-mãe de 
Bourbaki: as estruturas algébricas, as estruturas de ordem e as 
estruturas topológicas. (SOARES, 2001, p.51)Pavanello (2002) apresenta um embate que existiu entre o ensino da 
matemática tradicional e a moderna, ressaltando alguns argumentos que 
posteriormente foram utilizados para classificar a matemática moderna como 
fracassada. 
 
 39 
O mesmo aconteceu com suas advertências sobre a possibilidade de 
fracasso em tentativas de �ensinar matemática �moderna� a crianças 
pequenas usando métodos arcaicos, baseados na transmissão verbal 
do professor para o aluno e com uso prematuro do formalismo�. 
Considerando que, se o problema com a matemática tradicional era 
levar a criança a resolver uma enorme quantidade de problemas, 
�muitos deles absurdos�, Piaget (1973, p.84 � 85) assinalava que, com a 
�moderna� o problema poderia estar num outro nível: o professor 
poderia ser � muitas vezes tentado a apresentar noções e operações 
cedo demais, num quadro que já é muito formal�[...] (PAVANELLO, 
2002, p. 52) 
 
A teoria de Piaget pode ter sido mal interpretada durante a vigência do 
Movimento da Matemática Moderna, pois acreditamos que seu uso teve muito mais 
importância como propaganda do que como base teórica, afinal é uma teoria 
bastante densa e o próprio Piaget alertou sobre os exageros de interpretação de 
sua teoria: 
 
[...] pode-se confundir a iniciação à Matemática com o entrar de cheio 
em sua axiomática. Contudo, a única coisa que se pode axiomatizar são 
os dados intuitivos prévios e, de um ponto de vista psicológico, uma 
axiomática só tem sentido quando supõe uma tomada de consciência ou 
reflexão retroativa, o que implica toda uma construção proativa anterior. 
A criança � desde os 7 anos � e o adolescente manipulam 
continuamente operações de conjuntos, de grupo, de espaço vetorial, 
etc., mas sem estarem absolutamente conscientes disso, posto que se 
trata de esquemas fundamentais de comportamento � e, depois de 
raciocínio � antes de poderem chegar a converterem-se em objetos de 
reflexão. Torna-se, pois indispensável toda uma graduação para poder 
passar da ação ao pensamento representativo, e uma série não menor 
de transições para passar do pensamento operatório à reflexão sobre 
esse pensamento; o último escalão é então a passagem desta reflexão 
à axiomática (PIAGET, 1978, p.185,186 apud SOARES, 2001, p.52) 
 
O ano do texto,1978, próximo do declínio do Movimento, leva-nos a crer que 
Piaget parece fazer um balanço do Movimento. Piaget faz esse alerta pois a 
Matemática Moderna procurou axiomatizar todo o ensino, entendendo que assim 
aproximaria a Matemática ensinada no Ensino Secundário à Matemática do Ensino 
Superior, preparando melhor os alunos que ingressariam nas Universidades. 
Partindo desses fatos, procuramos investigar de que maneira foi inserida a 
Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos durante o MMM no Brasil, pois como os 
livros exercem influência tão forte na difusão de um movimento, nos aproximamos 
muito da compreensão da prática escolar durante a vigência do Movimento. Temos 
como foco a análise da inserção desse conteúdo nos livros e se o saber científico 
 40 
sofreu intervenções do cotidiano escolar na elaboração, inserção e desenvolvimento 
do conteúdo para se tornar um elemento da disciplina escolar. 
Para tal análise, faremos um breve panorama histórico do desenvolvimento 
da idéia de Conjunto e sua constituição como teoria Matemática, estudaremos quais 
matemáticos foram mais influentes em seu desenvolvimento e como essa Teoria 
chegou aos Bourbaki no século XX. Por fim, retornaremos à análise do MMM no 
Brasil, visando apresentar as características de conteúdo do Movimento, assim 
como a ênfase dada à Teoria dos Conjuntos. 
 41 
CAPÍTULO 3 
TEORIA DOS CONJUNTOS: UM PANORAMA HISTÓRICO 
 42 
Neste Capítulo temos como objetivo apresentar um panorama do 
desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos de acordo com textos de História da 
Matemática. 
 É notável a presença da Teoria dos Conjuntos em diversos momentos do 
desenvolvimento da Matemática em sua história. Destacamos como uma possível 
primeira �aparição� da idéia de conjunto, ou coleção, no escrito matemático 
encontrado no cetro real do Rei Menés. Boyer (1974, p. 8) relata que o cetro se 
encontra em um museu em Oxford, e possui mais de 5000 anos. 
 O registro encontrado no cetro indica a captura de 120 000 prisioneiros e 
1 422 000 cabras, números que podem, por um lado revelar um exagero e talvez 
certa desconfiança pela quantidade, por outro lado nos mostra a idéia, ainda que 
informalmente, de conjunto. Essa idéia informal se dá a partir do fato de que foi 
relacionada uma quantidade de prisioneiros e cabras que estão separadas em 
conjuntos distintos. 
 A idéia de Conjunto como toda Matemática, se desenvolveu passando por 
diversos momentos. Descreveremos as contribuições de Boole e de Cantor, como 
um marco importante no desenvolvimento desse conceito. 
 O estudo da Álgebra sofreu fundamentais mudanças em meados do século 
XIX, quando o matemático inglês George Boole (1815 � 1864) realizou a �liberação 
da Álgebra� (GARBI, 2006). Até então, a Álgebra era vista como uma área da 
Matemática que relacionava regras aplicáveis às operações aritméticas, quando 
Boole mostrou que a Álgebra também pode trabalhar com diversos outros entes, 
como Conjuntos e proposições de Lógica. 
 George Boole, nascido na Inglaterra, estudava Matemática e exercia 
docência desde os 16 anos no ensino primário. Durante seus estudos de 
Matemática percebeu que as regras e manipulações algébricas não precisavam ser 
tratadas apenas no âmbito numérico, mas também com os Conjuntos. 
 As manipulações ou regras estudadas por Boole e relacionadas aos 
conjuntos, podem ser observadas a seguir. Suponhamos que a e b são dois 
números reais que associaremos de duas maneiras, adição e multiplicação: 
i. a + b (adição) 
ii. ab (multiplicação) 
 Podemos apresentar também algumas regras e propriedades: 
i. a + b = b + a 
 43 
ii. a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b 
iii. ab = ba 
iv. a(bc) = (ab)c = (ac)b 
v. a(b + c) = ab + ac 
entre outras. 
 Boole desenvolveu um tipo de raciocínio similar, porém aplicado aos 
conjuntos, representados por letras maiúsculas, onde definiu duas formas de 
associação, uma que pode ser denominada adição, porém é popularmente mais 
conhecida como União (A + B ou A  B) e outra forma denominada produto ou 
Intersecção (AB ou A  B). 
 Uma forma bastante simples e de fácil compreensão das operações com 
Conjuntos são os conhecidos diagramas de Venn, que não foram inventados pelo 
matemático inglês John Venn (1834 � 1923), mas foram inventados um século antes 
por Leonhard Euler (1707 � 1783). Podemos observar as operações com Conjuntos 
ilustradas com os diagramas 1 e 2 da figura 2: 
 
 
 
 
 
 
 A  B A  B 
 Diagrama 1 Diagrama 2 
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos. 
A primeira forma de associação, a União, se refere a tomarmos todos os 
elementos contidos no primeiro conjunto ou no segundo. Já a Intersecção se refere 
a tomarmos apenas os elementos contidos em ambos os conjuntos 
simultaneamente. 
Utilizando a definição formal temos: 
i. x  A  B  x  A ou x  B 
ii. x  A  B  x  A e x  B 
A partir dessas definições podemos verificar propriedades análogas àquelas 
definidas para a adição e multiplicação de números reais: 
 44 
i. A  B = B  A (comutativa) 
ii. A  (B  C) = (A  B)  C = (A  C)  B (associativa) 
iii. A  B = B  A (comutativa) 
iv. A  (B  C) = (A  B)  C = (A  C)  B (associativa) 
 Porém, muitas propriedades de operações definidas na álgebra não são 
análogas aos conjuntos, como: 
i. A  A = A 
ii. A  A = A 
 Sendo que na Álgebra: 
i. a + a = 2a 
ii. aa = a2 
 Boole, com essas considerações e percepções, contribuiu de forma 
substancial para a Teoria dos Conjuntos, pois outros matemáticos utilizaram seu 
raciocínio algébrico dos conjuntos para desenvolvimentode suas teorias. 
 O matemático que podemos denominar como uma figura maior no 
desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos foi Georg Cantor (1845 � 1918) nascido 
em S. Petersburgo na Rússia, de pais emigrados da Dinamarca, mas passou a 
maior parte da sua vida na Alemanha, pois sua família se mudara para Frankfurt 
quando tinha onze anos de idade. Cantor se interessou por questões de infinito e 
continuidade por influências de teólogos medievais, já que descendia de pais 
cristãos, mãe católica de nascimento e pai protestante. Tais influências fizeram com 
que Cantor não seguisse na �mundana� carreira de Engenheiro, como sugeria seu 
pai, e se concentrasse em Física, Filosofia e Matemática. 
 Cantor defendeu sua tese de doutoramento em Berlim no ano de 1867, com 
apenas 22 anos, onde mostrou uma atração pela análise de Weierstrass, já que sua 
tese tinha como tema a Teoria dos Números. As maiores contribuições de Cantor 
centram-se nas problemáticas questões de infinito. 
 Dedekind (1831 � 1916), amigo de Cantor e aluno de Weierstrass definiu que 
�um sistema S é infinito quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo; 
caso contrário S se diz um sistema finito.� (DEDEKIND apud BOYER, 1974, p. 413). 
 Essa definição nos leva a compreensão da questão do infinito baseado na 
correspondência biunívoca, ou seja, um conjunto se diz infinito se os elementos de 
um subconjunto próprio podem ser postos em correspondência biunívoca com o 
 45 
conjunto. Como exemplo, podemos citar o conjunto IN* e seu subconjunto A dos 
quadrados perfeitos, onde cada elemento de IN* possui um único correspondente 
em A: 
IN* � A 
1 � 1 
2 � 4 
3 � 9 
4 � 16 
... 
n � n2 
... 
Cantor, em 1874, publicou um de seus principais artigos onde reconhece a 
propriedade dos Conjuntos Infinitos, mas observou que eles não são todos iguais. 
Cantor desenvolveu uma hierarquia de conjuntos infinitos onde diz que alguns deles 
têm a mesma potência
11 e outros têm potência maior. 
 Relacionado à potência dos conjuntos, pareciam os números Racionais 
serem muito mais �numerosos� que os inteiros, mas Cantor também demonstrou, 
por correspondência biunívoca, que o conjunto dos números Racionais também 
pode ser posto em cardinalidade, ou seja, pode ter seus elementos postos em 
correspondência com os Naturais. Na figura a seguir fica clara a idéia da seqüência 
proposta por Cantor: 
 
1 2 3 4 5 ........ 
1 1 1 1 1 
 
1 2 3 4 ....... 
2 2 2 2 
 
1 2 3 ........ 
3 3 3 
 
1 2 ........ 
4 4 
 
 1 ........ 
 5 
Figura 3: Seqüência de números Racionais proposta por Cantor. 
 
11 O termo potência refere-se a cardinalidade, ou à �quantidade� de elementos do conjunto. 
 46 
Essa seqüência de números racionais pode ser colocada em 
correspondência biunívoca com os números Naturais, portanto, podemos dizer que 
existe a cardinalidade, ou que os números Racionais são enumeráveis. 
Quanto aos números Reais, Cantor em 1874 respondeu que esses não 
podem ser colocados em correspondência biunívuca com os Números Naturais, ou 
seja, não podem ser enumerados. Sua demonstração se fundamentou em um 
raciocínio por absurdo. 
Esse panorama explicita uma parcela do desenvolvimento da Teoria dos 
Conjuntos na História da Matemática. Os conceitos elucidados nessa apresentação 
histórica têm o objetivo de nos aproximar do assunto abordado na análise dos livros 
sobre a Teoria dos Conjuntos, dado que esses livros também são representantes de 
uma parte do desenvolvimento histórico da Teoria, mostrando como ela se 
apresentava nas décadas de vigência do Movimento de Matemática Moderna. 
 47 
3.1. ANÁLISE DOS LIVROS SOBRE TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Dado que os conceitos da Teoria dos Conjuntos estão entre as principais 
novidades do Movimento da Matemática Moderna (MMM), também objetivamos 
nesse capítulo mostrar de que maneira essa Teoria era apresentada em alguns dos 
livros destinados ao Ensino Superior, para que de uma forma comparativa, 
possamos estudar a teoria apresentada nos livros didáticos de Sangiorgi. Essa 
comparação se insere no objetivo de mostrar como alguns elementos surgem a 
partir da cultura escolar. 
Para tanto, estudaremos os livros: Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul R. 
Halmos, traduzido em português pelo Professor Irineu Bicudo e Teoria dos 
Conjuntos de autoria de Edison Farah. 
Também utilizaremos o livro Elementos de Teoria dos Conjuntos, publicado 
pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (G.E.E.M.) e de autoria de 
Benedito Castrucci. Escolhemos esse livro para análise, devido o seu uso na 
preparação dos professores para a Matemática Moderna ocorrida nos cursos 
promovidos pelo G.E.E.M., onde Benedito Castrucci ministrava cursos sobre Teoria 
dos Conjuntos, que supomos serem baseados nesse livro. 
 48 
3.1.1. TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS � PAUL R. HALMOS 
 
O livro Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul R. Halmos, que tem como 
nome original Naive Set Theory, foi traduzido pelo professor Irineu Bicudo, um dos 
integrantes do G.E.E.M. e participante do Movimento da Matemática Moderna no 
Brasil. Na nota do tradutor, Irineu Bicudo relata que em 1963, ao cursar a cadeira de 
Análise Superior, ministrada pelo professor Dr. Edison Farah, na Faculdade de 
Filosofia, Ciências e Letras da USP, veio a conhecer livros que tratavam sobre 
Teoria dos Conjuntos, tema que, acompanhado de Topologia Geral, era ministrado 
por Farah. 
Dessa maneira, o professor Bicudo tomou conhecimento do livro Naive Set 
Theory de Halmos, e iniciou sua tradução em 1964, sendo essa sua primeira 
experiência como tradutor. (HALMOS, 1970, Nota do Tradutor). 
A denominação �ingênua� para essa obra não se remete ao sentido de 
simples ou banal, pois o próprio autor, no Prefácio, deixa claro que se trata de uma 
�teoria axiomática dos conjuntos do ponto de vista ingênuo�, ou seja, é axiomática, 
pois alguns axiomas são enunciados e usados como base, e é ingênua na 
linguagem e notação, que Halmos descreve como uma linguagem da �Matemática 
Ordinária Informal�, mas ele mesmo admite, entre parênteses, que seria 
formalizável. 
No Prefácio do livro fica muito clara a preocupação do autor em prevenir o 
leitor de que o livro foi escrito de maneira informal e chegando até o ponto de ser 
coloquial. Porém, ele admite que ainda assim os leitores podem ter uma dificuldade 
na leitura em função da complexidade do assunto. 
No primeiro capítulo do livro, Halmos mostra o quão axiomática é sua obra, 
enunciando o Axioma da Extensão. Para chegar ao enunciado do axioma, Halmos 
descreve, de maneira pragmática, os conjuntos, como conceito primitivo e 
comparando-o com coleções de frutas/animais: 
Uma matilha de lôbos, um cacho de uvas ou um bando de pombos são 
todos exemplos de conjuntos de coisas. O conceito matemático de 
conjunto pode ser usado como fundamento para toda a matemática 
conhecida. (HALMOS, 1970, p.1) 
 
 Nessa frase de Halmos, percebemos a essência do uso da Teoria dos 
Conjuntos no MMM, que é admiti-la como base ou �fundamento� para toda a 
Matemática, ou seja, Halmos afirma que a Matemática pode ser estruturada pela 
 49 
Teoria dos Conjuntos e no MMM os protagonistas se apropriam dessa idéia. 
 Ainda precedendo o enunciado do Axioma da Extensão, o conceito de 
pertinência é citado como o principal conceito da Teoria dos Conjuntos. Relativo a 
esse conceito, Halmos apresenta o símbolo �� e afirma que �essa versão da letra 
grega épsilon é tão freqüentemente usada para denotar pertinência que seu uso 
para denotar tudo o mais é quase proibido.� (HALMOS, 1970, p. 2). Essa frase de 
Halmos salienta rigor na linguagem, característico da Teoria dos Conjuntos e, que 
parece ter sido absorvido pelo MMM. 
 Outra relação citada é a igualdade entre conjuntos. Essa relação é dada pelo 
Axioma da Extensão que diz que dois conjuntos